数列求通项公式的常见题型与解题方法
数列求通项公式的常见题型与解题方法
数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起.探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现.本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.
数列这一章的主要章节结构为:
近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面:(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式.(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大.
题型1 已知数列前几项求通项公式
在我们的教材中,有这样的题目: 1. 数列2,0,2的通项n
a = .
2.数列1111
,,,12233445
--?
???L 的通项n
a = .
3.数列2
2
2
2
13571,1,1,12468+-+-L 的通项n
a = .
1、
n a =02
为奇数为偶数
n n ?? 2、n
a
=11(1)
()
n
n n -+ 3、
n a =1
2
211(2)1+()
n n n ---.
练习
例1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
例 2.观察下面数列的特点,写出每个数列的一个通项公式:
例3:写出下面数列的一个通项公式:
2222221314151(1),,,(;234151)1
n n a n +----=
+-1111(2),,,.12233441
1)()
5(1n
n a n n --????=-+((1)(65)1)1,7,13,19,;n
n
a n =----L (2)7,77,777,7777,777
7(101)
9
77,;n n a =-L (3)5,0,5,0,5,0,5,0,.5sin
2
n
n a
π
--=L
题型2 由a n 与S n 的关系求通项公式
1、已知数列
{}
n a 的前
n
项和
21
()
2
n S n n =+,则
n a =
.
2、已知数列{}n
a 的前n 项和32n
n
S
=+,则n
a =
3、设数列{a n }的前项的和S n =3
1(a n -1) (n *
∈N ). 31313(1)1,,,,,1(1),24562;3n n a n
-+-=
-?-L 31537(2),,,,,.52117172
32
n n a n +=+L
(Ⅰ)求a 1;a 2; (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列. 4、数列{a n
}的前n 项和 S n
=3·2n
-3,求数列的通项公
式.
5、设数列{a n
}的前n 项和为
S n =2n 2+3n+2
,求通项
a n
的表达式,并指出此数列是否为等差数列. 6、已知数列{a n
}的前n 项和为S n
,a 1
=2,且na
n+1
=S n +n(n+1)
,
求a n
.
7、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =2a n +(-1)n ,n ≥1.
(Ⅰ)写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3;(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式;
(Ⅲ)证明:对任意的整数m >4,有
4511178
m a a a +++ 7、解:⑴当n =1时,有:S 1=a 1=2a 1+(-1)? a 1=1;当n =2时,有:S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2?a 2=0; 当 n =3 时,有: S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3? a 3=2;综上可知 a 1=1,a 2=0,a 3=2; ⑵由已知得:1 112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----化简得: 1 1 22(1)n n n a a --=+- 上式可化为:1122(1)2[(1)]33 n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以1 1 2(1)3 a +-为首项, 公比为2的等比数列. 故121(1)233 n n n a -+-= ∴12122 2(1)[2(1)]333 n n n n n a --=--=--g 数列{n a }的通项公式为:22 [2(1)]3 n n n a -=--. ⑶由已知得:2324 5 111 3111[]221212(1)m m m a a a -+++=+++-+--L L 23111111[]2391533632(1)m m -=++++++--L 11111 [1]2351121 =+++++L 11111[1]2351020<+++++L 511 (1) 1452[]12312 m --=+-514221[] 23552m -=+-g 51311131041057()1552151201208 m -= -<=<=g .故4 5 111 7 8 m a a a +++< L ( m >4). 题型3 已知数列递推公式求通项公式 (公式法) 1、 已知数列{}n a 的首项1 1 a =,且13(2) n n a a n -=+≥,则 n a = . 2、数列{}n a 中,1 11,2 n n a a a +==+,求{}n a 的通项公式 . 3、已知数列{}n a 满足1 1=a ,111 1 =- +n n a a ,求n a . 4、数列{}n a 中,1121,2 n n n a a a a +== +,求{}n a 的通项公式 . 5、已知数列{}n a 的首项1 1 a =,且13(2) n n a a n -=≥,则 n a = . 6、 已知数列{}n a 的1 1 a =,2 2 a =且2 12n n n a a a ++=-,则 n a = . (累加法与累积法) 1、数列{}n a 中,1 11,n n a a a n +==+,求{}n a 的通项公式 . 2、数列{}n a 中,1 111,3n n n a a a -+==+,求{}n a 的通项公式 . 3、已知数列}a {n 满足1 a 1n 2a a 1n 1 n =++=+,,求数列}a {n 的 通项公式。 4、已知数列}a {n 满足3 a 132a a 1n n 1 n =+?+=+,,求数列}a {n 的 通项公式。 5、已知数列{}n a 的首项1 1 a =,且11 (2)n n n a a n n --= ≥,则 n a = . 6、已知数列}a {n 满足3 a a 5)1n (2a 1n n 1 n =?+=+,,求数列}a {n 的 通项公式。 (构建新数列) 1、已知数列{}n a 的首项1 1 a =,且123(2) n n a a n -=+≥,则 n a = . 2、数列{}n a 中,1 12,32 n n a a a +==+,求{}n a 的通项公式. 3、已知数列}a {n 满足n n 1 n 23a 2a ?+=+,2 a 1 =,求数列}a {n 的 通项公式。 4、已知数列}a {n 满足3 a 132a 3a 1n n 1 n =+?+=+,,求数列}a {n 的 通项公式。 5、已知数列}a {n 满足6 a 53a 2a 1n n 1 n =?+=+,,求数列}a {n 的 通项公式。 6、已知数列}a {n 满足1 a 425a 3a 1n n 1 n =+?+=+,,求数列} a {n 的通项公式。 7、 已知数列}a {n 满足1 a 5n 4n 3a 2a 12n 1 n =++?