高中数学必修1第三章《函数的应用》单元测试卷
高中数学必修1第三章《函数的应用》单元测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数()e 1
x
f x =-的定义域为（ ）
A ．()0,+∞
B ．[)0,+∞
C ．(),0-∞
D ．[)1,+∞
2．如果12
2．a =，03
12．b ??
= ?
??
，2213c og =，那么（ ）
A ．c b a >>
B ．c a b >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
3．在直角坐标系中，函数()1
sin f x x x
=-
的图像可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．已知函数()12log ,1236,1
x x x f x x >??
=??+≤?，
12f f ??
?? ? ????
?
（ ） A ．3 B ．4 C ．3- D ．4-
5．已知函数()221f x x mx =-+-在区间[)1,+∞上单调递减，则取值的集合为（ ） A ．{}4
B ．{}|4m m <
C ．{}|4m m ≤
D ．{}|4m m ≥
6．抛物线24y x =在点(处切线的倾斜角是（ ） A ．30?
B ．45?
C ．60?
D ．150?
7．若函数()1
ln f x x x
=-，则不等式()()121f x f x ->-的解集为（ ）
A ．2,3??-∞ ???
B ．20,3?? ???
C ．12,23?? ???
D ．2,13??
???
8．函数()(e x f x x -=的极大值点为（ ） A ．
12
B ．1-
C ．1
D ．
52
9．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（ ） A ．()f x 在()0,2单调递增
B ．()f x 在()0,2单调递减
C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称
D ．()y f x =的图象关于点()1,0对称
10．已知奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则（ ） A ．函数()f x 是以2为周期的周期函数 B ．函数()f x 是以4为周期的周期函数 C ．函数()1f x +是奇函数
D ．函数()2f x +是偶函数
11．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且()f x 在()2,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()136f f f -<< B ．()()()316f f f <-< C ．()()()613f f f <-<
D ．()()()631f f f <<-
12．已知函数()f x 满足()()
1
11f x f x +=
+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-上方程
()0f x mx m --=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2??????
B ．1,2??+∞????
C ．10,3??
????
D ．10,2?? ???
二、填空题
13．已知函数()22,0
1,0
x x f x x x ?>?=?+≤??，则不等式()2f x <的解集是______．
14．22
3
18lg1002-??
+-= ?
??
__________．
15．若函数()e e x x
a f x x ?
?
=- ???
为偶函数，则a =__________． 16．若函数()
ln e x y x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10
21|log ,,32 8B y y x x ??
??==∈???????
? （1）求集合A ，B ；
（2）若{}|12 1 C x m x m =+≤≤-，()C A B ?，求实数m 的取值范围．
18．（12分）已知函数2
4y x mx =+-，[]24x ∈，，
（1）求函数的最小值()g m ； （2）若()10g m =，求m 的值．
19．（12分）已知函数()()2
lg 1f x x a x a ??=+--??．
（1）求函数()f x 的定义域．
（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．
20．（12分）已知函数()()2log 1,0 12,0x
x x f x x ?+>?=?-≤??
．
（1）画出函数图象；
（2）写出函数()f x 的单调区间和值域；
（3）当a 取何值时，方程()f x a =有两不等实根？只有一个实根？无实根？
21．（12分）已知函数()e
x x
f x =
． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设0a >，求函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值．
22．（12分）已知函数()()()21
112ln (0)2
f x ax a x a x a =+-+->．
（1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性．
高中数学必修1第三章《函数的应用》单元测试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A
【解析】由函数(
)f x =
，可得函数满足e 10x ->，解得0x >，
即函数(
)f x =的定义域为()0,+∞，故选A ．
2．【答案】D
【解析】由指数函数的性质可得12
2
2．a =>，03
1012．b ??
<=< ?
??
，
由对数函数的性质可得()222log log 31,2c ==∈，a c b ∴>>，故选D ． 3．【答案】D
【解析】由题意，()()()11sin sin ﹣f x x x f x x x ?
?=-+
=--=- ??
?， ∴函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除C ．当0x +→时，()f x →-∞， 故排除A ，B ．故答案为D ． 4．【答案】C
【解析】由函数()12log ,1
236,1 x x x f x x >??
