高一数学第一章第一节讲义

1.1.1 集 合

【本课重点】元素的特性和集合的表示方法

【预习导引】

1、 下列各组对象能组成集合的是 （ ）

A. 著名影星

B. 我国的小河流

C.淮阴中学2007级高一学生

D. 高中数学的难题 2、 下列叙述错误的是 （ ）

A. }02|{2=-x x 表示方程022

=-x 的解集

B. {1?小于10 的质数}

C. 所有正偶数组成的集合表示为},2|{N n n x x ∈=

D. 集合},,{c b a 与集合},,{b c a 表示相同的集合

3、 已知A=}2,{x x -是含两个元素的集合，则x 的取值集合用描述法表示为

4、 下列各集合：①},01|{2R x x x ∈=+；②},15|{Z x x x ∈<-；③?

??

???∈∈Q x N x x

,2;④},,0|),{(2

2

R y R x y x y x ∈∈=+中，空集为 ；有限集为 ；无限集为 .

【三基探讨】 【典例练讲】

1、 已知},3,1{2

x x ∈，试用适当的方法表示x 的集合.

2、 用符号“∈”或“?”填空

（1）3.14 Q ；

；

0 N

（2）32 }11|{

N n n x x ∈+=

（3）)1,1(- }|),{(2x y y x =； )1,1(- }|{2

x y y =

（4）0 {0}；

0 φ；

φ }{φ

3、用描述法表示下列集合

（1）偶数的集合 （2）不等式2x-3>5的解的集合 （3）以点A 为圆心，半径为3的圆

4、（备选题）（1）用列举法表示集合?

?????

∈∈-N x N x x ,36

（2）已知},12|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈+==∈==，},14|{Z n n x x C ∈+==，若B b A a ∈∈,，试分别指出b a +与集合A 、B 、C 的关系。

【随堂反馈】

1、 用描述法表示下列集合

（1）奇数集； （2）

2、 用列举法表示集合}

,,2|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ 2 4 6 8 10

【课后检测】

1、 下列各组对象中不能组成集合的是

（

）

A. 直角三角形的全体

B. 所有的无理数

C. 方程2x-1=0的整数解

D. 我班个子较高的同学 2、 下列叙述正确的是

（ ）

A. 集合},3|{N x x x ∈<中只有两个元素

B. }1{}012|{2==+-x x x

C. 整数集可表示为}{Z

D. 有理数集表示为{x x |为有理数集}

3、 方程组?

??-=-=+11y x y x 的解集是

（ ）

A. {0,1}

B. (0,1)

C. {(x,y)|x=0,或y=1}

D. {(0,1)}

4、 不等式052<-x 的正整数解的集合用描述法表示为

，用列举法表示为 . 5、 抛物线12-=x y 上的所有点组成的集合A 可表示为

；0 A ；(0,1-) A （填“∈”或“?”）. 6、 已知-3是集合}4,12,3{2---a a a 的一个元素，求实数a 的值。

7、 试用列举法表示集合},,8|{2

N y N x y x x ∈∈+-=。

（选做题）已知集合},012|{2

R x x ax x ∈=++至多有一个元素，求实数a 的取值范围.

【感悟札记】

1.1.2集合间的基本关系⑴

学习目标：1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2、理解子集与真子集的区别与联系.

3、能用韦恩图表示集合间的关系.

能力目标：从类比实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、

概括的思维方法.

情感目标：通过直观感知，类比联想和抽象概括，体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养有条理思考的习惯和积极

探索创新的意识.

1、 子集

提出问题：

观察下列几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？

（1）{}{}.5,4,3,2,1,0B ,5,3,1A ==

（2）{}

，

女同学是滕州一中高一年级的x x |A = {}.|B 学生是滕州一中高一年级的x x =

（3）{},|A 是两边相等的三角形x x ={}

.|B 是等腰三角形x x =

（4）Z B ,N A ==.

