二项式系数性质练习题答案
例1．在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式
01()()
n n n r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ 中，令
1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n
n n n n n C C C C C -=-+-++- ，
即0
213
0()()n n n n C C C C =++-++ ，
∴0
213
n
n n n C C C C ++=++ ，
即在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知0
213
12n n n n n C C C C -++=++= .
例2．已知7
270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：
（1）127a a a +++ ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++ .
解：（1）当1x
=时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a ++++
∴0127a a a a ++++ 1=-，
当0x
=时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ，
（2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①
令1x
=-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-
.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：70
2462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=
，
∴0
17||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3
的系数
解：)
x 1(1]
)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=
+++++）（ =x
x x )1()1(11+-+，
∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7
C
第二课时
例4.在(x 2+3x+2)5
的展开式中，求x 的系数解：∵5552
)2x ()1x ()2x 3x
(++=++
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1
5
=，
在(2+x)5
展开式中，常数项为25
=32，含x 的项为x 80x 2C 4
1
5=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+?，
∴此展开式中x 的系数为240
例5.已知n
2
)x 2x (
-
的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意2
n 4n 2n 4
n
C 14C 33:14C :C =?=
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10
设第r+1项为常数项，又 2
r 510r 10r r 2r
10r
10
1
r x C )2()x
2()
x (C T --+-=-=
令
2r 02
r
510=?=-， .180)2(C T 22
1012=-=∴+此所求常数项为180例6． 设()()()
()23
1111n
x x x x ++++++++= 2012n n a a x a x a x ++++ ，
当0
12254n a a a a ++++= 时，求n 的值
解：令1x
=得：
2
3
0122222n
n a a a a ++++=++++ 2(21)
25421
n -=
=-， ∴2
128,7n
n ==，
点评：对于
101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++ ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系
数的和0
12n a a a a ++++ 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例7．求证：1
231232n
n n
n n n C C C nC n -++++=? ．
证（法一）倒序相加：设S =12323n
n n n n
C C C nC ++++ ① 又∵S =1221
(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++ ②
∵r
n r n
n
C C -=，∴011
,,n n n n n n C C C C -== ， 由①+②得：()0122n n n n n S n C C C C =++++ ，
∴11222
n n S
n n -=
??=?，即1231232n
n n n n n C C C nC n -++++=? ． （法二）：左边各组合数的通项为
r
n
rC 1
1!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --?-=?==---，
∴ ()1
230121112123n n n
n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++ 1
2
n n -=?． 例8．在10
)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r
n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.
解：设10102829110010
)
32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),
各项系数和即为
1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++ ,偶数项系数和为
9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010
101100
10
2=+++C C C .
②令1==
y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为910102100
102=+++C C C ,
偶数项的二项式系数和为99103101
102=+++C C C .
④设10102829110010
)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- ,
令1==
y x ,得到110210=++++a a a a …(1),
令1=x ,
1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a (2)
(1)+(2)得101020
51)(2+=+++a a a ,
∴奇数项的系数和为2
5110
+;
(1)-(2)得10931
51)(2-=+++a a a ,
∴偶数项的系数和为2
5
110
-.
⑤x 的奇次项系数和为2
5110
9
531-=++++a a a a ;
x 的偶次项系数和为2
5110
10420+=++++a a a a .
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9．已知n x x 223
)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n x
x 2)12(-的展开
式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：由题意992222=-n n
,解得5=n .
①10
1(2)x x
-的展开式中第6项的二项式系数最大, 即8064)1()2(555
10156
-=-??==+x
x C T T .
