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勾股定理的回顾与思考导学案1.5

北师版八年级数学（上）勾股定理的回顾与思考导学案1.5

编写人：康丽娟

班级：_____________姓名：_____________ 家长签字：_____________

一、学习目标:：

1.掌握直角三角形的边、角之间分别存在的关系，熟练的运用直角三角形的勾股定理及逆定解决实际问题。

2.经历勾股定理及逆定理的推导过程，掌握其简单应用。

3.培养交流合作意识，形成良好的数形结合的思维方式，体会勾股定理及逆定理的应用价值。

二、自主探究：阅读课本第一章

探究活动（一）：对照课本的章节目录，画出全章的知识框架图.

探究活动（二）重点知识回顾

1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b和c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c

=．

2．勾股定理各种表达式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为,,

a b c，则c=_________，b=_________，c=_________．

3．勾股定理的逆定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边也分别为,,

a b c，若,,

a b c 三边满足_____________ ，则△ABC为____________, _________=90°在△ABC中，若,,

a b c三边满足___________，则△ABC为___________．

4．勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数．

5．几何体上的最短路程是将立体图形展开，转化为_________上的路程问题，再利用两点之间，___________解决最短线路问题．

6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？

7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．

（三）知识应用练习：

1.下列说法中错误的是（）

A. 在△ABC中，若∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形；

B. 在△ABC中，若∠A︰∠B︰∠C=5︰2︰3，则△ABC为直角三角形；

C. 在△ABC中，若

a c

=，

b c

=，则△ABC为直角三角形；

D. 在△ABC中，若a︰b︰c=2︰2︰4，则△ABC为直角三角形。

2.以4、5 、x为边要构成直角三角形，则x应满足（）

A. 241

x= B. 3

x= C. 241

x=或3

x= D. 9

3.在△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5, b=12,则c= ；（2）若a=12，c=15，则b= ；（3）若a：b=3：4，c=40，则a= ，b= 。

4、下列几组数中，为勾股数的是（）

A、4，5，6

B、12，16，20

C、-10，24，26

D、2.4，4.5，5.1

5.已知2

5(12)130

x y z

-+-+-=，则以,,

x y z为边长的三角形是三角形。

6.等腰三角形的面积为12㎝2，底边上的高为3㎝，则它的周长为。

7.如图点A 和点B ，分别是棱长为20㎝的正方体盒子的相邻两面的中心，一只蚂蚁子盒子表面由A 处向B 处爬行，所走的最短路程是。

8.若三角形的三边a 、b 、c 满足2220b a c --=，则∠A 与∠C 满足的关系式是。

9..三角形的三边分别为a 、b 、c ，且满足222()()0a b a b c -+-=，则该三角形的形状为（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形 10.在直线上依次摆放着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的4个正方形的面积依次是1234,,,s s s s ，则1234s s s s +++=

( )

A.3

B.4

C.5

D.6

11.如图所示，一束平行的阳光从教室的窗户射入的平面示意图，小强同学测量出

BC=1m ，NC=43m ，BN=5

m ，AC=4.5m , MC=6m ，试证明A C ⊥MC ，并求MA 的

长。

12.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ,CD=9m ,AB=39m ,BC=36m ,求这块地的面积。

13.一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从A 到B 点，那么沿那条路线爬行最近？你能帮它找出来吗？如图所示，长方体的长为15㎝，宽为10㎝，高为20㎝，点B 距点C 为5㎝。

14.观察下列表格，请你结合该表格及

勾股定理全章复习与小结

第17章勾股定理小结与复习一、课件说明本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题．二、学习目标：知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构；过程与方法： 1、} 2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观：通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。三、学习重点：勾股定理及其逆定理的应用．四、教学过程：（一）创设情境引出课题 ;

问题1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想（出示图形）（背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．）（二）层层提问，讲练相融追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． ' 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为．温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。基础练习2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m