知识提炼： 子集——

2、 集合相等

提出问题：

对于两个集合A 和B ，集合A 是集合B 的子集，集合B 是集合A 的子集，能否同时成立？ （1）考查下面两个集合：

{},4,3,2,1,0A ={}

.4|B 的自然数是不大于x x =

（2）两个实数b a ,，如果b a ≥，且a b ≥，那么有b a =，与集合相类比你有什么体会？ 知识提炼：

集合相等——

3、 真子集

提出问题：

观察下列各组中的集合A 与B ，它们有怎样的关系? （1）{},4,3,1A ={}.4,5,3,2,1,0B =

（2）()(){},1,0,1,0A =(){}.,,1|,B R y R x y x y x ∈∈=+= （3）{},|是偶数x x A ={}

.|B 是整数x x =

知识提炼：

真子集——

●典例剖析

例1.写出集合{a，b，c}的所有的子集.

总结升华：集合A中有n个元素，请总结出它的子集、真子集、非空真子集个数与n的关系.

例2. 设A=｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，若B?A，求实数a组成的集合.

例3. 已知A＝｛x∈R｜x＜－1,或x＞5}，B＝｛x∈R｜a≤x＜a＋4}.若A B，求实数a的取值范围.

●随堂训练

1.给出下列命题，其中正确的个数是( )

①空集没有子集②空集是任何一个集合的真子集

③任何一个集合必有两个或两个以上的子集

④如果集合B?A,那么凡元素不属于A，则必不属于B

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若集合A＝｛1，3，x｝,B={x2，1}且B?A，则满足条件的实数x的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知集合M={(x,y)|x+y＜0,xy＞0}和P={(x,y)|x＜0,y＜0},那么( )

A.P M

B.M P

C.M=P

D.M P

4.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，

B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}，要使A P?B，求满足条件的集合P.

5.集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}， (1)若B ?A ，求实数m 的取值范围.

(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.

(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.

●学后反思

●课后作业

1、设集合∈<≤=x x x A 且,30{N}的真子集．．．

的个数是( ) (A) 16

(B) 8；

(C) 7

(D) 4

2、已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2

m }．若B ?A ，则实数m ＝ ．

3、已知A ＝｛x 2－2x －8＝0｝，B ＝｛x ∈R ｜x 2＋ax ＋a 2－12＝0｝，B A ，求实数a 的取值集合.

1.1.3集合的基本运算⑴

学习目标：1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

2、能用韦恩图表达集合间的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

能力目标：通过类比实数的运算，得到集合间的运算：交、并，在正确理解并集、交集概念的基础上学会求集合的

并集、交集的方法，并体会数形结合思想的应用.

情感目标：在学习集合运算的过程中，培养类比的思想及由特殊到一般的认知规律，同时在利用数轴和韦恩图解题

的过程中，学会用数形结合思想解决数学问题

1、 并集

提出问题：我们知道，实数有加法运算.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?观察下列几个集合，

你能说出集合C 与集合B A ,之间的关系吗？

（1）{}{}{}61,2,3,4,5,C ,2,4,6B ,5,3,1A ===

（2）{}，是有理数x x |A = {},|B 是无理数x x = {}

.|C 是实数x x = （3）{}，30|A <<=x x {},1|B ≤=x x {}.3|C <=x x 知识提炼： 并集——

数学语言表述：

根据并集的定义，试确定下列集合间的关系：

B A A B A B A B B A 特别地A A A Φ A A 2、 交集

提出问题：观察下面的问题，集合B A ,与集合C 之间有什么样的关系？

（1） {},2,4,6,8,10

A = {},12,8,5,3

B = {}.8

C = （2） {}

，

月在校的女同学年是新华中学92004|A x = {}，月在校的高一年级同学

年是新华中学92004|B x ={}，学月在校的高一年级女同年是新华中学92004|C x = （3）{},3<=x x A {},0>=x x B {}

.30<<=x x C 知识提炼：

交集——

数学语言表述：

根据交集的定义，试确定下列集合间的关系：

B A A B B A A B A B 特别地A A A Φ A A

●典例剖析

例1.设{},4,5,6,8A ={},3,5,7,8B =求.B A

例2. 设集合{},21<<-=x x A {}

31<<=x x B ，求.B A

例3.设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，

试用集合的运算表示21,l l 的位置关系.

●随堂训练

1. 满足条件{}{}3,2,11= M 的集合M 的个数 A.1

B.2

C.3

D.4

2.集合(){}(){}

,2,,0,=-==+=y x y x B y x y x A 则B A 是 ( ) A.()1,1

B. ?

?

