特殊三角形之等腰三角形的性质及应用(学生版)
定 义
示例剖析
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
如图，ABC △是等腰三角形，AB AC = 则①AB 、AC 是该三角形的腰. ②BC 是该三角形的底边.
③B ∠、C ∠是该三角形的底角， 且B C ∠=∠.
④A ∠是该三角形的顶角. AB AC =，B C ∠=∠
等腰三角形的性质： ⑴ 两腰相等．
⑵ 两底角相等（等边对等角）． ⑶ “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
⑷ 是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．
C
B
A
D
ABC △是等腰三角形，AB AC =
①若AD BC ⊥，则BD CD =， BAD CAD ∠=∠； ②若BD CD =，则BAD CAD ∠=∠， AD BC ⊥； ③若BAD CAD ∠=∠，则AD BC ⊥，BD CD =.
等腰三角形的判定方法：
⑴有两条边相等的三角形是等腰三角形． ⑵有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． C B A 若AB AC =或B C ∠=∠，则ABC △是等腰三角形.
易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况．
模块一 等腰三角形
知识导航
特殊三角形之等腰三角形
C
B A
【例1】 ⑴ 如图，ABC △中，AC AD BD ==，80DAC ∠=?，
则B ∠的度数是（ ）
A ．40?
B ．35?
C ．25?
D ．20?
⑵ ABC △的一个内角的大小是40?，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( ) A ．140? B ．80?或100? C ． 100?或140? D ． 80?或140?
⑶如图，ABC △内有一点D ，且DA DB DC ==，若20DAB ∠=?，30DAC ∠=?，则BDC ∠的大小是（ ） A.100? B.80? C.70? D.50?
【例2】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底
边的长为（ ）
A ．17cm
B ．5cm
C ．17cm 或5cm
D ．无法
确定
⑵如图，在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，在A 1B 上取一点C ，
延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数为_________．
【例3】 如图1，AB AC =，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠．问：
⑴ 图1中有几个等腰三角形？
⑵ 过D 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，如图2，图中又增加了几个等腰三角形? ⑶ 如图3，若将题中的ABC △改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形? 线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
⑷ 如图4，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠.DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
⑸ 如图5，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长夯实基础
能力提升
D C B A D C B A
n A 4A 3A 2A 1E
D C
A B
线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
图1
D
C
B
A
图2F E
D
C
B
A
图3
F E D
C
B
A
图4
G F
D
C A E
B
图5
N
M
F
E
D C
B A
【例4】 如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且
CE ＝CA ． ⑴求证：DE 平分∠BDC ； ⑵若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．
E
定 义
示例剖析
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
B
C
A
如图△ABC 中，AB AC BC ==，则△ABC 是等边三角形.
等边三角形的性质：
三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60?．
B C
A
如图，ABC △是等边三角形，则60AB AC BC A B C ==∠=∠=∠=，°
等边三角形的判定：
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形． ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形． ⑶有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形． B C A 若AB AC BC ==，则ABC △是等边三角形
若A B C ∠=∠=∠，则ABC △是等边三角形
若60AB AC A =∠=，°（或60B ∠=?，或60C ∠=?），则ABC △是等边三角形
【引例】下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角
是60?的三角形；④有一个角是60?的等腰三角形；⑤以等边三角形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的个数有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【解析】 D . 点拨：所给五个命题都可通过证明得到它们都是等边三角形． 夯实基础
知识导航
模块二 等边三角形
【例5】 ⑴如下左图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD =CE ，BE 、CD 交于P 点，则
图中?
60的角共有（ ）
A. 6个
B. 5个
C. 4个
D. 3个
⑵如下右图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）
A.1
3 B.12 C.23 D.不能确定
【例6】 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED =EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.
E
D
C
B A
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴特殊情况，探索结论
当点E 为AB 的中点时，如图1确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE DB （填“>”,“<”或“=”）.
F
D A
B
C
E
图2
图1
E
D C B
A
⑵特例启发，解答题目
解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F .（请你完成以下解答过程）
能力提升
P
E D
C
B
A Q
P
E
D
C
B
A
⑶拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =.若ABC △的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）.