+=+,,求数列} a {n 的通项公式。 8、已知数列}a {n 满足98 a )3n 2()1n 2()1n (8a a 1 2 2n 1 n =++++ =+,,求数 列}a {n 的通项公式。 9、已知数列}a {n 满足4 a 1 a 424 a 21a 1n n 1 n =+-= +,,求数列}a {n 的 通项公式。 10、已知数列}a {n 满足2 a 3 a 22 a 7a 1n n 1 n =+-= +,,求数列}a {n 的 通项公式。 3、解:n n 1 n 23a 2a ?+=+两边除以1 n 2+,得2 32 a 2 a n n 1 n 1n + = ++,则 2 32a 2a n n 1 n 1n =-++, 故数列}2a {n n 是以1222 a 1 1 == 为首,以2 3为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得2 3) 1n (12a n n -+=,所 以数列}a {n 的通项公式为n n 2)2 1n 23(a -=。 4、解:1 32a 3a n n 1 n +?+=+两边除以1 n 3+,得1n n n 1 n 1n 3 1323a 3 a +++++ = , 则1n n n 1 n 1n 3 1 323 a 3a ++++= - , 故3a )3a 3a ()3a 3a ()3a a a ()a a 3 a ( 3 a 1 1 1223n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n n n +-++-+-+- =----------Λ 33)3132()3132()3132()3132(22n 1n n +++++++++=--Λ 1)3 1 31313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-= --Λ 因此n 1 n n n n 321213n 2131) 31(313)1n (23a ?- +=+--?+-=-, 则2 13213n 32a n n n -?+??= 5、解:设) 5x a (25x a n n 1n 1 n ?+=?+++ ④ 将n n 1 n 53a 2a ?+=+代入④式,得n n 1n n n 5x 2a 25x 53a 2?+=?+?++, 等式两边消去n a 2,得n 1n n 5x 25x 5 3?=?+?+,两边除以n 5, 得x 25x 3=?+,则x=-1,代入④式, 得) 5a (25a n n 1n 1 n -=-++ ⑤ 由1 565a 1 1 =-=-≠0及⑤式,得0 5a n n ≠-,则 2 5a 5a n n 1n 1n =--++, 则数列} 5a {n n -是以1 5a 11 =-为首项,以2为公比的等 比数列,则1 n n n 215a -?=-,故n 1n n 52a +=-。 6、解:设) y 2x a (3y 2x a n n 1n 1 n +?+=+?+++ ⑥将4 25a 3a n n 1 n +?+=+代入⑥式,得 ) y 2x a (3y 2x 425a 3n n 1n n n +?+=+?++?++ 整理得y 32x 3y 42 )x 25(n n +?=++?+。令? ??=+=+y 3y 4x 3x 25,则? ? ?==2 y 5 x , 代入⑥式,得 ) 225a (3225a n n 1n 1n +?+=+?+++ ⑦ 由0 13121225a 11 ≠=+=+?+及⑦式,得0 225a n n ≠+?+,则 3 2 25a 225a n n 1n 1n =+?++?+++, 故数列}225a {n n +?+是以13 121225a 11 =+=+?+为首项,以3 为公比的等比数列,因此1 n n n 313225a -?=+?+,则 2 25313a n 1n n -?-?=-。 7、解:设z )1n (y )1n (x a 21 n ++++++) z yn xn a (22n +++= ⑧ 将5 n 4n 3a 2a 2n 1 n ++?+=+代入⑧式,得 z )1n (y )1n (x 5n 4n 3a 222n +++++++??+) z yn xn a (22n +++=,则 z 2yn 2xn 2a 2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(a 22 n 2n +++=+++++++++ 等式两边消 去n a 2,得 z 2yn 2xn 2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(22++=++++++++, 则得方程组?? ? ??=+++=++=+z 25z y x y 24y x 2x 2x 3,则 ?? ? ??===18z 10y 3x ,代入⑧式, 得 18)1n (10)1n (3a 21n ++++++) 18n 10n 3a (22n +++= ⑨ 由0 323111811013a 21 ≠=+=+?+?+及⑨式,得0 18n 10n 3a 2n ≠+++ 则 2 18 n 10n 3a 18 )1n (10)1n (3a 2n 21n =+++++++++,故数列} 18n 10n 3a {2n +++为以 32 3111811013a 21=+=+?+?+为首项,以2为公比的等比数 列,因此1n 2n 23218n 10n 3a -?=+++,则18 n 10n 32a 24n n ---=+。 8、解:由 2 2n 1n )3n 2()1n 2() 1n (8a a ++++ =+及 9 8a 1= ,得 2 212)312()112() 11(8a a +?+?++ = 25 242592898=??+= 49 484925382524)322()122() 12(8a a 2 223=??+=+?+?++ = 81 808149484948)332()132() 13(8a a 2 234=??+=+?+?++ = 由此可猜测2 2n )1n 2(1)1n 2(a +-+= ,往下用数学归纳法证 明这个结论。 (1)当n=1时, 98 ) 112(1)112(a 2 21=+?-+?=,所以等式成立。 (2)假设当n=k 时等式成立,即2 2k )1k 2(1 )1k 2(a +-+= , 则当1k n +=时, 2 2k 1k )3k 2()1k 2() 1k (8a a ++++ =+ 222222 22 2 2 22222222)3k 2()1k 2()1k 2()3k 2()1k 2()3k 2()1k 2() 1k (8)3k 2()3k 2()1k 2()3k 2()1k 2()1k (8)3k 2](1)1k 2[()3k 2()1k 2()1k (8)1k 2(1)1k 2(+++-++= +++++-++= +++++-+= +++++-+= 2 22 2]1)1k (2[1]1)1k (2[)3k 2(1)3k 2(++-++=+-+= 由此可知,当n=k+1时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何* N n ∈ 9、解:令1 x 424 x 21x +-=,得0 24x 20x 42 =+-,则3 x 2x 21 ==,是 函数 1 x 424 x 21)x (f +-= 的两个不动点。因为 9 13 27a 926a 13)1a 4(324a 21)1a 4(224a 213 1 a 424a 212 1a 424 a 213a 2a n n n n n n n n n n 1n 1n = --=+--+--=-+--+-=--++。3 a 2a n n --,所以 数列}3a 2a {n n --是以2342 43 a 2a 11 =--=--为首项,以9 13为公比的等比数列,故3a 2a n n --1n )9 13 (2-=,则3 1)9 13 (21a 1n n +-= -。 10、 解:令3x 22 x 7x +-=,得0 2x 4x 22 =+-,则x=1是函数 )x (f 7 x 41x 3+-= 的不动点。 