?-==11

y x

C. (){}1,1

D. (){}

1,1,-===y x y x A

3.设{}(){}

,0526,022

2=++++==+-=q x p x x B q px x x A 若?

?????=21B A

则B A 等于( ) A.?

?????-31,4,21

B.

??????-4,21 C. ?

??

???31,21 D. ?

?????21

4. 设{},21<<-=x x A {},31<<=x x B {}

,0>=x x C 求B A ，B A ，()C B A .

5.设集合{},0232=+-=x x x A {}

,0222

=+-=ax x x B 若,A B A = 求实数a 的取值集合.

教师寄语：勿以错小而不记，勿以事小而不为，好记性不如烂笔头。

●课后作业

1、设集合{}

{}

,,2,,2

R x x y y N R x x y y A ∈-==∈==则=N M ( )

(A)(){}1,1- (B) ()(){}1,1,1,1-

(C) {}

20≤≤y y

(D) {}

0≥y y

2、设集合{}{}

,1,2,,3,22+-==a a N a M 且,N N M = 求a 的值 。

3、已知,R x ∈集合{}{}

,1,12,3,1,,32

2

+--=+-=x x x B x x A 如果{},3-=B A

求.B A

●学后反思

1.1.3集合的基本运算⑵

学习目标：1、理解全集与补集的含义，会求给定集合中的一个子集的补集;

2、能用韦恩图表达集合间的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

能力目标：通过类比实数的运算，得到集合间的运算：补，在正确理解补集概念的基础上学会求集合的补集的方法，

并体会数形结合思想的应用.

情感目标：在学习集合运算的过程中，培养类比的思想及由特殊到一般的认知规律，同时在利用数轴和Venn 图解题

的过程中，学会用数形结合的思想解决数学问题

.

补集

提出问题：

问题1、试分别在有理数集和实数集上求方程()()

0322=--x x 的解集,结果是否相同?这说明了什么?

=S {x x 是滕州一中高一年级的同学},那么S 、A 、B 三集合关系如何?

全集——

补集——

符号语言表示：

图形语言表示：

试用Venn 图表示下列集合:① ()B C A U ② ()B A C U

③ ()()B C A C U U ④ ()()B C A C U U

根据补集的定义填空：

① ()=A C A U ; ② ()=A C A U ; ③ ()=A C C U U ; ④ ()()=B C A C U U ; ⑤ ()()=B C A C U U . ●典例剖析

问题2、=A {x x 是滕州一中高一年级参加百米赛跑的同学},

=B {x x 是滕州一中高一年级没有参加百米赛跑的同学},

知识提炼：

例1.设{}

的正整数是小于9x x U =,{}3,2,1=A ,{}6,5,4,3=B ,求B C A C U U ,.

例2.设全集{}

是三角形x x U =,{},是锐角三角形x x A ={}

,是钝角三角形x x B = 求B A ,()B A C U .

例3.设全集为R ,{}5<=x x A ,{}

3>=x x B ,求:

(1) B A ; (2) B A ; (3) B C A C R R ,; (4) ()()B C A C R R ; (5) ()()B C A C R R ; (6) ()B A C R ; (7) ()B A C R .

●随堂训练

1. 已知集合{}7,6,5,4,3,2,1=U ，{}7,5,4,2=A ，{}5,4,3=B ，则()()=B C A C U U A.{}6,1 B. {}5,4 C.{}7,5,4,3,2 D. {}7,6,3,2,1

2. 已知全集,R U =且{}1,3-<>=x x x A 或,{}

42<<=x x B ,则()B A C U 等于 A. {}41<≤-x x B. {}32<

41<<-x x

3. 已知集合{}R x x x y y A ∈--==,322,{}

R x x x y y B ∈++-==,1322

,则

()B A C R = .

4. 设,R U = {}

1,4>-<=x x x A 或,{}

32<<-=x x B .求()B A C U 和()B A C U .

5. 设全集

,

R U ={}

122=++∈=px x N x A ,

{}

52=+-∈=q x x N x B ,若

(){}2=B A C U ,(){}4=B C A U ,Z q p ∈,,试求q p +的值和B A .

