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一类分式函数求最值在解析几何中的应用

一类分式函数求最值在解析几何中的应用

随着新课程标准的不断深入,高考数学试卷的题型逐渐趋于稳定。在解析几何的压轴题中常常遇到形如面积关于直线斜率的函数,其数学函数关系是s(k)=ak2+bk+cek2+dk+f (其中a, b, c, d, e, f∈r, abc≠0, edf≠0)一般情况下,学生有两种应对策略,其一是转为均值不等式来处理;其二是通过变形可用判别式法求函数的值域。由于许多学生对判别式法的原理不很清楚,在解题过程中对所给条件不能正确使用导致错误,下面通过几个范例,着重说明判别式法的原理,以其达到学生在处理解析几何中与斜率k相关的函数求最值问题时,能正确使用判别式法,为了更有针对性,笔者截取近几年高考试卷或各省市模拟试卷中,解析几何大题中的面积s关于斜率k的函数部分,谈谈判别式法的原理以其提高学生在处理此类问题时的有效性与准确性。

由于学生对判别式法求函数值域的原理不是很清楚,所以在求解时常常会考虑不周全而漏解,造成近几年高考试卷中,解析几何大题的最后一问关于斜率k的函数在求最值(或范围)时,不能从容应对,当然除了判别式法以外,也常常利用均值不等式进行处理。

总之,只有学生在学习过程中,对其原理认真领会、强化通性通法,引导学生对数学问题从多层面,多角度进行延伸探究,有意识的引导学生从“变”的现象中分析“不变”的本质发现规律。所以变式教学要围绕讲的目的性和针对性展开:明确是训练学生的计算能力,还是深化学生思维;是进一步巩固基础,还是提高学生能力;是提醒学生哪些地方易错,还是磨练学生解题意志。有效地拓展更好的服务于讲,深化了练,提升了课堂的质量。高三教学发挥变式功能,更是一种有效地引导学生学会“如何思”“如何想”并走向“自觉地思”“自觉地想”的方式,有利于培养学生灵活多变的创新思维,完善学生的认知结构,提高学生分析问题、解决问题和探索创新能力。

微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)

微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题. 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题. 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题. 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段,深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用. 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.则y x 的最大值为________;y -x 的最小 值为________;x 2+y 2的最小值为________. 1. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________. 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36+y 20=1长轴的左、右端点,F 是椭圆的右焦点,点P 在 椭圆上,且位于x 轴的上方,PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点,点M 到直线AP 的距离等于MB ,则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________. 1. 已知双曲线为C :x 24-y 2 =1,P 为双曲线C 上的任意一点.设点A 的坐标为(3,0), 则PA 的最小值为________.

1. 如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆的顶点,F 2为右焦点,延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ,若∠B 1PA 2为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是________. 1. 椭圆M :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为椭圆M 上的任意一点, 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ,3c 2],其中c =a 2-b 2,则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______. 1. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x a 2+y b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2,P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方),连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ,设PF 1→ =λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴,且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12,22,求实数λ的取值范围.

浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案

第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一,主要以解答题形式考查,往往作为试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,试题难度较大,对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018·北京卷)已知抛物线C :y 2 =2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)设O 为原点,QM →=λQO →,QN →=μQO → ,求证:1λ+1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 =2px 过点(1,2), 所以2p =4,即p =2. 故抛物线C 的方程为y 2 =4x . 由题意知,直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0). 由? ????y 2 =4x ,y =kx +1得k 2x 2+(2k -4)x +1=0. 依题意Δ=(2k -4)2-4×k 2 ×1>0, 解得k <0或0

附录2(分式函数求值域方法总结)

分式型函数求值域的方法总结 一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)(一次式比一次式)在定义域内求值域。 例1:求21()32 x f x x +=+(2)3x ≠-的值域。 解:242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论,()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注:本题所用方法即为分离常数法,分离常数之后,分子便不含有x 项,使计算变得简便。 例2:求21()32x f x x += +,()1,2x ∈的值域。 分析:由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出,所以解决在给定区间内的值域问题,我们可以画出函数图像,求出其值域。 解:21()32x f x x +=+=123332x -+,是由1 3y x =-向左平移23,向上平移23得出,通过图像观察,其值域为35,58?? ??? 小结:函数关系式是一次式比一次式的时候,我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的,因此我们可以作出其图像,去求函数的值域。

x 分析:此类函数中,当0a <,函数为单调函数,较简单,在此我们不做讨论,当0a >时, 对函数求导,'2()1,a f x x =-'()0f x > 时,(x ∈-∞? +∞),'()0f x <时, (x ∈?,根据函数单调性,我们可以做出此类函数的大致图像,其我们常 其图像 例3:求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。 解:将函数整理成2()2()f x x x =+,根据双钩函数的性质,我们可以判断此函数在单调递减,在)+∞1,4出的函数值,我们可以知道在1处取的最大值,所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++(0,0m a ≠≠),2()ax bx c f x mx n ++=+(0,0m a ≠≠)在定义内求值域的问题。 例3:已知0t >,则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解:24114t t y t t t -+==+-,t o >∴由基本不等式地2y ≥-

解析几何范围最值问题(教师)详解

第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点,焦点在y 轴负半轴上,过点M (0,-2)作直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,且满足+=(-4,-12). (1)求直线l 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时,求△ABP 面积的最大值. [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y =kx -2,抛物线方程为x 2=-2py (p >0). 由????? y =kx -2,x 2=-2py , 得x 2+2pkx -4p =0 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2pk ,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-4=-2pk 2-4. 所以+=(-4,-12),所以??? ? ? -2pk =-4,-2pk 2 -4=-12, 解得? ???? p =1,k =2.故直线l 的方程为y =2x -2,抛物线方程为x 2=-2y . (2)设P (x 0,y 0),依题意,知当抛物线过点P 的切线与l 平行时,△ABP 的面积最大. 对y =-12x 2求导,得y ′=-x ,所以-x 0=2,即x 0=-2,y 0=-12x 20=-2,即P (-2,-2). 此时点P 到直线l 的距离d = |2·(-2)-(-2)-2|22+(-1)2 =45=4 5 5. 由? ???? y =2x -2, x 2=-2y ,得x 2+4x -4=0,则x 1+x 2=-4,x 1x 2=-4, |AB |= 1+k 2· (x 1+x 2)2-4x 1x 2= 1+22·(-4)2-4·(-4)=4 10. 于是,△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55=8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率e = 2 3 ,且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程; (2)在椭圆C 上,是否存在点M (m ,n ),使得直线l :mx +ny =1与圆O :x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由. (1)由e =c a = a 2- b 2 a 2= 23,得a =3 b ,椭圆C :x 23b 2+y 2 b 2=1,即x 2+3y 2=3b 2,

一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

拆分函数解析式结构,巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域(最值)问题的解法 在高中,初学函数之时,我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域(最值)的求法步骤。除此,还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见,它也是今后解决其他复杂函数值域(最值)问题的基础。此类函数看似生疏,而实际这类函数的图像,就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型,一种是函数式子决定定义域,不额外附加函数定义域;另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数,此类随着学习的深入,再行和大家见面。 下面我们以具体实例,说明如何依据函数解析式的结构特征,选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】:求函数21()3 x f x x +=-的值域; 【思路切入】:从函数结构可以得出,函数定义域由分式决定,为 {|3}x x R x ∈≠且,此时,将函数解析式的结构进行拆分变换,不难得出反比例函数结构,如此,得到解法程序: 1、将函数分解为反比例的结构; 2、根据反比例结构特性,或者利用图像,或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】:原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---, 7303 x x ≠≠-且 ,2y ∴≠,函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且; 【例题2】:求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域;

