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第四章向量组及其线性相关性2010824

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第四章向量组及其线性相关性

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第四章向量组及其线性相关性

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第一节n 维向量组及其线性组合n 一、维向量的概念二、向量组的线性组合

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定义1

. ,,, 21个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的数个有次序的数i a i n n n a a a n i n 分量全为复数的向量称为复向量.

分量全为实数的向量称为实向量，n 一、维向量的概念

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例如

)

,,3,2,1(n )

)1(,,32,21(i n n i i ++++ n 维实向量n 维复向量

第1个分量

第n 个分量

第2个分量Made By QQIR

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),,,(21n T a a a a =???

???

????????=n a a a a 21 维向量写成一行，称为行向量，也就是行

矩阵，通常用等表示，如：

βαT

T T T b a ,,,n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：

βα,,,b a n n 维向量的表示方法

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注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

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若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．

例如维列向量

个有矩阵m n a ij A n m )(×=????

?????

????=a a a a a a a a a a a a A mn mj m m n j n j 2

1222221111211. ,, ,

的列向量组称为矩阵向量组A a 1a 2a n a 1a 2a j a n

向量组与矩阵

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维行向量个又有矩阵类似地n m ij a A n m )(,×=??

????

???

??=a a a a a a a a a a a a A mn m m in i i n n 2

12122221112

11αααT 1

αT 2T i T m

向量组, , …，称为矩阵A 的行向量组．

αT

1αT

2αT

m Made By QQIR

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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构

成一个矩阵.

矩阵

构成一个组维列向量所组成的向量个n m n m m ×,,,, 21ααα 矩阵

构成一个的向量组维行向量所组成个n m n m T

m T

×,,, 21βββ ???

???

???????=T m T T B βββ 21 )

,,,( 21m A ααα =Made By QQIR

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=+++x a x a x a n n 2211线性方程组的向量表示

?????

?=+++=+++=+++.,,22112222212111212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n mn m m n n n n 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．

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，

，，组实数，对于任何一给定向量组m m k k k A ,,,,: 2121 ααα定义１.

, 21个线性组合的系数称为这，，m k k k ，称为向量组的一个向量 2211m

m k k k ααα+++ 线性组合二、向量组的线性组合

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m b αλαλαλ ++=2211，使

，，一组数如果存在

和向量给定向量组m m b A λλλααα,,,,,: 2121 .

2211有解即线性方程组

b x x x m m =+++ααα 的线性组合，这时称是向量组则向量A b 向量能

由向量组线性表示．

b A

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),,(),( 2121的秩，，的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要

能由向量组向量b B A A b m m αααααα ==定理1例4.1.3 设向量

1212(1,1,2,2),(1,2,3,4),(1,1,1,1),(1,2,1,4)T T T T

ααββ====???问：

与中哪个可以由线性表示，哪个不能？

1β2β21,ααMade By QQIR

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()12121

1111

212,,,23112

14ααββ??????

?=????????1

103~0

0100

000????

???

101

40103~00100000????

???

??前两列构成的矩阵的秩为2，前三列构成的矩阵的秩为3，因此不能用线性表示。

β21,αα2β一、二、四列构成的矩阵的秩为2，因此可以用线性表示.

21,ααMade By QQIR

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定义：设有两个向量组：

12:,,,m A ααα 12:,,,l

B βββ （1）若B 组中每一个向量都可以由向量组A 线性表示，则称向量组B 可以由向量组A 线性表示；

（2）若向量组A 与向量组B 可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组A 等价。

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定理（1）向量组B 可以由向量组A 线性表示的充分必要条件是。(,)()R A B R A =(,)()()R A B R A R B ==（2）向量组A 与向量组A 等价的充分必要条件是。

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. 的行向量组等价的行向量组与于是的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是的每个行，则经初等行变换变成设矩阵B A B A A B A B B A .

的列向量组等价列向量组与的，则经初等列变换变成类似，若矩阵B A B A 向量组等价与矩阵等价有何区别与联系？

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例4.1.5 向量组A:

T T a a a )0,4,1,1(,)3,1,2,1(,)2,2,1,1(321?===证明向量可由线性表示，并求出表示式.

(1,0,3,1)T b =

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19例4.1.6 向量组

()()()

123:1,0,2,1,1,3,1,1,2T

A a ααα===?+()()()

123:1,1,3,2,1,6,2,1,4T

B a a a αββ=?+=+=+问(1)当为何值时，向量组A 与B 等价？a (2)当为何值时，向量组A 与B 不等价？a B 中哪个向量不能用向量组A 线性表示？并将可以用向量组A 表示的向量表示出来。

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使

在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mj j j j s m k k k s j b A B b b b B A ===ααα m

mj j j j k k k b ααα+++= 2211,),,,2121????

???????=

mj j j m k k k ααα（Made By QQIR

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=),,,21s b b b （从而

???

????ms m m s s m k k k k k k k k k 2

22221

1121121),,,ααα（.

)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ij s m k K =×Made By QQIR

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矩阵：

为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若B A C B A C n s s m n m ×××= ????

???

????=sn s s n n s n k k b b b b b b b c c c 21

22221

11211

2121),,,),,,ααα（（Made By QQIR

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???

?????

