第四章随机过程
（已经编辑到115页2008-3-20）
第四章随机过程
（电子版：盛艳霞OCR，编辑张学文2007.12 -2008.01）
1. 随机过程的概念及其分布律
原书91-132页90
第四章随机过程
为了从统计角度研究气象要素随时间和空间的变化,最好是利用近数十年发展起来的一个统计数学分支----随机过程和随机场理论。为研究气象信息随时间和空间的分布也要对随机过程有所了解。针对如上情况我们在这一章对随机过程的有关概念、性质和在气象上的个别应用作简要介绍。
1、随机过程的概念及其分布律
孤立的研究各点的气压、温度或风等气象要素时，我们把它看成随机变量（矢量）。这时可以分析它的期望值、方差、概率分布等等。
然而当把不同时刻的同一点的气压、温度或风连贯起来看时，这就是一连串的随机变量（矢量）。它们以时间为参数而有所变化。随机变量随某一参数（这里指时间）的变化给人们以过程的概念。所以就把随机变量随参数值的变化而变化的过程这一总体称为随机过程。
当掷骰子时，骰子出现的点数是随机变量。某次“3”点向上，就说这一次随机变量取值为3。而我们所谓的随机变量远不仅只有一个“3”，而应理解为很多次点子数的集合。同样地，随机过程一词也是指一个总体集合，而不是仅指某一时段的变量取值。例如说“春季北京的气温是一个随机过程”，则是指很多很多年的每年春季北京的气温的变化过程这个总体而言的。如1978年北京春季气温的变程仅是总体中的一个个例。它在随机过程中的地位和骰子为“3”点在随机变量中原书91-132页91
的地位是相当的。我们把这一条春季气温曲线称为这个随机过程的一个“现实”这样一个随机过程实际上是由无数具有同一的统计属性的现实组成的。
图4.1是乌鲁木齐冬季1月份的四年的气温曲线。它们就代表了1月气温这个随机过程的四个现实。而这一随机过程应为无数条这种曲线组成。如以T示表气温，y代表年代，d 代表日期，则一个随机过程可以表示为
T=T(y,d) （4．1）
图4.1 乌鲁木齐1月份气温曲线、
式中y有固定值时，例如y=1963年，则得到随机过程的一个现实。如d取固定值（如d=1）则T表示不同年份的这一天（元旦）的气温。这时同一d值不同y值的气温实为一随机变量。时常把这同一的时间d叫作“截口”。所以一个随机过原书91-132页92
程在任一截口上表现为一个随机变量。
又如随机过程X为
X=a sin t+b cos t
X=X(a,b,t) （4.2）
此式中a,b为随机变量。对某一确定的现实而言，a,b这两个随机变量就取确定值。这时t不同则X就表现为由一个正弦曲线与另一振幅不同的余弦曲线合成的一条曲线。它就是一个现实。反之，当t固定为t0时（在截口t0上）不同现实就有不同的a和b值。这时X就表现为一个随机变量了。与前例相比，此处a,b对应于y，t对应于d，X对应于T。
气象台站经常分析的各种气象要素的时间演变曲线，都可视为各要素的随机过程的一些现实。如在某一固定时刻不仅仅只有一个气象要素值，而是一个要素场。这时此要素场随时间的变化变称为随机场。某年1月份或一个季节的500毫巴逐日天气图就是随机场的一个现实。
随机过程在每个截口上既然都成了随机变量，所以在每个截口，此变量就也有概率分布。这常称为一维概率分布。如在两个截口（t1，t2）上则这两个变量的联合概率分布称为随机过程的二维概率分布。对一个随机过程来说仅了解一维或二维的概率分布尚不能对它的统计特性全部了解清楚。我们可以仿前再研究大于二维的任意n维的概率分布律。不过由于随机过程有无数截口，因而从原则上讲任何有限维数的分布律都不能对随机过程的统计特性作完备的描叙。这也表明了随机过程的概率分布律问题是十分复杂的问题。
但是地某些随机过程有时可以用有限维的概率分布律描叙之。例如对正态分布的随机过程只要知道二维分布律就够了。
原书91-132页93
原书91-132页
94
2、 随机过程的数学期望及相关函数，两个随机过程
的互相关函数
由于直接研究随机过程的概率分布规律有困难，因而人
们常把研究随机变量时用的求期望值、求相关矩等方法用于
随机过程上，以大量简化问题。
随机过程X （t ）的数学期望E x (t )为
E x (t )=E [X (t )] （4.3）
此处E [X (t )]表示在每一截口t 上对随机过程X 的各种取
值（是随机变量）作数学期望运算。即当随机过程的一维分
布f (x ,t )已知时有
?∞
∞-==
)(),()]([t E
xdx t x f t X E x （4.4） 一般而言E x 是参量t 的函数。 随机过程的方差D x (t )由下式定义
?∞∞--=
dx t E x t x f t D x x 2)]()[,()( （4.5）
用气象上的术语说，就是方差为距平值平方的数学期望。
即})]({[)(2t E x E t D x x -= （4.6）
对两个不同的随机过程来说，它们的数学期望和方差随
时间的变化相同并不等于这个随机过程的统计属性相同。图
4.2就表示了这种情况。这里两个过程的期望（方差）值是相
同的，但各自的不同时间之间的变量值的相关矩是不同的。
相关矩随时间而变化的这个函数叫随机过程的自相关函数
K x (t,t ’)简称相关函数。它由下式决定：（4.7）
)]}
()()][()({[),(),,,()]()()][()([),(t E t x t E t x E t t K x dxd t t x x f t E t x t E t x t t K x x x x x x '-''-=''''?'-''-=''∞
∞-∞∞-'??