分式函数求最值班 班

分式函数的图象及性质和值域(4,13班) 耿9.2 在近几年的高考和模拟考试题目中,经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目,而分式函数的值域求法有共同的规律,本节课给大家介绍解法并总结出通法! 【知识要点】 1.函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ (1)定义域:{|}d x x c ≠-(2)值域:{y 调性:单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞(4中心:渐近线为直线, d a x y c c =-=,(5)奇偶性:当0a d ==时为奇函数。(6)图象:如图所示。 2.函数(0,0) b y ax a b x =+>>的图象和性质: (1)定义域:{|0}x x ≠(2){|y y y ≥≤-或(3 单调性:在区间+),(,∞-∞间上是减函数(5直线y ax =为渐近线(6)图象:如图所示。 3.函数(0,0)b y ax a b x =+><的图象和性质:

(1)定义域:{|0}x x ≠(2)值域:R (3)奇偶性:奇函数(4)单调性:在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。(5)渐近线:以y 轴和直线y ax =为渐近线(6)图象:如图所示。 4.函数(0)b y ax a x =+<的图象(如图所示)和性质(略): 类型一:(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+( “一次比一次”型) 备注:本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来,所以一定是中学对称函数,可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数1 1 +- =x y 的图象是 ( ) A B C D 例2、画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+= ==+---, 即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到。如下表所示:

解析几何最值问题

解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组:李维春 教学目标:1.掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择; 2.掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题. 重点难点:图形的处理和变量的选择及最值的处理. 问题提出: 已知椭圆方程:14 32 2=+y x ,A ,B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ,并和椭圆交于E 、F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析: 1、 图形的处理: 不规则图形转化为规则图形(割补法) ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择: (1) 设点:设点),(00y x E 则),(00y x F --,可得到二元表达式; (2) 设动直线的斜率k (可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率),可得 一元表达式。 3,最值的处理方法: (1) 一元表达式可用基本不等式或函数法处理; (2) 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X

问题解决: 解法一: 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“=” 当且仅当0032 y x = 解法二: 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ,四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离:00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方,0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离:00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以

求分式函数值域的几种方法-精品

求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向 摘要:在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中,经常遇到求分式函数值域的问 题.关于分式函数的值域的求法,是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法:配方法,反函数法,判别式法,单调性法,换元法(根式代换、三角代换等),不等式法,方程法,斜率法等. 关键词:分式函数 值域 方法. 1 引言 求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容,它不仅是一个难点、重点,而且是解决函数最值问题的一个重要工具.关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的,归纳起来,常用的方法有:配方法,反函数法,判别式法,单调性法,换元法(根式代换、三角代换等),不等式法,方程法,斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析. 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方,用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解:2 131248y x = ? ?-- ?? ?, 因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-, 所以函数的值域为:(],8-∞-∪()0,+∞.

例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解:2 1 11 y x x -= +-+, 因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34, 所以34- ≤21 01 x x -<-+, 故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候,要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域 我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根,则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解:将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①, 当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数, 所以?≥0, 即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0, 解得, 17 ≤ y ≤1或1y <≤7, 又当1y =时,0x =, 故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3,求b ,c 的值. 解:化为()20y x bx y c --+-=, ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0, ?()224428y c y c b -++-≥0,

解析几何中的最值问题.

解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题,具有题形多样,涉及知识面广等特点。解决这类问题,需要扎实的基础知识和灵活的解决方法,对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例,就这类问题的解法归纳如下: 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上,则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 ( ) A B C D 分析:可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线,其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解:设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+,与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去,与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ,故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中,何种矩形面积最大? 分析:可根据题意建立关系式,然后根据配方法求函数的最值。 解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ,则由椭圆对称性,矩形的长为2x ,宽为2y ,面积为4xy ,与 22 221x y a b +=消去 y 得: 22b S x a =?=

可知当x a = 时,max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点,P 是这个椭圆上任一点,则21PF PF ?的最大值是 解: 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-,P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点,点 M 在椭 圆上,当取2AM PM +最小值时,点M 的坐标为 ( ) A (- B (- C D 解:由已知得椭圆的离心率为1 2 e = , 过M 作右准线L 的垂线,垂足为N ,由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时, AM MN +的值最小,此时点M 的坐标为,故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -,在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ,求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。