教师寄语：勿以错小而不记，勿以事小而不为，好记性不如烂笔头。

●课后作业

1、若{}4,3,2=S ,{}4,3=A ,则A C S = .

2、已知{}

1,4,22

+-=a a U ,其子集{}2,1+=a B ,若{},7=B C U 求a .

3、已知全集=

U {}的质数取不大于30x x ,

B A 、是U 的两个子集，且()=B

C A U {}23135，，，

(){}29,19,11=B A C U , ()(){}7,3=B C A C U U ,求.B A 、

●学后反思

1.1.3集合的基本运算⑶

学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号。教学重点：交集、并集、补集的运算。

教学难点：集合知识的综合。

●复习准备：

1.并集：

一般地，由组成的集合，称为集合A与集合B的并集(union set)，即A与B的所有部分，记作（读作“A并B”），即A∪B={x| }。

2.交集：

一般地，由组成的集合，叫做A与B的交集（intersection set），即A与B的公共部分，记作（读作“A交B”），即A∩B={x| }。

3.补集：

一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A?S），由

组成的集合，叫做U中集合A的补集（或余集），记作，即C U A={x| }

4.一些特殊结论

A∩B B∩A, A∩B A, A∩B B, A∩φφ;

A∪B B∪A, A∪B A, A∪B B, A∪φA;

A∩C

U A= , A∪C

U

A= , C

U

(C

U

A)=

5.集合问题的解答方法：V enn图示法、数轴分析法。

●典例剖析

1.交集、并集、补集的基本运算：

例1：设U=R，A={x|-5

学习心得:

例2：全集U={x|x<10，x∈N

+

}，A?U，B?U，（C U B）∩A={1,9}，A∩B={3}，(C U A)∩(C U B)={4,6,7}，求A、B。

学习心得:

2.交集、并集、补集、子集、空集的性质运用：

例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0},若A B=A，求实数a的值。

变式：

1、A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0},若B?A，求实数a的值。

2、A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0},若B是A的真子集，求实数a的值。

学习心得:

●随堂训练

1.已知A={x|-21}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1

2. P={0,1}，M={x|x?P}，则P与M的关系是。

3.已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为人。

4.满足关系{1,2}?A?{1,2,3,4,5}的集合A共有个。

5.已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集共有多少个？

6.已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。

7.设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。

8.集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p、q。

9. A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B。

10.已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围。

●课后作业

1、分别用集合A,B,C 表示下图的阴影部分

2、已知集合}01)2(|{2=+++∈=x m x R x A ，}0|{>=x x B ，若φ=B A ，求实数m 的取值范围。

学后反思

高一寒假讲义1 集合的概念及表示

集合的概念及表示 含答案 知识梳理 1、集合的概念：一般的我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。 2、集合的3个性质：?? ???的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 3、元素与集合的表示：我们通常用 来表示集合，用 来表示元素。 4、元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作： 注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上。 5、集合的分类： （集合含有有限个元素）； 无限集（集合含有 个元素）； 空集（不含任何元素的集合，用记号 表示）。 6、常用集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ； 正整数集记作()+N N *； 整数集记作Z ； 有理数集记作Q ； 实数集记作R 。 注意：（这些特定集合外面不用加{}） 7、集合的表示：（1） ：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。 注意：一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正整数集合｛1，2，3，4，…｝． （2） ：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 （3） ：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

知识典例 题型一 基本概念 例1 下列各组对象中能构成集合的是（ ） A ．充分接近3的实数的全体 B ．数学成绩比较好的同学 C ．小于20的所有自然数 D ．未来世界的高科技产品 【答案】C 巩固练习 1、判断下面例子能否组成集合？ （1）大于3小于12的所有偶数； （2）我国的小河流。 2、判断下面例子能否组成集合？ 中国的直辖市； （2）身材较高的人 3、已知元素2x 在集合｛1，0，x ｝内，求实数x 的值 4、集合｛a ，b ，c ｝中元素是三角形三边，则这个三角形不可能是 三角形． 题型二 元素与集合的关系 例 2 用符号“∈”或“?”填空：（1）2_____N ；（2）3Q ；（3）13______Z ；（4）3.14______R ；（5）3-______N ；（69Q . 【答案】∈ ? ? ∈ ? ∈ 巩固练习 1、用符号“∈”或“?”填空 （1）N __0 （2）Z _____14.3 （3）Q ______π （4）N _____14.3 2、下列写法正确的是（ ） A ．??{}0

