)
1()
1(112
1
222
2
+<
+n n p n n p （6）
还不难表明，上述第一种情况的p 1/(n 1+1)>p 2/n 2也与（6）式等价。于是我们的结论是，当（6）式成立时增加的一席应分给A 方，反之则分给B 方。或者，若记Q i =p i 2/n i (n i +1),I=1,2,则增加的一席应分给Q 值较大的一方。
上述方法可以推广到m 方分配席位的情况。设第I 方人数为p i ,已占有n i 个席位，I=1,2,……m 。当总席位增加一席时，计算 Q I =
m i n n p i i i
,2,1,)
1(2
=+ (7)
应将这一席分给Q 值最大的一方。这种席位分配方法成为Q 值法。
下面用Q 值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分配21个席位的问题。
先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕，有n 1=10,n 2=6,n 3=3,然后再用Q 值法分配第20席和21席。
第20席：计算Q 1=3.964
334
,5.947
663
,4.9611
10103
2
32
22
=?=
=?=
=?Q Q 。Q 1最大，于是折椅席
位应分给甲系。 第21席：计算Q 1=
最大，同上，3322
,,4.8012
11103
Q Q Q =?于是这一席应分给丙系。
这样，21个席位得分配结果使三系分别占有11、6、4席，丙系保住了险些丧失的一席，你觉得这种分配方法合理吗？
评注 席位分配应该对各方公平是人人同意的，问题的关键在于建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标。这个模型提出的指标是相对不公平值r A ,r B ,它是确定分配方案的前提。在这个前提下导出的分配方案——分给Q 值最大的一方——无疑是公平的。
最后让我们分析一下Q i 的表达式(7)，看看它为什么能反映对第I 方的不公平程度。记p 为总人数即∑
=
i
i p p ，n 为总席位数，且设第I 方席位n i 为按人数比例计算的整数部分即n i =],[
n p
p i 于是有
i
i i i n p n
p n p ≤
<
+1
（8）
上式两端分别是增加的一席分给第I 方和不分给第I 方时，该方每席位所代表的人数，这两个值越大，对第i 方越不公平。而Q i 恰是它们的几何平均值的平方，故Q i 能反应对第i 方的不公平程度，增加的一席应分给Q 值最大的一方。
§2.
双层玻璃窗的功效
你是否注意到北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，如下图，两层厚度为d 的玻璃夹着一层厚度为l 的空气。据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的
热量流失，我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导（即流失）过程。并将双层玻璃窗与用同样多的材料做成的单层玻璃窗（玻璃厚度为2d ）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设 1． 热量的传播过程只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。
2．
室内温度T 1和室外温度T 2保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3． 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。 模型构成
在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：
厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为ΔT ，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与ΔT 成正比，与d 成反比，即
d
T k
Q ?= （1）
k 为热传导系数。
记双层窗内层玻璃的外侧温度是T a ，外层玻璃的内侧温度是T b ，玻璃的热传导系数为k 1，空气的热传导系数为k 2，由（1）式单位时间单位面积的热传导（即热量流失）为
d
T T k l
T T k d
T T k Q b b
a a
2
1
2
11
-=-=-= （2）
从（2）式中消去T a ，T b 可得 d
l h k k h
s s d T T k Q =
=+-=
,,)
2()(2
1211 （3）
对于厚度为2d 的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为 d
T T k Q 22
11
-=' （4）
二者之比为 2
2+=
'
s Q Q （5）
若设k 1=4×10-3~8×10-3，k 2=2.5×10-4（焦耳/厘米秒度），于是
32~162
1=k k
§2.