分式函数求值域

分式型函数求值域的方法探讨 在教学中,笔者常常遇到一类函数求值域问题,此类函数是以分式函数形式出现,有一次式比一次式,二次式比一次式,一次式比二次式,二次式比二次,现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )(一次式比一次式)在定义域内求值域。 例1:求2 312)(++=x x x f ()32-≠x 的值域。 解:23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论,d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2:求2 312)(++=x x x f ,()2,1∈x 的值域。 分析:由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出,所以解决在给定区间内的值域问题,我们可以画出函数图像,求出其值域。 解:2312)(++=x x x f =233132+-x ,是由x y 31 -=向左平移32,向上平移32得出,通过图像观察,其值域为?? ? ??85,53 小结:函数关系式是一次式比一次式的时候,我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的,因此我们可以作出其图像,去求函数的值域。

二、形如求x a x x f + =)(()0≠a 的值域。 分析:此类函数中,当0a 时, 对函数求导,,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时,),(a x -∞∈?+∞,a ),0)(',则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解:41142-+=+-=t t t t t y ,∴>o t 由基本不等式地2-≥y

分式函数求最值 班 班

分式函数的图象及性质和值域(4,13班) 耿 在近几年的高考和模拟考试题目中,经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目,而分式函数的值域求法有共同的规律,本节课给大家介绍解法并总结出通法! 【知识要点】 1.函数(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+ (1)定义域:{|}d x x c ≠-(2)值域:{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞(4)直线,d a x y c c =-=,对称中心为点(,)d a c c - (5)奇偶性:当0a d ==时为奇函数。(62.函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质: (1)定义域:{|0}x x ≠(2)值域:{|y y y ≥或(3)奇偶性:奇函数(4 )单调性:在区间+),(∞上是增函数;在区间上是减函数(5以y 轴和直线y ax =为渐近线(6)图象:如图所示。 3.函数(0,0)b y ax a b x = + ><的图象和性质: (1)定义域:{|0}x x ≠(2)值域:R (3调性:在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。(5直线y ax =为渐近线(6)图象:如图所示。 (0)b y ax a x =+ <的图象(如图所示)和性质(略):

类型一:( ,, ,) ax b y a b c d R cx d + =∈ + (“一次比一次”型) 备注:本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来,所以一定是中学对称函数,可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数 1 1 + - = x y的图象是() A B C D 例2、画出函数 21 1 x y x - = - 的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】 212(1)11 2 111 x x y x x x --+ ===+ --- ,即函数 21 1 x y x - = - 的图像可以经由函数 1 y x = 的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到。如下表所示: 12 111 2 11 y y y x x x =??→=??→=+ -- 右上 由此可以画出函数 21 1 x y x - = - 的图像,如下: 单调减区间:(,1),(1,) -∞+∞; 值域:(,2)(2,) -∞+∞ U; 对称中心:(1,2)。 x O y x O y 1 2 x O y 1

解析几何中的最值问题教案

解析几何中的最值问题 一、教学目标 解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景,以函数和不等式等知识作为工具,具有较强的综合性,这类问题的解决没有固定的模式,其解法一般灵活多样,且对于解题者有着相当高的能力要求,正基于此,这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容:有关距离的最值,角的最值,面积的最值。 二、教学重点 方法的灵活应用。 三、教学程序 1、基础知识 探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法(设法将一个较复杂的最值问题,通过引入适当的变量能归为某初等函数(常见)的有二次函数和三角函数)的最值问题,然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。 (2)不等式法:(常用的不等式法主要有基本不等式等) (3)曲线定义法:利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点(或定直线)距离之间的不变关系,一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法 (4)平面几何法:有些最值问题具有相应的几何意义(如分式最值联想到斜率公式,求平方和最值联想到距离公式等等) (1)函数法 例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动,Q 点在椭圆2 219 x y +=上移动,试求PQ 的最大值。 分析:两个都是动点,看不出究竟,P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定,显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大,因此要求|PQ| 的最大值,只要求|OQ|的最大值。 说明:函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。 例2 在平面直角坐标系xOy 中,点(),P x y 是椭圆2 213 x y +=上的一个动点,求S x y =+的最大值 (2)不等式法

解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧

解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧 近几年来,与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中,这类问题不仅涉及知识面广,综合性大,应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时,往往抓不住问题关键,无法有效地解答,这类问题求解的关键在于根据题意,构造相关的不等式,然后求出不等式的解。那么,如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法: 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 -aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a -a2-b2a a2-b2a 例2 如图,已知∵OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.

