数字信号处理第七章
第七章数字滤波器设计
7.1：无限冲激响应滤波器的阶数的估计
Q７．１用MＡTTＡB确定一个数字无限冲激响应低通滤波器所有四种类型的最低阶数。指标如下:40 kHz的抽样率,,４ kHｚ的通带边界频率，８ kHz的阻带边界频率，０.５ｄＢ的通带波纹，40 dB的最小阻带衰减。评论你的结果。
答:标准通带边缘角频率Wp是：
标准阻带边缘角频率Ｗs是：
理想通带波纹Ｒp是０.5dB
理想阻带波纹Rｓ是40dB
1.使用这些值得到巴特沃斯低通滤波器最低阶数N＝８,相应的标准通带边缘频率Wｎ是0.２４６９．
2.使用这些值得到切比雪夫１型低通滤波器最低阶数N＝5,相应的标准通带边缘频率Wn是0.2000.
3/使用这些值得到切比雪夫2型低通滤波器最低阶数N=５，相应的标准通带边缘频率Wn是０．4000．
4.使用这些值得到椭圆低通滤波器最低阶数Ｎ=８,相应的标准通带边缘频率Wn是０．2000．从以上结果中观察到椭圆滤波器的阶数最低，并且符合要求。
Q7．2用MATＬAB确定一个数字无限冲激响应高通滤波器所有四种类型的最低阶数。
指标如下:35００Hｚ的抽样率，１050 Ｈz的通带边界频率,6００ Hz的阻带边界频率,１ dB的通带波纹,50 ｄＢ的最小阻带衰减。评论你的结果
答:标准通带边缘角频率Wp是：
标准阻带边缘角频率Ｗｓ是:
理想通带波纹Rp是1dB
理想阻带波纹Rs是5０dＢ
１.使用这些值得到巴特沃斯高通滤波器最低阶数Ｎ=8，相应的标准通带边缘频率Wn是0.5６４６.
２．使用这些值得到切比雪夫1型高通滤波器最低阶数N＝5，相应的标准通带边缘频率Wn 是0.60０0．
3.使用这些值得到切比雪夫2型高通滤波器最低阶数N=5，相应的标准通带边缘频率Wn是
０.342９.
4.使用这些值得到椭圆低通滤波器最低阶数N=4，相应的标准通带边缘频率Ｗn是０.６0０
０．
从以上结果中观察到椭圆滤波器的阶数最低,并且符合要求。
Q7.３用MATLＡB确定一个数字无限冲激响应带通滤波器所有四种类型的最低阶数。
指标如下:7 kHz的抽样率,1.4 kＨz和2．1 kHz的通带边界频率，1.05 ｋHz和2．４
5 kHz的阻带边界频率,,０ .4 dB的通带波纹,５0 dB的最小阻带衰减。评论你的结
果。
答:标准通带边缘角频率Wp是:
标准阻带边缘角频率Ws是:
理想通带波纹Rｐ是０.4ｄB
理想阻带波纹Rs是５０dB
1.使用这些值得到巴特沃斯带通滤波器最低阶数2N=18,相应的标准通带边缘频率Wn是［0.383５ 0.６１65].
２．使用这些值得到切比雪夫1型带通滤波器最低阶数2N＝１2，相应的标准通带边缘频率Wｎ是[0．40０0 0.６000]．
3.使用这些值得到切比雪夫2型带通滤波器最低阶数2N=１２，相应的标准通带边缘频率Wn是［0.３０00 0.700０]．
４.使用这些值得到椭圆带通滤波器最低阶数２N＝8,相应的标准通带边缘频率Ｗn是
[0.4000 ０．6０00].
从以上结果中观察到椭圆滤波器的阶数最低,并且符合要求。
Q７.4用ＭATＬAＢ确定一个数字无限冲激响应带阻滤波器所有四种类型的最低阶数。指标如下:１2 kHz的抽样率,２.１ kＨz和4.５ｋHz的通带边界频率,2.7 kHｚ和3．9 kHz 的阻带边界频率，0.6 dB的通带波纹,4５dＢ的最小阻带衰减。评论你的结果。
答：标准通带边缘角频率Wｐ是：
标准阻带边缘角频率Ｗs是:
理想通带波纹Rp是０.6ｄB
理想阻带波纹Rs是４5dB
1．使用这些值得到巴特沃斯带阻滤波器最低阶数２N=18，相应的标准通带边缘频率Wn是［0.3873 0.71２３］.