传输带的效率
在机械化生产车间里尼经常可以看到这样的情景：排列整齐的工作台旁供人们紧张的生产同一种产
品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置着若干钩子，供人们将产品挂在经过他上访的钩子上带走。当产品进入稳定状态后，每个工人生产出一件产品所需时间是不变的，而他要挂产品的时刻却是随机的。衡量这种传送带的效率可以看它能否及时地把供人们生产的产品带走，显然在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率就越高。我们要构造衡量传送带效率的指标，并且在一些简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人数目，钩子数量等参数的关系。
模型分析 为了用传送带及时带走的产品数量来表示传送带的效率，再供人们生产周期（及生产一件产品的时间）相同的情况下，需要架设工人们在生产出一件产品后，要么恰好有控购自经过他的工作台，是它可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过，迫使它将产品放下并立即投入下一件产品的生产，以保证整个系统周期性的运转。
供人们的生产周期虽然相同，但是由于各种随机因素的干扰，经过相当长时间以后，他们生产完一件产品的时刻就会不一致，可以认为是随机的，并且在一周期内任意时刻的可能性是一样的。 由上分析，传送带长期运转的效率等价于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。
为了将问题简化到能用初等概率方法来解决，我们作出如下假设：
1．有n 个工人，他们的生产是相互独立的，生产周期是常数，n 个工作台均匀排列。 2．生产已进入稳态，及每个工人生产出一件产品的时刻在一周期内室等可能的。
3．在一周期内有m 个钩子通过每一工作台的上访，购自均匀排列，到达第一个工作台上放的钩子都时空的。
4．每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，也只能触到一只钩子，于是在他生产揣齿尖产品的瞬间，如果它能触到的那只钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果那只钩子非空（已被他前面的工人挂上了产品），则它只能将这件产品放在地上。而一旦放在地上，就永远退出这个传送系统。
模型建立 将传送带效率定义为一周期内带走的产品属于生产的全部产品总数之比。记作D 。设带走的产品数为S,生产的全部产品数显然为n ，于是D=S/n 。只需求出S 就行了。
如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己产品挂上钩子的概率，那么这概率显然与工人所在的位置有关（如第一个工人一定可以挂上），这样就使问题复杂化。我们从钩子的角度考虑，在稳态下狗子没有次序，处于同等的地位。若能对一周期内的m 只钩子求出每只钩子非空（级挂上产品）的概率p 则S =mp 。
得到p 的步骤如下：（均对一周期而言）
任一只钩子被任一名指定的工人挂上产品的概率为1/m;
任一只钩子不被任一名工人挂上产品的概率是1-1/m ； 由工人生产的独立性，任一只钩子不被所有n 个工人挂上产品的概率，即任一只钩子为非空的概率是 (1-1/m)n ;
任一只钩子非空的概率是p=1-(1-1/m)m
这样，传送带效率指标为])11(1[n
m
n
mp D -
-==
（1）
由于m >>n,所以作近似计算得到 m
n m
n n m
n n
m D 211)]2)1(1(1[2
--
=-+
-
-≈
（2）
§2.9森林管理
森林中的数目每年都要有一批每砍伐出售，为是这片森林不被耗尽而且每年都能有所收获，每当看法亦可视，应该就地补种一棵幼苗，是森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。最初，森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如和砍伐树木，才能使被砍伐的树木或的最大的经济价值？ 模型假设
1．我们把森林中的树木生长情况用高度即表示，不同的高度即有不同的经济价值。表2—3给出各确定的高度区间与价值之间的对应关系。其中第一基石幼苗，它的高度区间是[0,h 1]，用幼苗作木材，没有任何经济价值。第n 级树木的高度大于或等于h n-1。
2．初始时刻，森林中的树木有不同的高度分布。在一个生长期内，树木的高度有不同的增加。假若一年砍伐一次，要是每年都能有所收获，只能砍伐部分树木，留下的树木与补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。设x i (I=1,2,……n)是每次收获后，第I 级所保留的树木数（包括不中的幼苗），
x=(x 1,x 2,……,x n )T
为非收获向量。Y i (I=1,2,……,n)是每次收获是第I 级中被砍伐的棵数，y=(y 1,y 2,……,y n )T 为收获向量。
3 x 1+x 2+x 3+……+x n =S
S 是根据土地的数量和每棵树所需空间预先给定的。
4．两次收获之间是森林的生长期，假定在一个生长期内，树木至多只能生长一个高度级，即第I 级中德树木可能进入更高的高度级，也可能因某种原因停留在原一级，不计算两次收获期间死亡的树木，认为每一棵幼苗都可以生长到被收获，设g i 是生长参数，I=1,2,……，n-1,即第I 级中的树木进入第I+1级的比例数，那么1-g i 就是在这个生长气馁，仍然留在第I 级的比例数。 模型建立
根据假设4，用n-1个参数构造生长矩阵
?
