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大学高数竞赛题和答案.docx

2006 年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（经济类）

一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1 1 x2

x 0

，是(,) 上的连续函数,则a = 0

1．若f (x)e x cos x。

ae2 x1x0

2．函数f x x x在区

间，

上的最大值为

。

() 2 sin[]

23 2

2 。

3．（| x | x)e| x|dx = 2 6e

4．设区域D( x, y) | x2y21, y0 , 则

2 dxdy ln 2 .

5．设函数z z(x,y) 由方程 z y x xe z y x 2 所确定，则dz 1 (x1)e z y x dx dy 。

1xe z y x

二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确

选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1．设函数f ( x)可导 ,并且 f ( x0 )5, 则当 x 0 时,该函数在点 x0处微分 dy是 y 的

（A）

（ A ）等价无穷小；（ B）同阶但不等价的无穷小；

（ C）高阶无穷小；（ D）低阶无穷小。

2．设函数f (x)在点 x = a 处可导 ,则 |f(x)| 在点 x = a 处不可导的充要条件是（C）（ A ）f ( a)0, 且 f ' (a)0 ；（B ）f (a)0, 但 f ' (a)0 ；

（ C）f ( a)0, 且 f ' (a)0 ；（D ）f ( a)0, 且 f ' (a)0 。

3．曲线y x x 2x 1 （B）

(A)没有渐近线 ;(B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线;

(C)有一条铅直渐近线 ;(D)有二条水平渐近线。

4．曲线y x( x1) 3 ( x2) 与x轴所围成的平面图形的面积为（ D ）

2323

（ A ）x x x dx ；（B）－

1) (x( x 1)( x2)dx；

1) 3 ( x21)3 (x2)dx ;

（C）－x( x2)dx +x( x

1 3

（ D ）

x x

。

(

1)( 2)

x( x

1) ( x 2)dx

5．设 D 是 xoy 平面上以点 (1, 1), ( － 1, 1), ( － 1, － 1)为顶点的三角形区域 , D 1 是 D 在第一象限的部分 ,

则（xy cosx sin y) dxdy

（

B ）

（A ） 2

xydxdy ；（ B ） 2 cos x sin ydxdy ；

C ） 4

( xy cos x sin y) dxdy ；

（D ）0。

D 1

f (x) 具有二阶二阶导数，且

lim f ( x)

0， ''(0) 4, 求 lim 1

f ( x)

三、设函数

x 0

解：因为

lim

f (x)

f ' (0)

0 ，

x 0，所以 f (0)

x 0

f ( x) 1

f '( x)

lim f ' '( x)

所以lim

1 f ( x)

lim

lim e

e x 0

x x

e x

0 2 x

e x 0 2

x 0

1 x

。（本题 6 分）

x 1 2t 2

求 d 2

四、设函数 y

y(x) 由参数方程

1 2ln t e u

1) 所确定 , 。（本题 6 分）

du dx 2 x 9

解：

y t '

e 1 2 ln t

et 2 2

e 1 2ln t t

1 2 ln t t

x t ' 4t

4t 2(1 2 ln t )

2(1 2ln t)

dx 2

dx 2(1 2 ln t) 2 4t

4t 2 (1 2 ln t) 2

当

x 9时 , 由 t 1得 t

d 2 y e

dx 2

x 9

4t 2 (1 2 ln t )2

t 2

16(1 2 ln 2) 2

五、。设 n 为自然数 , 计算积分 I n

2 sin(2n 1) x

分）

dx （本题 7

sin x

解：

I n

sin(2n 1) x

sin 2nx cos x cos 2nx sin x

sin x 0

sin 2nx cos x

cos 2nxdx

sin x

= 1 2 sin( 2n 1) x sin( 2n 1) x dx

I n

I n 1

sin x 2

所以I n I

n 1I0

2 sin x

0sin x2

x2 | x k | dx ,其中k为常数.（本题

六、计算 6 分）

解：当 0 < k < 1时

k kx3x4k

x2| x k | dx x 2(k x)dx x2 ( x k) dx

00k34

k 4k1

634

当 k 1 时

1kx3x4k k 1

x2| x k | dx x2( k x) dx

34034当 k0 时

1kx3x41 1 k

x2| x k | dx x 2( x k) dx

0034

043

k 4k1

0k1

634

所以x 2| x k | dx k 1

k 1

034

七、。已知曲面方程为xyz 1 ( x0, y0, z0) ,则

( 1 ) 在曲面上求一点 , 使其到原点的距离最小;

