107520-概率统计随机过程课件-第五章(第一,二节)
第五章随机变量的数字特征
问题、目的、意义:
所谓随机变量的数字特征,是指连系于它的分布函数的某些数,如平均值,方差等.它们反映随机变量的某些方的特征.
在第二章我们举出常见的随机变量分布函数的各种例子,很多分布函数含有两个或多于一个参数(如泊松分布含有一个参数λ,正态分布含有两个参数μ和σ),这些参数往往是由某些数字特征或其它数值所决定的,因此找到这些特征,分布函数(或分布律,概率密度)跟着就确定了.但对一般随机变量,要完全确定它的分布函数就不那么容易了,不过在许多实践问题中,我们并不需要完全知道分布函数,我们只需要知道随机变量某些特征也就够了.例如,在测量某物体的长度时,测量的结果是一个随机变量.在实际工作中,往往用测量长度的平均数来代表这一物体的长度.
又如对一射手的技术评定,除了要了解命中环数的平均值,同时还必须考虑稳定情况,命中点分散还是比较集中？ 由此而可见, 随机变量的数字特征的研究有理论上和实际上的重要意义.
第一节 数学期望
一、数学期望的概念
设某射手进行了100次射击,其中
命中7环10次，命中8环20次，命中9环40次，命中10环30次，求此人平均命中环数.
解
平均环数为
)3010409208107(100
1?+?+?+??100
3010100409100208100107?+?+?+?=∑∑==?=?=10
7107k k k k p k n n k
9.8= ,
其中 100=n ,
107=n ,208=n ,409=n ,
3010=n . n n p k
k
=,是环数k 出现的频率. 由于频率趋向于概率值,因此我们
用概率来代替频率而引出数学期望的概念. 数学期望是平均值的推广.
1.离散型随机变量X 的数学期望：
定义1 设X 的分布律为：
{ ,2,1,}===k p x X P k
k , 若级数∑∞
=1k k k p x 绝对收敛(即
∑∞=1||k k k p x 收敛)，则称级数∑∞=1k k k p x
为
X 的数学期望，
记为 ∑∞
===1)(k k k p x EX X E .
2． 离散型随机变量X 的函数的数学期
望：
设()X g Y =，()x g 是连续函数；
定理 设X 是离散型随机变量，
且{ ,2,1,}===k p x X P k
k ， 若级数()k k k p x g ∑∞
=1绝对收敛，
则有：()==X Eg EY ()k k k p x g ∑∞
=1.
(计算()X g Y =的数学期望,按定
义要先求出()X g Y =的分布律,再求}{1∑+∞
===i i i y Y P y EY ,但这样麻烦,有了此定理计算起来就比较直接,不必求出Y 的分布律.(其实是先合并取相同值的概率,与后合并取相同值的概率之分,两个算法一致))
例1 设随机变量X 的分布律如下:
求,EX 2EX , )53(2
+X E
解 2.03.023.004.02-=?+?+?-=EX ,
,8.23.00)3.04.0(43.023.004.0)2(2222=?++=?+?+?-=EX 3.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)53(2222?+?+?+?+?+-=+X E 4.133.05)3.04.0(17=?++?= .