?----=--1
00100000100001000011
1
3
22
11n n g g g g g g g G
根据假设2，x 是非收获向量，经过一个生长周期，森林中树木的高度分布可以用向量Gx 表示： Gx=[(1-g 1)x 1,g 1x 1+（1-g 2）x 2,g 2x 2+(1-g 3)x 3,……,g n-2x n-2+(1-g n-1)x n-1,g n-1x n-1+x n ]T
(2)
又因为y i 是从第I 级中砍伐的棵数，y 1+y 2+……+y n 就是每次收获砍伐的总数，根据假设3，森林树木总数S 为一固定数，因此砍伐的总数应等于补种的幼苗数。定义n n ?阶替换矩阵R
????
??
? ??+++=???????
?
?=00 00
000000000111121
n y y y Ry R (3) 时每次收获后所中幼苗分布情况。
根据维持每年收获的原则，即（生长期末的状态）-（收获）+（新的幼苗替换）=（生长期开始的
状态），有Gx-y+Ry=x,即
（I-Y ）y=(G-I)x (4)
具体表达式为：?????????
?
????????????
??----=?????????? ?
???????????
?
?--------n n n n n n x x x x x g g g g g g g y y y y y 132********
132100
0000
00
0000000100
00100000
10
0001011110
（5）
任何非负向量x 和y ，在(1)式条件下，满足（4）式，那么x 和y 就是森林维持收获的解。因为砍伐幼
苗的经济价值为零，不妨设y 1=0,解（5）式得
????
?
??
?
?=-=-==+++-------11112212
21121132n n n n n n n n n x g y x g x g y x g x g y x g y y y （6） （6）式方程组中，第一个方程是其余n-1个方程的和，又因为y i ,0≥I=2,3,……,n,所以（6）式中可以推出
g 1x 10113322≥≥≥≥≥--n n x g x g x g （7）
由于y 式收获向量，p i 是每棵树的经济价值，那么收获的总价值Y ，即n n y p y p y p Y ++=3322 （8）
利用（6）式，代替（8）式中的y i ,得到
Y=p 2g 2x 2+（p 3-p 2）g 2x 2+……+(p n -p n-1)g n-1x n-1 (9) 根据维持收获的原则，考虑如何砍伐树木才能获得最大的经济效益，即解下列问题：
MaxYS s.t.??
?
?
?n
i x x g x g x g S
x x x i n n n ,,2,1,0011221121 =≥≥≥≥≥=+++--
这是线性规划问题，给定具体的数值之后，可以根据线性规划的算法求解
§2.10 量纲分析
量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法。我们知道，物理量大多带有量纲，其中基本的两缸通常是质量（M ）、长度（L ）和实践（T ），期与物理量的两缸可以用基本量纲来表示。例如，速的量纲是L/T 2，从而力的量纲为ML/T 2=MLT -2等等。量纲分析的依据是：当度量两缸的基本单位改变时，物理公式本身并不改变。例如无论是用尺还是米作为长度单位，只要面积单位相应采用尺2或米2，则矩形面积的公式总等于长和宽的乘积，及公式S=ab 并不改变，此外，我们知道，只有具有相同量纲
的两才能作比较或者相加减，因此物理定律中出现的各项必须具有相同的量纲。当方程中的各项具有相同量纲时，这个方程被称为是“两缸其次的”。据上所述物理定律是量纲齐次的。例如，根据万有引力定律，2
2
1r
m Gm F =
，F 的量纲是MLT -2,
2
21r
m m 的量纲是M 2L -2,故G 的量纲必是M -1L 3T -2,它是一个有量
纲的常数。事实上G 的曲只适于采用的单位有关的。
例1 仍以万有引力定律为例，其中出现的有量纲量由G ，m 1，m 2，r 和 F 。现考察形如
e
d c
b
a F r m m G 21=π的乘积，其中a,b,c,d,e 表示某些常数，π的量纲为
)
(232
231
)()(e a e
d a a
e c b e d c b a T
L
M
MLT
L M M L L M
+-++-++---=
因而，当且仅当??
?