原书91-132页
95
图4.2 数学期望和方差相同的两个随机过程
式中x ’(t ’)即在t ’时刻的X 值（取在与x 同一个现实上的）。
F (x ,x ’,t ,t ’)即在截口t 和t ’上变量x 和x ’的二维概率分布密度。
如用距平（中心化了的随机变量）表示，则可再简化为
)]()([),(0
0t X x X E t t K x ''=' （4.8） x 0=x (t )-E x (t ), )()()(0
t E t x t x x '-''=''' 即为距平。有时为消除量纲和便于计算比较，把自相关函数在t 和t ’时的x 的标准
差（方差开平方）去除),(t t K x '而得),(t t R x '
)
()(),(),(t D t D t t K t t R x x x x ''='' （4．9） 由于它实际上是t 和t ’时刻的x 的相关系数，它变动于+1
到-1之间，故常称之为标准化了的自相关函数。
原书91-132页
96
对),(t t K x '当t =t 不难得
),(t t K x '=D x (t ) （4.10）
所以相关函数的概念已经包括了方差的概念。
自相关函数的概念表达了一个随机过程不同截口上取值
的相关性。这一概念也可以扩大到两个不同的随机过程中去。
以表示两个随机过程不同截口取值的关连性。这时把两个随
机过程X （t ）,Y (t )的相关函数称为互相函数。它由下式（4.11）
决定
??∞
∞-∞∞-''=''-'-='='dxdy
t t y x f t y t x t t K t E t y t E t x E t Y t X E t t K xy y x xy ),,,()()(),()]}
()()][()({[)]()([),(0000式中f (x,y,t,t ’)是x (y )在截口t (t ’)取值的概率分布密度。类似地
也有标准化了的互相关系数R xy
)()(/),(),(t D t D t t K t t R y x xy xy ''=' （4.12）
它也仅变动于+1到-1之间。
相关函数显然有对称性
),(),(t t K t t K x x '=' （4.13）
对互相关函数类似有
),(),(t t K t t K yx xy '=' （4.14）
如果我们分析例如各年5月1日的气压与5月2日、3日、
4日……的气压的相关矩的变化，它实际上就是一个随机过程
（气压）的自相关函数。如研究气压与气温的如上各日的相
关矩的变化，则就是研究气压和气温这两个随机过程的互相
关函数。这一类例子在介绍平稳过程时再给出图例。
原书91-132页
97
3、随机过程的运算
气温、降水的逐日变化我们可以视为随机过程来研究。
那么像滑动平均的气温、降水（如滑动的时间长度为一候、
一旬、一个月等）随时间的变化当然也可以视为另一些随机
过程来研究。现在问这些不同的随机过程之间有什么关系？！
它们的数学期望和相关函数又有什么关系？显然如果我们对
日气温这一随机过程作了充分研究，并且知道它与候、旬、
月气温这些随机过程的统计特性有什么关系，那么直接从日
气温的规律中推算出长、中期预告常用的这些候、旬、月气
温的统计规律，这就可以克服长期预告中经常遇到的统计样
本不足的困难。
这一类问题还可以举出很多，它们都可归入随机过程的
运算问题而统一研究之。现把一些常用计算介绍一下。
设随机过程X (t )为两个随机过程X 1(t ), X 2(t )之和，那么X (t )
的数学期望和相关函数分别
)()()(21t E t E t E x += （4．15）
),(),(),(),(),(1,22,121t t K t t K t t K t t K t t K x '+'+'+'=' （4．16）
式中右下标号“1”、“2”、“1，2”等分别代表x 1,x 2和x 1与x 2
等。
如果X （t ）是n 个随机过程的和
∑==n
i i t X t X 1)()(E
则有
∑==n i i x t E t E 1)()( （4．17）
原书91-132页
98
∑='='n
j i j i x t t K t t K 1,,),(),( （4．18） 如各X i ，X j 彼此独立，则在i ≠j 时有K x,j =0，这时上式简
化为
∑='='n i i x t t K t t K 1),(),( （4.19）
如对随机过程X （t ）进行微分得另一随机过程Y (t )，即
)]([)(t X dt
d t Y =
则Y 的数学期望E y (t )和相关函数K y (t, t ’) 与X 的数学期