【例7】 MON ∠是一个钢架，10MON ∠=，在其内部添加一些钢管BC ，CD ，DE ，EF ，FG ，…
添加的钢管长度都与OB 相等．
⑴当添加到第五根钢管时，求FGM ∠的度数．
⑵假设OM 、ON 足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?
D N
M
F
E
O C
B
G
探索创新
训练1. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25?，则该三角形的一个底角为( )
A ．32.5?
B ．57.5?
C ．65?或57.5?
D ．32.5?或57.5?
训练2. 已知ABC △中，90ACB ∠=?，点D 、E 在AB 上，且AD AC =，BE BC =，求DCE ∠.
训练3. 已知等腰三角形的高与三角形一边的夹角为40，求三角形的三个内角．
训练4. 已知如图，在正ABC △所在平面上找点P 使PAB △、PBC △、PCA △同时为等腰三角形，作出这
些点．
思维拓展训练(选讲)
C B A
知识模块一 等腰三角形 课后演练
【演练1】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底边长．
【演练2】 7cm AB =，:2:5BC AC =，如果ABC △恰好是等腰三角形，试求BC 、AC 的值．
【演练3】 如图，在ABC △中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点F ，过F
作DE BC ∥，交AB 于D ，交AC 于E ，若9BD CE +=，则线段DE 之长为 ．
知识模块二 等边三角形 课后演练
【演练4】 在ABC △中，如果只给出条件60A ∠=°，那么还不能判定ABC △是等边三角形，给出下面四种
说法：
① 如果再加上条件“AB AC =”，那么ABC △是等边三角形； ② 如果再加上条件“B C ∠=∠”，那么ABC △是等边三角形； ③ 如果再加上条件“D 是BC 的中点，且AD BC ⊥”，则ABC △是等边三角形； ④ 如果再加上条件“AB 、AC 边上的高相等”，那么ABC △是等边三角形． 其中正确的说法有 （把你认为正确的序号全部填上）．
实战演练
F E D C
B
A
【演练5】 已知如图等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O
是线段AD 上一点，OP =OC ，下面的结论：①∠APO +∠DCO =30°；②△OPC 是等边三角形；③AC =AO +AP ；④S △ABC =S 四边形AOCP ．其中正确的有（ ）．
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
P
O
D
C
B
A
等腰三角形的性质精选试题附答案
等腰三角形的性质精选试题 一．选择题（共21小题） 1．（2009?呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A．7B．11 C．7或11 D．7或10 2．（2006?仙桃）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是（） A．15°B．30°C．50°D．65° 3．（2006?威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（） A．20°B．25°C．30°D．40° 4．（2003?青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（）A．75°B．15°C．75°或15°D．30° 5．（2006?普陀区二模）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（） A．顶角的一半B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半 6．在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（） A．6B．9C．12 D．15 7．如图，AB=AC，∠C=70°，AB垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC的度数为（） A．10°B．15°C．20°D．30°
8．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（） A．0对B．1对C．2对D．3对 9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E．若∠AFD=158°，则∠EDF的度数为（） A．90°B．80°C．68°D．60° 10．已知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°，那么∠ACB的外角的度数是（） A． 110°B． 140°C． 110°或140°D．以上都不对 11．如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（） A．40°B．30°C．20°D．10° 12．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4…来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样的钢条至多需要（）根． A．4B．5C．6D．7 13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（） A．48 B．24 C．12 D．6
等腰三角形的性质及应用讲义
初二数学讲义 等腰三角形的性质及应用 等腰三角形的性质： 性质1▲等腰三角形的两个底角相等。 （简写成: 等边对等角. ） 性质2▲等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。 （简写成:等腰三角形的“三线合一”） 性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 用几何符号语言表达： 性质1 性质2 注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ） 等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系 1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( ) A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm 2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm 3.若等腰三角形中有一个角等于50?，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A ．50? Ｂ．80? Ｃ．65?或50? Ｄ．50?或80? ∵AB ＝AC ∴∠B ＝∠C （等边对等角） ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）
【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC 于D，求∠CBD的度数． 【例2】在ABC ?中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠的度数． 【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60?，求三角形三个内角的度数． 【例4】如图所示，已知ABC ?中，D、E为BC边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =． A B C D E 例题精讲
等腰三角形三线合一性质应用
等腰三角形专题 基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知 道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边 常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题： （1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角 （2）找点问题 例1：如图，有直线m,n ，m,n 之间的间距为2cm ，在n上取AB 3cm ，在m上取点p ， 使得PAB 为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？ m n A B 变式1：若取AB 2cm ，则点p 有几个？ 变式2：如图，在Rt ABC 中，ABC 90 ，BAC 30 ，在直线BC或AC上取一点P ，使得PAB 为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？ 2、三线合一的性质应用（知二即知三） 应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系 例1：已知：如图，在ABC 中，AB AC ，BD AD 于D ，求证：BAC 2 DBC .