因为3 a 25 a 513a 22a 71a n n n n 1 n +-=-+-= -+,所以 =-+1a 11n 5 21a 1)1a 25 1(521a 23a 525a 53a 2n n n n n n +-=-+=-+ ? =-+,所以数列 }1 a 1{n -是以11211a 11 =-=-为首项,以5 2 为公差的等差数列,则52 )1n (11a 1n ?-+=-,故3 n 28 n 2a n ++= 。 评注:本题解题的关键是先求出函数7x 4 1 x 3)x (f +-=的不动点,即方程3x 22 x 7x +-=的根1x =,进而可推出5 2 1a 11 a 1n 1n +-= -+,从而可知数列}1a 1{n -为等差数列,再 求出数列}1a 1{n -的通项公式,最后求出数列}a {n 的通 项公式。 求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 一。 2.解题步骤:若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 练习. 已知数列 } {n a 满足31=a , ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和 n a n 1 2- = 评注:已知a a =1,) (1n f a a n n =-+,其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函 数、指数函数、分式函数,求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于: 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列,累乘法是最基本的二个方法之 二。 2.解题步骤:若 1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===,,, 两边分别相乘得,1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:因为112(1)53n n n a n a a +=+?=,,所以0n a ≠,则 1 2(1)5n n n a n a +=+,故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案: =n a ) 1()!1(1+?-a n -1. 【关键字】方法、关键、关系、满足 1,数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222 n n n n a a ++-= ,故数列{}2n n a 是以122 2 a 1 1==为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:因为112(1)53n n n a n a a +=+?=,,所以0n a ≠,则 1 2(1)5n n n a n a +=+,故 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 (1)1=k 时,}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列,)(1b a n b a n -+?= (2)1≠k 时,设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数:b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列,公比为k ,首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 (1)1=k 时,)(1n f a a n n =-+,若)(n f 可求和,则可用累加消项的方法。 例:已知}{n a 满足11=a ,)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解: ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这(1-n )个式子求和得: n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = (2)1≠k 时,当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得:1-=k a A ,2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项,k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 (3)n q n f =)((≠q 0,1) 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 (1)若)(n f 是常数时,可归为等比数列。 (2)若)(n f 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。 例:已知: 311= a ,1121 2-+-=n n a n n a (2≥n )求数列}{n a 的通项。 解:123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。 1,数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222 n n n n a a ++-= ,故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 常见数列通项公式的求法 公式: 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习:数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式. 2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. (1) 当()f n d =为常数时,{}n a 为等差数列,则()11n a a n d =+-; (2) 当()f n 为n 的函数时,用累加法. 方法如下:由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时,() 11n n a a f n --=-, () 122n n a a f n ---=-, ()322a a f -=, () 211a a f -=, 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ (3)已知1a ,()n f a a n n =-+1,其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若()f n 可以是关于n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若()f n 可以是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若()f n 可以是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式. 数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2n n a 是 以1222 a 1 1==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 (1)主题:求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如:特殊情况:当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠,常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ; 的通项公式,进而求得n a 。 