人教版三年级数学下册练习课(1-2课时)导学案

练习课原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。出自郑燮的《新竹》

知识点2：比较小数的大小及解决问题三（1）班四名同学立定跳远成绩。请你给4名同学按成绩排序。分析：比较小数大小的方法是：先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就比较小数部分，小数部分第一位上的数大的哪个数就大，如果相同，就再依次比较第二位，依次类推。答案： 1.6>1.57>1.5>1.49 2.在里填“>”“<”或“=”。 8 10 0.9 5.8元5元8角 1.50.9 答案：< = > 教师布置作业1.课堂练习，完成教材第95页第4题和思考题。 2.独立完成教材第95页第7题。学过程中老师的疑问：课堂小结1.本节课你有什么收获？ 2.你觉得哪些方面还掌握得不够？ 1.说说自己有哪些收获。 2.自由谈一谈。教学反思本节课的学习，同学们主动思考归纳、积极交流，进一步巩固了小数的意义，很好地掌握了小数大小的比较方法，熟练地比较出小数的大小教师点评和总结【素材积累】 1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目

标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你作醉大的资产。２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你作醉大的资产。

勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理一．勾股定理证明与拓展模型一 . 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.

变式2：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB =90°，且BC =2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1=3，S 3=9，求S 2. （变式2）（变式3）变式3：如图，Rt △ABC 的面积为10cm 2 ，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点 G 落在 HI 上，若 AC ＋BC ＝6，空白部分面积为 10.5，则阴影部分面积模型二外弦图 D C B A 内弦图 G F E H 例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是5。求中间小正方形的面积为__________;

勾股定理及常见题型分类

勾股定理及常见题型分类一、知识要点： 1、勾股定理 2、勾股定理证明方法及勾股树 3、勾股定理逆定理 4、勾股定理常见题型回顾二、典型题题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积 1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（） A.13 B.26 C.47 D.94 2.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的边长分别为6和8，求b 的面积。 3. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 S 3 S 2 S 1 甲乙图1

5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、 =_____________。题型二：勾股定理与图形问题 1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是． 2.如图，求该四边形的面积 3.如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为． 4.某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . 5.如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边 A B C D E F G

勾股定理回顾与思考教学设计

第一章勾股定理回顾与思考一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．

本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．为此，本节课的教学目标是： ①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用． ②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力． ③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．三、教学过程设计本节课设计了六个环节．第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节：合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业．第一环节情境引入勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验。首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最

中国人失掉自信力了吗教案导学案 (34)

中国人失掉自信力了吗学习目标：1 掌握预习提示里的词，了解“课下注释”中词的含义。 2 结合写作背景和当时的社会背景对文中一些句，段，进行深层理解。 3 了解作者批驳的“突破口”及逐层推进的论证方式。一字词 1字: 慨（kǎi）叹省（xǐng）悟诳（kuāng）骗诬（wū）蔑脂（zhī）粉脊（ jǐ）梁抹（mǒ）杀抹（mā）布拐弯抹（mò）角前仆（pū）后继状元宰（zǎi）相搽（chá） 2 词：玄虚：用使人迷惑的形势来掩盖真相的欺骗手段。渺茫：因遥远而模糊不清，因没有把握而难以预期。诳骗：说谎话骗人。诬蔑：捏造事实，毁坏别人名誉。生路：文中指维持生活或生存的途径。家谱：家族记载本族世系和重要人物事迹的事。怀右伤今：怀念古代的社会，哀叹现实的社会，用以表示那种悲观厌世，到退还右的思想情绪。为民请命：替老百姓说话。埋头苦干：专心地下苦功夫做事。前仆后继：前面的人倒下来，后面的人继续跟上去。形容应用奋斗，不怕牺牲。

自欺欺人：用自己都难以置信的话，或手法来欺骗别人。舍身求法：原指佛教徒舍弃肉身去追求佛法，后来比喻为追求真理而不惜牺牲个人的生命。地大物博：文中指国家疆土辽阔，资源丰富。二文学常识 1．本文选自《且介亭杂文》（《鲁迅全集》）第6卷 2．作者鲁迅（1881.9.25——1936.10.19）.原名周树人，字豫力，浙江绍兴人，伟大的文学家，思想家，革命家。 3．驳论文：以反驳为主的议论文。 4．驳论：正确的观点揭露或驳斥错误的观点，从而进一步阐明和确立正确的观点。 5．一般结构和形式：（1）指出错误论点，论据货论证。（树靶子）（2）批驳错误论点，论据货论证。（3）指明错误的实质或危害。（打倒靶子） 6．了解杂文：杂文就是用文艺性笔调，形象化手法来议论说理的文艺性议论文。其写作特征是“大中取小”。立意则“因小见大”。他往往把各种表达方式溶为一体。三主题这片驳论文。作者针对当时有心人散布中国人对抗日前途失去的悲观论调进行了有理有据的批驳，明确提出了中国人的绝大部分没有