??=+=++=-++0030e a e d a a e c b 时，π才是无量纲的。
显然，此方程的系数矩阵是行满秩的，故其解空间是两维的，比如任意取定a,b 的一组值，即可得
到一个无量纲乘积π。取（a,b ）=(1,0)及(a,b)=(0,1),求出方程解空间的一组基（1，0，2，-2，-1）及（0，1，-1，0，0），对应的可得到：2
12
2
22
1,m m F
r Gm
=
=
π
π
方程组的人一解均可用基线性表示，而G ,m 1,m 2,r,F 的一切无量纲乘积均可用π1与π2的乘积和商来表示。由于物理定律是量纲齐次的，因而它比可改写成无量纲的积、商形式。例如万有引力定律可表示为π1π2-1=0。
定理（Backingham π 定理）方程当且仅当可以表示为f(π1，π2，……)=0时，它才是量纲齐次的。其中f 是某一函数，π1，π2，……为问题包含的变量与常数的无量纲积。事实上，只许可用它们表示任意无量纲积的那一组基可。
例2（理想单摆周期）考察一个质量集中于距离质点为l 的质点上的无阻尼单摆（图2—5）。其运动为周期t 的左右摆动。现希望分析t 与其它变量之间的关系。 此问题中包含的量有周期t （它是研究目标）， 单摆质量m ，重力加速度g ，摆长l 及摆角θ。
现在观察π=e d c b a l t g m θ的乘积，其量纲为 b
c d
b d
T
L
M 2-+，欲使π为无量纲量，必须且只需
??
?
??
=-=+=0200b c e d b a 可任取）（
取（b,e ）=(0,1),得（a,b,c,d,e ）=(0,1,2,-1,0),即π1=
l
gt 2
；取（b,c ）=(0,1),得π2=θ。
单摆周期的规律应是以物理定律，应当是量纲齐次的。由π定理，存在某函数f,使得f(π1, π2)=0, 或解出π1=h(π2),即。
其中或))()k(()
k(t ),(2
θθθθh g
l h l
gt === §2.11 实物交换
甲有面包一斤，乙有香肠若干，二人共进午餐时希望交换一部分，达到双方满意的结果。这种实
物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上。显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度，而偏爱程度很难给出确切的定量关系，我们用作图的方法对双方将如何交换事物建立一个模型。
《数学模型》
《数学模型》考试大纲 适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业 一、课程性质与目的要求 数学模型课亦称为数学建模课，它是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业必修课或限选课，教育部1998年颁布的高等学校本科专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课。数学模型是架于实际问题与数学理论之间的桥梁。数学模型就是应用数学语言和方法，对于现实世界中的实际问题进行抽象、简化和假设所得到的数学结构。本课程是研究数学建模的理论、思想和方法，研究建立数学模型、简单的优化模型、数学规划模型、微分方程模型、代数方程与差分方程模型、稳定性模型、离散模型、概率模型等。 数学模型课需要用到数学分析、高等代数、微分方程、图论、概率统计、运筹学等数学知识，它是学生所学数学知识的综合应用，是培养学生综合素质以及应用数学知识解决实际问题的能力的良好课程。该课程的考试评价依据是按照课程目标、教学内容和要求，把握合适的难易程度出试卷，用笔试的方法对学生学习情况和学习成绩做出评价。 二、课程内容和考核要求 第一章建立数学模型 １、考核知识点： 数学建模的背景及重要意义、数学模型与数学建模、数学模型的分类与特点、数学建模的基本方法和步骤、数学建模举例等。 ２、考核要求： （1）理解数学建模的背景及意义、原型、模型、数学模型、数学建模等概念。 （2）理解数学模型的各种分类、数学模型的特点。 （3）理解数学建模的基本方法和步骤、通过实例初步了解数学建模的思想和方法。 第二章简单的优化模型 １、考核知识点： 存储模型、生猪的出售时机、森林救火、冰山运输等。
２、考核要求： （1）掌握应用微积分理论建立存储问题模型。 （2）理解应用微积分理论建立生猪的出售时机模型和森林灭火模型。 （3）理解应用微积分理论建立冰山运输问题模型。 第三章数学规划模型 １、考核知识点： 数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤、生产安排问题、奶制品的生产与销售等。 ２、考核要求： （1）掌握数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤。 （2）掌握生产安排问题的模型及图解法。 （3）理解奶制品的生产与销售的模型及求解。 第四章微分方程模型 １、考核知识点： 传染病模型、正规战与游击战、药物在体内的分布与排除、香烟过滤嘴的作用等。 ２、考核要求： （1）理解传染病问题的建模及讨论。 （2）理解战争问题、房室问题的建模及讨论。 （3）了解香烟过滤嘴作用问题的建模及讨论。 第五章代数方程与差分方程模型 １、考核知识点： 量纲、量纲齐次原理、量纲分析法、差分方程的基本概念、市场经济中蛛网模型、节食与运动问题等。 ２、考核要求： （1）掌握量纲、量纲齐次原理、量纲分析法建模及解法步骤。 （2）掌握市场经济中蛛网模型及解法步骤。 （3）理解理解差分方程的基本概念、减肥问题的建模思想。 第六章稳定性模型
初等数学建模试题极其标准答案
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
一些经典初等数学模型
初等数学模型 本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法 复习要求 1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构. 利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽. 1．雨中行走问题 雨中行走问题的结论是： （1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即2 0π θ≤ ≤，那么全身被淋的雨水总量为 ? ? ? ??++=++= +=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )] cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑. （2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2 . 令απθ+=2 ，则2 0π α<<. 那么全身被淋 的雨水总量为 ?? ? ??+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量. 从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。 有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的. 另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要. 例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如
