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重庆市中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习册

第5节二次函数的综合应用

课时1 与线段、周长有关的问题

(建议答题时间：40分钟)

1. (2017滨州)如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.

(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；

(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．

第1题图

2. (2017宁波)如图，抛物线y ＝14x 2＋1

4x ＋c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连

接AB ，点C (6，15

2)在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D .

(1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；

(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点． ①求证：△APM ∽△AON ；

②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长．(用含m 的代数式表示)

第2题图

3. (2017东营)如图，直线y＝－

x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，

∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

第3题图

4. (2017武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE；

(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．

第4题图

课时2 与面积有关的问题 (建议答题时间：40分钟)

1. (2017深圳)如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋2经过点A (－1，0)，B (4，0)，交y 轴于点C . (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；

(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使S △ABD ＝3

2S △ABC ，若存在请直接给出点D

坐标；若不存在请说明理由；

(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°得到BE ，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．

第1题图

2. (2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝1

x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点

C ，抛物线y ＝－12

x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B .

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．

①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2

的最大值；

②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．

3. (2017海南)抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)该抛物线与直线y ＝3

5x ＋3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直

线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .

①连接PC 、PD ，如图①，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

②连接PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图②，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．

第3题图

4. (2017重庆南开一模) 已知抛物线y ＝－13x 2＋1

x ＋4交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，连

接AC、BC.

(1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；

(2)如图①，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NK⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1∶2时，求动点P的运动时间t的值；

(3)如图②，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A 出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．

第4题图

课时3 与三角形、四边形形状有关的问题

(建议答题时间：40分钟)

1. (2017菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B (4，0)，与过A 点的直线相交于另一点D (3，5

2)，过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为C .

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P 在线段OC 上(不与点O 、C 重合)，过P 作PN ⊥x 轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值；

(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点M 、C 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

第1题图

2. (2017广安)如图，已知抛物线y ＝－x 2

＋bx ＋c 与y 轴相交于点A (0，3)，与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x ＝1. (1)求此抛物线的解析式及点B 的坐标；

(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；

②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．

第2题图

3. (2017潍坊)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(－1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点．设点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

4. (2017重庆九龙坡区模拟)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2－

x－3与x

轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C . (1)判断△ABC 的形状，并说明理由；

(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x 轴的对称点记为点P ，点M 是直线BC 上的一动点，当△PBC 的面积最大时，求PM ＋

MC 的最小值； (3)如图②，点K 为抛物线的顶点，点D 在抛物线对称轴上且纵坐标为3，对称轴右侧的抛物线上有一动点E ，过点E 作EH ∥CK ，交对称轴于点H ，延长HE 至点F ，使得EF ＝53

3，在

平面内找一点Q ，使得以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q ，若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．

第4题图

课时4 二次函数的实际应用 (建议答题时间：20分钟)

1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m )与足球被踢出后经过的时间t (单位：s )之间的关系如下表：

t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h

…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝9

2；③

足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( )

A . 1

B . 2

C . 3

D . 4

2. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2

＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m . (1)当a ＝－1

时，①求h 的值，②通过计算判断此球能否过网；

(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为12

m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．

第2题图

3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量

p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x 之间的函数表达式；

(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)

答案

课时1 与线段、周长有关的问题

1. 解：(1)∵直线y＝kx＋b经过点A(－4，0)，B(0，3)，

∴?????0＝－4k ＋b

3＝b ，解得??

???k ＝3

4b ＝3

， ∴直线的函数解析式为y ＝3

x ＋3；

(2)如解图，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ∥y 轴交直线AB 于点N .

第1题解图

∴∠PNM ＝∠ABO ， ∵∠AOB ＝∠NMP ＝90°， ∴△AOB ∽△PMN ， ∴AO PM ＝AB PN ， ∵OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝OA 2

＋OB 2

＝5， ∴PM ＝4

PN ，

∵点P 是抛物线上的点，PN ∥y 轴， ∴P (x ，－x 2

＋2x ＋1)，N (x ，34

x ＋3)，

∴PN ＝34x ＋3－(－x 2＋2x ＋1)＝x 2

－54x ＋2＝(x －58)2＋10364

，

PM ＝d ＝45(x －58)2＋

10380

， ∴当x ＝58时，PM 取得最小值10380，此时P 点坐标为(58，119

64)；

(3)∵抛物线y ＝－x 2

＋2x ＋1与y 轴交于点C ， ∴C (0，1)，对称轴为直线x ＝－2

2×（－1）

＝1，

如解图，作点C 关于对称轴的对称点G ，则G 点坐标为(2，1)，点G 到直线AB 的距离即为

CE ＋EF 的最小值，最小值为d ＝45×(2－58)2＋

10380＝145

. 2. (1)解：把点C (6，152)代入抛物线解析式可得152＝9＋3

＋c ，

解得c ＝－3， ∴y ＝14x 2＋1

x －3，

当y ＝0时，14x 2＋1

4x －3＝0，

解得x 1＝－4，x 2＝3， ∴A (－4，0)，

设直线AC 的函数表达式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，

把A (－4，0)，C (6，15

2)代入y ＝kx ＋b 中得?????0＝－4k ＋b 152＝6k ＋b ，解得?????k ＝34b ＝3，

∴直线AC 的函数表达式为：y ＝3

x ＋3；

(2)①证明：由(1)易得OA ＝4，OB ＝3，OD ＝3，∵在Rt △AOB 中，

tan ∠OAB ＝OB OA ＝3

在Rt △AOD 中，tan ∠OAD ＝OD OA ＝3

∴∠OAB ＝∠OAD ，

∵在Rt △POQ 中，M 为PQ 中点， ∴OM ＝MP ， ∴∠MOP ＝∠MPO ， ∵∠MOP ＝∠AON ， ∴∠APM ＝∠AON ， ∴△APM ∽△AON ；

②解：如解图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E . 又∵OM ＝MP ， ∴OE ＝EP ， ∵点M 横坐标为m ， ∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4， ∵tan ∠OAD ＝3