勾股定理教学设计与教学反思

勾股定理教学设计富裕县逸夫学校任晓娟【教学目标】一、知识目标 1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程. 2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。二、数学思考在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想. 三、解决问题 1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。 2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。四、情感态度目标 1．学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。 2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。【重点难点】重点：探索和证明勾股定理。难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。【设计思路】本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生探究与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。【教学流程安排】活动一：了解历史，探索勾股定理活动二：拼图验证并证明勾股定理活动三：例题讲解，巩固练习

活动四：反思小结，布置作业活动内容及目的：①通过多勾股定理的发现，(国外、国内)了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。③通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。【教学过程设计】【活动一】 (一)问题与情景 1、你听说过“勾股定理”吗？ (1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理 (2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。 2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。（1）现在请你一观察一下，你能发现什么？（2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？（二）师生行为教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。（三）设计意图 ①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。 ②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相图 A B C A B C B C A

人教版四年级数学下册全册导学案学案

4.1.1 加、减法的意义和各部分间的关系班级姓名【学习目标】 1.认识加减法的意义和关系，初步理解加法与减法的意义以及它们之间的互逆关系。 2．学会利用加减法算式中各部分之间的关系求解加减法算式中的未知数。【学习过程】一、知识铺垫 1.口算。 350＋230＝ 45＋65＝ 2200＋2500＝ 230＋350＝ 65＋45＝ 2500＋2200＝ 2.350＋330＝ 180＋240＝ 5800＋1200＝ 680－350＝ 420－180＝ 7000－5800＝ 680－330＝ 420－240＝ 7000－1200＝二、自主探究 1.理解加减法的意义例：（1）四年级同学参加植树劳动，一班植树126棵，二班植树143棵，两个班一共植树多少棵？算式：126＋143＝（棵）（2）四年级两个班一共植树269棵，其中一班植树126棵，二班植树多少棵？算式：（3）四年级两个班一共植树269棵，其中二班植树143棵，一班植树多少棵？算式：说一说：第（1）题为什么要用加法计算？什么叫做加法？议一议：（1）第（2）、（3）题为什么用减法计算？（2）与（1）题相比，（2）题中的两个班一共植树269棵也就是（1）题中的，一班植树126棵也就是，求二班植树多少棵？也就是求，用法计算。（3）例3与例1比较，是已知什么？求什么？（4）想一想减法是一种什么样的运算？

（5 三、课堂达标 1.根据3125－567＝2558，直接写出下面两道题的得数。 3125－2558＝ 567＋2558＝ 2.填一填。 126＋（）＝321 （）－85＝168 （）＋276＝728 642－（）＝367 3. 4.计算下面各题，并利用加、减法各部分间的关系进行验算。 327＋256＝ 632－368＝四、知识拓展。在一个减法算式里，被减数、减数、差三数之和为120，差和减数相等，差是多少？

初二上勾股定理(经典题型)

初二上勾股定理(经典题型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

- 2 - 第十九章几何证明 ——勾股定理及两点之间的距离公式【知识回顾】 1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。） 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 4、常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)….. 5、勾股定理的证明图 6、两点之间的距离公式：2 122 12)()(y y x x AB -+-= 【例题讲解】例题1、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含n （n 是整数数）的等式表示上述变化规律；

（2）求出的值。例题3、已知等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长？若能，请把它们求出来，若不能，要说明理由。例题2、如图所示，已知△ABC的三边 15= = =AC BC AB求△ABC , 20 25 , , 最长边上的高？例题4、已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且 ∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2． - 3 -