=??+≤?，
则()()12121236268log 832f f f f f ???
?
??=+=+===- ?
? ? ????
???
，故选C ．
5．【答案】C
【解析】函数的对称轴是4m x =
，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是,4m ??
+∞????
，若函数在区间[)1,+∞上单调递减，所以[)1,,4m ??
+∞?+∞????
，即14m ≤，解得4m ≤，故选C ．
6．【答案】A
【解析】由题可得y ='y
=?倾斜角是30?，故选A ． 7．【答案】C
【解析】由函数()1ln f x x x =-，因为ln x 是在定义域内单调递增，1
x -在()0,+∞也为增函数，故函
数()1ln f x x x =-在()0,+∞为增函数，所以只需：1210x x ->->得12
23
x <<，故选C ．
8．【答案】D
【解析】()(()
'1e e
x x
f x x --?=+- ?
1e
x x x --?=--+= ?
()
21
x x x ---=
=，解得11x =，25
2
x =
． 并且可以判断得出，当512x <<
时，()'0f x >；当112x <<或5
2
x >时，()'0f x <， 所以函数()f x 在1,12?? ???上单调减，在51,2?? ???
上单调增，在5,2??
+∞ ???上单调减，
所以函数()f x 的极大值点为5
2
，故选D ． 9．【答案】C
【解析】由题意知，()()()2ln 2ln f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()()ln 2f x x x =-????，()02x <<，由复合函数的单调性可知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ． 10．【答案】B
【解析】根据题意，定义在R 上的函数()f x 是奇函数， 则满足()()0f x f x -+=，即()()f x f x -=-， 又由()()11f x f x -=+，
则()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=-+=-=-????????，即()()2f x f x +=-，
()()()42f x f x f x +=-+=，故函数的周期为4，故选B ． 11．【答案】B
【解析】∵()()22
﹣f x f x +=，∴()f x 的图象关于直线2x =对称， ∴()()15f f -=，又()f x 在()2,+∞上单调递增，∴()()()()3516﹣f f f f <=<．故选B ． 12．【答案】D
【解析】当(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，()()1111111
x
f x f x x x =
-=-=-
+++， 在同一坐标系内画出()y f x =，y mx m =+的图像，
动直线y mx m =+过定点()1,0-，当再过()1,1时，斜率1
2
m =， 由图象可知当1
02
m <≤
时，两图象有两个不同的交点，从而()()g x f x mx m =--有两个 不同的零点，故选D ．
二、填空题 13．【答案】()1,1-
【解析】由题意，当0x >，令22x
<，解得01x <<，
当0x ≤，令212x +<，即2
1x <，解得10x -<≤，
所以不等式的解集为()1,1-． 14．【答案】6 【解析】原式等于()
2
2
3322
24426+-=+-=，故填6．
15．【答案】1
【解析】
()e e x x
a f x x ?
?=- ?
?
?
为偶函数，()e e x
x a g x ∴=-为奇函数，()00g ∴=，即10a -=，1a =，当1a =时，()1e e x x f x x ??∴=- ???，()()11e e e e -x x x x f x x x f x --???
?-=-=-= ? ????
?，符合题意，故答案
为1．
16．【答案】(]1-∞-，
【解析】欲使函数的值域为R ，只需e x x a -+能取遍所有正数，即最小值小于等于0．令
()e x f x x a =-+，()'e 100x f x x =->?>，()'e 100x f x x =-
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）[]1,8A =-，[]3,5B =-；（2）3m ≤． 【解析】（1）[]1,8A =-，[]3,5B =-， （2）{}|1 5 A
B x x =-≤≤，①若
C =?，则121m m +>-，2m ∴<
②若C ≠?，则121
11 215m m m m +≤??
?+≥--≤??
-，23m ∴≤≤，综上：3
m ≤
18．【答案】（1（2）5m =． 【解析】（1）2
4y x mx =+-，[]24x ∈
，，函数的对称轴是2
m x =-，
4m ≥-时，函数在[]24，
递增，
2x =时，函数值最小值，函数的最小值是2m ，
22m ??-????，递减，在42m ??- ???