望E x (t )和K x (t, t ’)有如下关系
)]([)(t E dt
d t E x y = （4.20） t t t t K t t K x y '
??'?='),(),(2 （4.21）
4、马尔科夫过程
（1）马尔科夫过程的定义
随机过程这一概念本身反映了人们对变量X 在不同时刻
的取值的关系很重视。马尔科夫过程就是一种前后有联系，
而这种联系又比较简单的一种随机过程。它的基本含义就是
一个随机过程的未来状态仅与已知的最后时刻处于什么状态
有关，而与更早的状态无关。
如以x 1,x 0,x -1,x -2…分别代表随机过程X （t ）在t 1, t 0, t -1, t -2…
时刻的值，则马尔科夫过程就是指满足如下概率关系的过程
...),,,(),()(210110101---==x x x x p x x x p x x p （4.22）
原书91-132页
99
这是一个条件概率的式子，它表明已知x 0时，下一时刻
的x 值的条件概率分布等于t =t 0, t =t -1, t =t -2,…甚至更早时刻的
x 值为已知时所得的条件概率。
人们常称马尔科夫过程是无后效后。这是指这种过程的
历史状态对未来状态的影响全部集中于最后时刻的状态中。
历史状态不会对这一过程的未来状态提供比最后已知时刻的
状态更多的信息。
如马乐科夫过程的状态仅取离散的状态，时间也是仅取
等步长的间隔，则这种状态离散、时间离散的马尔科夫过程
称为马尔科夫链。
严格地说以上定义的仅是简单的（一重的）马尔科夫链。
如其条件概率与前两个（n 个）状态有关，则称为二重（n 重）
马尔科夫链。在数学上可以将它们变成一重马尔科夫链来处
理[27]。
如前叙的条件概率只与序列的相对位置有关，而与时间
的绝对位置无关时，则说它有时齐性（与以后讲的平稳性是
一致的）。这样对于有时齐性的马尔科夫链有下面的等式
...)()()(231201===x x p x x p x x p （4.23）
当分析气象问题时因不同季节条件概率常有差别，所以
气象问题不一定满足时齐性关系。不过有时我们近似的认为
在某一不长时段中具有此性质。而在不同时段选用不同的条
件概率。
一个序列如是马尔科夫链，常说它有马尔科夫性质。
（2）马尔科夫链的转移阵
如果X 一共有k 个状态E 1，E 2，…E k 。现以p ij 代表已知
前一时刻X 处于E i 状态，下一时刻它处于E j 状态的条件概率。
那么由于i 和j 各有k 个取值，故p ij 有k ×k 个取值。我们可
原书91-132页
100
以用之组成一个表示状态转移的条件概率矩阵[p ij ]。即有
????????????=kk k k k k ij p p p p p p p p p .....................][21
2222111211p （4.24） 由于从任一状态E i 出发必然转变成E 1，E 2，…E k 中的一
个状态。所以矩阵中每一行与一个完备事件对应。这样在一
行的条件概率之和为1。即有
11=∑=ij
k
j p （4.25） 由于条件概率都≥0，故转移矩阵中每一元素都≥0。
（3）卡普曼-哥尔莫哥洛夫方程和高阶转移矩阵
马尔科夫过程虽然是历史对未来的全部影响集中于已知
的最后时刻的状态中,但什么是最后,在不同场合却可以不同。
如逐日的晴雨转移具有马尔科夫性质时，则就意味着明天的
晴雨仅与今天的状态有关，而与昨天的晴雨无关。但研究后
天的晴雨状况时，我所已知的最后时刻的状态就不是与后天
相隔一个时间步长，而是两个时间步长（两天）了。这时马
尔科夫性质体现为两个时间步长后的状态仅与现状有关，而
与更早的状态无关。这里本来明天的状态与后天的状态关系
更大，但因为尚不知明天状况，所以已知的最后状态就与后
天隔了两个时间步长。
我们已知有了相隔一个时间步长的条件概率的转移矩
阵，现在来研究相隔为n 个时间步长的条件概率p ij (n )的性质。
为此我们把n 步的转移分解为m 步和n-m 步（m ＞0，并小于
n ），从而得图4.3。图中从左向右表示X 的依时序的取值。在
原书91-132页
101 最初它处于E i 状态，经m 步转移以后它可能处于E 1，E 2…E k
中任一状态。再经n-m 步（共经n 步）到达E i 状态。从E i 经
m 步到E r 状态再经n-m 步到E j 状态的概率现以p irj (n )表示之。
由于这是马尔科夫链，所以它从E r 经n-m 步转入E j 的概率是
一它在前m 步中从何种状态转入E r 状态的概率是独立无关
的。故可应用概率乘法定理而有
)()()(m n p m p n p rj ir irj -= (0＜m ＜n ） （4.26）