例2 设随机变量X 的分布律为 1
)1(}{++==k k a a k X P ， 0>a ， ,2,1,0=k ,
求EX 和2
EX . 解 ∑∞+=++?=01)
1(k k k
a a k EX 112)1()1(-∞+=∑+?+=k k a
a k a a a a a a a =+-?+=2
2)11(1)1(. 这里,利用了幂级数求和公式
)1(
)(111'-='=∑∑∞+=∞+=-x
x x kx k k
k k 2)1(1x -=
x
x x x x k k k -=+++++=∑+∞=11120 ,(1|| ∑∞+=++?=012 2) 1(k k k a a k EX 1122)1()1(-∞+=∑+?+=k k a a k a a )21()11(11)1(3 2a a a a a a a a +=+-++?+=, 利用了 )) 1(()()(2111112 '-='='=∑∑∑+∞=-+∞=+∞=-x x kx x kx x k k k k k k k 3) 1(1x x -+= , (1|| 3． 连续型随机变量X 的数学期望： 定义3 设X 的概率密度为()x f ， 若积分()dx x xf ?+∞ ∞-绝对收敛 (即()dx x f x ?+∞ ∞-||收敛)，则称积分()dx x xf ?+∞ ∞ -为X 的数学期望， 记为EX X E =)(.即 ()dx x xf EX ?+∞ ∞-=. 4.连续型随机变量X 的函数)(X g Y = 数学期望: 定理 设随机变量X 的概率密度为()x f ，若积分()()dx x f x g ?+∞ ∞ -绝对收敛，则随机变量)(X g Y =的数学期望()==X Eg EY ()()dx x f x g ?+∞∞-. (计算()X g Y =的数学期望,按定义要先求出()X g Y =概率密度)(y f Y ,再求()dy y f y EY Y ?+∞∞-=,但这样麻烦,又时又难于求出)(y f Y ,有了此定理计算起来就比较直接,不必求出Y 的概率密度) 例3 已知随机变量X 的概率密度为 ?? ???≤<-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f , 求EX 及2EX . 解 ()dx x xf EX ?+∞ ∞-= 1)2(2110=-+?=??dx x x xdx x , ()dx x f x EX ?+∞∞-=2 2 67)2(212102 =-+?=??dx x x xdx x 例 4 随机变量X 服从柯西分布,其 概率密度为 2111 )(x x f +?=π ,+∞<<∞-x . 问X 的数学期望是否存在. 解 ? +∞∞-dx x g )( 收敛是指?∞-0)(dx x g 和?+∞0)(dx x g 都收敛. dx x x A 20 111||+??π dx x x A ?+= 0211π 2021121dx x A ?+=π )(,)1ln(21|)1ln(21202+∞→+∞→+=+=A A x A π π, 积分dx x x 20111||+??+∞ π不收敛, 于是,积分dx x x 2111 ||+??∞+∞-π不收敛, 发散, 所以 X 的数学期望不存在. 5.随机向量的函数的数学期望 定理 设()Y X ,为随机变量， ()y x g ,为连续函数，那么 ()Y X g Z ,=是一个随机变量. (1) 若()Y X ,为离散型随机变量， 其分布律为 {},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij j i 则有: ()()==Y X Eg Z E ,()ij i j j i p y x g ∑∑∞=∞ =11, , 其中要求()ij i j j i p y x g ∑∑∞=∞ =11,绝对收敛. (2) 若()Y X ,为连续型随机变量, 其概率密度为()y x f ,,则有: ()()Y X Eg Z E ,= ()()dxdy y x f y x g ,,??∞∞-∞ ∞-=, 其中要求()()dxdy y x f y x g ,,??∞∞-∞ ∞ -绝对收敛. 定理 设),,,(21n X X X ???为连续型随 机变量, 其概率密度为()n x x x f ,,,21???, 函数()n x x x g ,,,21???连续, 则随机变量 ),,,(21n X X X g Z ???=的数学期望 )],,,([21n X X X g E EZ ???= n n n R dx dx dx x x x f x x x g n ?????????=?212121),,,(),,,( 例5 设随机变量()Y X ,的分布律为 求 ,及 解 ij i j i p x EX ∑∑= ∑∑=i j ij i p x }{i i i x X P x ==∑ 4 7)4121(2)041(1=+?++?