2．使用这些值得到切比雪夫1型带阻滤波器最低阶数2N=１0,相应的标准通带边缘频率Wn 是[０.３5０0 0.7500］.
3．使用这些值得到切比雪夫２型带阻滤波器最低阶数2N=10，相应的标准通带边缘频率W ｎ是[０.４５00 ０．65０0]．
4.使用这些值得到椭圆带阻滤波器最低阶数２N＝8,相应的标准通带边缘频率Wｎ是
[０.3500 0.７50０]．
从以上结果中观察到椭圆滤波器的阶数最低,并且符合要求。
7.2：无限冲激响应滤波器设计
程序P7.1说明巴特沃斯带阻滤波器的设计。
％巴特沃斯带阻滤波器的设计
Ws ＝[0.4 ０.6]; Wｐ＝ [0.2 0.8］; Rp ＝０.4; Rs = 50;
％估计滤波器的阶数
[N１, Ｗn1] = bｕtｔord(Wp, Ws, Rp, Rs);
% 设计滤波器
［num,dｅｎ］ = butter(N1,Wｎ1，'ｓｔop＇）；
% 显示传输函数
diｓp（'分子系数是 '）；disp(ｎｕｍ)；
disp('分母系数是 ');diｓp(dｅn);
% 计算增益响应
[ｇ, w] = gａiｎ(ｎum,den）;
％绘制增益响应
plot(w/pi，g)；griｄ
aｘiｓ（[０ 1 －60 ５])；
xlabel('＼ｏmega /＼pi')； ylaｂel（＇增益, dB')；
tｉtle(＇巴特沃斯带阻滤波器的增益响应');
Q7.5通过运行程序P７． 1来设计巴特沃兹带阻滤波器。写出所产生的传输函数的准确表达式。滤波器的指标是什么,你的设计符合指标吗，使用MATLＡＢ，计算并绘制滤波器的未畸变的相位响应及群延迟响应。
答:表达式是：
滤波器参数是：
Wp1=０．２π，Ｗs1＝０.4π,Ws2=0．6π,Wp2=0.8π，Rp＝0.４dB，Rs=50ｄB.
设计的滤波器增益响应如下：
从图中可以总结出设计符合指标。
滤波器的未畸变的相位响应及群延迟响应如下：
Q7.6修改程序Ｐ7.１来设计符合习题Q7.1所给指标的切比雪夫1型低通滤波器。写出所产生的传输函数的准确表达式。你的设计符合指标吗?使用MＡTＬＡＢ，计算并绘制滤波器的
未畸变的相位响应及群延迟响应。
答:表达式如下:
设计的滤波器增益响应如下：
从图中可以总结出设计符合指标。
滤波器的未畸变的相位响应及群延迟响应如下：
Q7.7修改程序P7.1来设计符合习题Ｑ7.2所给指标的切比雪夫2型高通滤波器。写出所产生的传输函数的准确表达式。你的设计符合指标吗？使用MＡTＬAB,计算并绘制滤波器的未畸变的相位响应及群延迟响应。
答:表达式如下：
设计的滤波器增益响应如下：
从图中可以总结出设计符合指标。
滤波器的未畸变的相位响应及群延迟响应如下：
Q7.8修改程序P7.1来设计符合习题Ｑ7．3所给指标的椭圆带通滤波器。写出所产生的传输函数的准确表达式。你的设计符合指标吗，使用MATＬＡＢ,计算井绘制滤波器的未畸变的相位响应及群延迟响应。
答:表达式如下:
设计的滤波器增益响应如下：
从图中可以总结出设计符合指标。
滤波器的未畸变的相位响应及群延迟响应如下:
7.3：吉布斯现象
Q７.9使用函数siｎｃ编写一个MATLAB程序，以产生截止频率在Wc= 0.4π处、长度分别为81，61,４1和21的四个零相位低通滤波器的冲激响应系数，然后计算并画出它们的幅度响应。使用冒号“:”运算符从长度为8１的滤波器的冲激响应系数中抽出较短长度滤波器的冲激响应系数。在每一个滤波器的截止频率两边研究频率响应的摆动行为。波纹的数量与滤波器的长度之间有什么关系?最大波纹的高度与滤波器的长度之间有什么关系?你将怎样修改上述程序以产生一个偶数长度的零相位低通滤波器的冲激响应系数?
