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【数学】2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案(新人教A版必修4)

【数学】2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案(新人教A版必修4)

2.4.2向量数量积的坐标表示、模、夹角

(一)教学目标

1.知识与技能:

(1)掌握向量内积的坐标运算及其应用。

(2)掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。

(3)掌握向量的长度、距离和夹角公式。

2.过程与方法:

通过解题实践,体会公式和向量垂直的条件的应用。

3.情感、态度与价值观:

通过用向量的坐标反映向量的数量积,让学生体会到代数与几何的完美结合,说明事物是可以相互联系与相互转化的,激发学生的学习兴趣。

(二)教学重点、难点

教学重点:向量数量积的坐标表示以及由此推得的垂直条件,长度、距离和夹角公式的坐标表示。

教学难点:向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标表示的灵活运用。

(三)教学方法:

本节的内容是在前面学习了向量的数量积的定义、性质、运算律的基础上,给出了向量内积的坐标运算公式,两向量垂直的坐标公式,向量的长度、运算、夹角的坐标公式,从而使向量数量积的运算代数化,在教学中,要引导学生分析解题思路,总结解题规律,提高学生分析问题解决问题的能力。

(四)教学过程

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

复习引入(1)向量数量积的定义

(2)向量数量积的性质

(3)向量数量积的运算律

(4)向量的坐标运算

教师提问,学生回答。

复习旧知识,引出新

知识

概念形成1.向量内积的坐标运算

a·b=a1b1+a2b2.

推导过程略

教师引导学生推导出

结论。

让学生体会几何问题

代数化的思想,培养

学生的动手能力。2.提问:向量垂直的充要条件是什么?如果

用向量的数量积的坐标表示可以写成什么?

a⊥b?a1b1+a2b2=0

说明:当

12

bb≠时,条件a1b1+a2b2=0,可

以写成12

21

a a

k

b b

==

-

。(k是比例系数)

这就是说,如果a⊥b,则向量(a1, a2),(-b2,

b1)平行。

教师提出问题,学生

回答。

提出问题,引导学生

去猜想,引申,培养

学生的探索能力。

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

【数学】2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案(新人教A版必修4)

概念形成

3.(1)向量的长度的计算公式及文字表述: |a |=2

2

12a a +,向量的长度等于它的坐标平方和的算数平方根。 如教材图2-53。 推导过程略。

(2)由上述公式,得: 若A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),则

222121()()AB x x y y =-+-

这就是两点的距离公式。

(3)向量夹角余弦的坐标表达式: cos 112222

22

1

21

2

a b a b a a b b +=+++

教师指导学生独立完成公式的推导。

由学生独立完成推导,意在培养学生独立思考问题、解决问题的能力,让学生注重与前面知识的衔接,巩固旧知识。

应用举例

例1.已知a =( 3,-1),b =( 1,-2),求a ·b ,|a |,|b |,

小结:运用向量的数量积的坐标公式求值。 教师提问,学生独立完成,教师订正。

巩固新知识,培养学生自主解决问题的能力。

例2.已知点A (1,2),B (2,3),C (-2,5),求证AB AC ⊥

小结:利用数量积的坐标运算证明垂直 教师提问。

学生独立完成,教师纠正,完善。 巩固新知识,培养学生动手能力,能够灵活运用知识的能力。

例3.已知点A (1,2),B (3,4),C (5,0),求∠BAC 的正弦值。

小结:本题利用两向量夹角的坐标公式求正弦值,揭示了向量与三角的联系。

教师:利用什么方法求∠BAC 的正弦值? 学生:联想到两向量的夹角的坐标公式,尝试完成。

教师指导,订正。

巩固新知识,复习旧知识,建立知识之间的联系。

例4.已知点A (a ,b )与点A '(b ,a ),

求证直线y x =是线段AA '垂直平分线。

小结:证明线段的垂直平分线,用到了中点坐

标公式,两向量垂直的充要条件,本题是用向

量知识解决解析几何问题。

教师:证明直线是线

段的垂直平分线需要

证明什么?

学生:需要证明垂直

和平分问题。

师生共同完成证明。

本题是一道综合题,

学生不易想到,教师分步设问,引导学生展示思维过程,让学生体会分析问题、解决问题的方法。

教学环节 教学内容

师生互动 设计意图 课堂练习

教材练习A ,1,2,3

学生完成,教师指导。

进一步巩固所学内容。

归纳小结(1)用坐标表示的数量积公式,常用来计算

两向量的夹角。

(2)能够灵活运用所学知识。

师生交流,共同完成。

帮助学生总结知识,

归纳方法。

布置作业教材习题A,2,4,5

学生独立完成。巩固所学知识,方法。

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