高一数学第一章集合数学测试题

高一数学第一章集合数学测试题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）??? （B）? （C）? （D） 2．设集合，，则（?? ） （A）?（B）? （C）?（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1? （B）2?? （C）3??? （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6??? （B） 7? （C）? 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（? ）（A）? （B）（C）?? （D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（? ） （A）??? （B）?? （C）?? （D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（? ）（A）??? （B）?? （C）?? （D）

8．已知全集合，，，那么是（） （A）?? （B）? （C）?? （D） 9．已知集合，则等于（） （A）???????? （B）? ? （C）??? （D） 10．已知集合，，那么（? ）（A）?? （B）? （C）?? （D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ? ） ?（A）? （B）（C）?（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（ ? ） （A）且（B）且（C）且（D）且

二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合———— 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为——---------- 15．设全集，，，则的值为16．若集合只有一个元素，则实数的值为----------- 三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求，

高2020届高2017级高一数学暑假提高班讲义初升高数学衔接教材

初升高衔接教材 数 学

目录 第一部分新教材初高中数学衔接概述 第1节如何做好初高中衔接 (1) 第2节现有初高中数学知识存在的“脱节” (4) 第二部分初高中数学衔接分章节讲解 第一讲数与式的运算 (7) 第1节绝对值 第2节乘法公式 第3节二次根式 第4节分式 第5节分解因式 第二讲一元二次方程 (7) 第1节根的判别式 第2节根与系数的关系(韦达定理) 第三讲二次函数 (7) 第1节二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 第2节二次函数的三种表示方式 第3节二次函数的简单应用 第4节二次函数的最值问题 第四讲方程与不等式 (7) 第1节二元二次方程组解法 第二节一元二次不等式解法 第五讲相似形 (7) 第1节平行线分线段成比例定理 第2节相似形 第6讲三角形 (7) 第1节三角形的“四心” 第2节几种特殊的三角形 第7讲圆 (7) 第1节直线与圆,圆与圆的位置关系 第2节点的轨迹 附录:初、高中数学衔接紧密的知识点

第一部分新教材初高中数学衔接概述 1.1为什么要做好高、初中数学的衔接 初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化,要求我们改变学习方式,以尽快适应学习 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很“玄”。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步；因式分解先看什么,再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。课时相对较少,辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧,因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。这样,不可避免地造成学生不适应高中数学学习,而影响成绩的提高。这就要求:第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识。第二,要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三,因知识教学多以零星积累的方式进行的,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”。如表格化,使知识结构一目了然；类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四,要多做总结、归类,建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态会加大数学学习的两极分化,因此要养成良好的学习习惯 1 学习习惯,因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初中数学教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二,家长望子成龙心切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后,还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了解,上课忙于记笔记,没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时

讲义高一数学必修一函数复习

函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致 (化简前) ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 4．值域：先考虑其定义域 （1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、

)0,(>+ =b a x b ax y 三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上 . (2) 画法 描点法 图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换 6．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 7．映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足： (1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；

高一数学必修1第一章集合测试题及答案

高中数学必修一——集合 一、填空题 1．集合{1，2，3}的真子集共有______________。 （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个 2．已知集合A={022≥-x x } B={0342≤+-x x x }则A B ?=______________。 3．已知A={1，2，a 2-3a-1},B={1,3},A =?B {3,1}则a =______________。 （A ）-4或1 （B ）-1或4 （C ）-1 （D ）4 4.设U={0，1，2，3，4}，A ={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（C U A ）?（C U B ）=_____________。 5．设S 、T 是两个非空集合，且S ?T ，T ?S ，令X=S ,T ?那么S ?X=____________。 6．设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ?B={2,3,5},A 、B 分别为____________。 7．设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042 =-=?ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为____________。 8．若M={Z n x n x ∈=,2 }，N={∈+=n x n x ,21Z}，则M ?N=________________。 9．已知U=N ，A={0302>--x x x }，则C U A 等于_______________。 10．二次函数132 +++-=m mx x y 的图像与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_______________。 11．不等式652+-x x 0对一切x ∈R