②设第1+r 项的系数的绝对值最大, 则r r r
r r r r r x C x
x C T 210101010101
2)1()1()2(---+???-=-??=
∴??????≥??≥?--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得?????≥≥+-110
101101022r r r r C C C C ,即???-≥+≥-r r r r 10)1(2211
∴3
1138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项
例10．已知：2
23
(3)n x
x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2 解：令1x
=，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，
又展开式中二项式系数和为2n
， ∴22
2992n
n -=，5n =．
（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴2
23
22
6
33
5
()(3)90T C x x x
==，22232
23
33
4
5
()(3)270T C x x x
==，
（2）设展开式中第1r
+项系数最大，则2
1045233
15
5
()
(3)3r r r
r
r
r r T C x x C x
+-+==，
∴1155
11
55
33792233r r r r r r r r C C r C C --++?≥??≤≤?≥??，∴4r =，
即展开式中第5项系数最大，2264
24
3
3
55
()(3)405T C x x x
==．
例11．已知)(122221
2211+---∈+?++++=N n C C C S n n n n n n n n
，
求证：当n 为偶数时，14--n S n
能被64
分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式
∵11221
22221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++?+=+ 3n =，
∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）
， ∴14--n S n
2381k k =--(81)81k k =+--
0111888181k k k k k k C C C k --=++++--
011
228(88)8k
k k k C C C -=+++ （*） ，
当k =1时，410n S n --=显然能被64整除，
当2k
≥时，（*）式能被64整除，
所以，当n 为偶数时，14--n S n
能被64
(完整版)二项式系数性质练习题答案
例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式 01()() n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L 中，令 1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-L ， 即0 213 0()()n n n n C C C C =++-++L L ， ∴0 213 n n n n C C C C ++=++L L ， 即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知0 213 12n n n n n C C C C -++=++=L L . 例2．已知7 270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）12 7a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，7 7(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++L ∴0127a a a a ++++L 1=-， 当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，70 12345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：7 13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7 132 +- . （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：70 2462()13a a a a +++=-+， ∴ 7 0246132 a a a a -++++= ， ∴0 17||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
最新相关分析pearson_spearman_kendall的区别.优选