一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题Last revision on 21 December 2020

拆分函数解析式结构,巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域(最值)问题的解法 在高中,初学函数之时,我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域(最值)的求法步骤。除此,还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见,它也是今后解决其他复杂函数值域(最值)问题的基础。此类函数看似生疏,而实际这类函数的图像,就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型,一种是函数式子决定定义域,不额外附加函数定义域;另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数,此类随着学习的深入,再行和大家见面。 下面我们以具体实例,说明如何依据函数解析式的结构特征,选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】:求函数21()3 x f x x +=-的值域; 【思路切入】:从函数结构可以得出,函数定义域由分式决定,为 {|3}x x R x ∈≠且,此时,将函数解析式的结构进行拆分变换,不难得出反比例函数结构,如此,得到解法程序: 1、将函数分解为反比例的结构; 2、根据反比例结构特性,或者利用图像,或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】:原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---, 7303 x x ≠≠-且 ,2y ∴≠,函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且; 【例题2】:求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域;

分式型函数求值域的方法探讨

分式型函数求值域的方法探讨 在教学中,笔者常常遇到一类函数求值域问题,此类函数是以分式函数形式出现,有一次式比一次式,二次式比一次式,一次式比二次式,二次式比二次,现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )(一次式比一次式)在定义域内求值域。 例1:求2312)(++=x x x f ()32 -≠x 的值域。 解:231 34) 3 2(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x Θ32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ?? ≠ 32/y y 一般性结论,d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ? ? ≠c a y y / 例2:求2 31 2)(++= x x x f ,()2,1∈x 的值域。 分析:由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出,所以解决在给定区间内的值域问题,我们可以画出函数图像,求出其值域。 解:2312)(++=x x x f =233132+-x ,是由x y 31 -=向左平移32,向上平移32 得出,通过图

像观察,其值域为?? ? ??85,53 小结:函数关系式是一次式比一次式的时候,我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的,因此我们可以作出其图像,去求函数的值域。 二、形如求x a x x f + =)(()0≠a 的值域。 分析:此类函数中,当0a 时, 对函数求导,,1)(2 ' x a x f - =0)(' >x f 时,),(a x -∞∈?+∞,a ),0)('

常见解析几何中的一些最值问题 人教版

常见解析几何中的一些最值问题 张凤仙 (贵州师范大学 数学与计算机科学学院 贵州贵阳 550001) 摘要:有关解析几何中的最值问题,在中学数学中较为常见,相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题,它亦占据了相当的比重,以下将从具体的实例出发,分析并介绍几种比较典型的解题方法,找出一般的解题程序与技巧。 关键词:最值;函数解析式;二次函数;自变量;已知量 引言: 中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中,在生产实践当中也有广泛的应用,也是历届各类考试的热点。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题,能够提高分析问题和解决问题的能力,也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。下面将针对解析几何中的最值问题,作出几种具体分类讨论: 一、利用二次函数的知识求最值 关于二次函数: y=ax2+bx+c (a≠0),x ∈R 当x= -a b 2时,y=a b ac 442 -为最值。 当a>0时,有ymin 当a<0时,有ymax 但通常二次函数有相应的定义域,自变量x 的具体取值范围有所不同,讨论最值的方式也有所不同。主要有两种情况: 1、x ∈R ,当a>0,则有ymin=a b ac 442 - 当a<0,则有ymax=a b ac 442- 2、当x 定义在闭区间,即x ∈[a ,b](a,b 为常数),则应当看对称轴x= -a b 2 是否在此区间,如果x 在此区间,则函数同时有最大值与最小值,如果x 不在此区间,则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上(具体由函数单调性决定)。 当x 定义在一个含参数的闭区间即∈x [t, t+a](t 为参数,a 为常数)时,需要对参数进行讨论。 例1.1 已知二次函数y=x2-x 2sec α+αα 2 cos 22sin 2+(α为参数,cos α≠0) ①求证此抛物线系的顶点轨迹为双曲线。 ②求抛物线y=x2+2x+6到上述双曲线的渐近线的最短距离。 分析:由于该二次函数y 的定义域为R ,所以这道题应归结于上述类别1。 对于问题①虽然所给解析式中含有参数,(为抛物线系)但实际上它是一个关于自变量x 的二次函数,通过配方,可对其变形,得到该抛物线的顶点,观察后可以判断这是一个含有参数α的轨迹方程。此时,消掉参数即可求解;对于问题②,已知某抛物线方程及已经求得的双曲线方程,要求该抛物线到该双曲线的渐近线的最短距离即为求某动点到定直线的距离,首先应该把该动点设出,其次要确定该直线的方程,这样方可根据点到直线的距离公式,得出所求最值的函数对象,从而求得最值。随之确定这个点。 解:① 由y=x2-2xsec α+αα 2 cos 22sin 2+ ?y=x-2xsec α+sec2 αααα22cos 22sin 2sec ++ -

高中数学解析几何中求参数取值范围的方法-

高中数学解析几何中求参数取值范围的方法 近几年来,与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中,这类问题不仅涉及知识面广,综合性大,应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时,往往抓不住问题关键,无法有效地解答,这类问题求解的关键在于根据题意,构造相关的不等式,然后求出不等式的解。那么,如何构造不等式呢?本文介绍几种常见的方法: 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B 满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( ) A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a 得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0 ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵y02≥0 而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )

三角函数最值问题(典型题型)

三角函数最值问题 求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识.这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性,下面结合例子给出几种求最值的方法,供大家学习时参考。 1、利用三角函数的单调性求最值 例1:求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-?-= ????? ?∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+= )42cos(2π+= x 4 5424,20ππ π π ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知: 当442ππ=+ x , 即0=x 时 ,)42cos(π+x 取最大值22; 当ππ =+42x ,即83π=x 时,)4 2cos(π+x 取最小值-1; 故2)(,1)(min max -==x f x f 方法评析:本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同,但最终能通过变形变为形如 θθcos sin b a +的形式,再用辅助角公式)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a 化为标准 形式结合三角函数的单调性加以解决,这是一种最常见的求最值的方法。 2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值 例2:求1 cos 2sin --= x x y 的最小值 解:(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得:y x y x -=-2cos sin ,y x y -=-+∴2)sin(12? 即2 12)sin(y y x +-=-?,故11212≤+-≤-y y ,解之得43≥y , 故y 的最小值为 43 方法评析:通过变形,借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法,一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。

高考解析几何中的最值问题

高考解析几何中的最值问题,以直线或圆锥曲线为背景,综合函数、不等式、三角等知识,所涉及的知识点较多。对解题能力考查的层次要求较高,因而这类最值问题已成为历年高考数学中的热点和难点。 【定义法】有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式,再利用几何或代数法求最值,可使题目中数量关系更直观,解法更简捷。 1.已知抛物线 24y x =,定点A(3,1),F 是抛物线的焦点 ,在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ,并求其最小值 。 2.(2015全国卷1)已知是双曲线的右焦点,P 是C 左支上一点, ,当周长最小时,该三角形的面积为 . 【参数法】参数方程是曲线的另一种表示形式,参数法是解决数学问题的一种重要方法,利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题,或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。 3.已知Q (0,-4)、P (6,0),动点C 在椭圆=1上运动,求△QPC 面积的最大值。 F 2 2 :18y C x - =(A APF ?4 92 2y x +

【导数法】用导数求解解析几何的最值问题:导数的几何意义是曲线上某点处切线的斜率,因而解析几何中的有关切线和最值问题用导数来处理,就避免解析几何中一些繁琐的计算。 4.(2007全国卷1)已知椭圆 2 3 x + 2 2 y =1的左、右焦点分别在F1、F2,过F1的直线交椭圆 与B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P。 (Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明: 22 001 32 x y +<; (Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。 5.(2013全国卷Ⅰ,文21)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2) l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

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