第二章 系统的数学模型
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 2 21 11i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(11 1 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22 11 221122 112211 )(1)1(++ +=++ ++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 2 2 1+= ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 22 1 211)11()(+=+ ++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
《数学模型第三版》学习笔记完整版
《数学模型第三版》学 习笔记 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
《数学模型(第三版)》学习笔记 写在开始 ---小康社会欢迎您今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的 都是. 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点： (一)“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假 设了； (二)模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的 求解似乎是家常便饭了； (三)用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的
数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业 学生）。 从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。 也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ ——Tony Sun July 2012, TJU （目前已更新：全12章） 第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点 第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型 也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用 简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事
第二章初等模型习题解答 (1)
1 题目： 生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动动物 体重（g ） 心率（次/分） 田鼠 家鼠 兔 小狗 大狗 羊 人 马 25 670 200 420 2000 205 5000 120 30000 85 50000 70 70000 72 450000 38 解： 动物消耗的能量P 主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S 散失，记动物体重为ω，则3/2-∝∝ωS P 。P α正比于血流量Q ，而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，r 为心率。合理地假设q 与ω成正比，于是r P ω∝。综上可得3/1-∝ωr ，或3/1-=ωk r 。由所给数据估计得310897.20?=k ，将实际数据与模型结果比较如下表： 动物 实际心率（次/分） 模型结果（次/分） 田鼠 家鼠 兔 小狗 670 715 420 375 205 166 120 122
大狗 羊 人 马 85 67 70 57 72 51 38 27 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身长()cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 重量()g 756 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围()cm 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 问题分析 本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。 模型假设⑴ 设鱼的重量为； ⑵ 语的身长记为； 模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即 31v k w =，1k 为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型， 因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。 利用题中给的数据，估计模型中的系数可得： 1k =0.0146，2k =0.0322, 将实际数据与模型结果比较如下表： 实际重量()g 765 482 1162 737 482 1389 652 454
数学模型的分类有哪些
数学模型的分类有哪些？ 数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等． 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模． 3.按照模型的表现特性又有几种分法： 确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型． 静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化． 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的． 离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的． 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法． 4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等． 5.按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的．
数学模型课程学习大纲.doc