Pearson，Spearman和Kendall三种相关分析方法的异同 线性相关性（linear correlation）：又简称简单相关（simple correlation），用来度量具有线性关系的两个变量之间，相关关系的密切程度及其相关方向，适用于双变量正态分布资料。线性相关系数，又称为简单相关系数，Pearson（皮尔逊）相关系数或相关系数。有时也称为积差相关系数（coefficient of product-moment correlation）。 适用条件： 1.样本容量大于等于30，这样才能保证计算的数据具有代表性，计算出的积差相关系数可以有效说明两个变量的相关关系。 2.两个变量的所属总体都呈正态分布，至少是接近正态的单峰分布。 3.两个变量都是由测量所得的连续性数据。 4.两个变量间的相关是线性相关。 5.排除共变因素的影响。 6.计算连续变量或是等间距测度的变量间的相关分析。 Spearman相关系数又称秩相关系数，是利用两变量的秩次大小作线性相关分析，对原始变量的分布不做要求，属于非参数统计方法，适用范围要广些。Spearman相关系数相当于Pearson相关系数的非参数形式，它根据数据的秩而不是数据的实际值计算，适用于有序数据和不满足正态分布假设的等间隔数据。Spearman相关系数的取值范围也在（-1，1）之间，绝对值越大相关性越强，取值符号也表示相关的方向。对于服从Pearson相关系数的数据亦可计算Spearman相关系数，但统计效能要低一些。 适用条件： 1.只有两个变量，且都为顺序变量（等级变量），或一列数据是顺序变量数据，另一列数据是连续变量数据。 2.适用于描述称名数据和顺序数据的相关情况。 3.两个连续变量观测的数据，至少有一列数据是由非测量方法粗略评估得到的。如使用作品分析法，评价者只能在一定标准基础上，依靠自己的经验进行粗略评估。 4.从Spearman等级相关的使用条件可以看出，其不受样本大小、变量分布形态，数据是否具有连续性的条件限制，所以当数据不满足Pearson积差相关的使用条件时，可以使用Spearman等级相关。但Spearman等级相关需将连续性数据转换为顺序数据，会遗漏数据原有信息，没有积差相关的准确度高。所以，当数据符合积差相关的使用条件时，不要使用等级相关进行计算。
操作篇 09_等级相关系数的计算与检验
计算机辅助英语教学与研究（操作篇） 浙江师范大学外语学院夏建新 第9讲用Excel计算等级相关系数 目次 9.1 等级相关的概念 (1) 9.2 适用条件与计算公式 (1) 9.3 操作练习 (1) 9.4 课堂练习 (3) 9.5 积差相关与等级相关比较 (4) 9.6 肯德尔和谐系数的计算 (5) 9.7 Task 9 (6)
9.1 等级相关的概念 等级相关是指以等级次序排列或以等级次序表示的变量之间的相关。主要包括斯皮尔曼(Spearman)二列等级相关及肯德尔和谐系数(the Kandall Coefficient of Concordance)多列等级相关。 9.2 适用条件与计算公式 z当测量到的数据不是等距或等比数据，而是具有等级顺序的测量数据； z（或）得到的数据是等距或等比的测量数据，但其所来自的总体分布不是正态的; z（或）样本容量不一定大于50（或30） 在无法满足积差相关系数的适用条件时，只要满足上述三个条件中的任何一个，都可以计算其等级相关系数。由于该系数并不要求总体是否呈正态分布，也不要求N>50（或N>30），所以应用范围较广。 斯皮尔曼等级相关系数r R的计算公式为： 在该式中，D = (Rx – Ry)，它表示对偶等级之差。 9.3 操作练习 计算下表的相关系数。 学号学习潜能自学能力 199901 71 7 199902 68 7 199903 84 2 199904 64 9 199905 76 5 199906 69 8 199907 90 3 199908 71 8
199909 66 10 199910 71 6 (注：自学能力是按能力高低从小往大的数字打的，即数值越小，说明自学能力越强) 步骤一：先用Excel中的“排序”工具对“学习潜能”进行等级赋值，操作步骤如下所示： 数据→ 排序 → 主要关键字 → 学习潜能 → 递减 → 有标题行→ 确定 结果如下： 学号 学习潜能自学能力 19990790 3 19990384 2 19990576 5 19990171 7 19990871 8 19991071 6 19990669 8 19990268 7 19990966 10 19990464 9 然后对“学习潜能”进行赋值，结果如下： 序号学号学习潜能等级1 自学能力 1 19990790 1 3 2 19990384 2 2 3 19990576 3 5 5 19990171 5 7 4 19990871 5 8 6 19991071 5 6 7 19990669 7 8 8 19990268 8 7 9 19990966 9 10 10 19990464 10 9 说明：因4、5、6号三位学生的“学习潜能”分相等，其赋值取三者的平均等级5（计算方法为名次的总和除以同名次人数，即(4+5+6)/3=5）。 步骤二：按步骤一中所述方法对“自学能力”进行排序和赋值（考虑到“自学能力”的数值越小，等级越高，排序时应该选“递增”）。结果如下： 序号学号学习潜能等级1自学能力等级2 2 19990 3 8 4 2 2 1 1 199907 90 1 3 2 3 199905 76 3 5 3 6 199910 71 5 6 4 5 199901 71 5 7 5.5 8 199902 68 8 7 5.5 4 199908 71 5 8 7.5
常用相关分析方法及其计算