，

∴cos ∠EAM ＝cos ∠OAD ＝4

5，

∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4

，

∵△APM ∽△AON ， ∴AM

AN ＝AP AO

， ∴AN ＝AM ·AO AP ＝5m ＋202m ＋4

第2题解图

3. 解：(1)∵直线y ＝－

x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝3，

∴点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)． ∴tan ∠CBO ＝OC BO ＝3

3，

∴∠CBO ＝30°， ∴∠BCO ＝60°， ∵AC ⊥BC ， ∴∠ACO ＝30°，

∴AO ＝CO ·tan ∠ACO ＝3×3

＝1， ∴点A 的坐标为(－1，0)；

(2)∵抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴???a －b ＋3＝0

9a ＋3b ＋3＝0，解得?????a ＝－3

3b ＝23

3， ∴抛物线的解析式为y ＝－33x 2＋233

x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴， ∴∠MDH ＝∠BCO ＝60°， ∵MH ⊥BC ，

∴HD ＝12MD ，MH ＝3

MD .

∴△DMN 的周长为(1＋12＋3

2)MD .

设点D 的坐标为(t ，－

33t ＋3)，则点M 的坐标为(t ，－33t 2＋233

t ＋3)， ∵点M 在直线BC 上方的抛物线上， ∴MD ＝(－33t 2＋23

t ＋3)－ (－

33t ＋3)＝－33t 2＋3t ＝－33(t －32)2＋334

. ∵0＜t ＜3，

∴当t ＝32时，MD 有最大值，且MD 的最大值为334，

∴△DMH 周长的最大值为(1＋12＋32)×334＝93＋9

4. (1)解：将点A (－1，1)，B (4，6)代入y ＝ax 2

＋bx 中，?????a －b ＝116a ＋4b ＝6

，

解得?????a ＝1

2b ＝－1

，

∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；

(2)证明：∵A (－1，1)，F (0，m ) ∴直线AF 的解析式为：y ＝(m －1)x ＋m . 联立????

?y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，

得12x 2－(m －1

)x －m ＝0. ∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点，

∴x A ＋x G ＝－－（m －1

）

12＝2m －1，∴x G ＝2m －1－(－1)＝2m ，

∴H (2m ，0)，

∴直线HF 的解析式为：y ＝－1

2x ＋m .

由抛物线解析式易得E (1，0)，

又A (－1，1)，

∴直线AE 的解析式为：y ＝－12x ＋1

2，

∵直线HF 与直线AE 的斜率相等， ∴HF ∥AE ；

(3)解：t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－89

【解法提示】由题意知直线AB 解析式为y ＝x ＋2，∴C (－2，0)，D (0，2)，P (t －2，t )，

Q (t ，0)．

∴直线PQ 的解析式为y ＝－t 2x ＋t

2，

设M (x 0，y 0)，

由QM ＝2PM 可得：|t －x 0|＝2|x 0－t ＋2|，解得：x 0＝t －4

或x 0＝t －4.

(i )当x 0＝t －43时，代入直线PQ 解析式得y 0＝2

3t .

∴M (t －43，2

t )，

代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －43)2－12(t －43)＝2

3t ，

解得t 1＝15＋1136，t 2＝15－113

6；

(ii )当x 0＝t －4时，y 0＝2t . ∴M (t －4，2t )，

代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －4)2

－12(t －4)＝2t ，

解得：t 3＝13＋892，t 4＝13－89

综上所述，t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－89

课时2 与面积有关的问题

1. 解：(1)将点A (－1，0)，B (4，0)代入y ＝ax 2

＋bx ＋2中，得 ?

????a －b ＋2＝0

16a ＋4b ＋2＝0，解得?????a ＝－12b ＝32， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋3

x ＋2；

(2)存在，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．【解法提示】如解图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M . 设D (m ，－12m 2＋32m ＋2)(m >0)，则DM ＝|－12m 2＋3

2m ＋2|.

∵A (－1，0)，B (4，0)， ∴AB ＝5.

∵抛物线交y 轴于点C ，

∴y ＝－12x 2＋3

2x ＋2中，令x ＝0，有y ＝2，

∴C (0，2)，∴OC ＝2. ∵OC ⊥AB ，

∴S △ABC ＝1

AB ·OC ＝5，

第1题解图①

又∵S △ABD ＝3

S △ABC ，

∴DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|＝3

OC ＝3，

当－12m 2＋3

2m ＋2＝3时，解得m 1＝1，m 2＝2，此时D 1(1，3)，D 2(2，3)；

当－12m 2＋3

2m ＋2＝－3时，解得m 3＝－2(舍去)，m 4＝5，此时D 3(5，－3)．

综上所述，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．

(3)如解图②，过点C 作CF ⊥BC 交BE 于点F ，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .