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解析函数的概念和柯西—黎曼条件

函数的基本概念梳理以及题型.doc

⑴函数的定义 ①传统定义：在某一个变化的过程中，有两个变量兀和y,如果对于在某一个范围内的任意一个x 的值，都有唯一的值y与之对应，则称y是兀的函数。 ②现代定义：设A、B是两个非空数集，如杲按照某个确定的对应关系/,使对于集合A 屮任意一个数尢，在集合B屮都有唯一一个数/(x)和它对应，那么就称A T B为从集合A到集合B 中的一个函数，记作J =/(X)(XG A)其中兀叫做自变量，兀的取值集合A叫做函数的定义域；与兀的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{/(X)\XE A}叫做函数的值域。 ⑵函数的理解： ①A、B都是非空数集(也就是限定了范围)，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在 ②若y = f(x)是从集合A到集合B的函数，则应紧扣它的“任意性”和“唯一性”，即 “任意性”一一对于A中的任意一个数X；“唯一性”一一在集合B中的都有唯一的确定的数/(兀)和它对应(还应该注意它的方向性、确定性) ③在现代定义域中B不一定是，函数的值域，如函数y = x2+l可以称为实数集到实数集的函数。 ④对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可。英中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已经确定，则值域也就确定了。探究：若y = f(x)是从A到B的函数，则集合A、B分别是函数的定义域与值域么？ A定是值域，B可以是也可以不是，若函数y = f(x)的值域为C,则C是B的非空子集 ⑶函数符号/(兀)的含义：/(兀)表示一个整体，一个函数。而记号“厂可以看做是对“兀” 施加的某种法则(或运算)，女U/(x) = x2-2x4-3 o当x = 2吋，课看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x是某个代数式(或某一个函数符号)时，则左右两边的x都有同一个代数式(或函数符号)代替，如/(X)=(2X-1)2-2(2X-1)+3, /(g(x)) = [gS)]2—2[gS)] + 3等等，/(a)与/(x) 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。例题：某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1 元其销售量就减少10件，则每天的销售利润是销售单价的函数吗？若是求它的定义域和对应法则若不是，则说明理由。

解析函数

第2章解析函数 2.1 解析函数的概念及C-R 条件复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间. 2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即,u v u v x y y x ????==-????在00(,)x y 成立（B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导（C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件（D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件解由上题的推导过程知，若()f z 在0z 点可导，则,u v 在00(,)x y 可微，且 ,.u v u v a b x y y x ????==- ==???? 在00(,)x y 点成立. 反之，若,u v 在00(,)x y 可微，且满足C-R 条件，则 ()i f z u v z z ??+?=?? i()(||)(i )i(i )(||) (i )(||)x y x y x x x x x u x u y v x v y o z z z u x y v x v y o z z z u v z o z z z ?+?+?+??=+ ???+?+?+??=+ ??+??=+ ?? 故 0() lim x x z f z u iv z ?→?=+? 选（C ）. 2-2 若22 2 22,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2?+≠?+===+??+=? ，则函数() f z （）. （A ）仅在原点可导（B ）处处不可导（C ）除原点外处处可导（D ）处处可微解 (,)u x y 在原点虽有 0y v x y ??==??但不可微；而除原点外,u v 可微但不满足C-R 条件，因此，()f z 处处不可导. 选（B ）. ()f z z =如此简单一个函数却处处连续但不可导！ 2-3 若2 2 ()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（）. （A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2 ,3,2)- （D ）(2,3,2)- 解由C-R 条件及 2,2,3, 2.u u v v x a y b cy cx x y x y ????=+=-+=+=+????故2,2, 3.c a b ===- 2-3 若22 ()i f z xy x y =+则()f z （）. （A ）令在直线y x =上可导（B ）仅在直线y x =-上可导（C ）仅在（0，0）点解析（D ）仅在（0，0）点可导

海涅定理在函数极限证明中的应用

海涅定理在函数极限证明中的应用摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。关键词：海涅定理；函数极限；数列极限 Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit 数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。根据文献[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。

黎曼假设

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。1730年，欧拉在研究调和级数： Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1) 时，发现： Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...... =Π(1-1/p)^-1。(2) 其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确： Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3) 证明了上式，即证明了黎曼猜想。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。

函数概念及解析式

函数的概念及解析式【复习目标】 1．理解函数的概念； 2．掌握函数的表示方法；【知识梳理】 1. 设A 、B 是____的数集，如果按某种对应关系f ，__________________________________________.，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数。 2. 函数的三要素：____________、________________、________________________; 3. 常用函数的表示方法：_____________________、______________、_____________; 4. 分段函数是指____________________________________________________________________; 【基础达标】 1． f(1－x)=x 2，则f(x)=____________, 2．若f(x －221)1x x x +=, 则f(x)=__________. 3．已知f(x)=11+-x x ,则f(x)+f()1x =_____________. 4．若f(x)=x 2－mx+n,f(n)=m,f(1)=－1，则f(－5)=____________. 5．已知)3(4 1)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________. 6．已知f(1－cosx)=sin 2x ，则f(x)=________________. 【典型例题】例1．求函数解析式 ⑴.求一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1； ⑵.设二次函数()y =f x 的最大值为13，且3(1)5f f （）=-=，求()f x 的解析式. ⑶.已知2(31)23f x x x +=-+，求(1)f x -=. ⑷.已知2 21)1(x x x x x f ++=+，求f(x)；

函数的概念及其表示方法知识点及题型总结

函数的概念及其表示方法一、函数的基本概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域。函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →: 这里 A, B 为非空的数集. （2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ? B ；f ：对应法则， x ∈A ， y ∈B （3）函数符号：)(x f y = ?y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域 1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R; 2．反比例函x k x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R 值域：当0>a 时，??????-≥a b ac y y 44|2；当0