高一数学同步辅导上课讲义

对数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． a ＞0 0＜a ＜1 图象 性质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0 当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0 要点诠释： 关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律

2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义(精品)

2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义 知识点总结及例题讲解 一、集合的含义 1.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 2．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A. 3.常见的数集及表示符号 【例1】 ①中国各地最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④B．②③④ C．②③D．②④ B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.] 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 1．判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． [解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合． (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素． 【例2】 ①π∈R；②2?Q；③0∈N*；④|－5|?N*. A．1B．2 C．3D．4 (2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为() A．2 B．2或4 C．4 D．0 (1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确； ②2是无理数，所以2?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A， 所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B.] 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高一数学讲义完整版

高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.

启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0-4x+p-3恒成立的x的取值范围 2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解 练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围 2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。 3、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解 练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。 4利用图象 练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2

暑假班高一数学讲义第1讲

第1讲：集合的概念及表示方法 【开心自测】 1、请你列出“小于10”的自然数： 2、请你写出方程2 230x x --=的解： 3、咱们班性格开朗的女生全体是否确定一个集合？ 【考纲要求】 1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系. 2.在具体情境中，了解空集的含义. 3.掌握常用数集及其专用符号. 4.掌握集合的表示方法，通过实例体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，能在具体问 题中选择适当的方法表示集合. 【教学重难点】集合的概念和表示方法 【重难点命题方向】集合的概念及表示方法 自主预习： （1）集合的概念：一般的，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是有 这些对象的____构成的集合（或集）.构成集合的_____叫做这个集合的元素（或成员）. （2）集合与元素的记法：集合一般用_______字母来表示，集合中的元素一般用______字母 来表示. （3）元素与集合的关系:如果a 是集合A 的元素，就说__________,记作______读作_______; 如果a 不是集合A 的关系，就说__________,记作_______读作_______. （4)空集的概念：把____________________的集合叫做空集，记作________. （5）集合元素的性质特征：①___________；②___________；③___________. （6）集合的分类： 含有有限个元素的集合叫做________;含有无限个元素的集合叫做 _________. （7）常用数集及其表示符号：自然数集记作__,正整数集记作__，整数集记作__，有理数集记 作__，实数集记作__. （8）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用____________括起来表示集合的方法叫做 ___________. （9）特征性质描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质 ()p x ， 而不属于集合A 的元素都不具有性质()p x ，则性质()p x 叫做集合A 的一个_______.于是集合A 可以用它的特征性质()p x 描述为_______________，它表示集合A 是由集合I 中 具有性质()p x 的所有元素构成的.这种表示集合的方法叫做_____________,简称描述法. 【基础限时训练】（1.1.1）

高一数学必修1第一章： 集合概念

高一数学必修1第一章：集合概念 集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集) 记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法：{a,b,c……} 2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图:

4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AÍA ②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AÍB, BÍC ,那么AÍC ④如果AÍB 同时BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的

高一数学同步辅导

高一数学同步辅导：函数的性质 1、若函数m x y -= 与其反函数的图象有公共点,则m 的取值范围是 ( ) (A)m ≥41 (B)m ≤41 (C)m ≥0 (D)m ≤0 2、函数y=x 2＋2x(x ＜－1)的反函数是 ( ) (A)y= 1+x －1(x ＜－1 ) (B)y=1+x －1(x ＞－1) (C)y=－1+x －1(x ＜-1) (D)y=－1+x －1(x ＞－1) 3、若函数f(x)=m x x +-2 的反函数f －1 (x)=f(x),则m 的值是 ( ) (A)1 (B)－1 (C)2 (D)－2 4、设f(x)= 3412++x x (x ∈R,且x ≠－43),则f －1(2)的值等于 ( ) (A)65 - (B)52- (C)52 (D)115 5、已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和为 （ ） (A)4 (B)2 (C)1 (D)0 6、奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为－5,那么f(x)在区间[－7,－3]上（ ） (A)是增函数且最小值为5 (B)是增函数且最大值为5 (C)是减函数且最小值为5 (D)是减函数且最大值为5 7、当21 ≤x ≤2时,函数y=x+ x 1的值域为 ( ) (A)[2,+∞] (B)[2 21 ,+∞] (C)[2,221 ] (D)(0,+∞) 8、若x x x f 1 )(-=,则对任意不为零的实数x 恒成立的是 ( ) (A)f(x)=f(－x) (B)??? ??=x f x f 1)( (C)??? ??-=x f x f 1)( (D)f(x)·01=??? ??x f 9、若函数y=f(x)是函数)10(222≤≤--=x x y 的反函数，则y=f(x)的图象是( ) 10、给定如下四个命题： (1)奇函数必有反函数； (2)由于函数 y = f (x )和其反函数y = f －1(x )的图象关于直线y = x 对称，所以y ＝f (x )

