多元函数微积分第三章答案
习题3-1
1、计算下列第二类曲线积分：
（1）?-L
dx y x ,)(2
2
L 为抛物线x y =2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；
（2）,)()(2
2
?
+--+L
y
x dy
y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2
22a y x =+；
（3）?++L
xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的
有向弧段;
（4）?-+++L
dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；
（5）,??L
dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针
方向；
（6）??L
dl F ,其中2
2
21y
x xe ye F +-=
，L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==.
解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2，x 从0到2，所以
?-L
dx y x )(2
2
=15
56)
5
13
1(
)(20
5
3
4
2
2
-
=-
=-?x x dx x x
（2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t
?
+--+L
y
x dy
y x dx y x 2
2)()(
=?
--+π
202
)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1t a d t a t a t a d t a t a a
=dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202
?---+π
=
ππ
2120
2
2
-=-?
dt a a
（3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以
++L x d z zd y y d x =)(cos )sin ()cos (sin 20
t b td a t a btd t a td a ?
++π
=2
202
2
)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ
-=++-?
（4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入
?-+++L
dz y x ydy xdx )1(
=?-+++++++1
)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t
=1376)146(1
=+=+?dt t
（5）三条直线段的方程分别为
y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0. 所以 ??L
dl F =?--L
xdy ydx
?
?
?
-+
-+
-=
1
1
1
1xdx xdx dy
=0
π
π
π
π
21)
sin (cos )cos (sin )6(20
2
202
2
2
202
2
-=-=
-
=+-+=??
???dt t a d a
t
a t a d a
t a dy
y
x x dx y x y dl
F L
2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周
2
2
2
R y
x =+按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.
解：由题意知，场力所作的功为 dx F W L ?
=
L: 2
2
2
R y x =+,x 从R 变到0， 于是，w=R F dx F dx F R
L
-==
?
?0
3、有一平面力场F ，大小等于点（x,y ）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P 沿椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 逆时针方向绕行一周，力F 所作的功.
解：),(y x F --=
椭圆12
22
2=+
b
y a
x 的参数方程为：t b y t a x sin ,cos ==，t 从0到2π
所以，
2
sin
2
cos )sin (sin )cos (cos 20
2
2
20
2
2
20
=-
-
=--=
?=
?
?π
π
π
t
b t
a t d
b t b t da t a dl
F W L
4、有一力场F ，其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从点),,(c b a 移动到)2,2,2(c b a 时，该场力所作的功.
解：),,(2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y x z z
y x y z
y x x z k F ++-
++-
++-
=
直线的参数方程为：)0(,,≠===c ct z bt y at x ，t 从1到2
所以，
c
c b a k
dt
t
c t b t a t c k
t c t b t a dl F W L
2
ln ))
(2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
22++-
=++---=
?=
?
?
习题3-2答案
1、 解：记S 在x>0一侧为1S ，在x<0一侧为2S ，在z=h 上的部分为3S ，在z=0上的部分
为4S ，在y>0一侧为5S ，在y<0一侧为6S ，则由题有
?
??
??
????????????????--=-=-=-=???
?
??
-+--
--+-=
+++
++=+
+
+
=
r
r
r
r
h
D D D S S s s s s hr
dy y r h dz
y r dy dydz
y r dydz y
r y y
y
r dydz y r y
y
y
r zdxdy
ydzdx xdydz
zdxdy ydzdx xdydz xdydz
xdydz
xdydz
xdydz
Q yz
yz yz 2
2
2
02
2
2
2
2
2
2
2
222
21222)(
2
1
1
2
3
4
π 2
23
4
1
2
34
hr
dxdy h zdxdy zdxdy
ydzdx xdydz
zdxdy ydzdx xdydz zdxdy
zdxdy
zdxdy
zdxdy
Q xy
xy
D D S S s s s s π===
+++
++=+
+
+
=????
????????????
同理可得：??