例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，若 D 为BC的中点，过 D 作DM ⊥DN 分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN. 变式1：若DM⊥DN 分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM 和DN 有何数量关系。 变式2：如图，在ABC 中， A 90 ，AB AC ，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ，PF AC ，垂足分别为E、F ，求证：（1）DE DF ；（2）DE DF 应用二：证垂直平分 例3：已知，如图，AD 是ABC 的角平分线，DE、DF 分别是ABD 和ACD 的高。求证：AD 垂直平分EF . 例4：已知四边形ABCD 中，ACB ADB 90 ，M、N 分别为AB、CD 的中点，求证：MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．
等腰三角形的性质和判定的应用问题解决策略课例
等腰三角形的性质和判定的应用问题解决策略 课例 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
一、创设情景，引出课题 1、复习提问：（1）等腰三角形的性质和判定方法 （2）若△ABC是等腰三角形，则有哪些线段相等，哪些角相等。 2、如何运用等腰三角形的性质和判定探究图形的变化规律——等腰三角形的应用（课题） 二、探求等腰三角形分割问题 1、问题提出：已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，问△ABC的各内角度数可能 是多少？ 2、问题分析：∵等腰三角形ABC→AB=AC→ ∠B=∠C ∴△ABC的三个内角中只有两个未知量，顶角α、底角β 又∵由三角形三内角和为180°，得α+2β=180 ∴由题意，再找出一个α与β的关系式 3、问题解决方式：（1）动手画图；（2）分组讨论； （3）汇报思考方向 第一种情况：1、过A点画直线交BC于D，则 △ADB与△ADC都是等腰三角形， （1）若AD=DB=DC 则α=2β α+2β=180° 解得α=90° β=45° 设问：△ADB和△ADC是等腰三角形，为什么就有 AD=DB=DC，有没有别的情况？提出问题、 归纳几何表 达式 多媒体显示 问题 分析求解问 题，启发用 方程思想解 决 问题 组织参与讨 论 汇编思考成 果 启发再思考 演示图形变 化，启发思 考 归纳方程组 求得解方法 思考回答 读题，理 解题意 参与思 考，明确 解题方向 画图思考 讨论 汇报思考 成果 观察图形 得α与β 的关系 形 三 知 系 渗 思 养 题 惯 养 操 真 习 理 三 分 通 图 培 能
等腰三角形的性质练习题及答案.
等腰三角形的性质练习题及答案 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径． 例题求解 【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． 注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系． 随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择． 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ ) A．30° D．32° C 36° D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．
等腰三角形三线合一性质应用
等腰三角形三线合一性 质应用 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
等腰三角形专题 基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边 常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题： （1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角 （2）找点问题 例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ?为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个 m n ? ? A B 变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个 变式2：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，?=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ?为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个 2、三线合一的性质应用（知二即知三） 应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系 例1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证： DBC BAC ∠=∠2.