经n 步从E i 到E j 状态时在第m 步时依图4.3可以有k 个
状态(途径)。故用概率加法定理于图4.3场合可得
∑=-=k
r rj ir ij m n p m p n p 1)()()( (0＜m ＜n ） （4.27）
这个把不同步长转移概率联系起来的公式常称为卡普曼-
哥尔莫哥洛夫方程。
图4.3 n 步转移的分解
如令m =1则上式变成 ∑==+k
r rj ir ij n p p n p 1)()1()1(（4.28）
显然p ir (1)就是最初讨论的一步转移概率p ij 。对p ij (n )常称
为n 阶转移概率。由于i 和j 分别有n 个不同值，故由
原书91-132页102
原书91-132页103
原书91-132页
104
p ij 就又组成了一个n 阶转移矩阵
????
?
???????=)(...)()(...............)()()(...)()()]([21)(2222111211n p n p n p p n p n p n p n p n p n kk k k n k k ij P （4.29）
注意到矩阵乘法的规则，方程（4.28）就可以用矩阵自乘全部表示出来。从而有 [][][])()1(n n ij ij ij P P P ?=+ （4.30）
逐步应用此关系可以进而得出n 阶转移阵[P ij (n )]为一阶转移阵[P ij ]的n 次自乘。即
[P ij (n )]=[ P ij ]n （4.31） 所以只要有了一步转移矩阵，自乘n 次即得n 阶转移矩阵。
（4）气象上马尔科夫链的例子
马尔科夫过程应用于气象上现在尚处于开始阶段。在早年就有苏联人对各种环流型的转换用马尔科夫链分析它。一般认为晴雨、旱涝、高温、低温等很多气象要素都可以从马尔科夫过程的角度分析[28，25]
晴雨逐日的转换具有马尔科夫性质已被一些人研究过。现举一个乌鲁木齐的例子。表4.1是14年的4月份逐日降水有无实况。这里共有420个样本，我们以频率代替概率近似算得
无降水概率 p （无）=0.74
有降水概率 p （有）=0.26
此外，我们还可以统计出已知前一天有无降水时当天出现降水或无降水的条件概率，以至前2-5天的天气状况已知
时当日的降水有无的条件概率。这些条件概率的统计结果都列于表4.2中。它表示了从实际资料统计出来的一至五阶转移阵实况。
原书91-132页105
如果这一降水序列有马尔科夫性质，那么用（4.31）式的矩阵自乘办法求得的理论的高阶转移阵就应当与实际算的表4.2资料相等。表4.3就是我们用（4.31）式算得的一、二、三、四、五阶转移阵。
比较实际转移阵表4.2与假设具有马尔科夫性质后用矩阵自乘求得的表4.3可以看出它们几乎完全一样。这就说明了我们研究的随机过程具有马尔科夫性质。
应当指出，用一阶移阵可作一个时间步长（现在为一天）的预告。用二、三、四、五阶的转移阵就可以作二、三、四、五个进间步长的预告。而不同时效的预告的这个关系——转移阵之间的关系是严格遵守矩阵自乘的数学关系的。这是一个联系中、短期气象预告的严整统计数学关系。这里也引出了一个问题，即逐次自乘下去我们岂不是可以用它作长期预告了吗？实际上表4.3表身回答了这个问题。即随着自乘阶数的增加，转移阵逐步与初始状态无关了。这反映在表 4.3中后3天（自乘3，4，5次）已经完全一样了。再注意一下表中的数字可以发现它们分别与降水有无的气候概率（0.26，0.74）完全相等。即随表4.3一阶转移阵的各次自乘着转移次数的增加，矩阵中处列趋于同一个数值。这个数值恰好是气候概率。用气象预告的语言说，就是预告本领随着时间的拉长而下降到与气候概率一致的水平上。
原书91-132页106
这个情况是这个特例独有的，还是有普遍性？极限定理回答了这个问题。
原书91-132页107
原书91-132页
108
（5）各态历经性质与极限定理
各态历经也称遍历性，有时音译为挨尔过得（ergodic ）是某些随机过程的重要性质。直观上可以理解为对于随机程的每一个现实而言，它的变迹（经历）中都要含有全部可能出现的状态中的任意一个状态，即所谓“遍历”、“各态历经”。对马尔科夫链来说，可理解为任一序列中，从任何状态经过有限步的转移到任意一个可能状态的转移概率大于零（不能等于零）。
在上例中由于一阶转称阵中各元素都大于零，所以它就是具有各态历经性质的。但对其他的过程来说有时一阶转移阵中有的元素为零，而到了一个高阶阵时各元素皆大于零，这时仍是各态历经的。从矩阵乘法知，这时更高阶的转移阵的元素必然都大于零。
对于具有各态历经性质的马尔科夫链有如下的极限定理
????