二、常用相关分析方法及其计算 在教育与心理研究实践中，常用的相关分析方法有积差相关法、等级相关法、质量相关法，分述如下。 （一）积差相关系数 1. 积差相关系数又称积矩相关系数，是英国统计学家皮尔逊（Pearson ）提出的一种计算相关系数的方法，故也称皮尔逊相关。这是一种求直线相关的基本方法。 积差相关系数记作XY r ，其计算公式为 ∑∑∑===----= n i i n i i n i i i XY Y y X x Y y X x r 1 2 1 2 1 ) ()() )(( (2-20) 式中i x 、i y 、X 、Y 、n 的意义均同前所述。 若记X x x i -=,Y y y i -=，则（2-20）式成为 Y X XY S nS xy r ∑= (2-21) 式中n xy ∑称为协方差，n xy ∑的绝对值大小直观地反映了两列变量的一致性程 度。然而，由于X 变量与Y 变量具有不同测量单位，不能直接用它们的协方差 n xy ∑来表示两列变量的一致性，所以将各变量的离均差分别用各自的标准差 除，使之成为没有实际单位的标准分数，然后再求其协方差。即： ∑∑?= = )()(1Y X Y X XY S y S x n S nS xy r
Y X Z Z n ∑?= 1 (2-22) 这样，两列具有不同测两单位的变量的一致性就可以测量计算。 计算积差相关系数要求变量符合以下条件：（1）两列变量都是等距的或等比的测量数据；（2）两列变量所来自的总体必须是正态的或近似正态的对称单峰分布；（3）两列变量必须具备一一对应关系。 2. 积差相关系数的计算 利用公式 (2-20)计算相关系数，应先求两列变量各自的平均数与标准差，再求离中差的乘积之和。在统计实践中，为方便使用数据库的数据格式，并利于计算机计算，一般会将(2-20)式改写为利用原始数据直接计算XY r 的公式。即： ∑∑∑∑∑∑∑---= 2 22 2 ) () (i i i i i i i i XY y y n x x n y x y x n r (2-23) （二）等级相关 在教育与心理研究实践中，只要条件许可，人们都乐于使用积差相关系数来度量两列变量之间的相关程度，但有时我们得到的数据不能满足积差相关系数的计算条件，此时就应使用其他相关系数。 等级相关也是一种相关分析方法。当测量得到的数据不是等距或等比数据，而是具有等级顺序的测量数据，或者得到的数据是等距或等比的测量数据，但其所来自的总体分布不是正态的，出现上述两种情况中的任何一种，都不能计算积差相关系数。这时要求两列变量或多列变量的相关，就要用等级相关的方法。 1. 斯皮尔曼(Spearman)等级相关 斯皮尔曼等级相关系数用R r 表示，它适用于两列具有等级顺序的测量数据，或总体为非正态的等距、等比数据。
杨辉三角与二项式系数的性质(教案)
1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，
高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3
§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行 两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自 变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1 k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12 n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
相关分析
第七章相关分析 任何事物的存在都不是孤立的，而是相互联系、相互制约的。在医学领域中，身高与体重、体温与脉搏、年龄与血压等都存在一定的联系。说明客观事物相互间关系的密切程度并用适当的统计指标表示出来，这个过程就是相关分析。 值得注意，事物之间有相关，不一定是因果关系，也可能仅是伴随关系。但如果事物之间有因果关系，则两者必然相关。 由变量相依关系的特点，变量之间的依存关系可分为两大类型： (1)确定性关系——函数关系，例如圆面积S=πr2, y=e x+x2等。 (2)确定性关系——相关关系，例如人的血压y与年龄x之间的关系等。 以往我们讨论过的许多数学学科，如分析几何、代数等都是研究变量之间确定性关系的，但非确定性关系在自然界和我们熟知的教育领域中大量存在，例如学习成绩与智力因素或与非智力因素之间，数学成绩与物理成绩之间，性别与学习成绩之间等，都存在某种相互联系，相互制约的依存关系，这种关系不是那种严格的函数关系，而是一种非确定性的关系。相关关系和函数关系也有联系：由于观察和测量中会产生误差，函数关系往往通过相关关系表现出来，变量间相关关系非常密切时，通常又呈现出某种函数关系趋势。 相关的种类 按不同的分类标准，相关关系有多种分类 1、简单相关和复相关 简单相关——两个变量之间的相关关系 按涉及变量的多少分 复相关——一个变量与两个及以上个变量之间的相关关系 2、线性相关和非线性相关 线性相关(直线相关) 按变量关系的表现形态，相关关系可分为 非线性相关(曲线相关) 3、正相关和负相关 按变量数值变化方向的总趋势，相关关系可分为正相关、负相关 正相关——两个变量变化方向的趋势相同(见教材P2，图1-2左) 负相关——两个变量变化方向的趋势相反(见教材P2，图1-2右) 4、完全相关、高度相关、低度相关和不相关
(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)