( 2 ) 写出该点处的切平面方程.（本题8 分）

证明：点 (x, y, z) 满足条件 xyz = 1,到原点距离为 d ( x, y, z)x 2y2

f ( x, y, z)x2y 2z2最小

条件 xyz1

由拉格朗日乘数法,拉格朗日函数

精品文档kx3x 4

3 4 k

z2. 于是得条件极值

F (x, y, z) x 2y2z2(xyz1)

八、设函数 f ( x, y) 连续,且f( ,)xy f(, ),其中D为由y0,y x2,x 1围成的

x y x y dxdy

区域 , 求f ( x, y)。（本题 7分）

精品文档

解：假

f x y dxdy A 则 f x y xy A , 于是

( , )

, ( , )

x 2

f ( x, y)dxdy

( xy

A) dxdy

( xy A)dxdy

所以

, f ( x, y)

1 .

九、 f (r )在[ 0，1]

上 ,lim

( x 2

y 2 )n f (

x 2 y 2 ) dxdy 0 。（本 7 分）

n x 2

y 2

明：用极坐算二重分

y 2 )

f ( x

y 2

)dxdy

2 d 1 r 2 n 1 f ( r )dr 2

f ( r )dr

x 2

y 2

假

max | f ( r ) |

0 r 1

所以 0

( x

y 2 ) n f (

y 2

)dxdy

| 2

2n 1

f (r )dr | 2

r 2n 1

| f (r ) | dr

2 M

2n 由逼定理，

得到 lim

( x 2

y 2 )n f ( x 2 y 2 ) dxdy

0 。

2 y 2

十、

f (x) 在区 [0,

1] 上 ,

f (0) f (1) ,

明 : 于任意定的整数

n > 2, 必存在

x n [ 0, 1), 使得

f ( x n ) f (x n 1

) 。（本 8 分）

明：令

1 ) , 只需明

在，

1 存在使

( x) f ( x)

f ( x

( x) [0 1

]

x n

( x n ) 0

] 上 ,

] 上

(

反法 ):

反不存在 x n 使 (x n )

0 , 由于

(x)在[ 0，1

所以在[0，1

( x) 不号 , 不妨假定

在[0，1

( x)

0 .

所以 :

] 上

( 0)

f (0) f ( 1

)

0, ( 1

) f ( 1 ) f ( 2

) 0, ?,

(

f (

f (1) 0,

n n

n n n

所以

(0)

( 1

)

(

f (0)

f (1)

) .

与 f (0)

f (1) 矛盾 . 所以存在 x n [ 0, 1), 使得

f ( x n ) f ( x n

十一、 f ( x) 是除 x = 0 点外的奇函数

, x = 0

其第一跳断点 , 明

f (t) dt 是

的偶函数 , 但在点 x = 0

不可。（本 7 分）

解：

精品文档

1.假设 lim f (x)A

因为 f (x) 是除x = 0点外处处连续的奇函数, x = 0 为其第一类跳跃间断点,

所以lim( )，且0

.(若 A=0,则 f (x) 在x = 0连续 ) x 0

f x A A

f (x)A x0

2.令( x)0x0.显然(x) 在x =0连续,所以在( ,) 连续

f (x)A x0

当 x > 0 时 , － x < 0,( x) f ( x) A f (x)A[ f (x)A](x) ,

当 x < 0 时 , － x > 0,( x) f ( x) A f (x) A[ f (x) A]( x) .

(x) 是连续的奇函数.所以x

所以(t) dt 是连续的偶函数.

x x

A | x |,x x(t )dt A | x |

3.(t) dt f (t )dt f (t) dt

000

所以 f (t)dt 是连续的偶函数,但在点 x = 0处不可导。

十二、设常数 k ln 2 1 ,证明 :当 x 0且

1时，

( x1)( x ln 2 x2k ln x

1) 0

（本题 8分）

证明：假设 f ( x)x ln 2 x2k ln x1（ x > 0 ）

只要证明 i. 当0

x 1ln2

,时，x

ii.当 1x时，x ln 2x2k ln x10

f ' (x)12 ln x2k 1

( x 2 ln x2k)

x x x

令 g( x)x 2 ln x2k, 则由 g' (x)10，得 x2

21x

g'' (x),g'' (2)0,

x22

所以 ,由 k ln 2 1 得,g( 2)2 2 ln 22k0为极小值 , 也是最小值

ln x2k1

( 2 ln2)0,函数()单增.