+==
6
52
3S S hr
ydzdx Q π
2、解：（1）由题S y x R z S ,222---=：在xoy 面上的投影区域2
2
2
:R y x D xy ≤+， ()7
20
2
5
7
2
2
5
20
2
20
2
22
252
222
22
222
222105
2cos sin 4
2sin
4
1sin cos R
tdt t R dr
r R r
dr
r R r d dxdy
y x R y
x dxdy
y
x R y
x zdxdy y x R
R
D D S
xy
xy
ππ
θ
θ
θθ
π
π
π
=
=
-=-=--=
---
-=∴
??
?
?
?
??
????
（2）(
)2
2
1
20
2
2
2
2
22
2e
e dr e d dxdy y
x e
dxdy y
x e
r
D y x S
z
xy
-==
+=
+?
?
??
??
+πθ
π
（3）将S 分成1s 和2s ，其中1S ：z=h ，222h y x ≤+取上侧，
2s ：2
2
y
x z +=
，h z ≤≤0x>0取下侧
则
??????????
????=+=∴
=-++-?
-+++-?
+-
-==-=
s
s s s s s D dxdy
y x y
x y x y
x y
x x y x y dxdy y x xy
1
2
1
1
2
0)]()()[(,0)(2
2
2
22
2
2
2(4)记S 在z=0上的部分为1S ，在x=0上的部分为2S ,在y=0上的部分为3S ,在12
2=+y x 上的部分为4S ,在2
2
y x z +=上的部分为5S .有
3
2
1
2
22
22
2=++=
++=
++??
??
??
S S S ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx
x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y
.
16311111
02
222
1
02
22
22
2
4
π=???
? ??-+-=???
? ??-+-=++??????
dz x x x z x dx dxdz
x x x z x ydzdx x xzdydz zdxdy y xz D S
2
3213hr
Q Q Q Q π=++=∴
()()()()()()()816
16
316
)]cos 1(cos 3cos 2[sin
cos sin 3cos 2sin
32222
1
2
24
4
5
1
2
2
4
4
5
2
2
244
2
2
2
2
2
2
2
25
π
π
ππ
θθθθθθθθθθθ
π
π
=
-
=
∴-=---=
--=
--=
-+-+++=
++???
?
??????
原式d r d dr
r
d dxdy
y
x x y
dxdy
y y x x y
x
x y
x
y ydzdx x xzdydz zdxdy y xy
xy
D D S
3、 解：（1）
,
33233y x z -
-
=
3
5
211
cos ,5
21cos ,5
31cos ,36
51,33,232
2
2
2
2
2
2
2
=
?
??
? ????+???
????+=
=
?
??
? ????+???
????+??-
=
=
?
??
? ????+???
????+??-
=
=
???? ????+???
????+-=??-=??y z x z y z x z y
z y z x z x
z y z x z y z x z
γβα
原式=()????
???
? ??++=
++S
S
dS R Q P dS R Q P 5325253cos cos cos γβα. （2）
,2,
2y y
z x x
z -=??-=??
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
441111
cos 44121cos 44121cos y
x y z x z y
x y y z x z y
z y
x x y z x z x
z ++=
?
??
? ????+???
????+=
++=
?
??
? ????+???
????+??-
=
++=
?
??
? ????+???
????+??-
=
γβα
原式=()????
++++=
++S
S
dS y
x R yQ xP dS R Q P 2
2
44122cos cos cos γβα
§3-3格林公式及其应用 1．
(1) y e x Q y x P -=-=,2，
1,
1=??-=??x
Q y
p ，πab dxdy y
P x
Q D
2)(
=??-
??=
??
故原式
(2) )2(,)1(--=+=y x Q y x P ,
y x
Q x y
p -=??+=??2,
1 ,
?
???
-=
--=
??-
??=
y
D dx y x dy
dxdy y
P x
Q 10
1
6
1)1()(
故原式
（3）)(,)(2
2
2
y x Q y x P +-=+=，
x x
Q y x y
p 2),
(2-=??+=??
??
???
