电动力学
3. 设2
22)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=
为源点'x 到场点x
的距离， r 的方向规定为从源点指向场点。
证明下列结果，并体会对源变量求微商与
对场变量求微商的关系：r r r /'r =-?=? ；
3/)/1(')/1(r r r r -=-?=?，0)/(3=??r r ；
0)/(')/(33=?-?=??r r r r )0(≠r 。
（1）证明：2
22)'()'()'(z z y y x x r
-+-+-=
○1 r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=?
r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1('r e e e -=
------=?
可见
r r '-?=?
○2 3
211d d 1r r r r r r r r
-=?-=???
? ??=
?
?? ???
32'1'1d d 1'r r r r r r r r =?-=???
?
??=??? ???
可见
()()r r /1'/1-?=?
○3 r r r r ??+??=??=??)/1()/1(])/1[()/(3
33
3
r r r r
0301d d 43=?-=+????? ??=
r r r r
r r r r
○
4 r r r r ??+??=??=??3
3331)/1(])/1[()/(r
r r r 03
33
4=+?-
=r
r r r r ， )0(≠r 9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度p
ρ
总是等于体自由电荷密度f ρ的)/1(0εε--倍。
证明：在均匀介质中
E E P )()1/(000εεεεε-=-=
所以
D E
P ??--=??--=?-?=)/1)(()(00εεεεερp
f
f ρεερεεε)/1(]/)[(00--=--=
3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ， 球的电容率为ε
，球外为真空，试 用分离变量法求空间电势，把结果与 使用高斯定理所得结果比较。 解：（一）分离变量法 空间各点的电势是点电荷f Q 的 电势R Q f
πε4/与球面上的极化电荷
所产生的电势的迭加。设极化电荷产 生的电势为
?'，它满足拉普拉斯方程。
在球坐标系中解的形式为：
）（）（内θ?cos 1
n n
n n
n n P R b R a ∑++
=' ）（）（外θ?cos 1n n
n n n n P R d R c ∑++=' 当∞→R 时，0→'外?，0=∴n c 。
当0→R
时，内
?'为有限，0=∴n b 。 所以）
（内
θ?cos n n
n
n P R a ∑=' ，
）（外
θ?cos 1n
n
n n
P R
d ∑+=' 由于球对称性，电势只与R 有关，所以 )1(,0≥=n a n )1(,0≥=n d n
0a ='内
?， R d /0='外? 所以空间各点电势可写
成R Q a f
πε?40
+=内
R Q R d f πε?40+=外
当0
R R →时，由
外内??=得000/R d a =
由n
n ??=??外内?ε?ε0
得：20
002
0020
44R d R Q R Q f f
επεεπ+=
，
)11
(
400ε
επ-=
f
Q d 则
)11(4000ε
επ-=
R Q a f
所以
）
（内ε
εππε?114400-+=R Q R Q f f ）
（
外ε
εππε?11
440-+
=
R
Q R
Q f f R Q f 04πε= 二）应用高斯定理
在球外，R>R 0 ，由高斯定理得：
f
p f Q Q Q Q d =+==??总外s E 0ε，
（整个导体球的束缚电荷0=p
Q ）
， 所以
r f R
Q e E 2
04πε=
外 ，积分后得：
R
Q dR R
Q d f R
R
f 02
044πεπε???
∞
∞
=
=?=R E 外外
在球内，R f Q d =??s E 内ε，所以 r f R Q e E 2 4πε= 内 ，积分后得： R Q R Q R Q d d f f f R R R 00外内内4440 πεπεπε?+-= ?+ ?= ??∞ R E R E 结果相同。 5. 空心导体球壳的内外半径为 1R 和2R ， 球中心置一偶极子p 球壳上带电Q ， 求空间各点的电势和电荷分布。 解：以球心为原点，以p 的方向为极轴方向 建立球坐标系。在1R R < 及2R R >两均匀 区域，电势满足拉普拉斯方程。通解形式均为 ）（）（θcos 1 n n n n n n P R b R a ∑ ++ 当∞→R 时，电势趋于零，所以2R R >时, 电势可写为）（θ?cos 1o n n n n P R b ∑ += (1) 当0→R 时，电势应趋于偶极子p 激发的电势： 20304/cos 4/R p R f πεθπε=?R p 所以 1R R <时，电势可写为 ）（θπεθ?cos 4cos 20n n n n i P R a R p ∑+= (2) 设球壳的电势为 s ?,则 s n n n R P R b ?θ?==∑ ）（cos 2 o 2 (3) s n n n n R i P R a R p ?θπεθ?=+=∑） （cos 4/cos 12101 (4) 由(3)得20R b s ?= ；)0(0 ≠=n b n 由(4)得s a ?=0 ；31014/R p a πε-= ； )1,0(0≠=n a n 所以 R R s /2o ??=(5) 310204/cos 4/cos R pR R p s i πεθ?πεθ?-+= (6) 再由 Q R R R R s S ==????220o 04d π?ε?ε S 得： 204/R Q s πε?= (7) 将(7)代入(5)(6)得： R Q 0o 4/πε?= )(2R R > )( 414cos 44cos 3 123 310202 0R R Q R R pR R Q R p i R p R p ?-+ ?= -+=πεπεθπεπεθ? 在 2R R =处，电荷分布为： 22 o 042 R Q R D R n π? εσ=??-== 在 1R R =处，电荷分布为： 3 10 4cos 3'1 R p R D R i n πθ?εσ- =??=-= 11. 在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部 （如图），半球的球心在导体平面上，点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （b >a ）， 试用电象法求空间电势。 解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导 体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型， 可确定三个镜像电荷的电量和位置。 