所以

f ' (x)12x x x x x k f x

由 f (1) 0 ,得到

i. 当0x 1时， f ( x) x ln 2 x 2k ln x 10 ,

ii.当1x时，f ( x) x ln 2 x 2k ln x 10 .

河北科技大学大学物理学往年试卷试卷-A

河北科技大学2009——2010学年第二学期《普通物理学A 》期末考试试卷一、选择题（每题3分，共计30分。将答案填写在下面表格内） 1、某质点的运动学方程为 x =3t -5t 3+6 (SI) ，则该质点作 (A) 匀加速直线运动，加速度沿x 正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 负方向； (C) 变加速直线运动，加速度沿x 正方向； (D) 变加速直线运动，加速度沿x 负方向。 2、质点做半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(V 表示任一时刻质点的速率) (A) dt dv ； (B) R v 2 ； (C) R v dt dv 2 + ； (D) 2 1 24 2)(?????????? ??+R v dt dv 。 3、质量为m 、m 4的两个质点分别以动能E 和E 4运动，方向相反，则总动量的大小为 (A) mE 2； (B) mE 23； (C) mE 25； (D) () mE 2122-。 4、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法正确的是 (A) 仅与刚体的质量有关； (B) 只与刚体的质量和形状有关； (C) 取决于刚体的质量及相对于轴的质量分布；考场座位学班级__________姓名__________学号_____________ 密封线内不要答题

(D) 仅取决于刚体的质量及轴的位置。 5、有一边长为a 的正立方体，在其中心有一电荷量为q 的正点电荷，如图所示，则通过正立方体任一侧面的电场强度通量为 (A) 03εq ； (B) 2 0q a ε； (C) 03πεq ； (D) 06εq 。 6、关于洛仑兹变换和伽利略变换，说法正确的是 (A) 洛仑兹变换只对高速运动物体有效，对低速运动物体是错误的； (B) 洛仑兹变换和伽利略变换没有任何关系； (C) 在低速情况下，洛仑兹变换可过渡到伽利略变换； (D) 以上都不对； 7、一颗子弹水平射入静止于光滑水平面上的物块后随物块一起运动。对于这一过程的正确分析是 (A) 子弹、物块组成的系统机械能守恒； (B) 子弹动能的减少等于物块动能的增加； (C) 子弹所受的冲量等于物块所受的冲量； (D) 子弹、物块组成的系统水平方向动量守恒。 8、磁介质有三种，用相对磁导率r μ 表征它们各自的特性时： (A) 顺磁质 r 0μ>，抗磁质 r 0μ<，铁磁质r 0μ>>； (B) 顺磁质r 1μ> ，抗磁质r 1μ= ，铁磁质r 1μ>>； (C) 顺磁质r 1μ> ，抗磁质r 1μ< ，铁磁质r 1μ>>； (D) 顺磁质r 0μ< ，抗磁质r 1μ< ，铁磁质r 0μ>。 9、两个相距不太远的平面圆线圈，怎样放置可使其互感系数近似为零（设其中一线圈的轴线恰通过另一线圈的圆心） (A) 两线圈的轴线相互平行； (B) 两线圈的轴线相互垂直；

同济大学2009-高数B期末考试题

同济大学２00９-２0１0学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷一. 填空题(4'416'?=）１. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e =+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足： [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><； ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线 1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线； ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线； ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7．将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ］ (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ;