--=-
-+-=--
??-
??=
1
10
1
3
01
2
3
11
)
3
()24()(
y
D
y
dx y x dy
dy y dxdy y
P x
Q 故原式
（4）)sin (),cos 1(y y e Q y e P x
x --=-=，
)sin (,
sin y y e x
Q y e y
p x
x
--=??=??
而在以)0,(π为起点)0,0(为终点的直线上?=---)
0,0()
0,(0)sin ()cos 1(πdy y y e dx y e x
x
所以原式
)
1(5
1]
20
2sin 22cos 4
1[sin
21
]sin )sin ([0
2
sin 0
π
π
π
π
e e
x e x e dx
e x ydy dx
e dxdy y e y y e x
x x
D
x
x x
x
x -=
?+?+
-
=?-
=-=---=
?????
2．4213456,4y y x Q xy x P -=+=-λ，
2
22
)1(6,
12--=??=??λλx
y x
Q xy y
p
因为积分与路径无关，所以
x
Q y
p ??=
??,得3=λ
?
?
?-
=-+
=
-++)
2,1()
0,0(1
2
4
24
4
2
2
345
79)56()56()4(dy y y dx x dy y y x dx xy x
3.(1)y x Q y x p +=+=2,2
x
Q y
p ??=
=??2，是二元函数u(x,y)(的全微分.
y x p x
u 2+==??由，得)(22
1)2(),(2
y xy x dx y x y x u ?++=
+=
?
y y y x Q y
u y x y
u =+==??+=??)('2)('2??得，及由
C y y +=2
2
1)(?，故C
y xy x y x u ++
+=
2
2
2
122
1),(
(2)
x y Q x y x p 2cos 3cos 3,cos 3sin sin 4-==
x
Q y x x y
p ??=
=??3cos cos sin 12，是二元函
数u(x,y)(的全微分.
y x p x
u 3sin 2sin 2==??由，得)(2cos 3sin )3sin 2sin 2(),(y x y dx
y x y x u ?+-==
?
0)('2cos 3cos 3)('2cos 3cos 3=-==??+-=??y x y Q y
u y x y y
u ??得，及
由
C y =)(?，故C
x y y x u +-=2cos 3sin ),(
(3) y x x y Q x y y x p sin cos 2,sin cos 22
2
-=-= x
Q x y y x y
p ??=--=??sin 2sin 2，是
二元函数u(x,y)(的全微分.
x
y y x p x
u sin cos 22
-==??由，得
)(cos cos )sin cos
2(),(2
22y x y y x dx x y y x y x u ?++=-=
?
0)('sin cos 2)('cos 2sin 2
2
=-==??++-=??y y x x y Q y
u y x y y x y
u ??得，及
由
C y =)(?，故C x y y x y x u ++=cos cos ),(2
2
(4)
x
Q x
y p 1,2
-
==
x
Q x
y
p ??=
=
??2
1，是二元函数u(x,y)(的全微分.
2
x
y p x u ==??由，得)(),(2
y x
y dx x
y
y x u ?+-==
?
0)('1)('1=-==??+-
=??y x
Q y
u y x
y
u ??得，及由
C y =)(?，故C x
y y x u +-=),(
4． （1）
2
22246,63y y x Q xy x P +=+=
x
Q xy y P ??=
=??12,故为全微分方程。
)(3)63(),(,632
2322
2
2
y y x x dx xy x
y x u xy x P x
u ?++=+=
+==???得由
2
'22
'
24)(46)(6y y y y x Q y
u y y x y
u =+==??+=????得及
由
，故C y y +=
3
3
4)(?
通解为C y y x x =++3
2
233
43
（2）
xe Q e P y
y 2,-==
x
Q e y P y
??=
=??,故为全微分方程。
)(),(,y xe
dx e
y x u e P x
u y
y
y
?+==
==???得由
y y y xe Q y
u y xe y
u y y 2)(2)(''
-=-==??+=????得及
由
，故C y y +-=2
)(?
