数字找规律或图形找规律问题
数字找规律或图形找规律问题
【夯实基础】
【例题】找规律，并按照规律写出第n 个数. ① 1，3，5，7，9……. 21n -（n 为正整数）．
② 2，4，6，8，10……….. （n 为正整数）． ③ 2，4，8，16，32……… （n 为正整数）． ④ 2，5，8，11，14…….. （n 为正整数）． ⑤ 2，5，10，17，26…….. （n 为正整数）． ⑥ x -，x +，x -，x +，x -，x +…… （n 为正整数）． ⑦ x +，x -，x +，x -，x +，x -…….. （n 为正整数）． ⑧ 观察下列单项式：x ，23x -，35x ，47x -，59x ，…按此规律，可以得到第2005个单项式是___ ___.第n 个单项式怎样表示 .
【解析】
②2n ; ③ 2n ; ④ 31n -; ⑤ 21n +;⑥(1)n x -;⑦
1(1)n x +-;⑧ 20054009x ，1(1)(21)n n n x +-- 【点评】一定要熟记这些常考数字的规律.
【牛刀小试】
1． 一组按规律排列的式子：3579
234,,,,x x x x y y y y
--（0≠xy ）， 其
中第6个式子是 ， 第n 个式子是 （n 为正
整数）． 2．一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ， 第n 个数是 （n 为正整数）．
3．如图，每个多边形的边长都大于2，分别以多边形的各顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在多边形的相邻两边上），则第6个图形中所有弧的弧长的和是 ，第n 个图形中所有弧的弧长的和是 （n 为正整数）．
．．．
第3个
第2个第1个
4. 对于大于或等于2的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是 ，自然数n 2的分裂数中最大的数是 .
1
5. 一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，
且每秒移动一个单位，
那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______
6．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为
1234S S S S ，，，，．
则第一个黑色梯形的面积
=1S ；观察图中的规律， 第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．
7．一组按规律排列的式子：
2581114916
,,,,...(0)a a a a a
--≠，其中第8个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．
8.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．
9．在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），
则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形A n B n C n D n 的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整
第1个第2个
第3个第4个
01
2
3
x
y
1
23…
8
-
-
4
O
A
B
C
数），则菱形A n B n C n D n 能覆盖的单位格点正方形的个数为 （用含有n 的式子表示）.
10. 如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________（n 为正整数）.
[牛刀小试参考答案]:
1.136x y -, 21
1(1)n n n
x y ++- 2. ())1(2111+-++n n
3. 10π.(+4)πn
4. 13, 2n －1
5. （5，0） ,)12(4-n 7. 2364a
- ；2
131
(1)n n n a +-- 8. (2)n n +或2
2n n +或2(1)1n +-
9. 48 n n 442- 10. 2
)(b a a -
【能力提升】
1. （2009-2010海淀区期末考试第16题3分） 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的 第3n （n 为正整数）项是 ．
2. （理工附中期中练习）在数列1，12，22，13，23，33
，…，中，第100个数是___ ．
3. （2009绵阳市）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．
4.
（2009-2010西城外国语期中考试第33题4分）按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后
输出的结果为
B 1
B 2
A 1A O
B
853，试求出满足条件的x 的所有值.
输出结果
5. （2009-2010西城外国语期中考试第22题2分）有一列数，按一定规律排成1，2-，4，8-，16，32-，…，其中某三个相邻数的和是3072，则这三个数中最小的数是 .
6（2009-2010北京四中初一期中考试第34题3分）定义：a 是不为1的有理数，我们把
11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112
=--，1-的差倒数是()11112=--．已知11
3
a =-，① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；
③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ……，依此类推，则2009a = ．
7.（丰台区2009-2010学年度第一学期期末练习） 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形 组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案由 个基础图形组成．
……
（3）
（2）
（1）
[能力提升参考答案]:
1. 110，()331n n -+
2.将上述各组数分成如下几组：{}1、12,22??????、123,,333??
????
、……，可发现每一组中数的
个数
依次为1，2，
3，…，设第100个数位于第n 组，则12110012n n +++-+++≤≤， 即(1)(1)10022n n n n -+<<，故14n =．又前13组数的个数为1413912
?=，又第n 组的
数分
母均为n ，故第100个数为9
14
．
3.670，3．
4. 由题意：()85314213>0-÷=，()2131453>0-÷=，
()531413>0-÷=，()13143>0-÷=，()1314>02
-÷=
1114<028??
-÷=- ?
??
，∴只有213，53，13，3符合题意． （也可方程思想理解：∵ x 为正整数， ∴ 415x +≥. 当 41853x +=时，213x =. 当 41213x +=时，53x =. 当 4153x +=时，13x =. 当 4113x +=时，3x =.
综上所述，213x =或53x =或13x =或3x =）.
5. 2048-；（提示：(2)43072a a a +-+=）
6. ① 34；② 4；③ 13-；3
4
. 7. 10，
3n +1．
【中考在线】（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2b a -，5
2b a ，83b a -，114b a
，…
（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．
【解析】207b a -，31
(1)n n n
b a --． （2010北京中考）美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开， 用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后 放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个．．．．
符合上述要求，那么这个示意图是（ ）
【解析】B
11
a ，12a ，13a ，14a ，15
a ，
（2011北京中考）在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为i j a ，（其中i ，j 都是不大于5的正整
数），对于表中的每个数i j a ，规定如下：当
i j
≥时，1i j a =，；当i j <时，0i j a =，．例如：当2i =，1j =时，211i j a a ==，，．按此规定，13a =，_______；表中的
25个数中，共有______个1；计算
111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ?+?+?+?+?，，，，，，，，，，的值为 .
【解析】0, 15, 1
5，5，5，5，