?
???????=∞→k k k n ij p p p p p p p p p n p .....................)]([lim 2121
21 （4.32） 存在。即转移阵的阶数n 趋于无穷大时，转移阵中每列的数值变成完全一样了。在我们的问题中它就是气候概率，一般来说它就是无条件概率。对矩阵中每一个元素则对应有
i n ij p n p =∞
→)]([lim （4．32）
p j 就是无条件概率。此式清楚地表明当n 充分大时历史
状况对未来就没有什么影响了。在我们的例子中实际n=3，4，5就已经是充分大了。这表明它趋于气候概率的速度很快。
5、平稳随机过程
从是否“平稳”的角度来划分随机过程对于研究它们有很大好处与方便。这里先对平稳随机过程作简单介绍。
（1）平稳随机过程的定义
对于一个随机过程X(t)来说，它在任意n个截口t1，t2,……t n上如果X的取值的联合概率分布与t1+t2, 这n个截口上取值的联合概率分布相同，则说此随机过程的狭义平稳的。
简言之，狭义平稳是说随机过程的任意维联合概率分布与时间的平移无关。
如果随机过程在各截口上的数学期望为同一个常量，而自相关函数仅是时间间隔的函数则称为广义平稳随机过程。
用数学式子可以对它表示为
E[X(t)]=C （4.34）
K x(t,t’)=Kx(t-t’)
K x(t,t’)= Kx (τ) （4.35）
例如某地1月份气压为一个随机过程。从统计上如得出多年平均的1月1日气压与1月10日的气压或任何其他日子的气压都相等，则就满足了（4.34）式。如果1日与5日的相关矩和5月与10日的相关矩相等。而且任意相隔五天的相关矩都相等以及任意相隔n天的相关矩的大小仅与n有关则就满足了（4.35）式。这样就说它是广义平稳随机过程。原书91-132页109
随机过程答案4(1)
第四章 第五章 习题 4.4 设解析信号()Z t 为?()()()Z t X t jX t =+，证明{()()}0E Z t Z t τ-= 证明： （隐含条件：二阶平稳）由希尔伯特变换的性质有?()()X X R R ττ=； ??????{()()}{[()()][()()]}()()[()()] XX XX XX XX E Z t Z t E X t jX t X t jX t R R j R R τττττττ-=+-+-=-++ 由希 ??()()XX XX R R ττ=； ??()?(){[()()]}[()]()() () ?[]()()?()[()()][()]()() () ?[ ]()XX XX XX XX X t R E X t X t E X t d X t X t R E d d R X t R E X t X t E X t d X t X t R E d d R τξττξπξ τξξτξξτπξ πξ ξτττξπξ ξτξτξξτπξ πξ +∞ -∞ +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ +∞ +∞ -∞ -∞ -+=-=--+-= - = - =--=-=----= = =? ? ? ? ? ? 即??()()XX XX R R ττ=- 故{()()}0E Z t Z t τ-= 4.12 试证明均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻包络平方的数学期望为2，方差为4。 证明：设该窄带平稳高斯过程为000()()cos[()]()cos ()cos c s Y t A t t t A t t A t t ωφωω=+=- ∴[()]0E Y t = 2[()]1E Y t = 而Y(t)包络的平方为222()()()c s A t A t A t =+ 由00 00?()()cos ()sin ?()()sin ()cos c s A t Y t t Y t t A t Y t t Y t t ωωωω?=+??=-+??易知A c (t)和A s (t)是在同一时刻相互独立的高斯过程 且[()][()]0c s E A t E A t == 22[()][()](0)1c s Y E A t E A t R === ∴ 2 [()]2E A t = 242244224422[()][()][()][()()2()()]4 [()][()]2[()()]4332144 c s c s c s c s D A t E A t E A t E A t A t A t A t E A t E A t E A t A t =-=++-=++-=++-= 即证
随机过程-习题-第6章
6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ
∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B
第十二章 平稳随机过程
第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为
上海大学随机过程第六章习题与答案
第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概 率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 22 1 0000 202220 20 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+? ?++?????? P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则
（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于 11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ========L L L L L 因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依 次 类 推 ， 1121 n n X U U U --=+++L 为 1 n U -的函数，记为 1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互 独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而 12211122111 1112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L 因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果 max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻 n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足
随机过程-习题-第4章-01-精选.