- 4 - 例题5、如图，已知0090,60=∠=∠=∠D B A ，AB=2，CD=1，求BC 、AD 的长。例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是多少？

勾股定理思维导图题型总结归纳

（一）勾股定理 2 2 2 1：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾” 要点诠释： 2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： 1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中， C 90 ，则 c a2 b2，b c2 a2，a c2 b2）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：b 方法 1 4S S S 4 ab (b a) 4S S正方形EFGH S正方形ABCD，2 22 c ，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． a 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1 ab c 2 2 2 2ab c 2 2 2 2 2 2 大正方形面积为S (a b) a 2ab b 所以 a2 b2 c2 S梯形 2(a b) (a b)，S梯形2S ADE S ABE 1 2 ab 12 c 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”

4：勾股数

B C ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即时，称 a ，b ， c 为一组勾股数 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ； 8,15,17 ； 9,40,41 等 22 2n 1,2n 2n,2n 2n 1（ n 为正整数） 5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。（2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误（4）推理格式：∵△ ABC 为直角三角形 ∴AC 2+BC 2=AB 2. （或 a 2+b 2=c 2）二）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为： a 、 b 、 c ，且满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c ；（2）验证 c2 与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形（若 c2>a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为钝角的钝角三角形；若 c2

勾股定理回顾与思考教学设计

2013年北师大版数学八年级上第一章勾股定理回顾与思考一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，

感受数学的美，以提高学习兴趣．为此，本节课的教学目标是： ①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用． ②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力． ③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．三、教学过程设计本节课设计了六个环节．第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节：合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业．第一环节情境引入勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．目的：通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究热情．效果：从历史的深度提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：知识结构梳理本章知识要点及结构：

2019年勾股定理回顾与思考教学设计.doc.doc

第一章勾股定理回顾与思考成都市石室联合中学林武一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．为此，本节课的教学目标是： ①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证

第17章勾股定理小结和复习

第17章勾股定理小结和复习教学目标 1. 理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边 2. 勾股定理的应用. 3. 会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 教学过程一.复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：勾般定理的逆毎用 1. 勾股定理: (1) ________________________ 直角三角形两直角边的和等于的平方.就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a b,斜边为c,那么一定有：.这就是勾股定理.

(2) 勾股定理揭示了直角三角形―之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据.

2 2 | 2 ■ 2 2 2 2 ■ 2 a 二c - b ,b 二 c -a ,c = . a b 2. 勾股定理逆定理若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为__________ .这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边 a,b,c(a+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSSE明两个三角形全等，证明定理成立. 3. 勾股定理的作用： (1) 已知直角三角形的两边，求第三边； (2) 在数轴上作出表示川(n为正整数)的点. 勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想. 2十2 2 (3) 三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边，若a b =c ，则三角形是直角三角形；若a b c ，则三角形是锐角三角形；若 a b”：c「，则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边. 考点一、已知两边求第三边 1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_______ . 2. ___________________________________________________________ 已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是____________________________ .

勾股定理及教学反思

19.9勾股定理（1）吴淞实验学校徐琳教学设计说明本节课是义务教育课程标准上教版教科书八年级(上)第十九章《几何证明》第九节第1课时. 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．教学目标 1.理解用面积割补方法证明勾股定理的思路； 2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习． 3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．教学重点及难点面积割补法证明勾股定理教学过程设计一．创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大

会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 二．探索发现勾股定理 1．探究活动一：内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫. 效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力； 2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二：

勾股定理的回顾与思考

《勾股定理的回顾与思考》教学设计教学目标： 1．理解勾股定理及其逆定理的含义，能够解决一些简单的实际问题； 2．进一步掌握与勾股定理相关的技能，会运用数形结合、分类讨论等的数学思想解决实际问题，培养数学思维能力。教学重点：勾股定理及其逆定理的简单运用难点：应用技能和数学思维的培养教学过程：㈠课前热身 1．由下列条件不能判别△ABC 为直角三角形的是( ). A ．1=a ，2=b ，3=c B ．3:2:1::=∠∠∠ C B A C ．c b a 222-= D ．6:4:3::=c b a 2．在Rt △ABC 中， ①若∠C=90°,a =5，b =12，则c =___________； ②若∠C=90°,a =15，c =25，则b =___________； ③若∠C=90°,a b :=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________； ④若a =5，b =12，则c =___________。㈡本章知识结构 ????? ??????????????????????????-=?-=-=?-=+==+路线等勾股定理的应用：最短的多样性）角三角形的判定（方法勾股定理的逆定理：直，，，，，，，，常见的勾股数：的三种变形种基本图形”证明（等积法）：“三勾股定理.3.2171582524713125543c c b c b c b c b .12222222222 22222a b a b a a a c a

