上海市十三校2012届高三上学期第一次联考数学(理)试卷word版
上海市十三校2012届高三上学期第一次联考
数学(理科)试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.
1. 已知*n N ∈
，则n = . 2. 如图，U 是全集，A U B U ??，，用集合运算符号
表示图中阴影部分的集合是 .
3. 函数21()sin cos 22
f x x x =+-的最小正周期是 . 4. 若2i +是方程20( )x bx c b c R ++=∈、
的根，其中i 是 虚数单位，则b c += . 5. 若函数12()log a f x x -=在(0 )+∞，上单调递减， 则实数a 的取值范围是 .
6. 图中是一个算法流程图，则输出的 正整数n 的值是 ．
7. 设函数2
12() 0
()2log (2) 0x x f x x x ??-≤=?+>??的反函数 为1()y f x -=，若1()4f a -≥，则实数a 的取值范围是 .
8. 对于任意的实数k ，如果关于x 的方程()f x k =最多有2个不同的实数解，则|()|f x m =(m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .
9. 设函数1
31()()2x f x x =-的零点*011
( )()1x n N n n
∈∈+，，则n = .
10. 已知数列{}n a 的前n 项和2
7211n S n pn a =+=，，若112k k a a ++>，则正整数k 的最
小值
为 .
11. 如图，在ABC ?中，90 6 BAC AB D ∠==，
，在斜 边BC 上，且2CD DB =，则AB CD ?的值为 .
12. 设不等式2
1log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为M ，若(1 2)M ?，，则实数a 的取值范围是 . 13. 已
知
函
数
()2arctan x f x x =+，数列
{}
n a 满足
*111
()()()402312n n n
a a f a f n N a +==∈，－，
则2012()f a = .
14. 设 a b c ，，
是平面内互不平行的三个向量，x R ∈，有下列命题： ①方程2
0(0)ax bx c a ++=≠不可能有两个不同的实数解；
②方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数解的充要条件是2
40b a c -?≥；
③方程222
20a x a bx b +?+=有唯一的实数解b x a
=-
； ④方程2
2
2
20a x a bx b +?+=没有实数解.
其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分
.
(第2题图)
D
A
B
C
(第11题图)
M B
A
图1 图2
15.已知a R
∈，不等式31
x
x a
-≥
+的解集为
P，且2P
-?，则a的取值范围是 ( ) A.3
a>- B.32
a
-<< C.2
a>或3
a<- D.2
a≥或3
a<-
16.设角()
2
k k Z
π
αβπ
≠+∈
、，则“()
4
n n Z
π
αβπ
+=+∈”是“(1tan)(1tan)2
αβ
++=”成立的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要
条件
17.对于复数a b c d
、、、，若集合{}
S a b c d
=，，，具有性质：“对任意x y S
∈
，，都有xy S
∈”，则当2
2
1
1
a
b
c b
=
??
=
?
=
??
时，b c
++的值是
( )
A.1
B.1
- C.i D.i-
18.下图展示了一个由区间(0 1)
，到实数集R的对应过程：区间(0 1)
，中的实数m对应数轴上(线段AB)的点M(如图1)；将线段AB围成一个圆，使两端点A B
、恰好重合(如图2)；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为(0 1)
，(如图3)，当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点( 0)
N n，，按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即()
f m n
=．对于这个函数()
y f x
=，有下列命题：
①
1(
)1
4
f=-；②()
f x的图像关于1( 0)
2
，对称；③若()
f x=，则5
6
x=；④()
f x在(0 1)
，上单调递增.其中数是( )
A．1 B．2 C．3 D
．4
三、解答题(本大题共
5小题，满分74分)
19.(本题满分12分)
已知矩阵
||5
||1
x
x
+
??
?
+
?
的某个列向量的模不大于行列式
211
203
423
-
--
-
中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围.
20. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠8
(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.
21. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知()3cos (0)f x x x ωωω=+>. (1)若()(0)2y f x π
θθ=+<<
是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
(2)()(3)g x f x =在( )23
ππ
-，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()g x 在[0 ]π，
上的取值范围.
22. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*122()n n a S n N +=+∈. (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a 与2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为2d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是n A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
(3)对于(2)中的数列123n d d d d ，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项
m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若
不存在，说明理由.
23. (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)
已知函数22()(1)(1)(0 )x b f x x a x
=-+-∈+∞，，
，其中0a b <<. (1)当12a b ==，时，求)(x f 的最小值；
(2)若()21m f a ≥-对任意0a b <<恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)设0k c >、，当22()a k b k c ==+，时，记1()()f x f x =；当22()(2)a k c b k c =+=+，时，记2()()f x f x =. 求证：2124()()()
c f x f x k k c +>
+.
2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)答题纸
三．解答题
2012年高三年级十三校第一次联考数学(理科)答案
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分.
