高二数学上学期期末考试试卷 理
北京市西城区2016— 2017学年度第一学期期末试卷
高二数学（理科）2017.1
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9. 命题“x ?∈R ，使得2
250x x ++=”的否定是______________________.
10.
已知点)
1,
0(-M ,
)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么
a 等于_______.
11. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1,AD BD 所成角
的余弦值为_________.
12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的
侧视图的面积为_________.
13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物
线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.
14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线
围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助
正（主）视图
俯视图
4
他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.
16．（本小题满分13分）
如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.
17．（本小题满分13分）
已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为2
2
640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l
l 与圆C 相交所得的弦长；
(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.
A B
C
D
P
E
A B
C
P
M
18．（本小题满分13分）
已知1F 为椭圆22
143
x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45
，求PQ ；
（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.
19．（本小题满分14分）
如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，
EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.
（Ⅰ）求证:BD ⊥平面ADE ；
（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.
20．（本小题满分14分）
如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B . （Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；
（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.
E
A
B
C
D
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷
高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.C ；
2.D ；
3. B ；
4. D ；
5. B ；
6. A ；
7. C ；
8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；
11. 3
；
12.
14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；222
4n m
y x h
-=.
注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）
解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，
因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ?平面BDE ，OE ?平面BDE ，
所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分
因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ?平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分
又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ?平面PAC ，
所以BD CE ⊥. ……………13分
16.（本小题满分13分）
解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以PA BC ⊥.
因为BC AB ⊥，PA AB A = ，
A B
C
D
P
E
O