????????????????=??????????????T s T T ms m m s s T m T T a a a a a a a a a βββγγγ 212

2222111211

21：

为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时，A B C ,Made By QQIR

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价的方程组一定同解这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称与方程组的解；若方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组能由方程组称方程组的线性组合，就的每个方程都是方程组程组的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组所得到的的各个方程做线性运算对方程组B A B A A B A B A A

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第二节向量组的线性相关性

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第二节向量组的线性相关性一、向量组的线性相关与线性无关二、线性相关性的判定

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,,,,,,,: 22112121=+++m m m m k k k k k k A αααααα 使

全为零的数如果存在不给定向量组注意

0 ,0,,,, 1. 2211121成立才有

时则只有当线性无关若=+++===n n n n αλαλαλλλααα .

, 2. 线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义1

则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A 一、向量组的线性相关与线性无关

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,0, 0, 3. 线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量ααααα≠=.4. 组是线性相关的包含零向量的任何向量.

,.5 量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向Made By QQIR

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例4.2.2 设向量组线性无关，且

321,,a a a 112223331

,,b a a b a a b a a =+=+=+证明线性无关．

123,,b b b Made By QQIR

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,,332211321=++b x b x b x x x x 使

设有,0)()( 133322211=+++++ααααααx x x ）（即,0)()() 332221131=+++++αααx x x x x x （亦即线性无关，故有

，，因321ααα???

??=+=+=+.0 ,0 ,

0 3

22131x x x x x x 证

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100111

01 ≠=列式

由于此方程组的系数行.

,, 0 321321线性无关向量组，所以故方程组只有零解b b b x x x ===Made By QQIR

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)(; ),,,( ,,, 2121m A R m A m m ==必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组αααααα 定理二、线性相关性的判定

,,( .0 A ,0 212211m m m A x x x x A αααααα ===+++其中有非零解即方程组线性相关就是齐次线性向量组Made By QQIR

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例4.2.2 设向量组线性无关，且

321,,a a a 112223331

,,b a a b a a b a a =+=+=+证明线性无关．123,,b b b 证法2

123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ????

=??

????

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10111020

011

=≠由于

因此101110011??

??????

可逆，

123123(,,)(,,)3

R b b b R a a a ==从而故线性无关．

123,,b b b Made By QQIR

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35，

，，????

??????=??????????=??????????=742520111321ααα.

21321的线性相关性，及，，试讨论向量组ααααα解.

2, 21321321即可得出结论）的秩，利用定理，及（），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变，，对矩阵（αααααααα已知

例分析

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??????=751421201),,(321ααα~2325

r r ?，?

???????

?000220201.

,,2),(,,2),,(2121321321线性无关向量组线性相关；

，向量组可见αααααααααα==R R ??????????75122020121

31~

r r r r ????

????

?55

022020

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例4.2.3 当满足什么条件时，向量组

b a ,,

)1,,3,2(,)0,3,2,1(21T T a ==αα34(3,1,,2),(0,1,2,3)T T b αα==线性相关？

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定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m

ααα,,,21 2≥m m ααα,,,21 1?m 证明充分性

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.m a a a ,,,21 m a 即有

12211??+++=m m m a αλαλαλ 故

()0

1112211=?++++??m m m a αλαλαλ 因这个数不全为0，()1,,,,121??m λλλ m 故线性相关.

m ααα,,,21 Made By QQIR

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必要性设线性相关，m ααα,,,21 则有不全为0的数使

,,,,21m k k k .

02211=+++m m k k k ααα 因中至少有一个不为0，

m k k k ,,,21 不妨设则有

,01≠k .13132121m m k k k k k k αααα??

????++???????+???????

= 即能由其余向量线性表示.

1αMade By QQIR

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性独立）线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多是其余方程的线性组若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用

定理：方程组线性相关的充分必要条件是方程组的增广矩阵线性相关（无关）（无关）

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???

??=+++=+++=+;

32235,122,54321

432121x x x x x x x x x x 例判别如下方程组的线性相关性

?????????????????=2100013011080101~322351211250011B 解：

由于，因此方程组的线性无关的。

()3R B =Made By QQIR

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,,. ,,,: ,,,,(1) 1121也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若A B B A m m m +αααααα 定理

）设

（2 ),

,,2,1(,,,12121m j a a a a b a a a j r rj j j j rj j j j

??????

????????=????

???

???????=+α

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,.,,,,,,,.2121性相关也线则向量组线性相关反言之，若向量组关也线性无：

则向量组线性无关：

若向量组添上一个分量后得向量即A B b b b B A b m m j j αααα.

3 时一定线性相关于向量个数小当维数维向量组成的向量组，个）（m n n m .

,,,,,:,,,,: (4) 121且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组A b b B A m m ααααα Made By QQIR

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2,,11)()()(2,.1)()(),,,(),,,(1

111线性相关知向量组根据定理因此，从而，有则根据定理

线性相关若向量组，有记）（B m A R B R m A R A A R B R a a a B a a A m m m +<+≤<+≤==+ 证明.

..:1

关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向一个向量组若有线性）可推广为结论（说明Made By QQIR

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列），

只有因但从而有，则线性无关若向量组有，）记（m B m B R m B R m A R A B R A R b b B A m m r m m r ()(.)()(,).()(),,,(),(2 1)1(1≤≥=≤=αα=×+× .

B )(线性无关，因此向量组故m B R =.

