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平面向量与三角形四心的公式 a

1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0

2 若P是△ABC的垂心PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积）

3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4 若P是△ABC的外心|PA|2=|PB|2=|PC|2

（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）

5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】

O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量

充分性：

已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，

延长CO交AB于D，根据向量加法得：

OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：

a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,

因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,

上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,

向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，

所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,

由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,

所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性：

已知O是三角形内心,

设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，

∵O是内心

∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE

过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，

所以四边形OMAN是平行四边形

根据平行四边形法则，得

向量OA

=向量OM+向量ON

=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO

=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO

=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO

∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

2.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},

求P点轨迹过三角形的垂心

OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},

OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},

AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},

AP?BC=入{(AB?BC /|AB|＾2*sin2B)+AC?BC /(|AC|＾2*sin2C)},

AP?BC=入{|AB|?|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|?|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)}, AP?BC=入{-|AB|?|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|?|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},

AP?BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},

根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC

∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，

即AP?BC=0，

P点轨迹过三角形的垂心

OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线

根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,

所以|AB|sinB=|AC|sinC,

所以AP与AB+AC共线

AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，

∴点P过三角形重心。

OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

AP?BC=λ(AB?BC cosC/|AB|+AC?BC cosB/|AC|)

=λ([|AB|?|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|?|BC| cosC cosB/|AC|]

=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]

=0，

所以向量AP与向量BC垂直，

P点的轨迹过垂心。

OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，

向量AB与AC的单位向量的和向量，

因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，

向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，

易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心。

三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ，则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2

3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0．证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过图3

讲义---平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心（2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、分别为方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D

高中数学三角形四心性质及例题

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1) O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0; 2) O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA 若O 是 ABC （非直角三角形）的垂心，故 tan AOA tan BOB tan COC 0 2 2 2 3) O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC | (或OA OB OC ) 若O 是 ABC 的外心则 S BOC ：S AOC ：S AOB sin BOC ：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin 2B : sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2COC 4） O 是内心 ABC 的充要条件是 OA (|A AB B | AC ) OB ( BA AC |BA | |B B C C|) OC (|C CA A | |C C B B |) 0 AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 , e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 若O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ：b ：c 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 sin B OB sin COC ; 以写成故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA ABC 的内心; 若O 是 ABC 的重心，则 S BOC S AOC S AOB 3S ABC 故 OA PG 31(PA PB PC) OB OC 0; G 为 ABC 的重心 . 则 S BOC ： S AOC ： S AOB tan A ：tan B ： tan C

平面向量与三角形四心学案

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、典例分析 [例]已知点G 是ABC ?内任意一点,点 M 是ABC ?所在平面内一点. （1）动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的_________. (2)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA AB AC λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ?的__________. （3）动点P 满足：??? ? ??++=B AC C MA MP sin sin λ，()0,λ∈+∞，则直线AG 一定通过ABC ?的 . (4)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ?的__________. (5)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ?的__________. (6)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC = ,则点G 的轨迹可能通过 ABC ?的__________. （7）??=?=?GA GC GC GB GB GA G 为ABC ?的___________. （8）?=++G 是ABC ?的___________. （9 ）==?G 为ABC ?的___________.

平面向量中的三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。一、重心(baryce nter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。结论1 : 若G为ABC所在平面内一点，则G 是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD GA GB GC 0 GA GB GA 2GD, 这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心

结论2: 1 —. 若P 为 ABC 所在平面内点，贝S PG (PA PB 3 G 是ABC 的重心 PC) - 1 — 证明：PG (PA PB PC) (PG PA) (PG PB) (PG PC) 0 GA GB GC 0 G 是ABC 的重心二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论3: H 是ABC 的垂心证明：HA HB HB HC HB ? S- HB AC 0 HB AC 同理，有 HA CB,HC AB 故H 为三角形垂心若H 为ABC 所在平面内一点，则HA HB HB HC HC HA (HA

结论4: 2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2 若H 为 ABC 所在平面内一点，贝U HA BC HB AC HC AB H 是ABC 的垂心 2 2 2 2 HB CA 得,HA (HB HC)2 HB (HC HA)2 HB HC HC HA 同理可证得，HA HB HB HC HC HA 由结论3可知命题成立三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。结论5: 若0是ABC 所在平面内一点，则 OA OB OC 0是ABC 的外心证明：由外心定义可知命题成立 2 2 证明：由HA BC 结论6: 若0是ABC 所在平面内一点，则

平面向量四心问题(最全)

平面向量四心问题近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC 的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.

例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　）. A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由. 即. 则，所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 °D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是 ABC 内的一点，且x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0 C

有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 0是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统证明：如图0为三角形的垂心,

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和，又

平面向量与三角形的四心

专题9：平面向量与三角形的四心三角形的四心： 1. 外心： 2. 内心： 3. 垂心： 4. 重心：例1. O 是ABC ?所在平面上一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ?的（） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心例2. O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 (),0AB AC OP OA AB AC λλ=++>，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心例3. 点P 是ABC ?所在平面上一点，若PA PB ?=PC PB ?=PA PC ?，则点P 是 ABC ?的（） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心例4. 证明：点P 是ABC ?所在平面上一点，有 G 是ABC ?的重心?1()3 PG PA PB PC =++

针对训练： 1. O ，P 两点在ABC ?所在平面内，且(OP OA)(AB AC)0-?-=，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 2. 已知A,B,C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ?的重心，动点P 满足 111(OA OB 2OC)322 OP =++，则点P 一定为ABC ?的（） A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点（非重心） C. 重心 D. AB 边的中点 3. 在同一个平面上有ABC ?及一点O 满足关系式： 222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 一定为ABC ?的（） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 4.已知O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三点，动点P 满足： ()OP OA AB AC λ=++，则P 的轨迹一定通过ABC ?的（） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 5. 在ABC ?所在平面上的一动点M 满足22 2AM BC AC AB ?=-，则动点M 的轨迹必过ABC ?的________________(内心，垂心，外心，重心)。 6. 已知A,B,C,D 是平面上四个不共线的点，若0)()2(=-?-+，则ABC ?的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ?内的一点，AOB AOC BOC ???,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证： 0=++???OC S OB S OA S C B A 如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则 B C COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===??????? 图1 = OD BC DC OB +BC BD OC =C B B S S S +OB +C B C S S S +OC C B A COA BOA COD BOD COA COD BOA BOD S S S S S S S S S S S OA OD +=++== = 图2 ∴ C B A S S S OD +- =OA ∴C B A S S S +- OA = C B B S S S +OB +C B C S S S +OC ∴0=++???OC S OB S OA S C B A 推论O 是ABC ?内的一点，且 0=++???OC OB OA z y x ，则 z y x S S S AOB COA BOC ::::=??? O A B C D O A B C

有此定理可得三角形四心向量式 O 是ABC ?的重心 ?1:1:1::=???AOB COA BOC S S S ?0=++OC OB OA O 是ABC ?的内心 ?c b a S S S AOB COA BOC ::::=????0=++???OC OB OA c b a O 是ABC ?的外心 ?C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=??? ?02sin 2sin 2sin =++???OC C OB B OA A O 是ABC ?的垂心 ?C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? ?0tan tan tan =++???OC C OB B OA A 证明：如图O 为三角形的垂心，DB CD B AD CD A == tan ,tan ?AD DB B A :tan :tan = =??COA BOC S S :AD DB : ∴B A S S COA BOC tan :tan :=?? 同理得C B S S AOB COA tan :tan :=??，C A S S AOB BOC tan :tan :=?? ∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题一、外心问题（若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的外心）例1．设P 是ΔABC 所在平面α外一点，若PA ，PB ，PC 与平面α所成的角都相等，那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心如图所示，作PO ⊥平面α于O ，连OA 、OB 、OC ，那么∠PAO 、∠PBO 、∠PCO 分别是PA 、PB 、PC 与平面α所成的角，且已知它们都相等. ∴Rt ΔPAO ≌Rt ΔPBO ≌Rt ΔPCO. ∴OA ＝OB ＝OC ∴应选B. 例2． Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；（２）求P 到直线AC 的距离；（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．证明（１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC 解（２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０， ∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２；（３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心， ∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。 ∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影，则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝9 401880==MH PH 例3．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。解析：∵A 1A=A 1B=A 1C ∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC ∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影 ∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1 ∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156 取AB 中点E ，连A 1E ∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB ∴ 12)2 AB (AA E A 2211=-= ∴ 1111120AA C C AA B B S S ==

(完整版)三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。性质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2 1,21,21。二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝?2 1三角形的周长?内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。 4.,2190A BIC ∠+=∠οB CIA ∠+=∠2190ο，C AIB ∠+=∠2 190ο。三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母H 表示。性质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母G 表示。性质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3 ,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++= ，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ????===3 1。五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足?=?=?，则点O 为ABC ?的垂心。结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222+=+=+，则点O 为ABC ?的垂心。结论3：若点G 满足=++，则点G 为ABC ?的重心。结论4：若点G 为ABC ?所在的平面内一点，满足)(3 1++= ，则点G 为ABC ?的重心。结论5：若点I 为ABC ?所在的平面内一点，并且满足=?+?+?c b a （其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。结论6：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足?+=?+=?+)()()(，则点O 为ABC ?的外心。结论7：设()+∞∈,0λ，则向量||||( AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ?的内心。

平面向量的应用——三角形四心的性质

平面向量的应用——三角形四心的性质一知识点精讲三角形四“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ?的外心2 22O A O B O C ?== . （2）O 为ABC ?的重心 0OA OB OC ?++= . 证明：证明：（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=? . 证明：（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++= . 证明：二典例解析一、重心 1. 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++ ，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的（）．Ａ．外心Ｂ．内心Ｃ．重心Ｄ．垂心 2. 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足sin ||sin ||( C AC B AB + +=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过 ABC △的（）．Ａ．外心Ｂ．内心Ｃ．重心Ｄ．垂心二、垂心 3. O 是ABC △所在平面上一点，222222||||||||||||+=+=+，O 是ABC △___ Ａ．外心Ｂ．内心Ｃ．重心Ｄ．垂心 4. 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足

cos ||cos ||( C AC B AB + +=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过 ABC △的（）．Ａ．外心Ｂ．内心Ｃ．重心Ｄ．垂心三、内心 4.（2003江苏）已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ?? ? =++ ??? ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（）．Ａ．外心Ｂ．内心Ｃ．重心Ｄ．垂心四、外心 5. 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2 cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ??? ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的．Ａ．外心Ｂ．内心Ｃ．重心Ｄ．垂心 6. (2005湖南)．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义),,()(321λλλ=p f ，若G 是△ABC 的重心，)61 ,31,21()(=Q f ，则（） A ．点Q 在△GA B 内 B ．点Q 在△GB C 内 C ．点Q 在△GCA 内 D ．点Q 与点G 重合定理：设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，则有 =++???S S S PBC PAC PAB 五判断三角形的形状及求最值 7.在△ABC 中，已知向量2 1 0( = =?+ BC AC AB 满足与，则△ABC 为（） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三

三角形“四心”与向量的完美结合

三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一．知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则 C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心则 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心;

(完整版)平面向量与三角形四心问题.docx

平面向量基本定理与三角形四心已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z

有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

讲义平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心（2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D

(完整版)平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 0D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是ABC 内的一点，且 x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0C

有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统证明：如图0为三角形的垂心,

平面向量中的三角形中“四心问题”

专题分析平面向量中的三角形“四心” 江苏省启东中学张杰在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力。现就“四心”作如下介绍：一．“四心”的概念与性质 1．重心：三角形三条中线的交点叫重心。它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2：1；在向量表达形式中，设点G 是ABC ?所在平面内的一点,则当点G 是ABC ?的重心时，有0=++GC GB GA 或)(31++=(其中P 为平面内任意一点)；反之，若0=++GC GB GA ，则点G 是ABC ?的重心；在向量的坐标表示中，若G 、A 、 B 、 C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G ),(y x 、A ),(11y x 、B ),(22y x 、C ),(33y x ，则有3321x x x x ++=，3 321y y y y ++=。 2．垂心：三角形三条高线的交点叫垂心。它与顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式中，若H 是ABC ?的垂心，则?=?=?，或 2 22222+=+=+，反之，若 ?=?=?，则H 是ABC ?的垂心。 3．内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心。内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等；在向量表达形式中，若点I 是ABC ?的内心，则有 0||||||=?+?+?IC AB IB CA IA BC 或||||||AB AC BC ++(其中P 为平面内任意一点)，反之，若||||||=?+?+?，则点I 是ABC ?的内心。 4．外心：三角形三条中垂线的交点叫外心。外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等；在向量表达形式中，若点O 是ABC ?的外心，则

三角形四心概念与性质

三角形“四心”概念及性质（学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。）师：三角形的重心有什么性质? 生甲：分中线为1:2。生乙：分中线为3:1。师：应当把重心看成中线的内分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。如图1, H是垂心，有几组四点共圆？（学生回答略。）师：外心与内心各有什么性质？（学生回答略。）［通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。］

（教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作垂心，然后归纳总结。）师：锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。 [ 通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。] 师：至于外心，请同学们课后用同样的方法画几个不同形状的三角形来验证结论的正确性。上面，我们归纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。生：都在同一条直线上。师：在哪一条直线上？生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。师：对！三线合一，“四心”在三角形的对称轴上。师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？生：都重合成一个点了。师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？生：“中心”，师：等边三角形叫做正三角形。正三角形的重心、内心、垂心、外心重合成一个点，就是正三角形的“中心”。“中心”是正多边形所特有的，不是正多边形就没有中心。因此三角形中只有等边三角形才有中心，其他三角形都没有中心。 [ 把课本中学过的几个“心”都串起来了，揭示出其内在的联系，让学生能够系统地掌握知识。]二、练习师：我们先做下面的练习：已知三角形的三边长分别为5、12、13，那么垂心到外心的距离是多少？生：6.5 师：怎么得到的？生：如图2，因为已知三角形是直角三角形，外心是斜边的中点，垂心是直角顶点，所以，此两“心”距离是斜边中点到顶点的距离，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，便可得出已知三角形的垂心到外心的距离为。