4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+=
随机过程-习题-第6章
| . 设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ???? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 > ∑== 'n i i jat t j 1 μ ( )()),,,(21 2 232222212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ
=22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ ∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=--=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ . 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|, |,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求的特征函数。 [ 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 1：正态过程或者高斯过程 设{(),}X t t T ∈是随机过程，若对任意正整数n 和1212,,,,((),(),,())n n t t t T X t X t X t ???∈???是n 维正态随机变量，则称{(),}X t t T ∈是正态过程或者高斯过程。 2：维纳过程的定义 3：广义平稳过程=宽平稳过程 若两个随机过程X(t)和Y(t)的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此两个过程为联合严平稳。 4：二维联合分布函数 5：半角公式和全角公式 . cos2α = 2(cos α)^2 ? 1 cos2α = 1 ? 2(sin α)^2 cos2α = (cos α)^2 ? (sin α)^2 6 ： 7：一维概率密度族 (,)X s t ρ= ,0s t > 第三章：泊松过程 1：称计数过程{(),0}X t t ≥为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件： （1）(0)0X =; （2）()X t 是独立增量过程； （3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0λ>的泊松分布，即对任意 ,0s t ≥，有 ()(()()),0,1,...! n t t P X t s X s n e n n λλ-+-=== [()]E X t t λ= 2：定义3.3说明，在充分小的时间间隔内容，最多有一个时间发生，而不能同时有两个或者两个以上事件同时发生。 3：[()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- s 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 第三章习题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为 r ，其中 p, q, r 0, p q r 1 ，设每局比赛后，胜者得 1 分，负者得1分，平局不记分，当两个人中有一个人得到 2 分时比赛结束，以X n表示比赛至第n 局时甲获得的分数， 则{ X n , n 1} 是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率 . 解（ 1）{ X n, n0} 的状态空间为 S { 2, 1,0,1,2} （ 2）{ X n, n 0} 的一步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q r p 0 0 P 0 q r p 0 0 0 q r p 0 0 0 0 1 （ 3）因为两步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q rq r 2 pq 2 pr p2 0 P(2) P 2 q2 2rq r 2 2 pq 2 pr p2 0 q2 2qr pq r 2 p pr 0 0 0 0 1 所以在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率为 p12(2) p pr p(1 r ) 2．设{ Y i,i 1,2,L } 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{ Y i,i 1,2,L } 是否为Markov链？ n （2）令X n Y i，问 { X i , i 1,2,L } 是否为Markov链？ i 1 解（ 1）由于 P(Y n j Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 P(Y 1 i 1, Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 i ,Y n j ) i) P(Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L , Y n 1 i) P(Y 1 i 1 )P(Y 2 i 2 )L P(Y n 1 i )P(Y n j ) j ) P(Y n j Y n 1 i ) 1 i 2 , L ,Y n 1 i ) P(Y n P(Y i 1 ,Y 2 因此， { Y n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . （ 2）取 f 1 (U 1 ) X 1 U 1 ，当 U 1 i 1 时， X 2 U 1 U 2 是 U 2 的函数，记为 f 2 (U 2 ). 依 次类推， X n 1 U 1 U 2 L U n 1 为 U n 1 的函数，记为 f n 1 (U n 1 ), X n U 1 U 2 L U n 为 U n 的 函 数 ， 记 为 f n (U n ). 由 于 U 1,U 2 ,L ,U n ,L 相 互 独 立 ， 则 其 相 应 的 函 数 f 1 (U 1), f 2 (U 2 ),L , f n (U n ),L 也相互独立，从而 n P( X n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) P( Y i j X 1 i 1, X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) i 1 P( X n 1 Y n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i) P(Y n j i ) P( X n j X n 1 i ) 因此 { X n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . 3 设 X i , i 1,2,L 是相互独立的随机变量，且使得 P( X i j ) a j , j 0,1,L ，如 果 X n max{ X i ,i 1,2,L ,n 1} ，其中 X 0 ，就称在时刻 n 产生了一个记录 .