=, ij i j j p y EY ∑∑= ∑∑=j i ij j p y } {j j j y Y P y ==∑ 2 1)410(1)2141()1(-=+?++?-=, ij i j j i p y x XY E ∑∑=)( 0114 1)1(1??+?-?= 4 3411221)1(2-=??+?-?+ 例6 设随机变量()Y X ,在矩形区域 20,10:≤≤≤≤y x G 内服从均匀 分布,求]cos [sin 2Y X E ?. 解 ()Y X ,的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它 ,020,10,21),(y x y x f , ]cos [sin 2 Y X E ? dxdy y x f y x ),(cos sin 2??=??+∞∞-+∞ ∞- dxdy y x 2 1cos sin 10202 ??=?? ???=20102cos sin 2 1ydy xdx dx x ?-=102 2cos 12sin 21 )2sin 211(212sin 21-?= . 二. 数学期望的性质 (1)设C 为常数,则有C C E =)(; (2)设C 为常数,X 为随机变量,则有 CEX CX E =)( ; (3) 设Y X ,为任意随机变量, 则有 EY EX Y X E +=+)(; 证明 只就离散型随机变量的情形给出证明. 若()Y X ,为离散型随机变量，其分布律为 {},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij j i 则有: ()=+Y X E ()ij i j j i p y x ∑∑∞=∞ =+11 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=1111 i j ij j i ij j i p y p x )()(1111∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞=+=j i ij j i j ij i p y p x }{}{11j j j i i i y Y P y x X P x =+==∑∑∞ =∞= EY EX += . c bEY aEX c bY aX E ++=++)(, (c b a ,,为常数) 性质(3)可以推广到任意有限个随机变量的和的情形: 设),,,(21n X X X ???随机变量, 则 有 ∑∑===n i i n i i EX X E 11)(, ∑∑===n i i i n i i i EX k X k E 11)( ; (4)设Y X ,为相互独立的随机变量,则有 EY EX XY E ?=)(, 证明 只就离散型随机变量的情形给出证明. 若()Y X ,为离散型随机变量，其分布律为 {},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij j i 且X 与Y 相互独立,即 {},,2,1,},{}{, ==?====j i y Y P x X P y Y x X P j i j i 则有 ()=XY E ()ij i j j i p y x ∑∑∞=∞=11 ()},{11 j i i j j i y Y x X P y x ===∑∑∞=∞ = ()}{}{11 j i i j j i y Y P x X P y x ===∑∑∞=∞= }){}({1 1j j j i i i y Y P y x X P x ===∑∑∞ =∞= EY x X P x i i i }{1==∑∞ = EY EX ?= . 性质(4)可以推广到任意有限个随机变量的积的情形: 设n X X X ,,,21???为相互独立的随机变量, 则有 )(21n X X X E ??? n EX EX EX ????=21 . 利用性质计算数学期望举例 例7 一批产品中有M 件正品, N 件次品,从中任意抽取n 件,以X 表示取到次品的件数,求随机变量X 的数学期望. 解 }{k X ==恰取到k 件次品， n N M k n M k N C C C k X P +-==}{， l k ,,1,0???=； ),min(N n l =； ∑∑==+-===l k l k n N M k N k n M C C C k X P 00}{1， （比较N M N M x x x )1()1() 1(++=++两边n x 的系数，得到） 方法一 EX ∑∑==+-===l k l k n N M k N k n M C C C k k X kP 00}{ ∑=--+---+??=l k n N M k N k n M C n N M C k N C k 11 1 11)( ∑=--+-----+=l k n N M k N k n M C C C N M nN 11111)1(1 N M nN += . (从M 件正品和1-N 件次品中,从中任意抽取1-n 件,取到次品件数的分布律之和为1) 方法二 取 n 个产品可看作不放回地取n 次,每次取一个产品.