例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN. 变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 变式2：如图，在ABC ?中，?=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1） DF DE =；（2）DF DE ⊥ 应用二：证垂直平分 例3：已知，如图，AD 是ABC ?的角平分线，DF DE 、分别是ABD ?和ACD ?的高。求证：AD 垂直平分EF . 例4：已知四边形ABCD 中，?=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. 例5：如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：AC=AB. 例6：已知，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,D 为垂足，AB>AC 。求证：∠2=∠1+∠B
等腰三角形的性质(说课稿)
《等腰三角形的性质》说课稿 各位评委大家好，今天我说课的题目是《等腰三角形的性质》 一、设计理念 现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变。所以本节课在教学方法的设计上，把重点放在了逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸来认识等腰三角形；再通过折纸、猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证，在教学设计中遵循由个别形象到一般抽象、由感性到理性的认知规律，使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，真正实现学生为主体的教学宗旨。在教学设计中还突出了三个注重：1、注重让学生参与知识的形成过程，体现应用数学知识解决问题的乐趣；2、注重师生间、学生间的互动协作，共同提高；3、注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活运用。 二、教材分析 1、教学内容： 本节课是新人教版八年级上册第十二章第三节《等腰三角形》的内容——等腰三角形的性质，等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质以外，还具有一些特殊的性质。它是轴对称图形，具有对称性，本节课就是要利用对称的知识来研究等腰三角形的有关性质，并利用全等三角形的知识证明这些性质。 2、在教材中的地位与作用： 本节课是在学生认识了轴对称性以及掌握了全等三角形的判定的基础上进行的，学生已具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，为进一步训练学生学会分析、学会证明打基础，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用；本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。 3、教学目标： 知识技能：1.了解等腰三角形的概念。 2、探索等腰三角形的性质。 3、运用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断和计算。 能力目标：从设置问题?模型演示?自己动手探究发现等腰三角形的性质，培养学生的观察力、实验推理能力。 情感态度：引导学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际的动手操作中感受几何的应用美。 4、教学重点与难点： 重点：等腰三角形的性质的探索和应用。 难点：等腰三角形三线合一的推理应用。 5、教学准备：课件，长方形的纸片，剪刀等。 三、学情分析 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、严密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。 四、教法设想
等腰三角形的性质练习(含答案)
等腰三角形的性质 一、基础能力平台 1．选择题： （1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（） A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角 C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角 （2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（） A．40°，40°B．100°，20° C．50°，50°D．40°，40°或100°，20° （3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20° C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20° （4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（） A．45°B．40°C．55°D．50° （5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（） A．顶角B．顶角的一半 C．顶角的2倍D．底角的一半 （6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（） A．30°B．45°C．36°D．72°
（1）（2）（3）2．填空题： （1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______； ②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______． （2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______． （3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______． （4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________． （5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______． 3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数． 4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC?以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ c a