，递增，
2
m
x =-时，函数值最小，最小值是244m --， ③
[]24，
递减， 4x =时，函数值最小，函数的最小值是412m +，
（2）()10g m =，由（1）得：若210m =，解得：5m =，符合题意；
若2
4104
m --=，无解；若41210m +=，无解；故5m =． 19．【答案】（1）见解析；（2）1a =．
【解析】（1）因为()2
10x a x a +-->，即()()10x x a +->，
当1a <-时，不等式的解为x a <或1x >-， 所以函数()f x 的定义域为{|x x a <或1}x >-． 当1a =-时，不等式的解为1x ≠-， 所以函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠-． 当1a >-时，不等式的解为1x <-或x a >， 所以函数()f x 的定义域为{|1x x <-或}x a >．
（2）如果()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，1a =， 检验：当1a =时，定义域为{|1x x <-或1}x >关于原点对称，
()()
2lg 1f x x =-， ()()()()2
2lg 1lg 1f x x x f x ??-=--=-=??
，
因此当1a =时，()f x 是偶函数．
20．【答案】（1）见解析；（2）单调增区间：()0,+∞，单调减区间：(],0-∞，值域：[
)0,+∞；（3）见解析．
【解析】（1）如图所示；
（2）由图像可得函数()f x 的单调增区间：()0,+∞； 单调减区间：(],0-∞，值域：[
)0,+∞．
（3）方程()f x a =有两个不相等实数根：{}|01a a <<； 方程()f x a =有一个实数根：{|0a a =或1]a ≥； 方程()f x a =无实数根：{}|0a a <．
21．【答案】（1）减区间为()1,+∞，增区间为(),1-∞；（2）见解析． 【解析】（1）()1e
x x
f x =
'-，由()0f x '<，解得1x >；由()0f x '>，解得1x <． 所以函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞． （2）由（1）可知： ①当21a ≤时，即102a <≤
，()f x 在[],2a a 上是增函数，所以此时()()2max 22e a a f x f a ==； ②当1a <，21a >时，即1
12
a <<，()f x 在1x =处取得极大值，也是它的最大值，所以此时()()max 11e
f x f ==
； ③当1a ≥时，()f x 在[],2a a 上是减函数，所以此时()()max e a
a
f x f a ==． 综上，函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值； 当102a <≤
时，为22e a a ；当112a <<时，为1e ；当1a ≥时，为e
a a ．
22．【答案】（1）14a =
，极大值58
-，极小值1
ln 212-；（2）见解析．
【解析】（1）∵()()()21
112ln 2
f x ax a x a x =+-+-，
∴()()()1210a
f x ax a x x
-=++
'->， 由已知()()1212212022a f a a a -='=+-+
-=，解得1
4
a =， 此时()2131
ln 842
f x x x x =-+，()()()121314424x x f x x x x --=-+=
'， 当01x <<和2x >时，()0f x '>，()f x 是增函数， 当12x <<时，()0f x '<，()f x 是减函数，
所以函数()f x 在1x =和2x =处分别取得极大值和极小值，
()f x 的极大值为()1351848f =-=-，极小值为()1311
2ln 2ln 212222
f =-+=-．
（2）由题意得
()()()()()()2
1211121210a a x x ax a x a a a f x ax a x x x x
-?
?-- ?+-+--??=+-+='=>，
①当
120a a -≤，即1
2
a ≥时，则当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． ②当1201a a -<
<，即1132
a <<时，则当120a
x a -<<
和1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当121a
x a
-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减． ③当
121a a
->，即103a <<时，则当01x <<和12a
x a ->
时，()0f x '>，()f x 单调递增；当121a
x a
-<<
时，()0f x '<，()f x 单调递减． ④当
121a a
-=，即1
3a =时，()0f x '≥，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增．
综上：①当103a <<时，()f x 在区间121,a a -?? ???上单调递减，
在区间()0,1和12,a a -??
+∞ ???
上单调递增； ②当1
3
a =时，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增；
③当11
32
a
<<时，()
f x在区间
12
,1
a
a
-
??
?
??
上单调递减，在区间
12
0,
a
a
-
??
?
??
和()
1,+∞上单调递增；
④当
1
2
a≥时()
f x在区间()
0,1上单调递减，在区间()
1,+∞上单调递增．