1. 已知*n N ∈
，则n →∞= .13
2. 如图，U 是全集，A U B U ??，，用集合运算符号 表示图中阴影部分的集合是 .U A B e
3. 函数21()sin cos 22
f x x x =+-的最小正周期是 .π 4. 若2i +是方程20( )x bx c b c R ++=∈、
的根，其中i 是 虚数单位，则b c += .1 5. 若函数12()log a f x x -=在(0 )+∞，上单调递减，
则实数a 的取值范围是 .102
a << 6. 图中是一个算法流程图，则输出的 正整数n 的值是 ．11
7. 设函数212() 0()2
log (2) 0
x x f x x x ??-≤=?+>??的反函数 为1()y f x -=，若1()4f a -≥，则实数a 的取值范围是 .2[log 6 )+∞，
8. 对于任意的实数k ，如果关于x 的方程()f x k =最多有2个不同的实数解，则|()|f x m =(m 为实常数)的不同的实数解的个数最多为 .4
9. 设函数1
31()()2x f x x =-的零点*011
( )()1x n N n n
∈∈+，，则n = .2
10. 已知数列{}n a 的前n 项和2
7211n S n pn a =+=，，若112k k a a ++>，则正整数k 的最
小值
为 .6
11. 如图，在ABC ?中，90 6 BAC AB D ∠==，，在斜 边BC 上，且2CD DB =，则AB CD ?的值为_____.24
12. 设不等式2
1log (0 1)a x x a a -<>≠且，的解集为M ，若(1 2)M ?，，则实数a 的取值范围是
.(1 13. 已
知
函
数
()2arctan x f x x =+，数列{}n a 满足*111 ()()()402312n n n a a f a f n N a +==∈，－，则2012()f a = .24
π
+
14. 设 a b c ，，
是平面内互不平行的三个向量，x R ∈，有下列命题： ①方程2
0(0)ax bx c a ++=≠不可能有两个不同的实数解；
②方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数解的充要条件是2
40b a c -?≥；
③方程222
20a x a bx b +?+=有唯一的实数解b x a
=-
； ④方程2
2
2
20a x a bx b +?+=没有实数解.
其中真命题有 .(写出所有真命题的序号) ①④
(第2题图)
D
A
B
C
(第11题图)
1
M B
A
图1 图2
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分.
15.已知a R
∈，不等式31
x
x a
-≥
+的解集为
P，且2P
-?，则a的取值范围是 ( D ) A.3
a>- B.32
a
-<< C.2
a>或3
a<- D.2
a≥或3
a<-
16.设角()
2
k k Z
π
αβπ
≠+∈
、，则“()
4
n n Z
π
αβπ
+=+∈”是“(1tan)(1tan)2
αβ
++=”成立的( C )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要
条件
17.对于复数a b c d
、、、，若集合{}
S a b c d
=，，，具有性质：“对任意x y S
∈
，，都有
xy S
∈”，则当2
2
1
1
a
b
c b
=
??
=
?
=
??
时，b c
++的值是
( B )
A.1
B.1
- C.i D.i-
18.下图展示了一个由区间(0 1)
，到实数集R的对应过程：区间(0 1)
，中的实数m对应数轴上(线段AB)的点M(如图1)；将线段AB围成一个圆，使两端点A B
、恰好重合(如图2)；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为(0 1)
，(如图3)，当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点( 0)
N n，，按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即()
f m n
=．对于这个函数()
y f x
=，有下列命题：
①
1(
)1
4
f=-；②()
f x的图像关于1( 0)
2
，对称；③若()
f x=，则5
6
x=；④()
f x在(0 1)
，上单调递增.其中正是( D )
A．1 B．2 C．3 D
．4
三、解答题
(本大题共5小题，满分74分)
19.(本题满分12分)
已知矩阵
||5
||1
x
x
+
??
?
+
?
的某个列向量的模不大于行列式
211
203
423
-
--
-
中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围.
解：行列式
211
203
423
-
--
-
中元素0的代数余子式是
21
2
43
=……………………………4分依题意，显然列向量
||5
||1
x
x
a
+
??
?
+
= ?
?
??
的模不大于2，即
||5
2
||1
x
x
+
≤
+
,………………………8分解得3
x≥或3
x≤-
∴满足条件的实数x 的取值范围是( 3][3 )-∞-+∞，，…………………………………12分
20. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠
8(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.
解：(1)依题意，18210t -≤……………………………………………………………………2分 ∴82log 10127.58t ≤+≈………………………………………………………………………5分
即第一次最迟应在第27天注射该种药物. ……………………………………………………7分
(2)设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为n a ，
则912(198%)a =-，且1012(
198%)n n a a +=-，∴1012(198%)n n
n a -
=- (10)
分
于是1031332(198%)a ?-=-，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为323
2100，……12分
到第38天小白鼠体内的这种癌细胞个数为
328783
22 1.11010100?≈?<……………………14分
∴第38天小白鼠仍然存活.
（注：列举法求解的也行，请按步骤评分） 21. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知(
)3cos (0)f x x x ωωω+>.
(1)若()(0)2y f x π
θθ=+<<
是周期为π的偶函数，求ω和θ的值； (2)()(3)g x f x =在( )23
ππ
-，上是增函数，求ω的最大值；并求此时()g x 在[0 ]π，
上的取值范围.