等腰三角形的性质
七年级下等腰三角形的性质 顶新九义校：代小燕教学目标 1、知识目标： （1）掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用它们进行有关的论证和计算。 (2) 理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间的联系。 2、能力目标： （1）、定理的引入培养学生对命题的抽象概括能力，加强发散思维的训练。 （2）、定理的证明培养大胆创新、敢于求异、勇于探索的精神和能力，形成良好的思维品质。 （3）、定理的应用，培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。 3、情感目标： 在教学过程中,引导学生进行规律的再发现，激发学生的审美情感，经历与现实生活有关的实际问题的探索，让学生认识到数学对于外部世界的完善与和谐，让他们有效地获取真知，发展理性。 教学重点 等腰三角形的性质定理及其证明。 教学难点 用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加。
教学过程 一、前置诊断，开辟道路 1、什么样的三角形叫做等腰三角形？ 2、让学生指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。。 二、构设悬念，创设情境 1、一般三角形有哪些性质？ 2、等腰三角形是特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还有那些特殊性质呢？ 三、目标导向，引入新课 本节课我们一起学习——等腰三角形的性质。 （板书课题，了解本节课的学习内容） 四、设问质疑，探究尝试 请同学们拿出准备好的等腰三角形，与教师一起按照要求，把两腰叠在一起。 [问题]通过观察，你发现了什么结论？ [结论]等腰三角形的两个底角相等。 板书学生发现的结论。 [辨疑]由观察发现的命题不一定是真命题，需要证明，怎样证明？ [问题] 1、此命题的题设、结论分别是什么？ 2、怎样写出已知、求证？ 3、怎样证明？ [电脑演示1]
等腰三角形的性质的说课
《等腰三角形的性质》说课稿 西亭初中王雪芹 一、教材分析 1、教学内容分析： 本节课是义务教育课程标准实验教材数学八年级上册第十四章第三节《等腰三角形》的第一课时的内容——等腰三角形的性质，等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质以外，还具有一些特殊的性质。它是轴对称图形，具有对称性，本节课就是要利用对称的知识来研究等腰三角形的有关性质，并利用全等三角形的知识证明这些性质。 2、在教材中的地位与作用： 本节课是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，担负着进一步训练学生学会分析、学会证明的任务，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用；而“等边对等角”和“三线合一”的性质是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，本节课是第三课时研究等边三角形的基础，是全章的重点之一。 3、教学对象分析 八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，掌握了一般三角形和轴对称的知识。因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学。 二、教学目标： 1.知识与能力 理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题． 2.过程与方法 在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．培养学生添加辅助线解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观 培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯． 三、教学重点与难点： 重点：等腰三角形的性质的探索和应用。 难点：等腰三角形的性质的验证和辅助线的添置 教学准备：CAI课件，长方形的纸片，剪刀，常用画图工具。 获得必需的数学。 四、教学过程 （一）教学流程 活动1 观察图片，认识等腰三角形 活动2 探索等腰三角形的性质 活动3 等腰三角形的性质定理的证明 活动4 等腰三角形性质定理的应用 活动5 反馈练习
1.1等腰三角形的性质和判定(1)
课题：等腰三角形的性质和判定（1） ［学习目标］ 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 ［重点、难点］ 1、等腰三角形的性质及其证明。 2、应用性质解题。 ［学习过程］ 一、知识回顾： 在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。 1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。 经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。 2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？ （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 3、推理和证明的依据有哪几类？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。 5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？ （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用 知识点1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形有两边相等； （2）对称性：等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线 所在的直线是它的对称轴. （3）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. （4）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等. 知识点2、等腰三角形的判定定理 定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）. 知识点3、等边三角形的性质与判定 1.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°. 2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴. 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4.拓展：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或 三条中线、三条角平分线）都相等. 知识点4、等腰三角形性质的应用 （1）等腰三角形两底角的平分线相等； （2）等腰三角形两腰上的中线相等； （3）等腰三角形两腰上的高相等； （4）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 知识点5、等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，要视具体情况来定。 经典例题 例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：M是BE的中点. A D B M C E