高中数学暑期讲义课程大纲(含高一、高二、高三)

高一暑假课程大纲·数学 讲次内容教学目标 第一讲二次函数及高次不等式①掌握二次函数系数与交点的问题 ②因式分解解高次不等式 第二讲集合的含义和表示①掌握元素与集合之间的关系 ②掌握集合的常见的表示方法 第三讲集合间的基本关系①掌握集合间的一些运算 ②了解集合运算间的结论 第四讲函数的概念及表示方法①理解函数的概念 ②掌握函数的定义域值域问题 ③了解函数的三种表达形式 第五讲单调性与最值①掌握用定义法求函数的单调性 ②掌握对勾函数的性质 ③掌握复杂函数的单调新 ④掌握利用单调性求函数的最值 第六讲奇偶性①掌握定义法求奇偶性 ②掌握复杂函数的奇偶性 ③掌握奇偶性的简单运用 第七讲函数性质综合①掌握函数单调性与奇偶性的结合 ②了解周期性 ③理解对称性 ④了解函数对称性和周期性的区别 第八讲指数运算与指数函数①掌握指数的相关运算 ②掌握指数的函数的相关性质 第九讲对数运算①掌握对数的概念 ②掌握对数的相关性质及运算 第十讲对数函数①掌握对数函数的概念与性质 ②理解对数函数与指数函数的性质 第十一讲幂函数与二次函数①理解幂函数的概念与性质 ②掌握二次根的分布及根系关系 第十二讲函数与方程①理解函数与方程的关系 ②掌握如何进行一些简单的函数图象变换 ③掌握排除法求解函数图象

高二暑假课程大纲·数学 讲次内容教学目标 第一讲直线的倾斜角与斜率①掌握直线斜率与倾斜角的间的关系 ②理解直线的五种表达形式 ③掌握直线与直线的位置关系 第二讲点到直线距离问题、对称 问题 ①掌握距离公式 ②掌握点跟直线的对称问题 第三讲圆的方程①掌握圆的概念 ②掌握圆的标准方程与一般方程之间的转化 第四讲直线与圆的位置关系①掌握直线与圆的位置关系 ②掌握直线与圆的弦长计算问题 ③了解圆与圆的计算问题 第五讲空间几何体结构、三视 图、直观图 ①了解一些常见的几何体 ②掌握常见的几何体的三视图 ③掌握直观图的做法 第六讲空间几何体的表面积、体 积的计算 ①掌握三视图的还原 ②掌握椎体、柱体的表面积、体积的计算 第七讲点线面的位置关系①掌握三大公理 ②掌握点线面的之间的关系 第八讲线、面平行①线、面平行的判定 ②线、面平行的性质 第九讲线、面垂直判定①线面垂直的判定 ②面面垂直的判定 第十讲线面垂直的性质①掌握线面垂直的性质 ②掌握面面垂直的性质 第十一讲线面角计算①掌握线面角的概念 ②掌握线面角的几种处理处理方方法 第十二讲二面角的计算①掌握二面角的概念 ②掌握二面角的几种处理方法