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

河北科技大学大学物理答案稳恒磁场

习题 12-1 若电子以速度()()616120103010.m s .m s --=醋+醋v i j 通过磁场()0030.T =-B i ()015.T j 。(1)求作用在电子上的力；(2)对以同样速度运动的质子重复上述计算。解：（1） () ()k j i j i B v F 136610624.015.003.0100.3100.2-?=-??+?-=?-=e e （2）k F 1310624.0-?-= 12-2 一束质子射线和一束电子射线同时通过电容器两极板之间，如习题12-2图所示。问偏离的方向及程度有何不同？质子射线向下偏移，偏移量较小；电子射线向上偏移，偏移量较大。 12-3 如习题12-3图所示，两带电粒子同时射入均匀磁场，速度方向皆与磁场垂直。(1)如果两粒子质量相同，速率分别是v 和2v ；(2)如果两粒子速率相同，质量分别是m 和2m ；那么，哪个粒子先回到原出发点？解：qB m T π2= (1)同时回到原出发点；(2) 质量是m 先回到原出发点。 12-4 习题12-4 图是一个磁流体发电机的示意图。将气体加热到很高温度使之电离而成为等离子体，并让它通过平行板电极1、2之间，在这习题12-2图习题12-3图习题12-4图

里有一垂直于纸面向里的磁场B 。试说明这两极之间会产生一个大小为vBd 的电压（v 为气体流速，d 为电极间距）。问哪个电极是正极？解：qE qvB =，vB E =，vBd Ed U ==，电极1是正极。 12-5 一电子以713010.m s v -=醋的速率射入匀强磁场内，其速度方向与B 垂直，10T B =。已知电子电荷191610.C e --=-?。质量 319110.kg m -=?，求这些电子所受到的洛仑兹力，并与其在地面上所受重力进行比较。解：11719 108.410100.310 6.1--?=????==evB F N ， 3031109.88.9101.9--?=??==g m G e N 18104.5?=G F 12-6 已知磁场B 的大小为04.T ，方向在xy 平面内，并与y 轴成3p 角。试求电量为10pC q =的电荷以速度()7110m s -=?v k 运动，所受的磁场力。解：j i j i B 2.032.03 cos 4.06 cos 4.0+=+=π π ，k 710=v ， ()() 4 7121032.02.02.032.0101010--?+-=+???=j i j i k F N 。 12-7 如习题12-7图所示，一电子在 20G B =的磁场里沿半径为20cm R =的螺旋线运动，螺距50.cm h =，如图所示，已知电子的荷质比 11117610.C kg e -=醋，求这电子的速度。习题12-7图

大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)

大学数学期末高等数学试卷（计算题）一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求二、解答下列各题

高数2-期末试题及答案

北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案）适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12）因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）

河北科技大学大学物理答案11章分解

习题 11-1 面积很大的导体平板A 与均匀带电平面B 平行放置，如习题11-1图所示。已知A 与B 相距d ，两者相对的部分的面积为S 。(1)设B 面带电量为q ，A 板的面电荷密度为1s 及2s ，求A 板与B 面之电势差。(2)若A 板带电量为Q ，求1s 及2s 。 (1)d S q U 0 212/εσσ-+= ；（2）S q Q 21+=σ，S q Q 22-=σ 习题11-1图习题11-2图习题11-3图 11-2 如习题11-2图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块上所带总面电荷密度为521310.C m --醋。求每块板的两个表面的面电荷密度各是多少？（忽略边缘效应。）解：从上到下6个面一次为面1、2、3、4、5、6. 2 61σ σσ= =，8323σσσ= -=，8 554σ σσ=-= 11-3 如习题11-3图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内、外半径为2R 、3R 的同心导体球壳，壳上带有电荷Q 。求：(1)两球的电势1j 及2j ；(2)两球的电势差j D ；(3)用导线把球和壳连接在一起后，1j ，2j 及j D 分别为多少？ (4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，1j ，2j 和j D 为多少？(5)设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？解：（1）3 024R Q q πε?+= ，2010301444R q R q R Q q πεπεπε?- ++=； (2)两球的电势差2 01 044R q R q U πεπε- = ； (3) 3 0214R Q q πε??+= =，0=U ；

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）

大学高等数学高数期末考试试卷及答案

大学高等数学高数期末考试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e

大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上（1）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x

河北科技大学大学物理答案第9章

第9章思考题令狐采学 91 理想气体物态方程是根据哪些实验定律导出的，其适用条件是什么？ 92内能和热量的概念有何不合？下面两种说法是否正确？(1) 物体的温度愈高，则热量愈多；(2) 物体的温度愈高，则内能愈年夜？ 93 在pV图上用一条曲线暗示的过程是否一定是准静态过程？理想气体经过自由膨胀由状态(p1,V1,T1)修改到状态(p2,V2,T1)，这一过程能否用一条等温线暗示。 94有可能对物体传热而不使物体的温度升高吗？有可能不作任何热交换，而系统的温度产生变更吗？95在一个房间里，有一台电冰箱在运转着，如果掀开冰箱的门，它能不克不及冷却这个房间？空调为什么会使房间变凉？ 96根据热力学第二定律判别下列两种说法是否正确？