,12 结论也成立个分量维）而言的，若增加多即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明

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,,,,)(,.)(),,,(,,,3 212121线性相关个向量故则若，有构成矩阵维向量个）（m m m n m m m A R m n n A R A n m ααα<<≤ααα=ααα× .

)(1)(.1)(;)().()(),,,,,(),,,,()4( 2121m B R m B R m m B R B m A R A B R A R b B A m m =+<≤+<=≤==，即有所以组线性相关，有因组线性无关，有因有记αααααα .

),,,( ,)()( 21一线性表示，且表示式唯组能由向量有唯一解，即向量知方程组

由A b b x m B R A R m ===ααα Made By QQIR

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1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）

四、小结

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, )3(0 )2( 0 )1(:

两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明αββαβαααααk k ==≠=思考题

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证明（１）、（２）略．（３）充分性

,,0,0,,,, 即可令则不妨设得使

存在不全为零的数线性相关x

k x y x y x y x ?

=?=≠=+∴βαβαβα∵必要性

,,0)(1, 线性相关知由定义则有不妨设βαβαβα=?+?=k k 思考题解答

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第三节向量组的秩

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一、最大线性无关向量组二、矩阵与向量组秩的关系

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，满足

个向量

中能选出，如果在设有向量组r r A A ααα,,, 21 定义１线性无关；

）向量组（r A ααα,,,:1210 关，

个向量的话）都线性相中有个向量（如果中任意）向量组（112

++r A r A .

的秩称为向量组数最大无关组所含向量个r ;

0）（简称的一个向量组是那末称向量组A A 最大线性无关向量组最大无关组0.

它的秩为有最大无关组，规定只含零向量的向量组没一、最大线性无关向量组

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它的行向量组的秩量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向证.0,)(),,,(

21≠==r m D r r A R a a a A 阶子式并设，设定理１关；

列线性无知所在的由定理根据r D r 022.4 ≠.11 个列向量都线性相关中任意阶子式均为零，知中所有又由++r A r A 关组，的列向量的一个最大无

列是所在的因此A

r D r . r 等于所以列向量组的秩).

(A R A 的行向量组的秩也等于类似可证二、矩阵秩与向量组秩的关系

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的秩也记作向量组m a a a ,,,21 .

最大无关组行即是行向量组的一个所在的最大无关组，列即是列向量组的一个所在的，则的一个最高阶非零子式是矩阵若r D r D A D r r r ;

1）最大无关组不唯一（)

,,,(21m a a a R 结论

说明

2关组是等价的）向量组与它的最大无（

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是线性无关的，向量组

维单位坐标向量构成的因为n

e e e E n ,,,: 21 解.

的秩一个最大无关组及的，求作维向量构成的向量组记全体n n n R R R n 例1个向量都线性相关，中的任意知的结论定理又根据1 )3( 32.4 +n R n .

n R R E n n 的秩等于的一个最大无关组，且是因此向量组Made By QQIR

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??????

???

???????=979634226441

21121112 A 设矩阵

例2.

用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵A Made By QQIR

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行阶梯形矩阵

施行初等行变换变为对 A 解，

知3)(=A R A

，

????????

????00000310000111041

211

初等行变换

3 个向量组含故列向量组的最大无关三列，、、元在而三个非零行的非零首421.

,,,421无关组为列向量组的一个最大故a a a Made By QQIR

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线性无关

，故知421421,,3),,(a a a a a a R =.

,,, 42153成行最简形矩阵再变

线性表示，必须将用要把A a a a a a =),,421a a a （事实上

???

????

?????

????76326411

1112???

???

??????

?000100110111

初等行变换

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????

???

????0000031000

30110

101

~初等行变换A ??

??+=??=4

215213334,

a a a a a a a 即得Made By QQIR

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的秩的秩不大于向量组量组线性表示，则向能由向量组设向量组A B A B .

,,, : ,,: 1010s r a a A A b b B B s r ≤要证的一个最大无关组为向量组，的一个最大无关组为设向量组证定理２.

00组线性表示组能由表示，组线性

组能由组线性表示，组能由因A A A B B B .

00组线性表示组能由故A B 使得

即存在系数矩阵),(ij sr k K =三、向量组秩的重要结论

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???

???????=sr s r s r k k k k a a b b

111111),,(),,(），有非零解（因简记为，则方程组如果r s K R Kx x x K s r r sr <≤==???

??????>)( )

0( 0 1 有非零解，从而方程组0

),,( 1=Kx a a s 有非零解，即0),,(=x b b r .

0s r s r B ≤>不能成立，所以线性无关矛盾，因此组这与Made By QQIR

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. r s B A 和的秩依次为与向量组设向量组证.

等价的向量组的秩相等推论1,同时成立与故s r r s ≤≤示，

表

两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即.r s =所以).

()(),()( B R C R A R C R B A C n s s m n m ≤≤=×××，则设推论2

用其列向量表示为

和设矩阵A C 证).,,(),,,(11s n a a A c c C ==，

而)(ij b B =Made By QQIR

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?????

???

??=sn s n s n b b

b b a a

c c

111111),,(),,( 由).

()(A R C R ≤因此),()(, T

B R

C R A B C ≤=由上段证明知因的列向量组线性表示，的列向量组能由知矩阵A C ).