若在时刻 n 产生了一个记录，就称 X n 为记录值，以 R n 表示第 n 个记录值 . （1）证明， { R n , n 1,2,L } 是 Markov 链，并求其转移概率； （2）以 T i 表示第 i 个与第 i 1 记录之间的时间， 问 { T n , n 1,2,L } 是否是 Markov 链，若是， 则计算其转移概率 . 明 ：（ a ） 根 据 意 有 ： R 1 X n 1 , R 2 X n 2 ,....R k X n k ， ? ? 足 X n 1 X n 2 .... X n k .... 且 1 n 1 n 2 .... n k .... 故 P{ R k 1 z | R k i k , R k 1 i k 1 ,...R 1 i 1} P{ R k 1 z | j i k i k 1 ... i 1} P{ R k 1 z | j i k } P{ R k 1 z | R k i k } 故 { R i , i 1} 是一个 可夫 且 第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝 1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互 独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。 2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程， A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。 （1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2 t N t X σμ。令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。 4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机 变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。 5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分 布。 （1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由； （2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。 6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足： {}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2； 令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。 7、 设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。并问此过程是否是平稳过程，是否连续、可导？ 8、 设}),({R t t X ∈是连续平稳过程，均值为m ，协方差函数为ττb X ae C -=)(，其中:R ∈τ，0,>b a 。对固定的0>T ，令?-=T ds s X T Y 01)(，证明：m Y E =}{, )]1()()[(2)(21bT e bT bT a Y Var -----=。 9、 设),,,0,0(~),(2221ρσσN Y X ，令tY X t X +=)(，以及?=t du u X t Y 0)()(， 第六章 平稳随机过程 6.1平稳过程的概念与例子 第二章2.4中介绍了严平稳过程与宽平稳过程.在自然科学,工程技术中人们常遇到这类过程,例如纺织过程员棉纱截面积的变化;导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动;军舰在海浪中的颠波;通讯中的干扰噪声等等.它们都是可用平稳过程描述.这类过程一方面受到随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特是,当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变 . 由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的,在应用中比较难以确定,而宽平稳过程的判别只涉及一二阶矩的确定,在实际中比较容易获得,因此我们主要研究宽平稳过程.这种仅研究与过程一二阶矩有关性质的理论,这就是所谓相关理论.对于正态过程,由于其宽平稳性与严平稳性是等价的,故用相关理论研究它显得特别方便.本书后面涉及的.主要是宽平稳过程,简称它为平稳过程. 例6.1 设,...}2,1,0,{,±±=n X n 是实的互不相关随机变量序列,且,0][=n X E 2 ][σ =n X D ,试讨论随机序列的平稳性. 解 因为,0][=n X E ???≠===--, 0,00,],[),(2ττσττ n n X X X E n n R 其中τ为整数,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与τ有关,因此它是平稳序列. 在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动,通讯设备中电流或电压的波动等,这是一种较简单的随机干扰的数学模型. 例6.2设,...}2,1,0,{,±±=n Z n 为复随机序列,且,0][=n Z E mn n m n Z Z E δσ2][=, ,...) 2,1,0(,2±±=∞<∑∞ -∞ =n w n n n σ 为实数序列.对于每一个t,可以证明级数 t iw n n n e Z ∑∞ -∞ =在 均方意义下收敛.令 X(t)= t iw n n n e Z ∑ ∞ -∞ = 利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得 E t X E =)]([[ t iw n n n e Z ∑∞ -∞ =]=0, [ )]()([E t X t X E =-τt iw n n n e Z ∑ ∞ -∞ =, ]) (∑ ∞ = ∞--n t iwm m e Z τ 第四章 平稳随机过程 第一节 平稳过程的概念 一、两类平稳过程 1.严平稳过程 定义1 设 为随机过程，如果对任意正整数n 及任意 ， 及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量 与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即 的n 维分布函数Fn 满足： ),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切 ,2,1,=i x i 成立 则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。 定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有 证：首先利用柯西—许瓦兹不等式 可以证明 ，即自相关函数存在。 