《数学模型》教学大纲 课程名称: 数学模型(Mathematical Model) 适用专业：应用数学、信息与计算科学 课程学时: 48学时理论+32学时实验 课程学分: 4 先修课程：微积分、线性代数、概率论 考核方式：期末论文 理论课教学大纲 一、课程的性质与任务 随着其它学科和计算机的迅速发展，数学已经向各个领域广泛渗透，数学已经由原来的高度抽象、严格推理和严密证明的理论课过渡成为解决许多边缘学科和交叉学科的关键技术。而数学一开始就是为了解决实际问题的需要而产生，数学模型或建立数学模型课程的开设就是一个朴素的回归。 设立数学建模课程的主要目的是培养学生应用所学的数学基础知识（微积分、线性代数、概率统计）解决实际问题的能力，培养新型的应用型动手能力强的人才。本课程通过一系列典型案例的分析、学习和应用，使学生掌握解决实际问题的一般步骤和原理；通过一些必要的辅助计算软件（lingo优化软件、matlab科学计算软件等）的培训，培养学生新型的数学观：数学中很多的复杂而重复的计算，应该完全交给计算机去做，人就回到思考、分析、设计、评估等更重要的工作中去。 由于实际问题的复杂性和广泛性，本课程在讲授不同类型的模型时，可以参考不同的教材和选取不同的计算软件，所以在教材的选取上本着灵活性和多样性，因而不同章节有不同的参考书。 二、课程的内容 第1章．数学建模概论 1.1 什么是数学模型
1.2 几个简单的建模案例 1.3 建立数学模型的基本方法和步骤 1.4 数学模型的特点和分类 1.5 数学建模能力的培养 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《数学建模与数学实验》.高教出版社.赵静 《数学建模方法及其应用》高教出版社.韩中庚 第2章. 初等数学模型 2.1 公平的席位分配问题 2.2 动物的身长和体重 2.3 空间点热源的扩散问题 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《数学建模与数学实验》.高教出版社.赵静 第3章. 数学规划模型 3.1 线性和非线性规划模型相关概念 3.2 几种线性规划问题 指派为问题运输问题材料切割问题配方问题排序问题 多阶段生产计划问题生产流程问题 参考教材：《数学模型》.高教出版社.姜启源 《运筹学》.清华大学出版社.胡运权 《管理运筹学》.高教出版社.韩伯棠 《lingo优化软件》.清华大学出版社.谢金星 第4章与图有关的优化问题 4.1 最短路径问题 4.2 流量问题 4.3 最优连线问题（最小树问题） 4.4 最优回路问题（哈密尔顿回路） 4.5 最小覆盖与最小配对问题 参考教材：《运筹学》.清华大学出版社.胡运权 《管理运筹学》.高教出版社.韩伯棠
数学模型第三版学习笔记
数学模型第三版学习笔记 The document was prepared on January 2, 2021
《数学模型(第三版)》学习笔记 写在开始 ---小康社会欢迎您今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是. 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：(一) “实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；(二) 模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了； (三) 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程， 这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要
性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。 从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流— —毕竟自己领会很有限。 也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ ——Tony Sun July 2012, TJU （目前已更新：全12章） 第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点 第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
初等数学建模方法示例
第2章初等数学建模方法示例 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式
数学建模 第二单元 初等数据分析方法
第二单元初等数据分析方法 1数学建模方法论：类比、创新 2最简定量关系：人类建立起来的变量之间最简单最直观的定量关系就是函数关系 (1)函数概念的力学来源．(2)1637年笛卡尔的《几何学》首次涉及到变量，也引入了函数思想．(3)1667年英国数学家格雷果里被认为是函数解析定义的开始(4)公认最早提出函数概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨．(5)为了得到变量之间的函数关系需要采集数据，于是提出三个问题：(6)如何采集数据？采集什么数据？如何分析数据3建立函数关系的方法 由此产生建立变量之间函数关系三种基本方法观察法：利用数据的比例性质拟合方法、插值方法统称初等数据分析方法 数据及其品质(1)有的提供数据：2008年“奥运场馆设计” (2)有的不给数据：2010年世博会的影响力(3)有的问你需要什么数据：2008年重金属污染源头问题(4)有的需要你自己判明应该采集什么数据才能说明这件事情：2015年“出租车”试建立合理的指标并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度因此，需要评估数据的精确性，由于收集数据时精确度不高比如记录或报告一个数据时的人为错误，或测量精度限制等多种情况。比如在绘制地图时是按比例缩小的但测量时总有误差在分析一个数据集合时，可能遇到的问题是: (1)根据收集的数据进行建模．要么数据具有明显特征要么插值(2)按照选出的一个或多个模型(函数)类型对数据进行拟合．(3)从已经拟合模型中选取最合适的例：判断指数与多项式模型哪个拟合更好 4 观察法和初等数学方法 通过大量数据利用变量之间的比例性质得到自然规律：(1)Kepler(开普勒)第三定律开普勒曾帮第谷(Tycho Brahe) 收集了13年火星的相对运动的观察资料到1609年开普勒已经形成了头两条定律: a)每个行星都沿一条椭圆轨道运行太阳在该椭圆的一个焦点处．b)对每个行星来说，在相等的时间里该行星和太阳的联线扫过相等的面积．开普勒花了许多 年来验证并形成了第三定律T = c其中T 是周期(天数)而R是行星到太阳的平均距离他建立了轨道周期与从太阳到行星平均距离之间的关系．如表2.1中的数据
初等数学建模方法示例
第2章初等数学建模方法示例 2.1公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为：系名甲乙丙总数 学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20