通解为C y xe y =-2
θ
θ
ρ222,1e
Q e
P =+=
ρ
θ
θ
??=
=??Q e
P 22,故为全微分方程。
)()1(),(,1222θ?ρρρθρρ
θ
θ
θ
++=+=
+==???e
d e
u e
P u 得由
0)(2)(2'
2'
2===??+=??θ?ρθ
θ?ρθ
θθ
得及
由e Q u e
u ，故C =)(θ?
通解为C e =+)1(2θρ （4）
2
),2(x Q y x y P -=-=
x x
Q y x y
P 2,
4-=??-=??,故不是全微分方程。
§3-4高斯公式和斯托克斯公式 1
（1） 原式=dxdydz z
R y
Q x
P )(
??+
??+
?????Ω
=dxdydz z y x )(32
2
2
++???Ω
=ρρ??θ
π
ππ
d d d a
???-
4
2
2
20
sin 3
=
5
5
12a π
（2） 原式=dxdydz z
R y
Q x
P )(
??+
??+
?????Ω
=dxdydz x )1(2
+???Ω
=?+a
dx x bc 0
2
)1(
=abc bc a +3
3
1
原式=dxdydz z
R y
Q x
P )(
??+
??+
?????Ω
=dxdydz xz z y )(2???Ω++
=dx xz z y dy
dz y
???-++2
10
1
3
)(2
=rdr z r z r d dz
???++1
20
30
)cos sin (2θθ
θπ
=
π2
3
（4） 原式=dxdydz z
R y
Q x
P )(
??+
??+
?????Ω
=???Ω
dxdydz 3
=32R π （5） 原式=??????++-
??+
??+
??Ω
')()(
S
Rdxdy Qdzdx Pdydz
dxdydz z
R y
Q x
P
=dxdy
zx dxdydz x x x S
??????+
-+-Ω
'
4)484(
=???S
e
dydz
xdx
a
1
4
=2
2)1(2a e a
π-
2.解:(1)圆周事实上就是xoy 面上的圆92
2=+y x ,取∑为圆域
92
2
≤+y
x 的上侧,
?????
??
∑
∑
==
=
??????=
-+XY
D L
dxdy
dxdy
z
x
y
z y x dxdy dzdx dydz dz z xdy ydx π932322
2
(2) 取∑为平面0=++z y x 被L 所围成的部分的上侧, ∑的面积为∑,2a π的单位法向量为{}?
????
?==31,
3
1,3
1cos ,cos ,cos γβαn , ()()()?????
∑
∑
==
+++??????=
+++++00313131ds
y
x x
z z
y z y x dz
y x dy x z dx z y L
3.
解:()
()???
??∑
∑
+-+=
-??????=
+-L
dxdy z dydz x z
yz
xz
y
z y x dxdy dzdx dydz dz yz xzdy ydx 3332
2
2
其中∑为平面z=2被L 所围成的部分的上侧,因为∑在yoz 面上的投影区域为线段,所以()??∑
=+02
dydz x z ,又∑在xoy 面上的投影区域为422≤+y x ,所以
()()????∑
-=?-=+-=
+-xy
D dxdy
dxdy
z ππ20253232
,
?
-=+-∴
L
dz yz xzdy ydx π2032
习题3—5
1． 解：（1）xy z R xz y Q yz x P +=+=+=2
2
2
,,， )(2222z y x z y x z
R y
Q x
P d i v A ++=++=??+??+??=
，
10)
3,1,1(=∴divA
（2）()()2
cos ,cos ,xz
R xy Q e P xy ===，
()(
)2
s i n 2s i n
xz xz xy x ye
z
R y
Q x
P divA xy
--=??+
??+
??=
，
0)
1,0,0(=∴d i v A （3）xz R xy Q y P ===,,2
，
x x x z
R y
Q x
P d i v A 20=++=??+
??+
??=
，
2)
3,2,1(=∴d i v A 。 2． 证明：场力沿路径L 所作的功为?