()(B R C R ≤即思考

？

有什么异同与推论定理 22Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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r r B 个向量，则它的秩为含设向量组证.

3的一个最大无关组是向量组则向量组线性表示，能由向量组线性无关，且向量组组的部分组，若向量是向量组设向量组推论A B B A B A B .

1条件所规定的最大无关组的满足定义所以向量组B ，组的秩组线性表示，故组能由因r A B A ≤个向量线性相关，

组中任意从而1+r A Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

上页下页返回结束65

, 等价与向量组秩相等，证明向量组且它们的线性表示能由向量组设向量组B A A B 例3.线性表示能由向量组只要证明向量组B A ,,:,,:1010r r b b B a a A B A r 和的最大无关组依次为组组和，并设设两个向量组的秩都为使

阶方阵表示，即有组线性组能由组线性表示，故组能由因r K r A B A B 00证一r

r r K a a b b ),,(),,(11 =Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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r b b R K R r r =≥),,()( 221 ，有

推论根据定理.),,(10r b b R B r = 组线性无关，故因.

)()(r K R r K R r r =≤，因此但,),,(),,(1

11?=r r r r K b b a a K 可逆，并有

于是矩阵.00组线性表示组能由即B A .

组线性表示组能由从而B A

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第四章向量组及其线性相关性

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,,0个向量含组的最大无关组故组的秩为又因r B B r B .),(,),(组线性表示组总能由故组的部分组组是而B A A B A A 证二

r B A 的秩都为和设向量组.

),(,组线性表示能由成的向量组组合并而组和故组线性表示组能由因A B A B A A B .

),(,),(r B A A B A 组的秩也为因此组等价组与所以 .

),(,),(00组等价组与而从组的最大无关组组也是因此B B A B A B

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第四章向量组及其线性相关性

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000000 ,.

;(,).

A B A B B A A B A B 本例把证明两向量组与等价转换为证明它们的最大无关组与等价证法一证明用线性表示的系数矩阵可逆证法二实质上是证明与都是向量组的最大无关组.

,),(),( 0组等价与组推知等价与组等价，组与由B A B B A B A A 注意

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第四章向量组及其线性相关性

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59354645),(,13112032),( 2121????

???

???????????=?????????????????=b b a a 已知

例4.

),(),(2121等价与证明向量组b b a a Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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),(),(,),(),( ,,2 21212121Y b b a a X a a b b Y X ==使

阶方阵要证存在证明.X 先求????

????

?????????=5913351146204532

),,,(2121b b a a 最简形矩阵：

施行初等行变换变为行阵对增广矩的方法类似于线性方程组求解),,,(, 2121b b a a Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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??????

?????

?????????5913453246203511????

????

???????????=5913351146204532

),,,(2121b b a a 3

r r ?Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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??????

??????????????59134532462035113

r r ??????

??????????????4620101550462

035111

32r r +1

43r r +~

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第四章向量组及其线性相关性

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)

2(2?÷r ??

??????

??????4620101550231035

1113312r r r r +?1

43r r +?????

???????????????4620101550462

0351

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第四章向量组及其线性相关性

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??????

????0000000023103511~

)

2(2?÷r ??

??????????????4620101550231035

112

35r r ?2

42r r ?~

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第四章向量组及其线性相关性

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??????????00000000231035112

35r r ?2

42r r ?~

00000000231012

01??

??????

???21r r ?()

11?÷r ~

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第四章向量组及其线性相关性

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=X .

,,.,,,01 21211等价与此向量组因即为所求取可逆知因b b a a X Y X X ?=≠=???

?????????0000000023101201

)

,,,(2121初等行变换

b b a a 即得

????2312Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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例4.3.4 设4维向量组

()T a 1,1,1,11+=α()T

a 2,2,2,22+=α()T

a 3,3,3,33+=α()T

a +=4,4,4,44α问(1)

为何值时，线性相关？a 1234,,,αααα1234,,,αααα(2) 当线性相关时，求其一个最大线性无关组，并将其余向量用该

最大线性无关组线性表示．

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第四章向量组及其线性相关性

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例4.3.5 已知向量组A 与向量组B

123A (1,2,3),(3,0,1),(9,6,7)T T T

ααα=?==?：123B (0,1,1),(,2,1),(,1,0)T T T a b βββ=?==：如果向量组A 与向量组B 秩相等，且可以由线性表示，求。

3β321,,αααb a ,

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第四章向量组及其线性相关性

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１．最大线性无关向量组的概念：

最大性、线性无关性．

２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：

矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩

＝矩阵行向量组的秩

３．关于向量组秩的一些结论：

一个定理、三个推论．

４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：

将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．

四、小结

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第四章向量组及其线性相关性

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邱启荣

华北电力大学数理系QQIR@https://www.wendangku.net/doc/b51284900.html,

第四节线性方程组解的结构

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第四章向量组及其线性相关性

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一、齐次线性方程组解的结构二、基础解系及其求法三、非齐次线性方程组解的结构

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第四章向量组及其线性相关性

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１．解向量的概念

设有齐次线性方程组

??????

?=+++=+++=+++0

00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）

一、齐次线性方程组解的结构

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第四章向量组及其线性相关性

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a a a a a a a a a A mn m m n n ??

???

????= 212222111211

???