1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C
pearson,kendall和spearman三种相关分析方法
在SPSS软件相关分析中,pearson(皮尔逊), kendall（肯德尔）和spearman（斯伯曼/斯皮尔曼）三种相关分析方法有什么异同 两个连续变量间呈线性相关时，使用Pearson积差相关系数，不满足积差相关分析的适用条件时，使用Spearman秩相关系数来描述. Spearman相关系数又称秩相关系数，是利用两变量的秩次大小作线性相关分析，对原始变量的分布不作要求，属于非参数统计方法，适用范围要广些。对于服从Pearson相关系数的数据亦可计算Spearman相关系数，但统计效能要低一些。Pearson相关系数的计算公式可以完全套用Spearman相关系数计算公式，但公式中的x和y用相应的秩次代替即可。 Kendall's tau-b等级相关系数：用于反映分类变量相关性的指标，适用于两个分类变量均为有序分类的情况。对相关的有序变量进行非参数相关检验；取值范围在-1-1之间，此检验适合于正方形表格； 计算积距pearson相关系数，连续性变量才可采用;计算Spearman秩相关系数，适合于定序变量或不满足正态分布假设的等间隔数据; 计算Kendall秩相关系数，适合于定序变量或不满足正态分布假设的等间隔数据。 计算相关系数：当资料不服从双变量正态分布或总体分布未知，或原始数据用等级表示时，宜用 spearman或kendall相关 Pearson 相关复选项积差相关计算连续变量或是等间距测度的变量间的相关分析 Kendall 复选项等级相关计算分类变量间的秩相关，适用于合并等级资料 Spearman 复选项等级相关计算斯皮尔曼相关，适用于连续等级资料 注： 1若非等间距测度的连续变量因为分布不明-可用等级相关/也可用Pearson 相关，对于完全等级离散变量必用等级相关 2当资料不服从双变量正态分布或总体分布型未知或原始数据是用等级表示时,宜用Spearman 或 Kendall相关。 3 若不恰当用了Kendall 等级相关分析则可能得出相关系数偏小的结论。则若不恰当使用，可能得相关系数偏小或偏大结论而考察不到不同变量间存在的密切关系。对一般情况默认数据服从正态分布的，故用Pearson分析方法。 在SPSS里进入Correlate－》Bivariate，在变量下面Correlation Coefficients复选框组里有3个选项： Pearson
斯皮尔曼相关系数
要知道什么是斯皮尔曼等级相关（Spearman Rank Correlation），先了解什么是斯皮尔曼等级相关。 斯皮尔曼等级相关是根据等级资料研究两个变量间相关关系的方法。它是依据两列成对等级的各对等级数之差来进行计算的，所以又称为“等级差数法”。斯皮尔曼等级相关对数据条件的要求没有积差相关系数严格，只要两个变量的观测值是成对的等级评定资料，或者是由连续变量观测资料转化得到的等级资料，不论两个变量的总体分布形态、样本容量的大小如何，都可以用斯皮尔曼等级相关来进行研究。 下面就来谈谈斯皮尔曼等级相关系数~~~~~~~~~~~~~~ 斯皮尔曼等级相关系数是反映两组变量之间联系的密切程度，它和相关系数r一样，取值在-1到+1之间，所不同的是它是建立在等级的基础上计算的。 等级相关系数亦称为“秩相关系数”，是反映等级相关程度的统计分析指标。常用的等级相关分析方法有Spearman等级相关和Kendall等级相关等。 等级相关系数的计算步骤： 1、把数量标志和品质标志的具体表现按等级次序编号。 2、按顺序求出两个标志的每对等级编号的差。 3、按下式计算相关系数：Rs=1-[6*∑Di^2/(n*n^2-1)]其中:等级相关系数记为rs，di为两变量每一对样本的等级之差，n为样本容量。 等级相关系数与相关系数一样，取值-1到+1之间，rs为正表示正相关，rs 为负表示负相关，rs等于零为零相关，区别是它是建立在等级的基础上计算的，较适用于反映序列变量的相关。等级相关系数和通常的相关系数一样，它与样本的容量有关，尤其是在样本容量比较小的情况下，其变异程度较大，等级相关系数的显著性检验与普通的相关系数的显著性检验相同。
二项式系数
第二节 二项式定理 1.二项式定理： (1)(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n . (2)通项公式： T r ＋1＝C r n a n －r b r (r ＝0,1,2,…,n )为展开式第r +1项. (3)展开式的特点： 共有n ＋1项；第r ＋1项的二项式系数为C r n ； 2.二项式系数的性质: (1) C r n ＝C n －r n . (2)若n 为偶数,中间一项n 2＋1的二项式系数最大； 若n 奇数,中间两项n ＋12、n ＋12 ＋1的二项式系数相等并且最大． (3) C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . (4) C 1n ＋C 3n ＋C 5n ……＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋……＝2n －1. 3.二项式中的最值问题 求(a ＋bx )n 展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1设第r ＋1项系数最大，则 ????? A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2. 4.二项式定理的主要应用 (1)赋值求值；