(1) 功可以全部转化为热，但热不克不及全部转化为功； (2) 热量能够从高温物体传到高温物体，但不克不及从高温物体传到高温物体。 97 一条等温线和一条绝热线是否能有两个交点？为什么？ 98 为什么热力学第二定律可以有许多不合的表述？ 99 瓶子里装一些水，然后密闭起来。忽然概略的一些水温度升高而蒸发成汽，余下的水温变低，这件事可能吗？它违反热力学第一定律吗？它违反热力学第二定律吗？ 910有一个可逆的卡诺机，以它做热机使用时，若工作的两热源温差愈年夜，则对做功越有利；看成制冷机使用时，如果工作的两热源温差愈年夜时，对制冷机是否也愈有利？（从效率上谈谈） 911可逆过程是否一定是准静态过程？准静态过程是否一定是可逆过程？有人说“但凡是有热接触的物体，它们之间进行热交换的过程都是不成逆过程。”这种说法对吗？

912如果功变热的不成逆性消失了，则理想气体自由膨胀的不成逆性也随之消失，是这样吗？ 913热力学第二定律的统计意义是什么？如何从微观角度理解自然界自发过程的双标的目的性？ 914西风吹过南北纵贯的山脉：空气由山脉西边的谷底越过，流动到山顶达到东边，在向下流动。空气在上升时膨胀，下降时压缩。若认为这样的上升、下降过程是准静态的，试问这样的过程是可逆的吗？ 915 一杯热水置于空气中，他总要冷却到与周围环境相同的温度。这一过程中，水的熵减少了，这与熵增加原理矛盾吗？ 916一定量气体经历绝热自由膨胀。既然是绝热的，即0d =Q ,那么熵变也应该为零。对吗？为什么？习题 91 一定量的某种理想气体按C pV =2（C 为恒量）的规律膨胀，阐发膨胀后气体的温度的变更情况。解：已知(1) 2C pV =理想气体状态方程(2) RT M pV μ= ，将(2)式代如(1)式，得 C V RT M =?μ ,整理，

大学高数期末考试题

高等数学（上）期中测试题一填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设 1 (1) ,0 (),0 x x x f x x a x ?? -<=??+≥?在 (,)-∞+∞上处处连续，则a =---。解 ()()1 11 10 lim 1lim 1x x x x x x e - - ---→→????-=+-=?????? ()0 lim x x a a + →+=,有连续性有a =-1 e 2. 已知 (3)2f '=,则 0 (3)(3)lim 2h f h f h →--=1-。解已知 ()0(3)(3) 3lim 2h f f h f h →--'== 则 00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h →→----=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0, ] 2 π 上的最大值为6 π+解令 ()12sin 0f x x '=-=得6 x π = 则最大值为 6 π + 4. 设 5(sin )5(1cos ) x t t y t =+?? =-? ，则 t dy dx =0,2 2t d y dx ==120 解 () 5sin 0 51cos t t t dy dy t dt dx dx t dt ===== =+ 5. 设 1(0)x y x x +=>，则y '= ()1ln x x x x x ++ 解两边取对数有 ()ln 1ln y x x =+

两边关于 x 求导得1ln y x x y x ' +=+,整理后即得结果 6. 设函数 ()y y x =由方程 cos()0 x y xy ++=确定，则 dy =sin 1 1sin y xy dx x xy --。解对方程两边关于x 求导得: sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy = sin 11sin y xy dx x xy -- 7. 曲线 2x y e -=在点(0,1)M 处的曲率K =25 解 200 22x x x y e -=='=-=- 200 44x x x y e -==''== 则 () ( )3 3 222 2 4 25 112y k y '' = = =??'++-?? 8.函数()x f x xe =在0 1x =处的二阶泰勒公式为()f x = 解由 () ()()n x f x n x e =+,代入泰勒公式即得二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当 0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ）。

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。，在处连续。 13.解：，四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明：故有：证毕。

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

大学高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→．解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ．解：由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件．解：

高等数学学期期末考试题(含答案全)

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)