高一数学讲义_集合间的基本关系

集合间得基本关系 一、子集、空集等概念得教学: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间得关系: (1),; (2),; (3), 1.子集得定义: 对于两个集合A,B,如果集合A得任何一个元素都就是集合B得元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A就是集合B得子集(subset)。记作: 读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A 当集合A不包含于集合B时,记作 用Venn图表示两个集合间得“包含”关系: 2.集合相等定义: 如果A就是集合B得子集,且集合B就是集合A得子集,则集合A与集合B中得元素就是一样得,因此集合A与集合B相等,即若,则。 如(3)中得两集合。 3.真子集定义: 若集合,但存在元素,则称集合A就是集合B得真子集(proper subset)。记作: A B(或 B A) 读作:A真包含于B(或B真包含A) 4.空集定义: 不含有任何元素得集合称为空集(empty set),记作:。 用适当得符号填空: ; 0 ; ; 重要结论:

（1）空集就是任何集合得子集; （2）空集就是任何非空集合得真子集; （3）任何一个集合就是它本身得子集; （4）对于集合A,B,C,如果,且,那么。 说明: 1．注意集合与元素就是“属于”“不属于”得关系,集合与集合就是“包含于”“不包含于”得关系; 2．在分析有关集合问题时,要注意空集得地位。 三、例题讲解: 例1.若集合B A,求m得值。 (m=0或) 例2.已知集合且, 求实数m得取值范围。() 集合得基本运算㈠ 教学目标: (1)理解交集与并集得概念; (2)掌握交集与并集得区别与联系; (3)会求两个已知集合得交集与并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 一、复习回顾: 1.已知A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则A S;{x|x∈S且xA}= 。 2.用适当符号填空: 0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x＋1＝0,x∈R} {0} {x|x<3且x>5}; {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ; {x|x>－3} {x>2} 二、交集、并集概念及性质得教学: 思考1:考察下列集合,说出集合C与集合A,B之间得关系: (1),; （2）,; 1.并集得定义:

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；

南京市金陵中学高一数学同步辅导教材[整理]

南京市金陵中学高一数学同步辅导教材一、本讲教学进度 1．5（P23-24） 二、本讲内容 1．一元二次不等式>和<的解法. 2．可化为一元一次不等式组的分式不等式. 3．二次函数在给定范围内的最值. 三、重点、难点选讲 1．一元二次不等式>和<的解法. ⑴因一元二次方程的两个根是，故有 一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>. 一元二次不等式<，(<)的解集为<<. ⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件. 例1解不等式： ⑴≤； ⑵>； ⑶≤. 解：⑴原不等式即≤， 整理得≥， ≥. ∴不等式的解集为≤，或≥. ⑵∵≥, ∴由，得不是原不等式的解. 当，得>， 即<，<<. ∴原不等式的解集为<<，且.

⑶∵>, ∴原不等式与≤同解， ∴原不等式的解集为≤≤. 评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将 除去. 例2解关于的不等式：>（,R）. 解：原不等式可化为<. . ⑴>时，>，∴不等式的解集是<<. ⑵当时，，∴不等式的解集是. ⑶当<<时，<，∴不等式的解集是. ⑷当<<时，>，∴不等式的解集是 ⑸当时，，∴不等式的解集是. ⑹当<时，<，∴不等式的解集是. 2．可化为一元一次不等式组的分式不等式 ⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式 <同解.

⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式 ≤的解集是不等式<的解集与集合的并集. 例3解不等式： ⑴≥；⑵≥. 解：(1)原不等式等价于≤. ∴不等式的解集是 = (2)原不等式等价于. ∴不等式的解集是 评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集. 例4：求不等式的解集. ①等价. 解：不等式与不等式组 ,② 由①，, ∴

2020年上海新高一新教材数学讲义-专题21 期中复习(学生版)

专题21 期中复习 知识梳理 一、集合与命题 1．区分集合中元素的形式： 2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性． 3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ?． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ??． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ? ． 注意：若条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况． 集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =； ()( )( )U U U A B A B =、 ()( )( )U U U A B A B =． ①U U U A B A A B B A B B A A B =?=??? ? ?=?． ①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n 2、12-n 、12-n 、22-n ． 4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系：

原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β； 逆否命题：如果β，那么α； ① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲?乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题． ① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式： 6．充要条件： 在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性： 首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式

高一数学第一章集合概念

课 题：1.1集合 教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初 步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国 数学家）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子。 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的，我们说， 每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集 合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集合记作N *或N +，如{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合，记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{} 数数轴上所有点所对应的 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系

高一数学必修①第一章_集合与函数概念讲义

心智家三优教育高一特训营数学教学进度表

¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．