???????=n x x x x 21则上述方程组（1）可写成向量方程

Ax 0=1212111n n x ,,x ,x ξξξ=== 若为方程的0=Ax 解，则

若记

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第四章向量组及其线性相关性

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???

????????==121111n x ξξξξ 称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程(2)的解．

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第四章向量组及其线性相关性

上页下页返回结束85

２．齐次线性方程组解的性质

（1）若为的解，则

21ξξ==x ,x 0=Ax 2

1ξξ+=x 0=Ax 也是的解.

证明()0

2121=+=+∴ξξξξA A A 0

021==ξξA ,A ∵.

Ax x 的解也是故021=+=ξξMade By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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（2）若为的解，为实数，则也是的解．

1ξ=x 0=Ax k 1ξk x =0=Ax 证明()().

k kA k A 0011===ξξ由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．

0=Ax 证毕.

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第四章向量组及其线性相关性

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如果

解系的基础称为齐次线性方程组,0 ,,, 21=Ax t ηηη ;

0,,,)1(21的解的一组线性无关是=Ax t ηηη .

,,,0)2( 21出线性表的任一解都可由t Ax ηηη =１．基础解系的定义

二、基础解系及其求法Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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的通解可表示为

那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果0 ==Ax Ax t ,,0

,,,21ηηη t

t k k k x ηηη+++= 2211.

,,,21是任意常数其中r n k k k ? Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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２．线性方程组基础解系的求法

?????

????

???00001001

~,1,111

r n r r r n b b b b A 设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨

设的前个列向量线性无关．

r 于是可化为A A A Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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000010

21,1,111=???

???

?????????????????????????

????

???n r n r r r n x x x b b b b

???

?????=???=??+?+n r n ,r r r r

r n ,r x b

x b x x b x b x 11111110=Ax ?

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第四章向量组及其线性相关性

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现对取下列组数：

n r x ,,x 1+r n ???

??????????

??++n r r x x x 21???

?????=???=?+?+n r n ,r r r r

r n ,r x b

x b x x b x b x

1111111分别代入.,????

????????100 ,??????????????010 ,??????

???????=001 Made By QQIR

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依次得???

?????r x x 1,

b b r ?

??????

??????????????

???=0011

111 ξ,0102122????????????????????????= r b b ξ.

b b r

n ,r r n ,r n ?

????

??????

???=???1001 ξ从而求得原方程组的个解：

r n ?.b b ,r n ,r r n ,????

?????? 1,b b r ????????????212 ,b b r ????????????=

111 , Made By QQIR

第四章向量组及其线性相关性

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下面证明是齐次线性方程组的基

础解系．

r n ,,,?ξξξ 21????

????????????????????????????

????????100,,010,001 由于个维向量

r n ?r n ?线性无关，

所以个维向量亦线性无关.

r n ?n r n ,,,?ξξξ 21.

,,,)1(21线性无关证明n ξξξ Made By QQIR

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12 (2),,,.

n r ξξξ? 证明方程组的任一解都可由线性表示().11方程组的一个解为上述

设T n r r

x λλλλξ +== ,

,,,r n 的线性组合再作?ξξξ 21r

n n r r ?+++++=ξλξλξλη 2211由于是的解故也是的解.

r n ,,,?ξξξ 210=Ax η0=Ax ,.

ηξ=下面来证明Made By QQIR

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95????????????????????????=+0011111 r r b b λ??????

??????????????????++0102122 r r b b λ?????????????????????

???++??1001 r n ,r r n ,n b b λr

n n r r ?+++++=ξλξλξλη 2211?

????

?????????

??=++n r r r c c λλλ 211,Ax 的解都是方程与由于0=ηξ又等价于

而0=Ax Made By QQIR

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????????=???=?+?+n r n r r r r

r n r x b

x b x x b x b x ,11,11111

都是此方程组的解与所以ηξ??????????

????????????=++n r r r c c λλλη 211??????????????????????=++n r r r λλλλλξ 211由.c ,,c r r ==?λλ 11方程组

向量组的线性有关性归纳

第四章向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,, ,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ +

向量组的线性相互与线性无关

向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这样的表示是有好处的。 2.线性表示设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

线性代数向量组的线性相关性

第三节向量组的线性相关性分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的；（2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .

向量组的线性相关性线性代数习题集

线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解（D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示（B ）β必不可由δγα,,线性表示（C ）δ必可由γβα,,线性表示（D ）δ比不可由γβα,,线性表示二．填空题： 1．设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2．设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3．已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4．设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠ 三．计算题： 1．设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时（1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？（3）β不能由321ααα,,线性表示？线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号