二、 形n a a * ; 三、 形 ()x f x =) 情形1:1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根,得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2:1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根; (1)当12λλ≠时,数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列; (2)当12 =λλλ =时,数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程:递推式为a n+1= d ca b aa n n ++(c ≠0,a,b,c,d 为常数)型的数列 a n+1-λ= d ca b aa n n ++-λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ,令λ=-λ λc a d b --,可得λ=d c b a ++λλ ……(1)。(1)是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ,a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程(1)有两个不同根λ1,λ2时,有 a n+1-λ1= d ca a c a n n +--))((11λλ,a n+1-λ2=d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a =21λλc a c a --?21λλ--n n a a ,令b n =21λλ--n n a a 有b n +1= 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程(1)出现重根同为λ时, 由a n+1-λ= d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a =))((λλ--+n n a c a d ca =λ c a c -+))((λλλ--+n a c a c d ( “分离常数”)。设c n =λ-n a 1 得c n +1= λ λc a c d -+?c n + λ c a c -】 创作编号:GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法:已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列,根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1:已知{}n a 是一个等差数列,且5,152-==a a ,求{}n a 的通项公式. 分析:设数列{}n a 的公差为d ,则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式,求n a . 例2:已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ,求通项n a . 分析:当2≥n 时,1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式,() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式,求n a . 例3:已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +,其中11=a ,求n a . 分析: 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注:解决这类问题的方法,用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”,由n s 与n a 的关系式,类比出1-n a 与 的关系式,然后两式作差,最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法:当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1,即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时, 可以用这种方法. 例4: ()12,011-+==+n a a a n n ,求通项n a 分析: 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ,所以()2 1-=n a n ()2≥n ,而01=a 也适合上式, ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=,即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时,就可以用这种方法. 例5:111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析: 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 求数列通项公式的常用方法 类型1、()n n S f a = 解法:利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且*1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项公式? 1n n S a =-,∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-,∴ 112n n a a +=,又112a =,12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中,3 1 1= a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式 变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1,其中{}b n 是首项为1,公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式; 变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()n n a S n +=∈N .求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式; 变式6. 已知在正整数数列}{n a 中,前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S (1)求证:}{n a 是等差数列 (2)若n b 3021 -=n a ,求}{n b 的前n 项 和的最小值 递推数列通项求解方法 类型一:1n n a pa q += +(1p ≠) 思路1(递推法):()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2(构造法):设()1n n a p a μμ++=+,即()1p q μ-=得1 q p μ= -,数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列,则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??,即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:方法1(递推法): ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2(构造法):设()12n n a a μμ++=+,即3μ=,∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列,则113422n n n a -++=?=,即1 23n n a +=-。 1n n +思路1(递推法): 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2(叠加法):1(1)n n a a f n --=-,依次类推有:12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=,将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ,即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =,1n n a a n -=+,求n a 。 解:方法1(递推法):123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2(叠加法):1n n a a n --=,依次类推有:121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=,将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ,12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。 求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法: 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列,根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法: 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式,求n a .(分3步) 三、n s 与n a 的关系式法: 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式,求n a .(分3步) 四、累加法: 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1,即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时, 就可以用这种方法. 五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=,即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时,就可以用这种方法. 六、构造法: ㈠、一次函数法:在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+(,k b 均为常数且0k ≠),从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式,这时用下面的 方法:------+常数P ㈡、取倒数法:这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈(,,k m p 均为常数 0m ≠) ,两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法:一般情况下适用于1k l n n a a -=(,k l 为非零常数) 例8:已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析:由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项,以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+(c b ,为常数且不为0,*,N n m ∈)”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型,可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ,令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外,还有嵌套法(迭代法)、归纳猜想法等,但这8种方法是经常用的,将其总结到一块,以便于学生记忆和掌握。 最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意:求完后一定要考虑合并通项) 例2.①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-,求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10< 递推式求数列通项公式常见类型及解法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列,也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。 一、型 例1. 在数列{a n}中,已知,求通项公式。 解:已知递推式化为,即, 所以 。 将以上个式子相加,得 , 所以。 二、型 例2. 求数列的通项公式。解:当, 即 当,所以。 三、型 例3. 在数列中,,求。解法1:设,对比 ,得。于是,得 ,以3为公比的等比数列。 所以有。 解法2:又已知递推式,得 上述两式相减,得,因此,数列是以 为首项,以3为公比的等比数列。 所以,所以 。 四、型 例4. 设数列,求通项公式。 解:设,则, , 所以, 即。 设这时,所以。 由于{b n}是以3为首项,以为公比的等比数列,所以有。 由此得:。 说明:通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列)。 五、型 例5. 已知b≠0,b≠±1,,写出用n和b表示a n的通项公式。 解:将已知递推式两边乘以,得 ,又设, 于是,原递推式化为,仿类型三,可解得,故。 说明:对于递推式,可两边除以,得 ,引入辅助数列 ,然后可归结为类型三。 六、型 例6. 已知数列,求。 解:在两边减去。 所以为首项,以 。 所以令上式,再把这个等式累加,得 。所以。 说明:可以变形为,就是 ,则可从,解得,于是是公比为的等比数列,这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。 转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差、等比数列,根据不同的递推公式,采用相应的变形手段,达到转化的目的。 常见数列通项公式的求法-中学数学论文 常见数列通项公式的求法 邹后林 (会昌中学,江西赣州342600) 摘要:数列的通项求法灵活多样,需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法,题型繁杂,方法琐碎,笔者结合近几年的高考情况,对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。 关键词:数列;通项公式;求法 中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1005-6351(2013)-12-0031-01 例1:已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n∈N*),等差数列{bn}中,bn0 (n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列。 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。 