(2)证明某些整除问题或求余数； (3)证明有关等式与不等式； (4)进行近似计算. 例1.(1)求1231393n n n n n n C C C C -++++L 的值。 (2) 求8 1-展开式中含x 项的系数为？ (3) 求81- 展开式中所有x 的有理项。 练习1: (1＋x 3)(x ＋1x 2)6展开式中的常数项为_____． 例2.已知(x +2x 2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. (1)求展开式中各项系数和及二项式系数和； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 例3.已知(3x －1)7＝a 0x 7＋a 1x 6＋…＋a 6x ＋a 7. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7的值； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|的值； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值．
SPSS论文-等级相关系数实证分析
等级相关系数实证分析 单艺斌 [内容提要] 本文利用斯皮尔曼等级相关系数检验法,以在校大学生的学习成绩为例,对大学生入学后的学习成绩与入学时的录取分数之间、各学期课程之间、同一课程在各学期学习成绩之间等是否有必然的联系进行了实证检验;同时利用检验的结果,再结合具体的调查,在定性与定量的结合上又进行了具体的分析和说明,对在校大学生的学习目的与学习方法的引导和确定具有切实可行的借鉴作用。 [关键词] 等级相关系数 检验法 学习成绩 一、等级相关系数(Rs)简介 若分析数据容量为n的二维随机向量样本,用X 代表其中的任一变量,设其等级为X1,X2,……, Xn,(此等级按由小到大的顺序排列)。另一变量用Y 表示,设其等级观察值由小到大的顺序排列为Y1, Y2,……,Y n。每一组(X i,Y i)代表取自同一联系 单元的一对等级数值。如果两种等级完全正相关,则 对所有i,应有X i=Y i;如果两种等级完全负相关, 则对所有i,应有X1=Y n,X2=Y n-1,……,X n= Y1。 斯皮尔曼等级相关系数着眼于差值D i=X i-Y i, 把Di作为这些配对等级完全正相关或完全负相关的 偏离程度的量度。考虑到在具体计算时,有些Di将 会出现负值,使得加和的结果正负抵销,在R s的计 算中采用D2i代入,具体计算公式为: Rs=1- 6∑Di2 n(n2-1) 据此处理则有: Xi和Y i之间的差别越大,则∑Di2就越大; 如所有差值均为零,则∑Di2=0,Rs=1,表明两个等级完全正相关; 如在Xi和Y i之间观察到可能有的最大值(即在每一种情形下,X的等级和Y的等级恰好相等),Di 将实现最大,此时,Rs=-1。 如果X,Y两个等级的相关程度弱于完全相关时,Rs将处于-1
斯皮尔曼等级相关系数一教学文稿
Spearman Rank（斯皮尔曼等级）相关系数 1、简介 在统计学中，斯皮尔曼等级相关系数以Charles Spearman命名，并经常用希腊字母ρ（rho）表示其值。斯皮尔曼等级相关系数用来估计两个变量X、Y之间的相关性，其中变量间的相关性可以使用单调函数来描述。如果两个变量取值的两个集合中均不存在相同的两个元素，那么，当其中一个变量可以表示为另一个变量的很好的单调函数时（即两个变量的变化趋势相同），两个变量之间的ρ可以达到+1或-1。 假设两个随机变量分别为X、Y（也可以看做两个集合），它们的元素个数均为N，两个随即变量取的第i（1<=i<=N）个值分别用X i、Y i表示。对X、Y进行排序（同时为升序或降序），得到两个元素排行集合x、y，其中元素x i、y i分别为X i在X中的排行以及Y i在Y中的排行。将集合x、y中的元素对应相减得到一个排行差分集合d，其中d i=x i-y i，1<=i<=N。随机变量X、Y之间的斯皮尔曼等级相关系数可以由x、y或者d计算得到，其计算方式如下所示： 由排行差分集合d计算而得（公式一）： 由排行集合x、y计算而得（斯皮尔曼等级相关系数同时也被认为是经过排行的两个随即变量的皮尔逊相关系数，以下实际是计算x、y的皮尔逊相关系数）（公式二）：
以下是一个计算集合中元素排行的例子（仅适用于斯皮尔曼等级相关系数的计算） 这里需要注意：当变量的两个值相同时，它们的排行是通过对它们位置进行平均而得到的。 2、适用范围 斯皮尔曼等级相关系数对数据条件的要求没有皮尔逊相关系数严格，只要两个变量的观测值是成对的等级评定资料，或者是由连续变量观测资料转化得到的等级资料，不论两个变量的总体分布形态、样本容量的大小如何，都可以用斯皮尔曼等级相关系数来进行研究。 3、Matlab实现 源程序一： 斯皮尔曼等级相关系数的Matlab实现（依据排行差分集合d计算，使用上面的公式一）[cpp]view plaincopy 1.function coeff = mySpearman(X , Y) 2.% 本函数用于实现斯皮尔曼等级相关系数的计算操作 3.% 4.% 输入： 5.% X：输入的数值序列 6.% Y：输入的数值序列 7.% 8.% 输出： 9.% coeff：两个输入数值序列X，Y的相关系数 10. 11.