令 ???=次取到正品第取到次品第i i X i ,0,1 , n i ,,2,1???=, 则 n X X X X +???++=21, 且有 N M N X P i +==}1{, n i ,,2,1???=, N M N X P X P EX i i i +==?+=?=}0{0}1{1, 于是 )(21n X X X E EX +???++= N M nN N M N EX n i n i i +=+==∑∑==1 1 . 例8 设一袋中有n 个白球和m 个 黑球,现在从中无放回接连抽取N 个球,求第i 次取时得黑球的概率(m n N i +≤≤≤1). 解 设=i A “第i 次取时得黑球”, 显然 m n m A P +=)(1 , 把n 个白球和m 个黑球看作是各 不相同,样本空间考虑前N 次摸球.那么,样本点总数就是从m n +个球中任取N 个球的排列数,即N m n A +,而其中第i 个位置上排黑球的排法是从m 个黑球中任 取一个,排在第i 个位置上,再从余下的1-+m n 个球中任取1-N 个, 排在其余 1-N 个位置上,这种排法一共有111--+N m n m A C , 于是 m n m A A C A P N m n N m n m i +==+--+111)(, (m n N i +≤≤≤1). 本题表明,摸得黑球的概率于摸 球的先后次序无关.这个结论与我们日常的生活经验是一致的.例如体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关. 书上133页 N M N X P i +==}1{就解决了. 例9 将n 只球放入M 只盒子中去, 每只球落入各个盒子是等可能的,(每盒容纳球的个数不限),求有球的盒子数X 的数学期望. 解 设 ==}1{i X 第i 只盒子中有球, ==}0{i X 第i 只盒子中无球, M i ,,2,1???= . 则∑==M i i X X 1. 而 n n i M M X P )1(}0{-==, n n i i M M X P X P )1(1}0{1}1{--==-==, 所以 }0{0}1{1=?+=?=i i i X P X P EX n n M M )1(1--=, 故 ∑∑====M i i M i i EX X E EX 11)(])1(1[n n M M M --=. 例10 书上158页 习题7 将100只铅笔随机地分给80个孩子,如果每支铅笔分给哪个孩子是等可能的,问:平均有多少孩子得到铅笔？ 解 设有X 个孩子得到铅笔, 第1章随机事件与概率概率论与数理统计是研究随机现象规律性的学科. 概率论侧重于对随机现象出现的可能性大小做出数量上的描述，形成一整套数学理论和方法； 数理统计是以概率论为基础研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定结论的科学和艺术. 概率论与数理统计是既有理论基础又有应用潜力的学科，其理论与方法已广泛应用于林业、农业、工程、社会学、经济学等领域中，还在不断向新兴学科渗透并相互促进发展. §1.1 随机现象及其统计规律性客观世界的各种现象大体可分为两类： 一类称为决定性现象，即在一定的条件下，只出现一个结果.例如，在标准大气压下，水升温至100摄氏度时沸腾；每天清晨，太阳总从东方升起；向空中抛一物体必然下落等. 另一类称为非决定性现象，即在一定的条件下，并不总是出现相同结果，在概率论中称为随机现象. 比如，播种一粒银杏种子，可能发芽可能不发芽；掷一颗骰子，可能出现1至6点等. 该类现象有以下两个特点： ①结果不止一个； ②人们事先不能确定出现的结果. 随机现象是概率论与数理统计的研究对象. 1.1.1 随机试验 对随机现象进行的试验和观察称为随机试验. 例1．1随机现象的例子 （1）播种一粒银杏种子，观察银杏种子发芽； （2）掷一颗骰子，观察出现的点数； （3）单位时间内，某手机被呼叫的次数； （4）某种型号冰箱的使用寿命； （5）测量课本的长度，观测其误差. 在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验称为试验. 在概率论中，将满足下述条件的试验称为随机试验： （1）试验在相同条件下是可以重复进行的； （2）试验的结果不至一个，但全部可能结果事先是知道的； （3）每一次试验都会出现上述全部可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事先无法预知. 1.1.2随机现象的统计规律性 对一个随机试验来说，每次试验结果具有不确定性，规律性不强，但大量重复性试验的结果就存在一定的规律性. 例如，若抛掷一枚均匀硬币，一次抛掷，出现正面还是出现反面很难确定，但重复大量次抛掷，出现正面次数占抛掷总次数的1/2. 历史上有许多科学家做过抛掷硬币的试验. 抛掷均匀硬币，其结果见表1—1. 表1—1 历史上抛掷硬币试验概率论与数理统计课件第1章