等腰三角形基本性质性质
等腰三角形性质 【基础知识精讲】 等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质: 1.两个底角相等(简写为“等边对等角”) 2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一. 3.等边三角形各内角都等于60°. 利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题. 【重难点解析】 本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点. 例1 求证：等腰三角形两腰的中线相等. 已知△ABC 中AB=AC ，BD 、CE 为中线，求证BD=CE. 分析 要证BD=CE ，可考虑证△ABD ≌△ACE ，而∠A 为公共角， AB=AC ，所以只需证明AD=AE 即能达到证明目的. 证 ∵AB=AC, AE=EB, AD=DC ∴AE=AD.在△ABD 和△ACE 中，AB=AC ，∠A=∠A AD=AE ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE. 例2 等腰三角形一个外角为100°,求三内角度数. 分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意本题中外角是顶角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解. 解 ∵等腰三角形 ∴两底角相等，设顶角为x ，底角为y ，则x+2y=180° (1)当顶角的外角为100°时，顶角的外角等于两底角之和 ∴2y=100°求得? ???=?=5080y x (2)当底角的外角为100°时，底角y=180°-100°=80°求得???? =?=8020y x
等腰三角形的性质定理(说课稿)
等腰三角形的性质定理（说课稿） 程学青 一、说教材分析 1、本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。 2、教学目标：要求学生掌握等腰三角形的性质定理1、2和等边三角形的每个角都相等，且每个角都为60度，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力。 3、教学重点、难点：等腰三角形的性质定理是本课的重点，等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点。 4、为了使学生了解这堂课，本课要求学生自制一个等腰三角形模型，教学过程采用多媒体教学。 二、说教学方法： “教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。 三、说学生学法。 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。 四、说教学程序 1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。 提问：等腰三角形是不是轴对称图形？什么是它的对称轴？ 2、教师演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，并让学生做同样的实验，引导学生观察重合部分，发现等腰三角形的一些性质。 3、新课：让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的性质定理1、2。
等腰三角形的性质定理
2.3等腰三角形的性质定理（一） 〖教学目标〗 ◆1、经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质， ◆2、掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；． ◆3、会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图． 4.探索等边三角形的性质。等边三角形的三个内角都等于60度 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角 ◆教学难点：等腰三角形性质定理1的证明需添加辅助线。思路较难形成。 〖教学方法〗可采用学生在任务驱动下的自主学习与教师辅导相结合 〖课前准备〗学生：准备一些等腰三角形，预习本节内容 教师：教学活动材料，多媒体课件 〖教学过程〗 一．创设情境，自然引入 1.温故检测： 叫做等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 。 ［两边相等的三角形叫做等腰三角形。特殊情况是正三角形。对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线。］ 2.悬念、引子、思考 将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？ 说明：首先这个三角形必须是等腰三角形，要不然 三角形就放不平.对于“为什么”学生可能会回答 “不知道”，那就进入下一环节“合作学习，探究 等腰三角形的性质”；也有可能会回答“等腰三角 形三线合一”，因为不能排除有部分学生“预习过” 什么的.那就可以追问“等腰三角形三线为什么会 合一”，学生会说，就让他说，但不管会说，还是不会说，都要进入下一环节“合作学习，探究等腰三角形的性质”；这是考虑到大多数学生的利益. 二．交流互动，探求新知 1．等腰三角形的性质 合作学习：分三组教学活动材料 教学活动材料1：如图2－5，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC,AD 平分∠BAC ，交BC 于D ， （1）把这个等腰三角形剪下来，然后沿着顶角平分线对折，仔细观察重合的部分，并写出所 发现的结论。 （2）你发现了等腰三角形的哪些性质？ 教学活动材料2：如图2－5，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC,AD 平分∠BAC ，交BC 于D ， （1）根据我们已经获得的等腰三角形是轴对称图形，图2-5中等腰三角形ABC 的对称轴是什么？△ABD 各个顶点的对称点分别是什么？由此可见，将△ABD 作关于直线AD 的轴对称变换，所得的像是什么？ 图2-5A B C D