SPSS 3种相关系数的区别
3种相关系数的区别 在SPSS软件相关分析中,pearson(皮尔逊), kendall（肯德尔）和spearman（斯伯曼/斯皮尔曼）三种相关分析方法有什么异同两个连续变量间呈线性相关时，使用Pearson积差相关系数，不满足积差相关分析的适用条件时，使用Spearman秩相关系数来描述. Spearman相关系数又称秩相关系数，是利用两变量的秩次大小作线性相关分析，对原始变量的分布不作要求，属于非参数统计方法，适用范围要广些。对于服从Pearson相关系数的数据亦可计算Spearman相关系数，但统计效能要低一些。Pearson相关系数的计算公式可以完全套用Spearman相关系数计算公式，但公式中的x和y用相应的秩次代替即可。 Kendall's tau-b等级相关系数：用于反映分类变量相关性的指标，适用于两个分类变量均为有序分类的情况。对相关的有序变量进行非参数相关检验；取值范围在-1-1之间，此检验适合于正方形表格； 计算积距pearson相关系数，连续性变量才可采用;计算Spearman秩相关系数，适合于定序变量或不满足正态分布假设的等间隔数据; 计算Kendall秩相关系数，适合于定序变量或不满足正态分布假设的等间隔数据。 计算相关系数：当资料不服从双变量正态分布或总体分布未知，或原始数据用等级表示时，宜用spearman或kendall相关 Pearson 相关复选项积差相关计算连续变量或是等间距测度的变量间的相关分析 Kendall 复选项等级相关计算分类变量间的秩相关，适用于合并等级资料 Spearman 复选项等级相关计算斯皮尔曼相关，适用于连续等级资料 注： 1若非等间距测度的连续变量因为分布不明-可用等级相关/也可用Pearson 相关，对于完全等级离散变量必用等级相关 2当资料不服从双变量正态分布或总体分布型未知或原始数据是用等级表示时,宜用Spearman 或Kendall相关。 3 若不恰当用了Kendall 等级相关分析则可能得出相关系数偏小的结论。则若不恰当使用，可能得相关系数偏小或偏大结论而考察不到不同变量间存在的密切关系。对一般情况默认数据服从正态分布的，故用Pearson分析方法。 在SPSS里进入Correlate－》Bivariate，在变量下面Correlation Coefficients复选框组里有3个选项： Pearson Kendall's tau-b Spearman：Spearman spearman（斯伯曼/斯皮尔曼）相关系数 斯皮尔曼等级相关是根据等级资料研究两个变量间相关关系的方法。它是依据两列成对等级的各对等级数之差来进行计算的，所以又称为“等级差数法” 斯皮尔曼等级相关对数据条件的要求没有积差相关系数严格，只要两个变量的观测值是成对的等级评定资料，或者是由连续变量观测资料转化得到的等级资料，不论两个变量的总体分布形态、样本容量的大小如何，都可以用斯皮尔曼等级相关来进行研究 Kendall's相关系数 肯德尔(Kendall)W系数又称和谐系数，是表示多列等级变量相关程度的一种方法。适用这种方法的数据资料一般是采用等级评定的
二项式定理系数的性质
二项式系数的性质及应用 【学习目标】 1. 掌握二项式系数的性质 2. 培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力 【课前练习】 1. 已知c bx ax x f ++=2)( （1）若2)1(=f ，则=++c b a （2）若1-=+-c b a ，则=-)1(f 2. =+n b a )( ，其中二项式系数分别是 =+n x )1( 【活动方案】 活动一：理解二项式系数的性质 1. 请同学们阅读书37页到38页的材料——杨辉三角 2. 请大家写出当n 依次取0，1，2，3，… 时，将()n a b +展开式的二项式系数填入下表．
将上表改成三角形几何排列 3. 观察二项式系数表与杨辉三角，探究这两者之间的关系，从中你能发现二项式系数有什 么特点？ 4. 从函数的角度看，r n C 可看成以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{} n r N r r ≤∈,， 分别画出r C r f 6 )(=)61,0( =r 以及r C r f 7)(=)71,0( =r 的图像． 5．结合课前练习思考所有二项式系数的和是多少？ 总结： 1. 对称性 2. 增减性与最大值 3. 二项式系数的和
活动二：掌握二项式系数性质的应用——赋值法 例1证明：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 小结： 例2已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）0a ； （2）127a a a +++； （3）76543210a a a a a a a a -+-+-+- 变式训练：（1）求2 53126420()(）a a a a a a a ---+++ （2）求72172a a a +++ （3）求7 722 1222a a a +++
皮尔森相关和斯皮尔曼等级相关
1背景 说到相关系数，学过生物统计的人应该不会太陌生。随着基因芯片和高通量测序技术的发展，相关系数在生物数据统计中的应用越来越普遍。例如，通过计算不同基因表达量的相关系数，来构建基因共表达网络。大部分基因网络分析的方法，都与基因间表达量相关系数的计算相关（即使是复杂一点的算法，相关系数的计算也可能是算法的基础部分）。所以理解相关系数，对分析生物学数据非常重要。 2皮尔森相关 2.1概念 在所有相关系数的计算方法里面，最常见的就是皮尔森相关。 皮尔森相关百度百科解释：皮尔森相关系数（Pearson correlation coefficient）也称皮尔森积差相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ，是一种线性相关系数。皮尔森相关系数是用来反映两个变量线性相关程度的统计量。相关系数用r表示，其中n为样本量，分别为两个变量的观测值和均值。r描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。r的绝对值越大表明相关性越强。 2.2数据测试 公式是抽象的，我们利用几组值就可以更好理解相关系数的意义。从皮尔森相关系数定义来看，如果两个基因的表达量呈线性关系（数学上，线性相关指的是直线相关，指数、幂函数、正弦函数等曲线相关不属于线性相关），那么两个基因表达量的就有显著的皮尔森相关系性。下面用几组模拟数值来测试一下： 测试1：两个基因A、B，他们的表达量关系是B=2A，在8个样本中的表达量值如下：