由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如： 某两个单位的人数和席位为 1021==n n ，1201=p ，1002=p ， 算得 2=p 另两个单位的人数和席位为 1021==n n ，10201=p ，10002=p , 算得 2=p
第二章初等模型习题解答-精品
第二章初等模型习题解答-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、质量、增长、问题、充分、整体、平衡、合理、建立、提出、研究、位置、支撑、成果、基础、需要、作用、结构、速度、关系、检验、分析、借鉴、满足、鼓励、发挥、解决 生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动 解： 动物消耗的能量P 主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S 散失，记动物体重为ω，则3/2-∝∝ωS P 。P α正比于血流量Q ，而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，r 为心率。合理地假设q 与ω成正比，于是r P ω∝。综上可得3/1-∝ωr ，或3/1-=ωk r 。由所给数据估计得310897.20?=k ，将实际数据 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
问题分析 本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。 模型假设⑴ 设鱼的重量为； ⑵ 语的身长记为； 模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即 31v k w =，1k 为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型， 因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。 利用题中给的数据，估计模型中的系数可得： 1k =0.0146，2k =0.0322, 将实际数据与模型结果比较如下表： 结果分析及评注 通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意， 上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。 3 题目： 考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。
数学建模 初等建模
初等数学方法建模 现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问题的能力。 第一节 有关自然数的几个模型 1.1鸽笼原理 鸽笼原理又称为抽屉原理，把N 个苹果放入)(N n n < 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。 问题1：如果有N 个人，其中每个人至多认识这群人中的)(N n n <个人（不包括自己），则至少有两个人所认识的人数相等。 分析：我们按认识人的个数，将N 个人分为n ,2,1,0 类，其中)0(n k k ≤≤类，表示认识k 个人，这样形成 1+n 个“鸽笼”。若 1-数学建模所需要的知识
学习数学建模需要哪些书籍及软件 我也要参加今年九月份的数学建模比赛，以下是我们老师给我们的几点建议，希望对你有些帮助。 赛前学习内容 1建模基础知识、常用工具软件的使用 一、掌握建模必备的数学基础知识（如初等数学、高等数学等），数学建模中常用的但尚未学过的方法，如图论方法、优化中若干方法、概率统计以及运筹学等方法。 二、，针对建模特点，结合典型的建模题型，重点学习一些实用数学软件（如Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo、SPSS）的使用及一般性开发,尤其注意同一数学模型可以用多个软件求解的问题。 例如, 贷款买房问题: 某人贷款8 万元买房，每月还贷款880.87 元，月利率1％。 （1）已经还贷整6 年。还贷6 年后，某人想知道自己还欠银行多少钱，请你告诉他。（2）此人忘记这笔贷款期限是多少年，请你告诉他。 这问题我们可以用Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo 等多个不同软件包编程求解 2 建模的过程、方法 数学建模是一项非常具有创造性和挑战性的活动，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何具体建立。但一般来说，建模主要涉及两个方面：第一，将实际问题转化为理论模型；第二，对理论模型进行计算和分析。简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程。这个过程可以用如下图1来表示。 3常用算法的设计 建模与计算是数学模型的两大核心，当模型建立后，计算就成为解决问题的关键要素了，而算法好坏将直接影响运算速度的快慢答案的优劣。根据竞赛题型特点及前参赛获奖选手的心得体会，建议大家多用数学软件（Mathematica,Matlab,Maple,Lindo,Lingo,SPSS 等）设计算法，这里列举常用的几种数学建模算法. （1）蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法，通常使用Mathematica、Matlab 软件实现）。 （2）数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）。 （3）线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现）。 （4）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，通常使用Mathematica、Maple 作为工
《数学模型作业》word版
业 第一章 1、对于大多数工薪阶层的人士来说，想买房，简直是天方夜谭．现在有这样一栋住宅楼，每套只需自备款七万元，其余由公司贷款，可分期付款，每月只需付800元，十年还清．那么，这对您还有什么问题呢!” 现在的问题是：这房子究竟值多少钱，即如果一次付款要付多少钱？如果没有能力一次付款，实际上，相当于借了多少钱？为什么要每月付800元？ 对上述问题进行研究，供购房者参考． 、0至17岁的儿童都可以参加这种保险，投保金额可以趸交，也可以按年交，每份保险金额为1000元，保险公司要求各年龄的儿童需交投保金额如下表1-1． 1-1 险公司应对保险人的保险项目和金额为： （1） 教育保险金：被保险人到18、19、20、21周岁时每年可领取一份保险金1000元． （2） 创业保险金：被保险人到22周岁时可以领取保险金额的4.7倍的创业保险金． （3） 结婚保险金：被保险人到25周岁时可以领取保险金额的5.7倍的结婚保险金． 4) 养老保险金：被保险人到60周岁时可以领取保险金额的60倍的养老保险金． 现在的问题是：如果被保险人能活到60岁时，则 （1） 如果按现行的存款年利率4.5％计算，投保是否合算？ （2） 如果按现行的贷款年利率8％计算，保险公司从中获利多少？ 先假设投保人都能活到60岁；投保人的交款和保险公司的返回保险金均在年初进行；银行现行的存、贷款利率不变；这里均按一份投保金额（1000元）计算． 投保年龄为)17,,2,1,0( =k k ;按年交款额为,k a 总交款额为k k a k A )18(-= )14,,2,1,0( =k ;趸交款额为)17,,2,1,0( =k B k ;现行银行长期存、贷款利率分别为