等腰三角形的性质应用教学设计
《等腰三角形复习课》教学设计 一、教学内容：新人教版《数学》第十三章《轴对称——等腰三角形》复习课 二、教学目标： 1、知识与技能： 通过复习，让学生能对《等腰三角形》这一节的知识进行系统的梳理与归纳，并能灵活应用各个知识点； 2、过程与方法： 通过基础巩固、变式应用，让学生感受等腰三角形边角互换的思想在综合题中的灵活运用； 3、情感态度与价值观： 提高学生的学习兴趣，培养积极的学习态度，使学生在复习过程中逐步形成分类讨论思想，方程思想，转化思想等数学思想方法。 三、教学重难点：等腰三角形解题方法的掌握，对知识的系统化与灵活掌握。
问题与情境师生行为设计意图 3、等腰三角形有两边长为7和14， 则周长为。 4、等腰三角形一腰上的高与另一 腰的夹角为20°，则顶角的度 数为。 让学生独立完成，通过以上的练 习，估计大部分学生注意到在等腰三 角形中，当腰和底不能确定时，必须 进行分类讨论。 在第3题时，可能会有学生忽略 三角形三边应满足的关系。 因此教师在讲评第3题时提示学 生回忆：三角形三边应该满足怎样的 关系? 在第4题时，容易忽略高的位置 在三角形外的情况，因此提醒学生当 涉及到等腰三角形腰上的高时，要考 虑到顶角为钝角时的情况。 巩固“分类 讨论”的思想。 在等腰三角形 中，当腰、底不 能确定时，必须 进行分类讨论， 同时还要注意三 角形三边应满足 的关系。当涉及 到腰上的高的问 题时，考虑高在 内部和外部两种 情况。 小结：分类讨论 ①．底角和顶角； ②．腰和底边； ③．腰上的高在内部和外部。 6、在△ABC中，AB=AC，BD=BC=AD， 则∠A的度数是多少？ 教师引导学生自己分析。 当题中出现了AB=AC，BD=BC=AD， 提问学生：我们马上可以得到什么结 论?（巩固“等边对等角”）。 因为整道题没出现任何一个角的 度数，所以引导学生可以利用方程进 行解决，提问学生，如果想用方程解 决问题，我们必须先找到什么关系? （等量关系），因此让学生先找出其等 量关系（利用三角形的内角和）。 所以通过设∠A=x,则根据“等边 对等角”就可以得到∠1=x，∠2=∠ C=2x，最后在△ABC中，利用三角形的 内角和就可以列出方程： x+2x+2x=180°，所以就可以求出∠A 的度数。 引导学生利 用方程思想解决 问题。 小结：方程思想
等腰三角形的性质
八年级数学导学案 【课 题】12.3 等腰三角形（1） 课型：新授课 【学习目标】： 1、 巩固等腰三角形的概念，学习并掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形 的性质解决一些实际问题。 2、 通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。 【学习重点】：等腰三角形性质的探索及应用 【学习难点】：等腰三角形性质的应用 【自主学习】（以下的题目，你能独立完成吗？相信自己，你一定能够做得到。 ） 活动一、自主完成问题导学（ 看看谁做得又快又准确） 1、 等腰三角形的概念： _____________________________ ，相等的两边叫 ___________ ，另一边叫 _________ 。 两腰的夹角叫 _______ ，腰和底边的夹角叫 ________________ 2、 画出等腰三角形厶 ABC 中，且AB=AC ，标出各部分名称。 活动二、自主完成，组内交流（ 团结力量大！小组合作探究，仔细阅读题目，完成下面的问 题。） 按照课本49页的要求自己动手剪一个等腰三角形。 想一想，它是轴对称图形吗？将得到的 等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，并填入下表，由此你发现了等腰三角形的 性质1:（ 性质2:（ 活动三、我们知道了等腰三角形的性质的文字叙述，你能把他转化为几何语言吗? 性质1：等腰三 角形的两个底角相等 在厶 ABC 中， T AC=AB （ ）??? / B=Z C （ ） 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 重合的线段 重合的角 AB 和 AC / BAD 和/ CAD 和 和 和 和 从表中总结等腰三角形的 性质.） 图1 B 图1C
等腰三角形的性质
课型新课学科数学使用时间 内容等腰三角形的性质第 1 课时累计 1 课时 学习内容及流程要求和方法 明确教学目标课标 目标 课 堂 完 成 目 标 1、探索等腰三角形的性质定理。 2、掌握等边三角形的性质。 理解并能解决实际的 问题。 课前自主预习复习 回顾 等腰三角形和等边三角形的有关概念自主回顾 检测 形式 1、给图等腰三角形，能 够说出三个角和三条边 的名称。（顶角、腰、底 角、底边） 2、什么是等边三角形？ 课 堂自主 学习知识 点一 探索等腰三角形的性质自主完成 学生 活动 任意画出一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，做 出三角形ABC顶角平分线AD所在直线的轴对称变 换。观察线、线段、点的像或原像的关系，探索三 角形的边和角的关系 使用直尺在草稿纸上 作图，观察探索三角 形的性质。 预期 效果 理解等腰三角形的三个性质：1、等腰三角形是轴对 称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；2、等腰 三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合；3、等 腰三角形两底角相等。 知识 点二 等边三角形的性质 学生 活动 1、等边三角形有几条对称轴？ 学生动手画一画，思 考为什么会有3条？
2、等边三角形三内角的关系及大小？ 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，等腰三角形 的所有性质都可用到等边三角形上，可以很容易得 出等边三角形的三个内角相等，且等于60度。 预期 效果 等边三角形的三个内角相等，且都等于60度 知识 点三等腰三角形性质的应用 学生自主探究、合作 互助 学生活动例题1：已知：如图2-22，在△ABC 中，AB = AC， 点D，E在边BC上，且AD = AE. 求证：BD = CE. 证明：作AF①⊥BC， 垂足为点F，则AF 是 等腰三 角形ABC 和等腰三角 形ADE 底边上的高， 也是底边上 的中线. ∴BF = CF， DF = EF， ∴BF －DF = CF －EF， 即BD = CE. 本题巩固复习前面学习的证明方法，“等量减等量 其差相等”，同时也锻炼了学生灵活运用性质的能 力。其中涉及到了辅助线，而这条辅助线是以后可 能会常见的一种辅助线，让“三线合一”在学生脑 海里留下深刻的影响。 例题2：全效学习P44页例题2 三角形ABC是等边三角形，AD为三角形ABC 学生归纳总结、小组 合作。