答：长度为８１时幅度响应如下：
长度分别为６1，41和2１的幅度响应如下:
从中可以观察到由于吉布斯现象产生的幅度响应的摆动行为。
波纹的数量与滤波器的长度之间的关系——波纹的数量减少与长度成正比。
最大波纹的高度与滤波器的长度之间的关系——最大波纹的高度与长度无关。
Ｑ７．10使用函数sinｃ编写一个MＡTLAB程序,以产生一个截止频率在Wｃ= 0．4π处、长度为4５的零相位高通滤波器的冲激响应系数,计算并画出其幅度响应。在每一个滤波器的截止频率两边研究频率响应的摆动行为。你将怎样修改上述程序以产生一个偶数长度的零相位高通滤波器的冲激响应系数?
答：长度为45时幅度响应如下：
从中可以观察到由于吉布斯现象产生的幅度响应摆动行为。
在这种情况下你不能改变长度。原因:这是一个零相位滤波器,这意味着它也是一个线性相位滤波器,因为零相是一种特殊的线性相位的子集。现在,理想的有限脉冲响应长度甚至有对称的中点ｈ［ｎ]。使其成了一个线性相位ＦIR滤波器。二型滤波器不可能是高通滤波器，因为必须在z=-1处有零点，意味着w=＋-π。
Q7.11编写一个ＭATLAB程序,以产生长度分别为８1,61,4１和2１的四个零相位微分器的冲激响应系数,计算并画出它们的幅度响应。下面的代码段显示了怎样产生一个长度为２M＋1的微分器。
n＝１:M;
b＝cos(pｉ＊n)．/n;
ｎum=[-fliｐlr(b) ０b]；
对于每种情况,研究微分器的频率响应的摆动行为。波纹的数量与微分器的长度之间有什么关系,最大波纹的高度与滤波器的长度之间有什么关系?
答:幅度响应分别如下:
从中可以观察到由于吉布斯现象产生的幅度响应的摆动行为。
波纹的数量与微分器的长度之间的关系——两者成正比。
最大波纹的高度与滤波器的长度之间的关系——两者间没有关系。
Q7．12编写一个MＡ11AB程序，以产生长度分别为81,61.41和2１的四个离散时间希尔伯特变换器的冲激响应系数,计算并画出它们的幅度响应。下面的代码段显示了怎样产生一个长度为2Ｍ十1的希尔伯特变换器。
n=１:Ｍ；
c=siｎ(pi*ｎ)./2;
ｂ=2*(c.*c).／(ｐｉ*ｎ）;
num=[-fliｐｌr(b) ０ｂ];
对于每种情况,研究希尔伯特变换器的频率响应的摆动行为。波纹的数量与希尔伯特变换器的长度之间有什么关系?最大波纹的高度与滤波器的长度之间有什么关系?
答:幅度响应如下:
从中可以观察到由于吉布斯现像产生的幅度响应的摆动行为。
波纹的数量与希尔伯特变换器的长度之间的关系——两者成正比。
最大波纹的高度与滤波器的长度之间的关系——两者无关系。
7．4：有限冲激响应滤波器的阶数估计
Ｑ7.13 线性相位低通FIR滤波器的阶数估算,参数如下:
ｐ =2 ｋHz, s =2.5 kＨz, ｐ = ０.005, ｓ = 0.005, ＦT = １０ｋHz
使用kaioｒd 的结果为N = ４6
使用 ceil 命令的目的是朝正方向最接近整数方向取整。
使用naｒgin命令的目的是表明函数M文件体内变量的数目。
Q7.14 (a）线性相位FIＲ滤波器的阶数估算,其中采样频率改为F T = 20 kHｚ，则结果为
N=91。
（ｂ）线性相位FIR滤波器阶数的估计，其中通带波纹改成p= 0.０02和ｓ＝ 0.0０２
结果为 N=57。
(ｃ)线性相位FIR滤波器的阶数估算，其中阻带宽度改成s = 2．3 ｋＨｚ，结果为N＝76. 从上述结果和7．１3的对比我们可以观察到：
滤波器阶数和采样频率的关系为–对于一个给定的模拟过渡带宽，采样频率的增加导致估算阶数也相应增加，朝下一个整数取整。
其中模拟过渡带宽|Fp－Ｆs｜和Δω的关系：Δω=２pi*|Fｐ-Fｓ|／ＦT。
因此增加FＴ会减小Δω。
滤波器阶数和通带波纹宽度的关系为估计的阶数大致和log（底数为10）成比例的扩散。