[高等数学电子讲义]：定积分的定义

高等数学·第五章

定积分

1. 背景例子

2. 定积分的定义

3. 定积分的性质

4. 变上限函数

5. 微积分基本定理

6. 定积分的换元积分法

7. 定积分的分部积分法

8. Waliss公式

9. 广义积分

10. 典型例题回顾

x

O

b x a x ==,直线：0

=y x 轴：??

?

??0)(≥=x f y 连续曲线：

问题

怎样计算曲边梯形的面积?

矩形1. 问题的背景

y

)

(x f y =a

b ?

=A 的面积

计算任意图形D 曲边梯形的数学描述

/ 曲边梯形

/ 曲边三角形◇曲边梯形的面积

b

O

x

y

a )

(x f y =a x =b

x =直观地发现

小矩形越多

小矩形面积之和越接近曲边梯形面积

1

x 1-i x i x 1-n x

面积对区间分割具有可加性

b

x x x x x a n n =<<<<<=-1210 1

--=i i i x x x ?，

],[1i i i x x -∈?ξi

x ?≈i A ?)(i f ξ=A 0

}{max 1→=≤≤i n

i x ?λ0

lim →λi n

i i x f ?ξ)(1

∑=曲边梯形面积

b

O

x

y

a

)

(x f y =a x =b

x =1

x 1-i x i x 1-n x 分割

近似

取极限∑=n

i 1

∑=n

i 1=A :

1],[个分点内任意取在-n b a ◇曲边梯形的面积

i ξ

把整段时间分割成若干小段

对时间区间无限细分,求极限

每小段上速度看作不变,先局部近似,再整体近似解决问题的思路

).

(,t v v =速度为一物体作直线运动.],[)()2(;0)()1(:21上连续在时间区间假设T T t v t v ≥.

],[21内经过的路程求该物体在时间段T T

,212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1

--=i i i t t t ?i

i i t v s ?τ?)(≈=s i

n

i i t v s ?τλ)(lim 1

∑=→=,}{max 1i n

i t ?λ≤≤=，

],[1i i i t t -∈?τ 分割 近似

取极限∑=n

i 1

∑=n

i 1).

(,t v v =速度为一物体作直线运动.],[)()2(;0)()1(:21上连续在时间区间假设T T t v t v ≥.

],[21内经过的路程求该物体在时间段T T

i

n

i i x f A ?ξλ)(lim 1

0∑=→=i

n

i i t v s ?τλ)(lim 1

0∑=→=物理问题

变速运动的路程

几何问题

曲边梯形的面积[总结与思考]两个问题的共同特征

◎都取决于一个函数和一个区间◎思想、方法、步骤相同

◎

数学模型（即所得结果的数学表达式）相同

?高等数学?第五章

严钦容的网络课堂

,1210b x x x x x a n n =<<<<<=- [定义],1--=i i i x x x ?∑=n

i 1,

],[1i i i x x -∈?ξ0lim →λ.

)(1

i n

i i x f ?ξ∑=i

x ?)(i f ξ},{max 1i n

i x ?λ≤≤=2. 定积分的定义

.

],[)(上有界在闭区间设b a x f 分割

作和 取极限

,此极限存在上在区间且称此极限为],[)(b a x f ,],[)(可积上在则称函数b a x f ?b

a x d x f )(∑=→=n

i i i x f 1

0)(lim ?ξλ,],[怎样的分法

不论对b a ,],[1上怎样的取法

在不论i i i x x -ξ如果??

?.

定积分的