Q b a Q -=1，z b a e r 21=； Q b a Q =2， z b a e r 22-=；Q Q -=3，z b e r -=3，所以 ) ,0(,] cos 2cos 2cos 21cos 21[ 42 242 2 24222220a R R b a b a R b a R b a b a R b a Rb b R Rb b R Q ><≤-++ +++ ++--+= πθθ θ θ θ πε? 12有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接 地导体平面所围成的直角空间内，它到 两个平面的距离为a 和b ， 求空间电势。 解：用电像法，可以构造如图所示的三 个象电荷来代替两导体板的作用。 - -+-+-= 2 2200 )()()(1 [ 4b z a y x x Q πε? 2 2 2 0) ()()(1 b z a y x x ++-+-- ) 0,(,])()()(1 )()()(1 2 2 2 02 220>++++-+ -+++--z y b z a y x x b z a y x x 四2. 一平面电磁波以=θ45°从真空入射 到 2=r ε的介质，电场强度垂直于入射面， 求反射系数和折射系数。 解：设 n 为界面法向单位矢量，S 、'S 、 "S 分别为入射波、反射波和折射波的 玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数T 定义为： 20 20''E E R = ??= n S n S ，2 012 02cos ""cos "E n E n T θθ=??= n S n S 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得 2 2121 "cos cos "cos cos ? ?? ? ??+-=θεθεθεθεR ， R T -=+= 1) "cos cos ("cos cos 42 2121θεθεθθεε 根据折射定律可得：?= 30"θ，代入上式，得 3 232+-= R ， 3 23 2+= T 9. 无限长的矩形波导管，在z=0处被一块 垂直插入的理想导体平板完全封闭，求在 -∞=z 到z=0这段管内可能存在的波模。 解：在此结构的波导管中，电磁波的传 播满足亥姆霍兹方程： 022=+?E E k ，0 0εμω=k ，0=??E 电场的三个分量通解形式相同，均为： ) cos sin ()cos sin () cos sin (),,(332211z k D z k C y k D y k C x k D x k C z y x E z z y y x x +++= 边界条件为： 在 0=x 及a x =两平面：0==z y E E ，0/=??x E x 在0=y 及b y =两平面：0==z x E E ，0/=??y E y 在0=z 平面： 0==y x E E ，0/=??z E z 由此可得：z k y k x k A E z y x x sin sin cos 1= z k y k x k A E z y x y sin cos sin 2= z k y k x k A E z y x z cos sin sin 3= 波数满足：a m k x /π=，b n k y /π=，（??????=2,1,0,n m ） 2200222 2/c k k k z y x ωεμω==++ 振幅满足： 0//321=++z k A b n A a m A ππ 综合上述各式，即得此种波导管中所有可能电磁波的解。 11. 写出矩形波导管内磁场H 满足的方程及边界条件。 解：对于定态波，磁场为：t i e t ω-=)(),(x H x H 由麦氏方程组E D H ωεi t -=??=? ?/， 0=??H 得：E H H H H ??-=-?=?-???=????ωεi 22 )()( 又H B E ωμi t =?-?=??/ H E H μεωωε22=??-=-?∴i 所以022=+?H H k ，μεω22 =k ， 0=??H 即为矩形波导管内磁场H 满足的方程 由 0=?B n 得：0=?H n ，0=n H 利用H E ωμi =??和电场的边界条件可得0/=??n H t 边界条件为：0=n H ，0/=??n H t 六2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参 考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一 参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求 站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得系相对 于 1'∑的速度大小是)/1/(2'22c v v v +=（1） ∴在系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为 2 20/'1c v l l -=（2），将（1）代入（2）即得： )/1/()/1(22220c v c v l l +-=（3） 此即是在 1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。 3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球， 求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S’， 2'∑1'∑ 于是相对于地面参考系S ，车长为2 20/1c v l l -=（1） 车速为v ，球速为)/1/()(2 00c v u v u u ++= （2） 所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁 l t v t u +?=?所以)/(v u l t -=?（3） 将（1）（2）代入（3）得：2 20200/1)/1(c v u c v u l t -+= ?（4） 4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过 某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲 电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上 的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照 亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上， 与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。 解：取地面为静止的参考系∑ ，列车为运动的参考系。 取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致， 令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系 与'∑的原点，如图。 在 ∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左 右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为 ) /1(/1/1'2 202 20c v c v l c v vt l x --= --= 右 )/1(/1/1'2 20 220c v c v l c v vt l x +--=---= 左 即：)/1(/1'2 20 c v c v l d --=右, )/1(/1'2 2 c v c v l d +--= 左时间差为 2 220 /12''c v c vl c d c d t -= -=?右左 6. 在坐标系 ∑中，有两个物体都以速度u 沿x 轴运动 ，在∑ 系看来，它们一直保持距离l 不变，今有一观察 者以速度v 沿x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为系, 又取固着于A B 两物体的参考系为系.在中, A B 以速度 u 沿 x 轴运动,相距为l ；在"∑系中, A B 静止相距为l 0，有：2 20/1c u l l -= ∴ 2 2 0/1c u l l -= 又系相对于 以速度v 沿 x 轴运动， 系相对于∑系以速度u 沿x 轴运动， 由速度合成公式"∑系相对于系以速度2 /1'c uv v u v --= 沿 轴运动，所以，在系中看到两物体相距 三9. 将一磁导率为μ，半径为0R 的球体， 放入均匀磁场 0H 内，求总磁感应强度B 和 诱导磁矩m 。(对比P49静电场的例子。) 解：根据题意，以球心为原点建立球坐标， 取H 0的方向为z e ，此球体被外加磁场磁化 后，产生一个附加磁场，并与外加均匀场 相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。 本题所满足的微分方程为： ?????>=?<=?) (,0 )(,0022012R R R R m m ?? （1） 自然边界条件： 01=R m ?为有限；θ?cos 02R H R m -=∞=。 衔接条件：在0R R =处满足 21m m ??= 及 R R m m ??=??//201?μ?μ 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为： ∑∞ ==0 1)(cos n n n n m P R a θ?； ∑∞ =+-+-=0 )1(02)(cos cos n n n n m P R d R H θθ? 由两个衔接条件，有 ∑∑∞ =+-∞ =+ -=0) 1(00 ) (cos cos )(cos n n n n n n n n P R d R H P R a θθ θ ∑∑∞ =+-∞ =-+--=0 )2(0000 1) (cos )1(cos )(cos n n n n n n n n P R d n H P nR a θμθ μθμ 比较)(cos θn P 的系数，解得：)2/(30001μμμ+-=H a ； )2/()(030001μμμμ+-=R H d ； 0==n n d a ，)1(≠n 即：)2/(cos 30001 μμθμ?+-=R H m ，（0R R <） 203 00002)2/(cos )(cos R R H R H m μμθμμθ?+-+-=， （0R R >）)2/(300011μμμ?+=-?=∴H H m ] )(3[2)(30503000022R R R m H R R H H H -?+-+ =-?=μμμμ? ?????<-?+-+=<+==)(,])(3[2)()(,)2/(30305030000002000001R R R R R R R H R R H H H H H B μμμμμμμμμμμμ 在R )2/()(4)3/4(003 0030μμμμππ+-===∴?H M M m R R dV V 3. 证明沿z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势 ) (ωτA 表示，其中 c z t /-=τ，A 垂直于z 轴方向。 证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播，势的方程为 ?????=??-?=??-?0 /0/2200222002t t ?εμ?εμA A 沿z 轴方向传播的平面波解为 )(0t kz i e ω-=A A ， )(0t kz i e ω??-= A 与 ? 满足洛伦兹条件： /00=??+??t ?εμA 。所以 000=-??εωμi i A k ，即 ω?/2A k ?=c 因此，只要给定 A ，就可以确定 ? ，从而 E 和B 随之确定。由于 A k A B ?=??=i ， n B E ?=c 所以E 和B 只与矢势的横向分量有关，即平面电磁波可由⊥A 来表示，即 ⊥⊥?=??=A k A B i ， n B E ?=c 其中 ωτωωi c z t i t kz i e e e -⊥--⊥-⊥⊥===0)/(0)(0A A A A 根据题意⊥A 可记为)(ωτA ，其方向与z 轴垂直。 5. 设A 和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势。 （1）引入一矢量函数),(t x Z （赫兹矢量），若令Z ??=?，证明t c ??= Z A 2 1。 （1）证明：A 和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有(1) 将 Z ?-?=?代入（1）得： 012=??-?? + ??）（Z A t c （2） 即： ） （t c ????=??Z A 21， 所 以 t c ??= Z A 21 （3） '∑'∑"∑∑'∑∑"∑'∑'x '∑2 2 22 2 /1/1/'1'c uv c v l c v l l --= -=012=??+ ??t c ? A 郭硕鸿《电动力学》课后答案 第 40 页 电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明： （1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++= 1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场； 2 极化体电荷和极化面电荷分布。 解（1） f s D ds dV ρ→ ?=??， （r 2>r> r 1） 即：()2 3 31 443 f D r r r π πρ?=- ∴()3 313 3f r r E r r ρε→ -= ， （r 2>r> r 1） 由 ()33 210 43f f s Q E d s r r πρεε?= = -? ， （r> r 2） ∴()3 32 13 03f r r E r r ρε→ -= ， （r> r 2） r> r 1时， 0E = （2）()0 00 00 e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()33310103 30033303p f f f f r r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε??-?? -??=-??=--??=-??- ???????--=--=- （r 2>r> r 1） 12p n n P P σ=- 考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0 () () 2 3 333 1021103 3 2 133p n f f r r r r r r P r r r εσεερρεε=--??==-=- ??? 考虑内球壳时， r= r 1 () () 1 3 3103 03p f r r r r r r σεερε=-=--= 1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求 （1） 电容器两板上的自由电荷密度ωf （2） 介质分界面上的自由电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？ 解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向 则11221211220(0) n n f l E l E E D D E E εεσ-=???-=-==??介质表面上 故：211221 E E l l εεε= +，121221 E E l l εεε= + 又根据12n n f D D σ-=， （n 从介质1指向介质2） 在上极板的交面上， 112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0 即：11211221 f E D l l εεσεε==+ 而20f σ= 3 122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0） ∴31 121221 f f E l l εεσσεε=- =-+ 若是漏电，并有稳定电流时，由j E σ = 可得 1 11 j E σ= ， 2 22 j E σ= 又1 21 2121212,() n n j j l l E j j j j σσ?+=???===?稳定流动 第一章 一、总结 1．电磁场的六大基本方程及其对应的边值关系 2．介质的特性 欧姆定律： 焦耳定律： 另外常用： ； （可由上面相关公式推出） 3．洛仑兹力密度公式、电荷守恒定律 洛仑兹力密度公式： 由此式可导出： 电荷守恒定律： 稳恒条件下： 4．能量的转化与守恒定律 积分式： 其中， 微分式： 或 5．重要推导及例题 (1) .六个边值关系的导出； (2) .由真空中的麦克斯韦方程推出介质中的麦克斯韦方程； (3) .能流密度和能量密度公式的推导； (4) .单根导线及平行双导线的能量传输图象； (5) .例题：所有课堂例题。 6．几个重要的概念、定义 (1) ； (2) ； (3) .矢量场的“三量三度”（见《矢量场论和张量知识》）和麦克斯韦电磁理论的“四、三、二、一”，其中“三量三度”见《矢量场论和张量知识》。 第二章 (1).唯一性定理的两种叙述 一般介质情况下的唯一性定理 有导体存在时的唯一性定理 (2).引入静电场标势的根据，的物理意义，的积 分表式 (3).与静电场标势有关的公式 (4).电多极展开的思想与表式，Dij=? a. 小区域电荷系在远区的电势 其中 为体系总电量集中在原点激发的电势； 为系统电偶极矩激发的电势； 为四极矩激发的势。 b. 电偶极矩、电四极矩 为体系的总电量 为体系的总电偶极矩 为体系的总电四极矩 c. 小电荷系在外电场中的能量 为电荷集中于原点时在外电场中的能量； 电力线 ； 为偶极矩在外场中的能量 为四极矩在外场中的能量 d. 用函数表示偶极矩的计算公式 其中；的定义满足 2．本章重要的推导 (1).静电场泊松方程和拉普拉斯方程导出：(1).；(2). (2).势函数的边值关系：(1)；(2) (3).静电场能量： (4).静电场的引出。 由于静电场与静磁场的理论在许多情况下具有很强的对称性的，许多概念、知识点及公式也具有类似的形式，所以我们将第二、第三章的小结编排在一起，以利于巩固和复习。 第三章 1．基本内容 (1).引入的根据，的积分表式，的物理意义 (2).引入的根据及条件，的积分表式及物理意义 (3).磁标势与电标势（）的比较及解题对照 标势 引入根据； ； 等势面电力线等势面磁力线等势面 势位差 微分方程 ； ； 边值关系 (4).磁多极展开与有关公式， a. 小区域电流在外场中的矢势 电动力学问题 1.说说为什么在非稳情况下要引入位移电流？ 答：在非稳情况下，一般有0J ??≠，那么根据电荷守恒定律，0B J μ??=则不成立。由于电荷守恒定律是精确的普通规律，而0B J μ??=仅是根据稳恒情况下的实验定律导出的特殊规律，所以为了将0B J μ??=修改为服从普遍电荷守恒定律的要求，从而引入位移电流。 2.试叙述麦克斯韦方程组的重要作用。 答：麦克斯韦方程组是对电磁场基本规律作出的总结性，统一性的简明而完美的描述。它揭示了电磁场内部作用和运动，预告了电磁波的存在。指出光波是一种电磁波，同时揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。 3.为什么在两介质分界面上，我们要用边值关系来描述界面两侧的场强与界面上电荷电流的关系？ 答：在介质的分界面上，由于一般出现面电荷电流的分布，使得界面两侧的场量发生跃变，微分式的麦克斯韦方程组不在适用，因此在介质分界面上，我们要用边值关系来描述界面两侧场强与界面上电荷电流的关系。 4.试推导电荷守恒定律的积分形式并叙述其物理意义。 答：令ω为场的能量密度，S 为能流密度，f 表示场对电荷作用力密度，则场对电荷系统所做的功率为： v f f vdv ? 内场能量增加率为： v d f dv dt ω 通过界面S 流入V 内的能量为： s s d σ-?? 则能量守恒定律的积分形式为： s s d σ-??=v f f vdv ?+ v d f dv dt ω 物理意义：单位时间通过界面S 流入V 内的能量等于场对V 内电荷作功的功率与V 内电磁场能量增加率之和。 5.静电场的基本规律是什么？ 答：包括以下几方面： ① 泊松方程：2ρ ?ε ?=- ② 边值关系：12//s s ??= 222 1n n ?? εεσ??-=-?? 或21n n D D σ-=- 电动力学习题 第一章 习题 练习一 1. 若a 为常矢量, k z z j y y i x x r )'()'()'( 为从源点指向场点的矢量, k E ,0为常 矢量,则 )(2a r _____ , )(r a ___, r ___, r , r _____, )(r a ______, r r ______, r r ______， )(A _______. )]sin([0r k E ________, 当0 r 时, )/(3r r ______. )(0r k i e E _______, )]([r f r ________. )]([r f r ____________ 2. 矢量场f 的唯一性定理是说：在以 s 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的_______ 和____________,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 f 在V 内唯一确定. 练习二 3. 当下列四个选项(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 4. 电荷守恒定律的微分形式为_______________,若J 为稳恒电流情况下的电流密度,则J 满足 _______________. 5. 场强与电势梯度的关系式为__________.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为 )4/(30R R P ，则该点的场强为__________. 6. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为a 的球体内,则在球外)(a r 任意一点D 的散度为 _____________, 内)(a r 任意一点D 的散度为 ____________. 7. 已知空间电场为b a r r b r r a E ,(3 2 为常数），则空间电荷分布为______. 8. 电流I 均匀分布于半径为a 的无穷长直导线内，则在导线外)(a r 任意一点B 的旋度的大 小为 ________, 导线内)(a r 任意一点B 的旋度的大小为___________. 9. 均匀电介质（介电常数为 ）中,自由电荷体密度为f 与电位移矢量D 的微分关系为 _____________, 缚电荷体密度为P 与电极化矢量P 的微分关系为____________,则P 与 f 间的关系为________________________________. 10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P ，若在介质中挖去半径为R 的球形区域，设空 心球的球心到球面某处的矢径为R ，则该处的极化电荷面密度为_____________. 11. 电量为q 的点电荷处于介电常数为 的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为___________. 12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J ,磁化电流密度为M J ,磁导率 ,磁场强度为H ，磁 1. 电磁场能量守恒定律的推导 应用麦克斯韦方程组 ???????? ???+ =??=????-=??=??t D J H B t B E D 0 ρ 和洛仑兹力公式B v E f ?+=ρρ及v J ρ=，结合公式 E H H E H E ???-???=???)()()( 可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为 E v v B v E v f ?=??+=?ρρρ)( E t D H E J ???-??=?=)( E t D E H ???-???=)( [] E t D H E H E ???-???+???-=)()( E t D H t B H E ???-???-??-?=)( 令 H E S ?= H t B E t D t w ???+???=?? 对应的积分形式为 注释: 对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w ???+???=??给出 能量密度为 ) (21B H D E w ?+?= 而H E S ?=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。 ************************************************ 练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯 定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。 2. 静电势?满足泊松方程的推导 对于各向同性线性介质，将 E D ε=，?-?=E 代入f D ρ=?? 得 f E E E ρ?ε?εεεε=?-??-?=??+??=??2)( 即 ρ?εε ?f -=???+ ?1 2 对于均匀介质, 有0=?ε 此即为静电势?满足的泊松（poisson ）方程，其中f ρ为自由电荷体密度。 注释: 当0=?ε，或E ⊥?ε时，均有0=????ε，?仍满足泊松方程。 3. 静电场能量公式的推导 在线性介质中，电场总能量为 ?∞ ?=dV D E W 21 对于静电场，利用 ρ?=??-?=D E ,给出 ρ?????+?-?=??-??-=?-?=?)(])([D D D D D E 所以 ?????∞∞∞∞∞+?-=+??-=?dV s d D dV dV D dV D E ρ??ρ?? )( 又 =?? ∞ s d D ?，故 论动体的电动力学 大家知道，麦克斯韦电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的。比如设想一个磁体同一个导体之间的电动力的相互作用。在这里，可观察到的现象只同导休和磁体的相对运动有关，可是按照通常的看法，这两个物体之中，究竟是这个在运动，还是那个在运动，却是截然不同的两回事。如果是磁体在运动，导体静止着，那么在磁体附近就会出现一个具有一定能量的电场，它在导体各部分所在的地方产生一股电流。但是如果磁体是静止的，而导体在运动，那么磁体附近就没有电场，可是在导体中却有一电动势，这种电动势本身虽然并不相当于能量，但是它——假定这里所考虑的两种情况中的相对运动是相等的——却会引起电流，这种电流的大小和路线都同前一情况中由电力所产生的一样。 堵如此类的例子，以及企图证实地球相对于“光煤质”运动的实验的失败，引起了这样一种猜想：绝对静止这概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性，倒是应当认为，凡是对力学方程适用的一切坐标系，对于上述电动力学和光学的定律也一样适用，对于第一级微量来说，这是已经证明了的。我们要把这个猜想（它的内容以后就称之为“相对性原理”）提升为公设，并且还要引进另一条在表面上看来同它不相容的公设：光在空虚空间里总是以一确定的速度C 传播着，这速度同发射体的运动状态无关。由这两条公设，根据静体的麦克斯韦理论，就足以得到一个简单而又不自相矛盾的动 体电动力学。“光以太”的引用将被证明是多余的，因为按照这里所要阐明的见解，既不需要引进一个共有特殊性质的“绝对静止的空间”，也不需要给发生电磁过程的空虚实间中的每个点规定一个速度矢量。 这里所要闸明的理论——象其他各种电动力学一样——是以刚体的运动学为根据的，因为任何这种理论所讲的，都是关于刚体（坐标系）、时钟和电磁过程之间的关系。对这种情况考虑不足，就是动体电动力学目前所必须克服的那些困难的根源。 一运动学部分 §1、同时性的定义 设有一个牛顿力学方程在其中有效的坐标系。为了使我们的陈述比较严谨，并且便于将这坐标系同以后要引进来的别的坐标系在字面上加以区别，我们叫它“静系”。 如果一个质点相对于这个坐标系是静止的，那么它相对于后者的位置就能够用刚性的量杆按照欧儿里得几何的方法来定出，并且能用笛卡儿坐标来表示。 如果我们要描述一个质点的运动，我们就以时间的函数来给出它的坐标值。现在我们必须记住，这样的数学描述，只有在我们十分清楚地懂得“时间”在这里指的是什么之后才有物理意义。我们应当考虑到：凡是时间在里面起作用的我们的一切判断，总是关于同时的事件的判断。比如我说，“那列火车7点钟到达这里”，这大概是说：“我的表的短针指到7 同火车的到达是同时的事件。” 《电动力学》课程教学大纲 课程英文名称：Electrodynamics 课程编号：0312033002 课程计划学时：48 学分：3 课程简介： 电动力学的研究对象是电磁场的基本属性, 它的运动规律以及它和带电物质之间的相互作用，本课程在电磁学的基础上系统阐述电磁场的基本理论。另外，本课程还系统地阐述狭义相对论的重要内容，而相对论是现代物理学的重要基础，它与量子论一起对物理学的发展影响深刻，是二十世纪科学与技术飞速发展的基础。本课程是材料物理专业本科的重要专业基础课。 电动力学是物理类有关各专业的一门基础理论课。学电动力学的目的：（1）是使学生系统地掌握电磁运动的基本概念和基本规律，加深对电磁场性质的理解；（2）是使学生获得分析和处理一些问题的基本方法和解决问题的能力，提高逻辑推理和插象思维的能力，为后继课程的学习和独立解决实际问题打下必要的理论基础。 在教学过程中，使用启发式教学，尽量多介绍与该课程相关的前沿科技动态，充分调动和发挥学生的主动性和创新性；提倡学生自学，培养学生的自学能力。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章电磁现象的普遍规律 本章重点：在复习矢量分析、?算符、?算符及其运算法则、δ函数性质的基础上，从电磁场的几个基本实验律(库仑定律，毕奥--萨伐尔定律，电磁感应定律，电荷守恒律) 出发，加上位移电流假定, 总结出电磁场的基本运动规律Maxwell方程组、电荷守恒律和洛仑兹力公式。讨论了介质中的Maxwell方程, 电磁场的能量。本章内容是本课程的基础，必须深刻掌握。 难点：电磁场边值关系，电磁场的能量和能流。 本章学时:10学时 教学形式:讲授 教具:黑板，粉笔 第一节矢量分析和张量；?算符、?算符及其运算规则、δ函数性质 本节要求：理解：矢量分析和张量运算。掌握：?算符、?算符及其运算法则、δ函数性质（重点：考核概率50%）。 1 矢量分析和张量（理解：矢量运算法则，在电动力学中张量是如何引入的；了解：线性各 五批次 一、填空题 1．动系的尺子将 ，动系的时钟将 。 2．因果关系对一切惯性系 。 3．同时是 。 4．对理想导体，静电平衡时, 电力线与导体表面垂直，电场随时间变化时，电力线的方向___________________. 5. 电偶极辐射的功率与频率______________________, 磁场与 r _____________________. 6．已知海水的()1.1,1-Ω==m r σμ，则频率为610赫时电磁波在海水中的透入深度为___________________________. 7．关于相对论, 有__________________________________ 8．真空中什么情况下带电粒子会辐射________________ 9. 矩形波导管的边长分别为b a 和, 则10TE 波的截止波长为_________________ 10. 横向多普勒效应是指___________________________ 11.对理想导体，静电平衡时,导体中电荷密度为0，电场随时间变化时，导体中电荷________ 12．波导管内电磁波存在截止_____________________________________ 13. 若在垂直于以速度为2 c ，频率为0ω的光源运动方向上观察，频率应是__________ 14．矩形谐振腔的边长的关系为231L L L >> ，则共振频率为_____________ 二、选择填空 1． ( ﹞接地的半径为R 的导体球，球外距球心为对a 处有一电量为Q 的点电荷，则 其像电荷的电量和位置 A. 电量为Q a R q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b 2 = B. 电量为Q R a q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b 2 = C. 电量为Q a R q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为R a b 2 = D. 电量为Q a R q 2 '-=, 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b = 2．( ﹞在两种均匀介质的界面处，若电磁波由介电常数大的介质到介电常数小的介质，则可能发生全反射。全反射时，折射波 电动力学心得体会 篇一：学习物理学概论的心得体会 学习物理学概论的心得体会 还记得刚进入大学开始学习时，我对物理学感到很迷茫，我不知道自己将要学的是什么。但是通过高老师详细的讲解之后，我发现原来物理学对我们的生活很重要，原来物理学是这样慢慢壮大的，原来是有那么多先辈的伟大付出的，原来有那么多充满乐趣的故事。那种对未知的探索，那种对科学的执着，那种探索的乐趣，一切都深深的吸引了我。 物理学是研究宇宙间物质存在的基本形式、性质、运动和转化、内部结构等方面，从而认识这些结构的组成元素及其相互作用、运动和转化的基本规律的科学。物理学可以分为经典力学、电磁学、热力学和统计力学、相对论和量子力学。 其中经典力学是研究宏观物质做低速机械运动的现象和规律的学科。而牛顿则是经典力学的主要创作者，他深入研究了伽利略的现象行理论以及行星绕日运动的经验规律，发现了宏观低速机械运动的基本规律。 热学是研究热的产生和传导，研究物质处于热状态下的性质及其转化的科学。对于热现象的研究逐步澄清了关于热的一些模糊概念，并在此基础上开始探索热现象的本质和普遍规律。而关于热现象的普遍规 律的研究就称为热力学。到19世纪，热力学已趋于成熟。19世纪中期，焦耳等人用实验确定了热量和功之间的定量关系，从而建立了热力学第一定律。在卡诺研究结果的基础上克劳修斯等科学家提出了热力学第二定律，表达了宏观非平衡过程的不可逆性。深入研究热现象的本质，就产生了统计力学。统计力学应用数学中统计分析的方法，研究大量粒子的平均行为。 经典电磁学是研究宏观电磁现象和客观物体的电磁性质的学科。在18世纪，人们早已发现电荷有两种，而在18世纪末发现电荷能够流动，这就是电流。在19世纪前期，奥斯特发现电流可以使小磁针偏转，而后安培发现作用力的方向和电流的方向，以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直。不久之后，法拉第又发现，当磁棒插入导线圈时，导线圈中就产生了电流。在电和磁的联系被发现以后，法拉第引进力线的概念并产生了电磁场的概念。19世纪下半叶，麦克斯韦总结了宏观电磁学的规律并引进了位移电流的概念，在此基础上他提出了一组偏微风方程来表达电磁现象的基本规律，并预言了存在以光速传播的电磁波。而后，赫兹用实验证明了麦克斯韦预言的电磁波具有光速和反射、折射、干涉、衍射、偏振等一切光波的性质。从而完成了电磁学和光学的综合。 19世纪末期经典物理学已经发展到很完美的阶段，许多物理学家认为物理学已接近尽头，以后的工作只是增加有效数字的位数。开尔文在除夕夜的新年祝词中说：“物理大厦已经落成······现在它的美丽而晴朗的天空出现两朵乌云，一朵出现在光的波动理论，另一朵出现在 论动体的电动力学 爱因斯坦 根据范岱年、赵中立、许良英编译《爱因斯坦文集》编辑大家知道，麦克斯韦电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的。比如设想一个磁体同一个导体之间的电动力的相互作用。在这里，可观察到的现象只同导休和磁体的相对运动有关，可是按照通常的看法，这两个物体之中，究竟是这个在运动，还是那个在运动，却是截然不同的两回事。如果是磁体在运动，导体静止着，那么在磁体附近就会出现一个具有一定能量的电场，它在导体各部分所在的地方产生一股电流。但是如果磁体是静止的，而导体在运动，那么磁体附近就没有电场，可是在导体中却有一电动势，这种电动势本身虽然并不相当于能量，但是它——假定这里所考虑的两种情况中的相对运动是相等的——却会引起电流，这种电流的大小和路线都同前一情况中由电力所产生的一样。 堵如此类的例子，以及企图证实地球相对于“光煤质”运动的实验的失败，引起了这样一种猜想：绝对静止这概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性，倒是应当认为，凡是对力学方程适用的一切坐标系，对于上述电动力学和光学的定律也一样适用，对于第一级微量来说，这是已经证明了的。我们要把这个猜想（它的内容以后就称之为“相对性原理”）提升为公设，并且还要引进另一条在表面上看来同它不相容的公设：光在空虚空间里总是以一确定的速度C 传播着，这速度同发射体的运动状态无关。由这两条公设， 根据静体的麦克斯韦理论，就足以得到一个简单而又不自相矛盾的动体电动力学。“光以太”的引用将被证明是多余的，因为按照这里所要阐明的见解，既不需要引进一个共有特殊性质的“绝对静止的空间”，也不需要给发生电磁过程的空虚实间中的每个点规定一个速度矢量。 这里所要闸明的理论——象其他各种电动力学一样——是以刚体的运动学为根据的，因为任何这种理论所讲的，都是关于刚体（坐标系）、时钟和电磁过程之间的关系。对这种情况考虑不足，就是动体电动力学目前所必须克服的那些困难的根源。 一运动学部分 §1、同时性的定义 设有一个牛顿力学方程在其中有效的坐标系。为丁使我们的陈述比较严谨，并且便于将这坐标系同以后要引进来的别的坐标系在字面上加以区别，我们叫它“静系”。 如果一个质点相对于这个坐标系是静止的，那么它相对于后者的位置就能够用刚性的量杆按照欧儿里得几何的方法来定出，并且能用笛卡儿坐标来表示。 如果我们要描述一个质点的运动，我们就以时间的函数来给出它的坐标值。现在我们必须记住，这样的数学描述，只有在我们十分清楚地懂得“时间”在这里指的是什么之后才有物理意义。我们应当考虑到：凡是时间在里面起作用的我们的一切判断，总是关于同时的 第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布， 单位体积受的力： 洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。 说明：① ② 5.电磁场的边值关系 其它物理量的边值关系： 第二章 习 题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位 为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R 第二章 静 电 场 一、 填空题 1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b r a ,,+= φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。 答案： 02a R ε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3 002cos cos =-+E R E r r φθθ,0E 为非零常数， 球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 . 答案：003cos E εθ ,3 03[cos (1)sin ]=-+-r R E E e e r θθθ 3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。 答案： σφ εφσφεφεφφερφ-=??=-=??-??=- =?n c n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。 答案：z y x e b e ax e axy +--22 5、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。 答案：0 n ?σε?=-? 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。 答案： -（1- ε ε0 ） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()() 8x x W dv dv r ρρπε '' =??的适用于 情形. 答案：全空间充满均匀介质 8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。 答案： 3 4qR R πε 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 . 答案： 04q a πε 10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无 11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。 答案：唯一性定理, 求解区以外空间 12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。 答案：零 13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案：212 014() R q a R a a πε- 二、 选择题 1、泊松方程ε ρ φ- =?2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C 2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 电动力学考试重点超 详细 练习题 （一）单选题（在题干后的括号内填上正确选项前的序号，每题1分） 1．高斯定理 → → ??E S d s = ε Q 中的Q是 （） ①闭合曲面S外的总电荷②闭合曲面S内的总电荷③闭合曲面S外的自由电荷④闭合曲面S内的自由电荷 2．高斯定理 → → ??E S d s = ε Q 中的E 是 ( ) ①曲面S外的电荷产生的电场强度②曲面S内的电荷产生的电场强度 ③空间所有电荷产生的电场强度④空间所有静止电荷产生的电场强度 3．下列哪一个方程不属于高斯定理（） ① → → ??E S d s = ε Q ② → → ??E S d S =V d V ' ?ρ ε 1 ③▽ → ?E=- t B ? ? → ④ → ? ?E= ε ρ 4.对电场而言下列哪一个说法正确（） ①库仑定律适用于变化电磁场②电场不具备叠加性 ③电场具有叠加性④电场的散度恒为零 5．静电场方程 → → ??l d E L = 0 （） ①仅适用于点电荷情况②适用于变化电磁场 ③ L仅为场中一条确定的回路④ L为场中任一闭合回路 6．静电场方程▽ → ?E= 0 ( ) ①表明静电场的无旋性②适用于变化电磁场 ③表明静电场的无源性④仅对场中个别点成立 7．对电荷守恒定律下面哪一个说法成立 ( ) ①一个闭合面内总电荷保持不变②仅对稳恒电流成立 ③对任意变化电流成立④仅对静止电荷成立 8．安培环路定理 → → ??l d B L = I0μ中的I为（） ①通过L所围面的总电流②不包括通过L所围曲面的总电流 ③ 通过L 所围曲面的传导电流 ④ 以上说法都不对 9．在假定磁荷不存在的情况下，稳恒电流磁场是 （ ） ① 无源无旋场 ② 有源无旋场 ③有源有旋场 ④ 无源有旋场 10．静电场和静磁场（即稳恒电流磁场）的关系为 （ ） ① 静电场可单独存在，静磁场也可单独存在 ② 静电场不可单独存在，静磁场可单独存在 ③ 静电场可单独存在，静磁场不可单独存在 ④ 静电场不单独存在，静磁场也不可单独存在 11．下面哪一个方程适用于变化电磁场 （ ） ① ▽→?B =→J 0μ ②▽→?E =0 ③→??B =0 ④ → ??E =0 12．下面哪一个方程不适用于变化电磁场 （ ） ① ▽→?B =→J 0μ ②▽→?E =-t B ??→ ③▽?→B =0 ④ ▽?→ E =0 ερ 13．通过闭合曲面S 的电场强度的通量等于 ( ) ① ???V dV E )( ②????L l d E )( ③ ???V dV E )( ④???S dS E )( 14．通过闭合曲面S 的磁感应强度的通量等于 ( ) ①???V dV B )( ② ????L l d B )( ③ ??S S d B ④ 0 15．电场强度沿闭合曲线L 的环量等于 ( ) ① ???V dV E )( ② ????S S d E )( ③???V dV E )( ④???S dS E )( 16.磁感应强度沿闭合曲线L 的环量等于 ( ) ① l d B L ????)( ② ????S S d B )( ③??S S d B ④???V dV B )( 17. 位置矢量r 的散度等于 ( ) ①0 ②3 ③r 1 ④r 18.位置矢量r 的旋度等于 ( ) ①0 ②3 ③r r ④3r r 19.位置矢量大小r 的梯度等于 ( ) ①0 ② r 1 ③ r r ④3r r 20.)(r a ??=? (其中a 为常矢量) ( ) 练习题 （一）单选题（在题干后的括号填上正确选项前的序号，每题1分） 1．高斯定理 → → ??E S d s = ε Q 中的Q是（） ①闭合曲面S外的总电荷②闭合曲面S的总电荷③闭合曲面S外的自由电荷④闭合曲面S的自由电荷 2．高斯定理 → → ??E S d s = ε Q 中的E ? 是( ) ①曲面S外的电荷产生的电场强度②曲面S的电荷产生的电场强度 ③空间所有电荷产生的电场强度④空间所有静止电荷产生的电场强度 3．下列哪一个方程不属于高斯定理（） ① → → ??E S d s = ε Q ② → → ??E S d S =V d V ' ?ρ ε 1 ③▽ → ?E=- t B ? ? → ④ → ? ?E= ε ρ 4.对电场而言下列哪一个说确（） ①库仑定律适用于变化电磁场②电场不具备叠加性 ③电场具有叠加性④电场的散度恒为零 5．静电场方程 → → ??l d E L = 0 （） ①仅适用于点电荷情况②适用于变化电磁场 ③L仅为场中一条确定的回路④L为场中任一闭合回路 6．静电场方程▽ → ?E= 0 ( ) ①表明静电场的无旋性②适用于变化电磁场 ③表明静电场的无源性④仅对场中个别点成立 7．对电荷守恒定律下面哪一个说法成立( ) ①一个闭合面总电荷保持不变②仅对稳恒电流成立 ③对任意变化电流成立④仅对静止电荷成立 8．安培环路定理 → → ??l d B L = I0μ中的I为（） ①通过L所围面的总电流②不包括通过L所围曲面的总电流③通过L所围曲面的传导电流④以上说法都不对 9．在假定磁荷不存在的情况下，稳恒电流磁场是 （ ） ① 无源无旋场 ② 有源无旋场 ③有源有旋场 ④ 无源有旋场 10．静电场和静磁场（即稳恒电流磁场）的关系为 （ ） ① 静电场可单独存在，静磁场也可单独存在 ② 静电场不可单独存在，静磁场可单独存在 ③ 静电场可单独存在，静磁场不可单独存在 ④ 静电场不单独存在，静磁场也不可单独存在 11．下面哪一个方程适用于变化电磁场 （ ） ① ▽→?B =→J 0μ ②▽→?E =0 ③→??B =0 ④ → ??E =0 12．下面哪一个方程不适用于变化电磁场 （ ） ① ▽→?B =→J 0μ ②▽→ ?E =-t B ??→ ③▽?→B =0 ④ ▽?→E =0 ερ 13．通过闭合曲面S 的电场强度的通量等于 ( ) ① ???V dV E )(ρ ②????L l d E ρ ρ)( ③ ???V dV E )(ρ ④???S dS E )(ρ 14．通过闭合曲面S 的磁感应强度的通量等于 ( ) ①???V dV B )(ρ ② ????L l d B ρρ)( ③ ??S S d B ρρ ④ 0 15．电场强度沿闭合曲线L 的环量等于 ( ) ① ???V dV E )(ρ ② ????S S d E ρρ)( ③???V dV E )(ρ ④???S dS E )(ρ 16.磁感应强度沿闭合曲线L 的环量等于 ( ) ① l d B L ρρ????)( ② ????S S d B ρρ)( ③??S S d B ρρ ④???V dV B )(ρ 17. 位置矢量r ρ的散度等于 ( ) ①0 ②3 ③r 1 ④r 18.位置矢量r ρ的旋度等于 ( ) ①0 ②3 ③r r ρ ④3r r ρ 19.位置矢量大小r 的梯度等于 ( ) ①0 ② r 1 ③ r r ρ ④3r r ρ 20.)(r a ρρ??=? (其中a ρ为常矢量) ( ) ① r ρ ② 0 ③ r r ρ ④a ρ 《电动力学》理论证明集锦 为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明内容，有的是基础理论，但大部分是扩展内容。 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。 [证明] 设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为d P M f J J J J 、、、,由麦 克斯韦方程之一(安培环路定理)给出 )(0d P M f J J J J B 对方程两边作任意闭合曲面积分，得 ) ()()(00d P M f S d P M f S I I I I S d J J J J S d B 即给出总电流为 V S d P M f dV B S d B I I I I I )(1)(1 因为矢量场的旋度无散度:0)( B ，故 0 I -------------------------------------- 2. 若m 是常矢量，证明除R=0点以外，矢量3R R m A 的旋度等于标量3 R R m 的负梯度，即 A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向 由原点指向场点。 [证明] 在0 R 的条件下，有 ) 1(R m A R m R m m R m R 1)(1)()1()1( R m 1)( 另一方面 ) 1 (R m m R m R R m R m )1()(11)()1( R m 1)( 经比较以上两式的右边，便可给出 A 的答案。 注释: 本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》内容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）： （1）电偶极矩P 激发的电势：3 041R R P ； （2）磁偶极矩m 产生的磁标势： 341R R m m ； （3）磁偶极矩m 产生的磁矢势： 304R R m A 。 --------------------------------------郭硕鸿《电动力学》课后答案
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