计算得出，他们的皮尔森相关系数r =1，P-vlaue ≈0。 测试2：两个基因A 、C ，他们的关系是C=15-2A ，在8个样本中的表达量值如下： 图2基因A 、C 在8个样本中的表达量示意图 计算得出，他们的皮尔森相关系数r =-1，P-vlaue ≈0。 从以上可以直观看出，如果两个基因的表达量呈线性关系，则具有显著的皮尔森相关性。如果两个基因“共舞”（如图1），则两者正相关；如果“你要往东，我偏往西”（如图2），则两者负相关。 以上是两个基因呈线性关系的结果。如果两者呈非线性关系，例如幂函数关系（曲线关系），那又如何呢？ 我们再试试。 测试3：两个基因A 、D ，他们的关系是D=A 10，在8个样本中的表达量值如下：
江苏省苏州市高中数学 第一章 计数原理 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质教学反思 新人教A版选修2-3
杨辉三角与二项式系数的性质 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去. 3．呈现合作交流
人教版数学高二A版选修2-31.3.2“杨辉三角与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习 一、选择题 1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )． A ．2n ＋1 B ．2n ＋1＋1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋ 1－2 2 ．在2 n x ? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )． A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 3．(2 )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 4 ．已知1n x ???展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )． A ．第19项 B ．第17项 C ．第17项或第19项 D ．第18项或第19项 5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )． A ．1 B ．－1 C ．36 D ．26 二、填空题 6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3 ＋…＋a 11的值为__________． 7．(2012安徽安庆模拟，理14)设 (1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________． 8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶ 3. 三、解答题 9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于5 2165 x ? ?的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值． 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .
斯皮尔曼秩相关
斯皮尔曼秩相关 答辩前应注意的几个问题 用SPSS 11.5 进行相关数据分析 2009.7.4 研究生 2009-11-30 15:55:41 阅读27 评论0 字号：大中小订阅 1、具体操作： 打开SPSS11.5软件------输入数据（注意在不同的列输入两个变量） --------按Analyze-----Correlate------Bivariate顺序单击菜单项，展开一个对话框---双击 var00001 和var00002-----在correlation coefficients选项中选取Pearson；在Test of Significance选项中选取One-tailed------点击OK 如图所示 第一步：打开SPSS11.5软件 第二步：1、输入数据
2、按Analyze-----Correlate------Bivariate 第三步：双击var00001 和var00002
第四步：在correlation coefficients选项中选取Pearson；在Test of Significance选项中选取one-tailed 第五步：点击OK 自动生成下面相关系数图表 2、数据分析 Correlations
* Correlation is significant at the 0.01 level (1-tailed). 由上表所示：r=.722(*), 从表面上来看，学习时间与学习成绩这两个变量之间存在正相关关系，但是，我们进行实验时，为了方便起见，往往采用抽取样本（sample）的方法进行检测变量之间的联系，随机误差在所难免，具体到本例来讲，我们拿10名学生的成绩来推断整体的相关情况，根据这10名被试的成绩计算出两个变量之间的相关系数为0.72，这种相关关系是不是偶然发生的呢？我们有多大的把握说它们之间的相关系数就是0.72？ 因此，我们必须对相关系数进行检验，检验的简便方法就是看 sig.(1-tailed)值的大小。如果sig.(1-tailed)小于0.05, 就说明两个变量之间存在相关关系，反之亦然。表中sig.(1-tailed) 为.009< .05, 这说明P<0.05, 即学习时间与学习成绩两个变量之间真正存在相关关系。
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