解：(1)∵())(0)3f x x πωω=+>，∴(
))3
f x x π
θωωθ+=++…………1分
又()y f x θ=+是最小正周期为π的偶函数 ∴2ππω
=，即2ω=， (3)
分 且23
2
k π
π
θπ+
=+
，即()212
k k Z ππ
θ=
+∈ 注意到02π
θ<<，∴1 312
π
ωθ==，为所求；…………………………………………………6分
(2)因为()(3))(0)3g x f x x π
ωω==+
>在( )23
ππ
-，上是增函数， ∴45
3()223239()13223326
k k k Z k k πππωπωπππωπω???-+≥-≤-+???∈???+≤+≤+????， (9)
分
又0ω>，∴45015391212
1206
k k k ?-+>??-<??，∴0k =
于是1
06ω<≤，即ω的最大值为6
1， (12)
分
此时，()3sin()23
x g x π
=+，
510sin()1()3236223
x x x g x ππππ
π≤≤?≤+≤?≤+≤?∈ (14)
分
22. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知*122()n n a S n N +=+∈.
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列(如：在1a 与2a 之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为1d ；在2a 与3a 之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为2d ，…以此类推)，设第n 个等差数列的和是n A . 是否存在一个关于n 的多项式()g n ，使得()n n A g n d =对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
(3)对于(2)中的数列123n d d d d ，，，，，，这个数列中是否存在不同的三项
m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若
不存在，说明理由.
解：(1)设11n n a a q -=，由)(22*
1N n S a n n ∈+=+知，112
111222()2
a q a a q a a q =+??
=++?， (2)
分 解得{
123
a q ==， ∴1
23n n a -=?…………………………………………………………………4分
(2)依题意，1123234311n n n n d n n --?-??==++；
11(2323)(2)4(2)32
n n n n n A n --?+?+==+? 要使()n n A g n d =，则11
434(2)3()1
n n n g n n --?+?=?+，…………………………………8分
∴2()(2)(1)32g n n n n n =+?+=++，即存在2
()32g n n n =++满足条件；………10分 (3)对于(2)中的数列{}n d ，若存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列，则2
k
m p d d d =，即111
2434343()111
k m p k m p ---???=?+++ ∵2k m p
=+①， ∴2111()111
k m p =?+++，即2
k mp
=②…………………………………………14分
由①②可得m k p ==，与m k p d d d ，，是不同的三项矛盾，
∴不存在不同的三项m k p d d d ，，(其中正整数m k p ，，成等差数列)成等比数列. ……16分
23. (本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分)
已知函数22()(1)(1)(0 )x
b f x x a x
=-+-∈+∞，，
，其中0a b <<. (1)当12a b ==，时，求)(x f 的最小值；
(2)若()21m f a ≥-对任意0a b <<恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)设0k c >、，当22()a k b k c ==+，时，记1()()f x f x =；当22
()(2)a k c b k c =+=+，时，记2()()f x f x =. 求证：2124()()()
c f x f x k k c +>+. 解：(1)当12a b ==，时，22222()(1)(1)(1)3f x x x x x
=-+-=+-- (1)
分
令2(0)t x x x
=+>，则t ≥，当且仅当2=x 时，22=t ，…3分
此时函数2()(1)3g t t =--在)t ∈+∞上单调递增， ∴
2min ()1)36f x f ==-=- (5)
分
(2)∵0a b <<，∴1b a
>，2()21(1)12m m b f a a ≥-?-+≥对任意0a b <<恒成立， (6)
分 令b t a
=
，则1t >，函数2(1)1y t =-+在(1 )+∞，上单调递增，∴2(1)11y t =-+>，……
8分
∴12m ≥，解得0m ≤………………………………………………………………………………10分
(3)先证：对于(0 )x ∈+∞，，()f x f ≥
2222()(1)(1)(1)1(0)x b x b b f x x a x a x a
=-+-=+--+>，………………………………………
11分
令x
b
a x t +=，则t ≥a
b x =时取等号，且1>
函数22()(1)1b g t t a =--+，在[)+∞上单调递增，∴()f x g f ≥=……14分
∴当2
2
()a k b k c ==+，时，2
122()()[()]c f x f x f k k c k
=≥+= 当2
2
()(2)a k c b k c =+=+，时，222
2()()[()(2)]()c f x f x f k c k c k c =≥++=+ 显然上述两个等号不同时成立,
∴2221222224()()()()
c c c f x f x k k c k k c +>+>++………………………………………………………18分
高三数学第一次月考试题(文科)
高三数学第一次月考试题（文科） 一、选择题（四个选项中只选一项，每小题5分，共60分） 1. 设集合V={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ?（CuB ）= （ ） A. {2} B. {2，3} C. {3} D.{1，3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件，S 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为 （ ） A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是 （ ） A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于 （ ） A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax ＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于 （ ） A. 8 B. 2 C. －4 D.－8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于 （ ） A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书，全部分给4名学生，每名学生至少1本不同分法的种数为 （ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P 则||2PF = （ ） A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1，2)、B （3，1）则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 （ ） A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。（用数字作答） 14. 设x 、y 满足约束条件，?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样
宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是
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