-
-
=
L
ydy r
k xdx r
k W 3
3
，要证明场力所作的功与所
取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。 y r
k Q x r
k P 3
3
,-
=-
=在该区域具有一阶连续偏导数，另外
y
R xy r
k x
Q ??=
=
??5
3，所以
上面的积分与路径无关，因而结论正确。
3．解：（1）0=??????=
xy
zx yz z y x k j
i
rotA
（2）()()()k zx yz j yz xy i xy xz xyz
xyz
xyz
z y x k j i rotA -+-+-=??????=
（3）j i y
x z y z z y
x k j i rotA +=+-+??????=
0cos sin
（4）
()
()
()()[]()()[]
k
y x xz z y j z y i xz xy z x z xy xz y y
x z y x k j i rotA cos cos cos sin cos cos sin cos sin sin sin 2
2
2
22
-+--=??
????=
4．证明：（1）0cos 2,sin cos 222
=-??
-??
=
sixy
x x y y
j x y y x x i
rotA
所以A 为有势场
()()()
()c
y x x y dy
y x x y dx x b b x y x H x a
y
b
++=-+-=
??cos cos sin cos 2sin cos 2,2
2
2
2
（2）0sin )
cos()
cos(=??????=
z
xy x xy y z y x k j i rotA
所以A 为有势场 ()c
z xy zdz
dy xy x dx bx b z y x H x
a
y
b
z
c
+-=+
+
=
?
?
?
cos )sin(sin )cos()cos(,,
(整理)多元函数微分习题
第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
微积分第一章
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
(完整版)第7章多元函数微积分测试题讲义
第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
《多元函数微分学》练习题参考答案
多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,
122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+
多元函数微积分测试题
第七、八、九章 多元函数微积分 复习测试题 一、单项选择题（每题2分） 1、在空间直角坐标系中，1=y 表示（ ）。 A 、垂直于x 轴的平面 B 、垂直于y 轴的平面 C 、垂直于z 轴的平面 D 、直线 2、用平面1=z 截曲面22y x z +=，所得截线是（ ）。 A 、圆 B 、直线 C 、抛物线 D 、双曲线 3、下列关于二元函数的说法正确的是（ ）。 A 、可偏导一定连续 B 、可微一定可偏导 C 、连续一定可偏导 D 、连续一定可微 4、设3 2 y xy x z +-=，则=???y x z 2（ ）。A 、y 612+- B 、x - C 、y - D 、1- 5．若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d sin d cos d -=，则二阶偏导数y x z ???2=（ ） A ．y sin - B ．x sin C ．x cos D ． y cos 6、函数x x y y x f 2),(22+-=在驻点（1，0）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 7．若函数),(y x f z =的一阶偏导存在，且 y y f xy x z ==??),0(,2，则=),(y x f （ ） A ．y x 2 B ．2 xy C ．y y x +2 D ．y xy +2 8、设20,10:x y x D ≤≤≤≤；则下列与 ??D dxdy 的值不相等的是（ ） 。 A 、 ?1 2 dx x B 、? 1 dy y C 、?-1 )1(dy y D 、??1 2 x dy dx 9、二次积分dy y x x dx x ? ? -+240 2220 转化为极坐标下的二次积分为（ ） A 、dr r d ??20 32 cos θθπ B 、dr r d ?? 2 22 cos θθπ C 、 dr r d ?? 2 30 cos θθπ D 、dr r d ??2 20 cos θθπ 10、x y x D ≤≤≤||,10:，则二重积分=??D dxdy （ ） 。 A 、 ? 10 ydy B 、 ? 10 xdx C 、 ? -11 ydy D 、 ? 10 2xdx 二、填空题（每空3分） 11、0242 2 2 =+++-z z y x x 的图形是球心为 的球面。
第7章 多元函数微分学
§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为
多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习题
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多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 （ B ) （A) 充分而不必要条件; (B ） 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件； (D) 既不必要也不充分条件． 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (Ａ） 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (Ｃ） 必要而且充分条件; (D ） 既不必要也不充分条件. 3.函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B )． (A) 充分而不必要条件; (Ｂ) 必要而不充分条件; (Ｃ) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. ４．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=； B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在， 则. 22z x ??=22z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). Ａ. 可微（指全微分存在）?可导(指偏导数存在)?连续; Ｂ. 可微?可导?连续; C ． 可微?可导, 或可微?连续， 但可导不一定连续; Ｄ. 可导?连续， 但可导不一定可微. 6．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ) (A) 3 (B ） 3-
多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目_777705511