又由于 为严平稳过程，故对任意 有相同的分布， 所以 再由s 、t 的任意性可知 又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有 ))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是 []) ,()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程 定义2 设有随机过程 ，且对任意t ， ，如果 ) (),()(ττμX X X R t t R t =+=常数 则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。 以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。 严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。 二、平稳过程的数字特征 设 为平稳过程，且 ，则 )]([t X E X =μ为常数，称其为均值。 )]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数） )]([22t X E X =ψ为常数，（均方值） （已经编辑到115页2008-3-20） 第四章随机过程 （电子版：盛艳霞OCR，编辑张学文2007.12 -2008.01） 1. 随机过程的概念及其分布律 原书91-132页90 第四章随机过程 为了从统计角度研究气象要素随时间和空间的变化,最好是利用近数十年发展起来的一个统计数学分支----随机过程和随机场理论。为研究气象信息随时间和空间的分布也要对随机过程有所了解。针对如上情况我们在这一章对随机过程的有关概念、性质和在气象上的个别应用作简要介绍。 1、随机过程的概念及其分布律 孤立的研究各点的气压、温度或风等气象要素时，我们把它看成随机变量（矢量）。这时可以分析它的期望值、方差、概率分布等等。 然而当把不同时刻的同一点的气压、温度或风连贯起来看时，这就是一连串的随机变量（矢量）。它们以时间为参数而有所变化。随机变量随某一参数（这里指时间）的变化给人们以过程的概念。所以就把随机变量随参数值的变化而变化的过程这一总体称为随机过程。 当掷骰子时，骰子出现的点数是随机变量。某次“3”点向上，就说这一次随机变量取值为3。而我们所谓的随机变量远不仅只有一个“3”，而应理解为很多次点子数的集合。同样地，随机过程一词也是指一个总体集合，而不是仅指某一时段的变量取值。例如说“春季北京的气温是一个随机过程”，则是指很多很多年的每年春季北京的气温的变化过程这个总体而言的。如1978年北京春季气温的变程仅是总体中的一个个例。它在随机过程中的地位和骰子为“3”点在随机变量中原书91-132页91 的地位是相当的。我们把这一条春季气温曲线称为这个随机过程的一个“现实”这样一个随机过程实际上是由无数具有同一的统计属性的现实组成的。 图4.1是乌鲁木齐冬季1月份的四年的气温曲线。它们就代表了1月气温这个随机过程的四个现实。而这一随机过程应为无数条这种曲线组成。如以T示表气温，y代表年代，d 代表日期，则一个随机过程可以表示为 T=T(y,d) （4．1） 图4.1 乌鲁木齐1月份气温曲线、 式中y有固定值时，例如y=1963年，则得到随机过程的一个现实。如d取固定值（如d=1）则T表示不同年份的这一天（元旦）的气温。这时同一d值不同y值的气温实为一随机变量。时常把这同一的时间d叫作“截口”。所以一个随机过原书91-132页92 关于平稳过程中的各态历经性的综述 首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当 12,,n t h t h t h T +++∈…,时，n 维随机变量 （X(1t ),X(2t ),…,X(t n )） 和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。 在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。 但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。 定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即 〈X （t ）〉=1lim ()2T T T X t dt T -→∞ ? 存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。 定义 设X （t ）是一均方连续平稳随机过程，且对于固定的τ，()X t X t τ（+）也是连续平稳随机过程，〈()X t X t τ（+）〉 代表()X t X t τ（+）沿整个时间轴的平均值，即 ()X t X t τ（+）=1lim (+)()2T T T X t X t dt T τ-→∞ ? 若〈()X t X t τ（+）〉存在，称〈()X t X t τ（+）〉为X （τ）的时间相关函数。又 4.17 4.18 4.19 设有图题4-19所示的电路，其中W 0(t )为输入的随机过程，W 0(t )为标准维纳过程（即4.18中的z (t )，且其1=β）；其输出为)(t ξ=W 0(t )-W 0(t -1)。求)(t ξ的均值和相关函数。 图题4-19 解：由于W 0(t )为标准维纳过程，则E [W 0(t )]=0。因此 0)]1()([)]([00=--=t W t W E t E ξ )(t ξ的相关函数为 )]}1()()][1()({[),(2020101021----=t W t W t W t W E t t R ξ ) (t W 假设t 1 第六章 平稳时间序列模型 时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。 第一节 基本概念 一、随机过程 在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。 还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能 只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量。若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，｛t ξ｝就是一个随机过程。又例如，某国某年的GNP 总量，是一个随机变量，但若考随机过程复习小结
随机过程-习题-第4章
(完整版)上海大学随机过程第六章习题及答案.doc
《随机过程答案》第四章习题
第六章平稳随机过程
第四章 平稳随机过程
第四章随机过程
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
随机过程-习题-第4章-02
六章 平稳时间序列
- 上海大学随机过程第六章习题与答案
- 随机过程-习题-第6章
- 6第六章正态随机过程
- 13第六章正态随机过程
- 随机过程-习题-第6章
- 随机过程第六章
- 中南随机过程第六章
- (完整版)上海大学随机过程第六章习题及答案
- 第六章 平稳随机过程
- 上海大学随机过程第六章习题及答案
- 上海大学随机过程第六章习题及答案
- 《信息与通信工程中的随机过程》习题解答 第6章
- 随机过程第四版 Ch6 刘次华 研究生课件
- 2012-2013秋季学期《随机过程》第六章习题
- 随机过程第6章习题
- 第六章平稳随机过程
- 第6章 随机过程通过非线性系统分析
- 上海大学随机过程第六章习题及答案
- 随机过程第六章
- 上海大学随机过程第六章习题及标准答案