学习数学建模需要哪些书籍及软件
我也要参加今年九月份的数学建模比赛，以下是我们老师给我们的几点建议，希望对你有些帮助。 赛前学习内容 1建模基础知识、常用工具软件的使用 一、掌握建模必备的数学基础知识（如初等数学、高等数学等），数学建模中常用的但尚未学过的方法，如图论方法、优化中若干方法、概率统计以及运筹学等方法。 二、，针对建模特点，结合典型的建模题型，重点学习一些实用数学软件（如Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo、SPSS）的使用及一般性开发,尤其注意同一数学模型可以用多个软件求解的问题。 例如, 贷款买房问题: 某人贷款8 万元买房，每月还贷款880.87 元，月利率1％。 （1）已经还贷整6 年。还贷6 年后，某人想知道自己还欠银行多少钱，请你告诉他。（2）此人忘记这笔贷款期限是多少年，请你告诉他。 这问题我们可以用Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo 等多个不同软件包编程求解 2 建模的过程、方法 数学建模是一项非常具有创造性和挑战性的活动，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何具体建立。但一般来说，建模主要涉及两个方面：第一，将实际问题转化为理论模型；第二，对理论模型进行计算和分析。简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程。这个过程可以用如下图1来表示。 3常用算法的设计 建模与计算是数学模型的两大核心，当模型建立后，计算就成为解决问题的关键要素了，而算法好坏将直接影响运算速度的快慢答案的优劣。根据竞赛题型特点及前参赛获奖选手的心得体会，建议大家多用数学软件（Mathematica,Matlab,Maple,Lindo,Lingo,SPSS 等）设计算法，这里列举常用的几种数学建模算法. （1）蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法，通常使用Mathematica、Matlab 软件实现）。 （2）数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）。 （3）线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现）。 （4）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，通常使用Mathematica、Maple 作为工具）。（5）动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中，通常使用Lingo 软件实现）。 （6）图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）。 （7）最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用，通常使用Lingo、Matlab、SPSS 软件实现）。 4 论文结构，写作特点和要求
数学模型
数学模型复习题 1、)(t x 为连续函数，初值条件0)0(x x = ，假设其增长率为常数r ，显然有 t t rx t x t t x ?=-?+)()()(，则其满足微分方程 ；微分方程满足初值条件的 解为 ；这个模型称为 。阻滞增长模型的形式的微分形式 ；求解得到的曲线称为 曲线。 2、叙述数学建模的一般步骤 模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 从思想上理解。 3、简述数学模型按以下方面的分类： 按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等； 按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等； 按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等。 可以灵活理解。 4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g 每支2.5元，120g 每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。 （1）分析商品单位重量价格C 与商品重量w 的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w ）无关。 （2）给出单位重量价格C 与w 的关系，画出它们的简图。说明w 越大C 越小，但是随着w 的增加C 减小的速度变慢，解释其意义是什么？ 5、2010级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1055人，其中统计学专业520人，信息与计算科学专业265人，数学与应用数学专业270人。要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表： （1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者； （2）用Q 值方法进行分配。 6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。设在一个生产周期T 内，原料每天的需求量为常数r ，每次的定货费用为1c ，每天每单位原料的存储费为2c ，订货后可立即 到货，每次订货量为Q 。 （1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）； （2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q 、订货周期T 和最小成本C 。 7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天体重增加2公斤。目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。 （1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？ （2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释； （3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释； 8、利润)(p U 是销售收入)(p I 与生产支出)(p C 之差，p 为每单位商品的售价，即