习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导） 一．累次极限与重极限 例.1 ()y x f ,= ? ?=?≠?+0,00,1sin 1sin y x y x x y y x 例.2 ??? ??=+≠++=0 03),(22222 2y x y x y x xy y x f 例.3 22 222(,)() x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0 →→不存在。 一般结论： 二．多元函数的极限与连续，连续函数性质 例.4 求下列极限： （1） 1 1 ) 0,1(),() (lim -+++→+y x y x y x y x ； （2） )ln()(lim 22) 0,0(),(y x y x y x ++→; （3） (,)(0,0)sin() lim x y xy x →； （4）22lim x y x y x xy y →∞→∞ +-+； （5）2 2 () lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +。 例.5 证明：极限0) ( lim 2 2 2) ,(),(=+∞∞→x y x y x xy ．
例.6 若()y x f z ,=在2 R 上连续, 且 ()22 lim ,x y f x y +→+∞ =+∞, 证明 函数f 在2R 上一 定有最小值点。 例.7 )(x f 在n R 上连续,且 (1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>?c )()(x x cf c f = 例.8 若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(=f ，且 a y x y x y x f y x =++-→2 2 2 2) 0,0(),(),(lim a 为常数。证明： （1）),(y x f 在)0,0(点连续； （2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微； （3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。 例.9 函数?? ???=+≠+++=0,00),sin(),(2 22 2222 2y x y x y x y x xy y x f 在)0,0(点是否连续? (填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)． 三．多元函数的全微分与偏导数 例.10 有如下做法： 设),()(),(y x y x y x f ?+=其中),(y x ?在)0,0(点连续, 则 [][] dy y x y x y x dx y x y x y x y x df y x ),()(),(),()(),(),(????+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=?. (1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法. 例.11 设二元函数),(y x f 于全平面2 ?上可微，),(b a 为平面2 ?上给定的一点，则极限 =--+→x b x a f b x a f x ) ,(),(lim 。 例.12 设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='x f ，3)1,1(='y f ，
《微积分(下)》第7章 多元函数微积分学--练习题
第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2．证明：当()(,)0,0x y →时，() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ； 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2 (,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y z ； 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =，则'(1,0)y f =； 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ；
10.arctan()Z xy =设，则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =，则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =，则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y
多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
多元函数微分学练习题
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
多元函数微分学习题课
多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 （2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论 （1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。
第五章多元函数微积分习题
第五章、多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). A. 若00 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=2 2z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6．设3ln 10(,)x I dx f x y dy =??, 改变积分次序, 则______.I = A. ln300(,)y e dy f x y dx ?? B. ln330(,)y e dy f x y dx ?? C. ln3300(,)dy f x y dx ?? D. 3ln 10(,)x dy f x y dx ??
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解
第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??
多元函数微积分练习题
练习题 一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数y x y x z -+ += 11的定义域. 2已知xy y x xy y x f 5),(2 2 -+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1） 22) 0,1(),() ln(lim y x e x y y x ++→ （2） 442 2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→ （3） 2 43lim ) 0,0(),(-+→xy xy y x （4） x y x xy 1) 1,0(),()1(lim +→ （5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),() (2sin lim y x y x y x ++→ 4 证明极限 y x y x y x +-→)0,0(),(lim 不存在. 5 指出函数2 2),(y x y x y x f -+= 的间断点. 6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2 y x f x z = （4）)(xy x z ?= （5）y xy y x z 234 4+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2 221 z y x u ++= （10）? = 220 sin y x dt t z 7 计算下列函数的二阶偏导数 （1）2 43y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y e z xy sin = （4）),(2 y x f x z = （5）2 (,)z f xy x =