2 x 3x 2x x 30? 基本知识点：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：c b a 2 22=+，那么这个三角形是直角三角形．（3）勾股数：满足c b a 2 22=+的三个正整数，称为勾股数。如常用的勾股数有： 3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41 （4）特殊直角三角形的三边关系㈢综合运用 1．已知Rt △ABC 两直角边分别为4cm 、3cm,则斜边为____cm,斜边上的高为____cm. 2．一艘帆船由于风向的原因，先向西南方向航行了7千米，然后向西北方向航行了24千米，这时帆船离出发地_____千米. 3．左图由4个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，第4个直角三角形斜边长度为_______．那么，按照此种方式下去，第n 个直角三角形斜边长度为_______．

日本导学案

编号：29 班级：姓名：组_______号评价：第八章第一节日本（第3课时）【学习目标】 1、知道日本农业发展的状况，记住其农业特点和主要的农产品。 2、日本重要的海港主要分布在哪里？并说明其原因

3. 我国如何借鉴日本对外来文化的吸收？【当堂检测】 1.日本是一个善于吸收外来文化的国家。日本最主要的民族是 ( ) A ．汉族 B ．大和族 C ．高山族 D ．苗族 2.小明去日本旅游回来，下面是他对日本之行的描述，哪一句是假的 ( ) A ．享受美味生鱼片 B ．游富士山，泡温泉 C ．到热带雨林探险 D ．观赏樱花 .3.下列关于日本的叙述，正确的是（） A.国土面积比较小，人口稠密 B.森林覆盖率小，每年大量进口木材 C.水能资源和矿产资源丰富 D.农业生产精耕细作，农作物单位面积产量低 4..日本群岛附近的大渔场是（） A.北海渔场 B.北海道渔场 C.纽芬兰渔场 D.舟山渔场 5. 2017年5月6日至10日，应日本国政府邀请，国家主席胡锦涛对日本进行了国事访问。通过这次“暖春之旅”，全面推进中日战略互惠关系。读图1、图2、图3，回答问题。（1）日本的首都是________。著名的山峰_______山是日本的象征，日本传统的民族服装是________。（2）从经济发展水平看，日本属于________国家（发达国家或发展中国家）。日本工业区主要分布在______ __沿岸和______ __沿岸。近年来，许多日本企业在中国投资建厂，中国的优势主要是________。（选下列两项，只要填写字母） A 、资金和技术 B 、管理经验 C 、众多廉价的劳动力 D 、丰富的自然资源（3）日本多火山、地震的原因是地处____ ___板块和___ ____板块的交界处。我国也是多地震的国家，我们应该怎样防震减灾呢？请你说说。（写一点即可）【课后反思】图3 图2 图1 日本工业分布图

勾股定理知识点总结归纳

精心整理第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① ② 定理常见方法如下：方法一：4 EFGH S S S ? += 正方形正方形ABCD ，1 4( 2 ab b ?+- 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S= 大正方形面积为22 () S a b a =+=+ 所以222 a b c += 方法三：1()() 2 S a b a b =+?+ 梯形，2 2 22 ab c ?+，化简得证３. 它只适用于直角三角形，对于锐角三角因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４. ① 在ABC ?中，90 C ∠=?，则c，b=，a= ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 b a

作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；（2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1 作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。注：逆命题与勾股定理逆定理可以判断真假的陈述句叫做命题，写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 23（正确） 4（正确）思路点拨：解析：1. 2. 3.?（正确） 4.（正确）总结升华： 6.74页如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

Unit 4.导学案第34课时.doc