第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

第四章向量组的线性相关性目标测试题（参考答案）一、填空题. 1. 设向量组) , ,0( ),0 , ,( ), ,0 ,(321b a c b c a ===ααα线性无关，则c b a ,,必满足关系式0abc ≠. 2. 已知向量组)1 ,1 ,3 ,4( ),2 ,6 ,2 ,4( ),0 ,2 ,1 ,3( ),1 ,3 ,1 ,2(4321-=-=-=-=αααα，则该向量组的秩为___2__. 3. 设三阶矩阵122212304A -?? ?= ? ???，三维向量11a α?? ?= ? ??? ，若向量A α与α线性相关，则a = -1 ． 4. 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)T T T t ααα=-==--的秩为2，则t ＝ 3 ． 5. 设321,,ααα线性无关，问=k __1_时，312312,,αααααα---k 线性相关. 6．设12,,s ηηηL 为非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s k k k ηηη+++L 也是方程组Ax b =的解，则12s k k k L ，，，应满足条件12s + 1k k k ++=L . 二、选择题. 1．设有向量组 ),0 ,2 ,2 ,1( ),14 ,7 ,0 ,3( ),2 ,1 ,3 ,0( ),4 ,2 ,1 ,1(4321-===-=αααα),10 ,5 ,1 ,2(5=α 则该向量组的最大线性无关组( B ). (A ) 321 , ,ααα, (B ) 421 , ,ααα, (C ) 521 , ,ααα, (D ) 5421 , , ,αααα． 2. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ). (A ) 21αα+,,32αα+13αα+, (B ) ,1α21αα+,321a ++αα, (C ) 21αα-,,32αα-13αα-, (D ) 21αα+,,231αα+133αα+.

向量组以及线性相关性

资料考点大提纲请按照编号顺序阅读，方便建立知识点结构。注：本资料只有技巧总结,不涉及概念性的基础类总结.若要复习基础性概念请查阅教材. 主要掌握： 1.向量的基本概念：(注意：不加说明的向量α是指列向量) 2.向量组的基本概念. 3.向量的基本运算：( 加减、数乘 ) 4.向量的线性相关性的概念： i. 线性组合的概念 ii. 线性表出的概念 iii. 线性相关和线性无关的概念. 5.矩阵秩的概念、向量组秩的概念. 4.向量的线性相关无关的基本判定方式： i. 向量β可以由向量组α1，α2，……，αn 线性表出 ? 非齐次线性方程组 []βαα=????? ?????????n n x x x a 2121,,,有解 ?.],,,,[],,,[2121βααααααn n r r ??=?? ii 向量组α1，α2，…，αn 线性相关?齐次线性方程组 0],,,[2121=???? ? ????????n n x x x ααα有解?n r n =n )必定相关. r(A)

向量组线性相关性判定

安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院（系）数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日

学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：

向量组线性相关性的判定方法（安阳师范学院数学与统计学院河南安阳 455002）摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义（一维、二维、三维向量，推广到n 维向量）定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组

向量组线性相关性判定

向量组线性相关性判定安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：

日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的

重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性

向量组的线性相关性的判定方法浅析分解

目录摘要：.......................................................................................................................................................... I 关键词：.......................................................................................................................................................... I Abstract......................................................................................................................................................... II Keywords： .................................................................................................................................................. II 1．前言.. (1) 2．预备知识 (1) 2.1线性相关性的概念及性质 (1) 2.1.1线性相关的概念 (1) 2.1.2线性相关的性质 (2) 3.向量组线性相关的判定方法 (3) 3.1定义法 (3) 3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 (4) 3.3利用矩阵的秩进行判定 (5) 3.4利用行列式值进行判定 (6) 3.5反证法 (7) 3.6 数学归纳法 (7) 3.7用线性变换的性质进行判定 (8) 3.8利用朗斯基行列式来判定 (10) 4.结束语 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)

向量组线性相关的几何意义

y O x 12345612 3 4 56图11)由两个2 维向量构成的向量组A : a 1, a 2M 1(1,2) M 2(2,4)M 3(3,6)在直线y =2x 取三点M 1, M 2, M 3, 作三个向量: )21(11,OM a ==)4,2(22==OM a )6,3(33==OM a 显然, 这三个向量中的任意两个向量构成的向量组都是线性相关的.线性相关的几何意义是: a 1, a 2共线. 向量组线性相关的几何意义

2)由3 个3 维向量构成的向量组线性相关的几2)(1,1,11-==RM a )2,0,2(22-==RM a 2),2,0(33-==RM a 向量组a 1, a 2, a 3 线性相关,因为2a 1 -a 2-a 3 = 0.M 1 M 2 M 3O x 3y 3z 3 R 图2 向量: 在π上取三点:M 1(1,1,1), M 2(2,0,1), M 3(0,2,1),作三个何意义是这3 个向量共面.如给定平面π: x+y+z =3.

3)四维向量组线性相关的几何意义设有四维向量组 ,6914,13283,5421,41324321??????? ??--=??????? ??-=??????? ??--=??????? ??=αααα有α3= 2α1-α2, α4= α1+ 2α2, 所以向量组α1,四个平面交于同一条直线. 如图3 对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的α2, α3, α4线性相关, 其几何意义为:该向量组所

2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6图3

4 向量组的线性相关性

第四章向量一内容概要 1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算； 3 向量组的线性关系（1）线性组合：对于给定的向量组βααα,21s ，，，；如果存在一组数 s k k ,,1 使得：s s k k k αααβ+++= 2211 则称向量s 21αααβ，，，是向量组的一个线性组合，或称β可以由向量组： ,21s ααα，，，线性表示；（2）线性相关、线性无关的定义设,21s ααα，，，是一组n 维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数s k k ,,1 使得：02211=+++s s k k k ααα 则称向量组,21s ααα，，，线性相关指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数s k k ,,1 ；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。反之则称向量组,21s ααα，，，线性无关，即若要 02211=+++s s k k k ααα 成立，必有021====s k k k ，则称向量组,21s ααα，，，线性无关。（3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系向量组,21s ααα，，，线性关系式02211=+++s s k k k ααα 具体表示出来实际上就是一个方程组： ?? ???? ?=+++=+++=+++0 00 221122221211212111s ms m m s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a

其中：() m j a a a T mj j j j ,,2,1,,,21 ==，α因此，通俗的话来说，向量组 s 21,ααα ，，线性相关的充要条件是：上述方程组有非0解。这是判断一个向量组s ααα，，， 21是否线性相关最常用的方法。（2）向量有解的关系线性表示与方程组，，，可被向量组βαααβ=AX n 21 设()()j T m n b b b A αβααα,,,,,,,,2121 ==的意义同上，则方程组β=AX 可表示成：βααα=+++n n x x x 2211，或 ?? ???? ?=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* 因此向量线性表示，，，可被向量组n 21αααβ 的充要条件是方程组β=AX 有解。如果有唯一的解，则线性表示，，，可被向量组n αααβ 21，且表示法是唯一的。如果方程组有无穷多组解，则线性表示，，，可被向量组n αααβ 21，且表示法有无穷多种，此时向量组n ααα，，， 21线性相关。如果方程组无解，则线性表示，，，不能被向量组αααβ 21。 4 关于向量组的等价（1）设向量组Ⅰ：;s 21ααα，，， Ⅱ;t 21βββ，，，如果向量组Ⅱ中每一个向量j β可以被向量组Ⅰ线性表示，则称向量组Ⅱ可被向量组Ⅰ线性表示。用式子表示就是： ?? ???? ?+++=+++=+++=s ts t t t s s s s k k k k k k k k k αααβαααβαααβ 22112222121212121111 （2）如果Ⅰ与Ⅱ能相互线性表示，则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。

向量组的线性相关性

线性相关性一、填空题例设向量组1234(1,2,1),(2,3,1),(,3,1),(2,,3),T T T T x y αααα====的秩为2，则x = 2 ， y = 5 ．例已知向量组()11,2,1T α=-，()22,0,T t α=，()30,4,5T α=-线性相关，则t = 3 ．例若向量组123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)T T T t ααα===线性相关，则t =5．二、选择题例设矩阵A 、B 、C 均为n 阶方阵，若AB C =，且B 可逆，以下正确的是【Ｂ】． (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价；（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价；（C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价；（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．例1234123400110,1,1,1C C C C αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ????????? ，其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ C ）（A ） 123,,ααα；（B ）124,,ααα; (C) 134,,ααα; (D) 234,,ααα. 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【B 】．（A ）对于任意一组不全为0的数12,,,s k k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠ ，则12,,,s a a a 线性无关；（B ）若12,,,s a a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,s k k k 都有 s s k a k a k a 1122,0+++= ；（C ）12,,,s a a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ； (D ）若12,,,s a a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是【A 】．（A ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关；（B ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关；

向量组的线性关系

第十讲向量组的线性关系一、考试内容与考试要求考试内容向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关．考试要求（1）理解n 维向量的概念；（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念；（3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法；注适合于第十讲和第十一讲．二、知识要点引入学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）；矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数；线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来；线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组．复习（1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数．（2）齐次方程组Ax o =?? ?唯一零解无穷解（有非零解），o 是向量． 1．线性组合（线性表示）定义1 线性组合（线性表示）给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立 1122m m k k k βααα=+++L

则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示：注意1 （1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零；（2）零向量可由任一同维的向量组线性表示；（3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解．（4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一；（5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示；（6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示： 11100100j j j j m αααααα-+=?++?+?+?+?L L 定义2 向量组的等价向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）．向量组的等价具有 ① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）； ③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）．注意 2 记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L ，则（1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广．（2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B == （3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关；（4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表

向量组线性相关性的判定方法开题报告

毕业设计（论文）开题报告数理学院2016届题目向量组线性相关性的判定方法课题类型论文课题来源自拟课题学生姓名学号专业信息与计算科学年级班2012-1班指导教师职称讲师填写日期：2016 年1 月10 日一、本课题研究的主要内容、目的和意义

主要内容：本文从介绍向量组线性相关性的定义着手，然后论述了若干种判定向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定，并比较了不同判定方法的适用条件及范围。并且引入诸如线性相关性、秩、极大线性无关组等基本概念。使用了这些概念，不仅圆满地解决线性方程组的问题，使我们更深刻地认识了线性方程组。同时构建了一座通向向量组线性相关性判定方法的桥梁，使二者之间可以相互转化。目的：通过对向量组线性相关的定义及其重要性质的学习，能使我们更加深刻的了解向量组的线性相关。文中又给出了判定向量组线性相关的多种方法，在以后解决具体问题时有一定的帮助。在基于推出的判定向量组线性相关性的若干方法的基础上，运用这些知识我们可以在各种证明题和解答题中加以运用。意义：在高等代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。可以说高等代数这门课学得好不好,关键在于有关向量组线性相关性的内容掌握得怎么样。它可以将高等代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起。熟练地掌握向量组的线性相关性则能更好的理解高等代数的各部分知识，能够理清高等代数的框架，做到融会贯通，灵活运用。二、文献综述（国内外相关研究现况和发展趋向）