第2讲(学生)等腰三角形的性质定理和判定定理
第2讲等腰三角形的性质和判定 教学目标：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。 （2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理 难点是利用定理解决实际问题 . 教学过程： （一）知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2 （1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言： ∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC ∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2 BD=DC AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理 （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”） （2）符号语言：在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC
（3）证明： （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。 说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。【典型例题分析】 基础知识应用题： 例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。 解： 解答此类题的步骤如下： （1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。 （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。 例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。 求证：△DEF是等腰三角形。 证明：
等腰三角形及其性质
等腰三角形的定义 编辑 有两边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中，相等的两 等腰三角形 条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2等腰三角形的性质 编辑 1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。 8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 等腰三角形的腰与它的高的关系 直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。 3判定的方式 编辑 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。 除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式： 在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。 在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。 在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。 显然，以上三条定理是“三线合一”的逆定理。 有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。 4特殊的等腰三角形 编辑 等腰直角三角形 1、定义 有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。显然，它是一种特殊的三角形，具有
等腰三角形的性质定理
第一章第一节你能证明它们吗？（1） 学习目标： 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理。学习重点:了解所学公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。学习难点：证明等腰三角形性质时辅助线做法。 预习指导： 1、先精读一遍教材P2-P4，用红笔进行勾画；再针对学案二次阅读教材，并回答问题； 2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或预习学案上，准备课上讨论质疑。 学习环节： 一、自学导航： 1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？ 4、列举我们已知道的公理： （1）公理：同位角，两直线平行。 （2）公理：两直线，同位角。 （3）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）（4）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）（5）公理：的两个三角形全等。（简称，字母表示）（6）公理：全等三角形的对应边，对应角。 二、合作探究： （一）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 证明过程： 已知： 求证： 证明： C E
A B F D E C 图3 （二）等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个 相等（简称：等 对等 ） 已知：在△ABC 中，AB ＝AC ， 求证：∠B ＝∠C 证明：（方法1）取BC 的中点D ，连接AD 证明：（方法2） 证明：（方法3） 2、推论：等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 互相重合（简称： ） 3、推论2：等边三角形的三个角都是 ，并且每个角都等于 。 已知： 求证： 证明： 三、学以致用： 1、某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 。 2、等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的腰长为 3、若等腰三角形中有一个角等于50°，则等腰三角形的顶角度数为 。 四、当堂检测：如图3，A 、B 、F 、D 在同一直线上，AB=DF ，AE=BC ， 且AE ∥BC 。求证：⑴△AEF ≌△BCD ， ⑵EF ∥CD B C