解:(1)∵a1=1,an+1=2Sn+1 (n∈N*), ∴an=2Sn-1+1 (n∈N*,n1), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1), 即an+1-an=2an,∴an+1=3an (n∈N*,n1)。 而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1。 ∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1 (n∈N*)。∴a1=1,a2=3,a3=9, 在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15, ∴b2=5。 又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d,则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2。 ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,∵bn0 (n∈N*),∴舍去d =-10,取d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1 (n∈N*)。 (2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)3n,② ∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n 数列通项公式的几种求法 注:一道题中往往会同时用到几种方法求解,要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = (七)、对数变换法 (当通项公式中含幂指数时适用) (八)、迭代法 (九)、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ (1)()f n d = (2)()f n n = (3)()2n f n = 例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。(3 1.n n a n =+-) 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ (1)()f n d = (2)()f n n =, 1 n n +,2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 ((1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???) 评注:本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+,进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ,即得数列{}n a 的通项公式。 例4 (20XX 年全国I 第15题,原题是填空题) 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ,,求{}n a 的通项公式。(! .2 n n a = ) 评注:本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥,进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ,从而可得当2n n a ≥时,的表达式,最后再求出数列{}n a 的通项公式。 1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时,a n 1 1时,设a n km m ka n 1 时, a n } 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这(n b {a n } 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ,首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f (n )可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n (n 1)求{a n }的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n (2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B}是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积,可用累积约项的方法化简求通项。 例:已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列{a n}的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4] 1,数列通项公式的几种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2n n a 是 以1222 a 1 1==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 一.数列通项公式求法总结: 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征:适应于已知数列类型(等差或者等比). 例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,2 55a S =.求数列{}n a 的通项公式. 变式练习: 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征:已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式,求}{n a 的通项公式。 (1)13-+=n n S n 。 (2)12 -=n s n 变式练习: 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S =2n 2 +n ,n ∈N ﹡,数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3,n ∈N ﹡.求n a ,n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+(*k N ∈),且S n 的最大值为8,试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ,2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征:递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。求数列通项公式的常用方法(有答案)
数列通项公式方法大全很经典精品
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
数列通项公式方法大全很经典
数列通项公式的求法(较全)
数列通项公式方法大全
高中数学数列通项公式的求法(方法总结)
求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式方法大全
九类常见递推数列求通项公式方法
求数列通项公式常用的八种方法
史上最全的数列通项公式的求法13种
数列通项公式的十种方法(已打)
常见数列通项公式的求法
数列通项公式求法大全(配练习及答案)
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
数列通项公式方法大全很经典 - 副本
数列通项公式、前n项和求法总结全