在高等代数中,向量组的线性相关性是一项非常重要的内容,同时它也是一个难点,向量组线性相关性的概念隙抽象,判定定理繁多,难以理解和把握,但是仔细研究也是有很多规律可循的，通过查找文献，可以熟悉一些理论知识。在《浅谈向量组的线性相关性》、《高等代数》课本中都介绍了线性相关的定义：假设有向量组A:a1,a2,...am,如果存在不全为零的数 k1,k2,...,km , 使k1a1+ k2a2+ ... + kmam=0则称向量组A是线性相关的, 否则就称它是线性无关的。在《向量组线性相关性的几种判定方法》和《高等代数中的典型问题与方法》等文献中介绍了几种判断向量组线性相关的方法，归纳总结主要有定义法、利用向量组内向量之间的线性关系判定向量组的线性相关性、利用齐次方程组的解判定向量组的线性相关性、利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性、利用行列式的值判定向量组的线性相关性、反证法、利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性等。不同的判定方法有不同的的优势和劣势，也有不同的适用范围。对于不同的问题，我们要选出最适合该题的一种方法。总的来说，我所搜集的文献大部分都介绍了向量组线性相关性的若干判定方法，涵盖全面，论证详细，思路清晰，为课题的研究提供理论基础和研究思路，我将通过对主要文献进行分析、归纳整理、总结，力求使该部分内容更加完善，结构更加系统化，希望再为人们进一步探索上述问题提供一些有益思路。三、拟采取的研究方法（方案、技术路线等）和可行性论证

向量组线性相关与线性无关解析

向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词向量组线性相关线性无关矩阵秩 1 引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义定义设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12 ,m k k k ，使 0332211=++++m m k k k k αααα ，称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α， ()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.

向量组的线性相关性的判定

向量组的线性相关性的判定摘要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件. 关键词：向量组；线性相关；行列式引言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子. 本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的. 1.向量组线性相关性的相关定义及性质定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,, ,n x x x ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλ，使得 11220n n x x x λλλ+++=. 那么称12,,,n x x x 是线性相关的.否则称12,, ,n x x x 是线性无关的. 性质1.1 若12,, ,n x x x 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示.

第四章向量组的线性相关性线性代数含答案

第四章向量组的线性相关性 4.4.1 基础练习 1. 设有n 维向量组12m ???ααα，， ,与???12m ββ,β，，若存在两组不全为零的数 12m λλλ???，，,和12k k k m ???，，,使 11111m m m k k k k 0m m m λλλλ??????1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝则（）（A ）12m ???ααα，， ,和???12m ββ,β，，都线性相关 (B) 12m ???ααα，， ,和???12m ββ,β，，都线性无关 (C) 1m m 1m m ??????11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性无关 (D) 1m m 1m m ??????11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性相关 2. 设12s ???ααα，， ,与t ???12ββ,β，，为两个n 维向量组，且 12s t ()()r R R ???=???=12αααββ,β，，,，，，则（）（A ）当s t =时，两向量组等价；（B ）两向量组等价；（C ）12s t ()r R ??????12αααββ,β，， ,，，，＝；（D ）当向量组12s ???ααα，， ,被向量组t ???12ββ,β，，线性表示时，两个向量组等价. 3. 设A 是4阶方阵，且0A ＝，则A 中（） (A) 必有一列元素全为零；（B ）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 4. 设A 是矩阵，B 是矩阵，则( ) （A ）当m n >时，必有0≠AB ；（B ）当m n >时，必有0AB ＝（C ）当m n <时，必有0≠AB ；（D ）当m n <时，必有0AB ＝ 5. 设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由 231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（）

第四章向量组的线性相关性测试题

第四章向量组的线性相关性测试题一、选择题 1．下列向量组线性无关的是（）。 A. (1,-1,0,2)，(0,1,-1,1)，(0,0,0,0)； B. (a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,a)，(d,a,b)； C. (a,1,b,0,0)，(c,0,d,1,0)，(e,0,f,0,1)； D. (1,2,1,5)，(1,2,1,6)，(1,2,3,7)，(0,0,0,1)。 2．设向量组1234,,,αααα线性无关，则下列向量组线性无关的是（）。 A. 12233441,,,;αααααααα---- B. 12233441,,,;αααααααα++++ C. 12233441,,,;αααααααα++-- D. 12233441,,,.αααααααα+--- 3．设向量组β可由向量组12,,,m ααα线性表示，但不能由向量组 (I)：121,, ,m ααα-线性表示，记向量组(II): 121,, ,,m αααβ-，则( )。 A. m α不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示； B. m α不能由(I)线性表示，但能由(II)线性表示； C. m α能由(I)线性表示，也能由(II)线性表示； D. m α能由(I)线性表示，但不能由(II)线性表示。 4. 设向量组 (I)：12,,,r ααα可由向量组(II)：12,, ,s βββ线性表示，则（）。 A. 当 r~~s 时，向量组(II)必线性相关； C. 当 r~~s 时，向量组(I)必线性相关。 5. 下列向量组中，线性无关的是（）。~~~~

第四章向量组及其线性相关性2010824

向量组的线性有关性归纳

向量组的线性相互与线性无关

线性代数 向量组的线性相关性

向量组的线性相关性 线性代数习题集

第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

向量组以及线性相关性

向量组线性相关性判定

向量组线性相关性判定

向量组的线性相关性的判定方法浅析分解

向量组线性相关的几何意义

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