2013届高三数学 章末综合测试题(6)平面向量、数系的扩充与复数的引入(1)

2013届高三数学章末综合测试题（6）平面向量、数系的扩充与

复数的引入

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知向量a ，b 且A B →＝a ＋2b ，B C →＝－5a ＋6b ，C D →

＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )

A ．A ，

B ，D B ．A ，B ，

C C ．B ，C ，D

D ．A ，C ，D

解析 A 由题意B D →＝2a ＋4b ＝2AB →

，故A ，B ，D 共线． 2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，B C →＋B A →＝2BP →

，则( )

A ．P A →＋P

B →＝0 B ．P

C →＋P A →＝0 C ．P B →

＋P C →

＝0

D ．P A →

＋P B →

＋P C →

＝0

解析 B 因为B C →＋B A →＝2BP →

，所以点P 为线段AC 的中点，故选B.

3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →

＝0，那么()

A.AO →＝OD →

B.AO →＝2OD →

C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →

解析 A 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →

. 4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝ 5.若(a ＋b )2c ＝5

2，则a 与c 的夹角

为( )

A.

π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

解析 C a ＋b ＝(－1，－2)＝－a ，所以a 与c 的夹角即a ＋b 与c 的夹角的补角． 设a ＋b 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ＋b 2c |a ＋b||c|＝52

535＝12，故θ＝π

3，

则a 与c 的

夹角为2π

3

.

5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →

＝

λOA →＋OB →

(λ∈R )，则λ的值为( )

A ．1 B.13 C.12 D.2

3

解析 A 如图，过C 作CE ⊥x 轴于点E ，则|OE |＝|CE |＝2，所 以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →

，所以(－2,0)＝ λ(－3,0)，故λ＝2

3

.故选A.

6．(20112湖南十二校联考)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)2(AD →

－CD →

)

＝0，则三角形ABC 是( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

解析 B (AB →－BC →)2(AD →－CD →)＝(AB →－BC →)2(AD →＋DC →)＝(AB →－BC →)2AC →＝(AB →

－ BC →)2(AB →＋BC →)＝|AB →|2－|BC →|2＝0，故|AB →|＝|BC →

|，即△ABC 是等腰三角形． 7．(20112杭州月考)已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝

?

??

??

1＋x ， x ∈R ，1－i x ， x ?R ，则

f (1＋i)＝( )

A ．－2

B ．0

C ．2

D ．2＋i

解析 C ∵(1＋i)?R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝1－i 2＝2. 8．如图所示，非零向量O A →＝a ，O B →

＝b ，且BC ⊥OA ，C 为

垂足，若O C →

＝λa (λ≠0)，

则λ＝( )

A.a2b |a|2

B.

a2b

|a||b| C.

a2b |b|2 D.

|a||b|

a2b 解析 A B C →

⊥O A →

，即B C →

⊥O C →

?(O C →

－O B →

)2O C →

＝0?|O C →

|2

－O B →2O C →

＝0， 即λ2

|a |2

－λa2b ＝0，解得λ＝

a2b

|a|2

. 9．(20112济南一模)设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i

2

是实数，则a ＝( )

A.1

2

B ．－1

C ．1

D ．2

解析 B 因为a 1＋i ＋1－i 2＝

a 1－i 2

＋

1－i 2＝a ＋12－a ＋1

2

i 是实数，所以a ＝－1. 10．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →2P B →

＝x 2

，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析 D ∵P A →＝(－2－x ，－y )，P B →＝(3－x ，－y )，P A →2P B →

＝x 2， ∴(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，化简得y 2＝x ＋6.

11．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A.

π6 B.π4 C.π3 D.π

2

解析 B 由a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，得b ＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)．设向量a ，

b 的夹

角为θ，则cos θ＝

a2b |a||b|＝222＝22，θ＝π

4

.

12．(20112宝坻质量调查)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，满足2OA →＋AB →＋AC →

＝0(其 中O 为坐标原点)，又|AB →|＝|OA →|，则向量BA →在向量BC →

方向上的投影为( )

A ．1

B ．－1 C.12 D ．－1

2

解析 C 由2OA →＋AB →＋AC →＝(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝OB →＋OC →＝0，得OB →＝－OC →

， 即O ，B ，C 三点共线．又|AB →|＝|OA →|＝1，故向量BA →在向量BC →

方向上的投影为 |BA →

|cos π3＝12

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝________. 解析 ∵a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，∴b ＝(1,2)， ∴cos θ＝

a2b |a||b|＝93235＝310

10

【答案】

310

10

14．如果复数z ＝2－b i

1＋i

(b ∈R )的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于________． 解析 z ＝

2－b i 1－i 1＋i 1－i ＝

2－b 2－2＋b 2i ，由2－b 2＝2＋b

2

，得b ＝0. 【答案】 0

15．(20112宣城调研)已知i 是虚数单位，复数z 满足i

z ＋i

＝2－i ，则z ＝________. 解析 由题意得，z ＝i 2－i

－i ＝i 2＋i 5

－i ＝－15－3

5

i.

【答案】 －15－3

5

i

16．对于n 个向量a 1，a 2，…，a n ，若存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得

k 1a 1＋k 2a 2＋…＋k n a n ＝0成立，则称向量a 1，a 2，…，a n 是线性相关的．按此规定，能使向量a 1＝(1,0)，a 2＝(1，－1)，a 3＝(2,2)是线性相关的实数k 1，k 2，k 3的值依次为________(只

需写出一组值即可)．

解析 根据线性相关的定义，

得k 1(1,0)＋k 2(1，－1)＋k 3(2,2)＝0????

??

k 1＋k 2＋2k 3＝0，－k 2＋2k 3＝0，

令k 3＝1，则k 2＝2，k 1＝－4，∴k 1，k 2，k 3的一组值为－4,2,1. 【答案】 －4,2,1

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分) 如图，在任意四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，证明： AB →＋DC →＝2EF →

.

解析 因为F 为BC 的中点，所以BF →＋CF →

＝0， 连接AF ，DF ，则有AB →＋DC →＝AB →＋DC →＋BF →＋CF →

＝

AB →＋BF →＋DC →＋CF →＝AF →＋DF →. 而AF →＝AE →＋EF →，DF →＝DE →＋EF →

， 又E 为AD 的中点，所以AE →＋DE →

＝0.

所以AF →＋DF →＝AE →＋EF →＋DE →＋EF →＝2EF →，所以AB →＋DC →＝2EF →

. 18．(12分)计算下列各式的值：

(1)????2i 1＋i 2； (2)2＋4i 1＋i 2 (3)

1＋i

1－i i 3. 解析 (1)????2i 1＋i 2＝

4i

2

1＋i 2

＝

－4

2i

＝2i. (2)

2＋4i 1＋i 2＝

2＋4i

2i

＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3

＝

1＋i 21－i 1＋i ＋i 3＝2i 2

i 3

＝i －i ＝0.

19．(12分)已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且

AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .

解析 建立如图所示的直角坐标系，

设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )．

∵D 是BC 的中点，∴D ???

?0，a

2.

又∵AE →＝2EB →

， 即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，

∴???

?

?

x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，

解得?

????

x ＝a

3，y ＝2

3a .

∵AD →＝????0，a 2－(a,0)＝????－a ，a 2， OE →＝CE →＝????a 3，23a ，

∴AD →2CE →＝－a 3a 3＋233a 2

＝0. ∴AD →⊥CE →

，即AD ⊥CE .

20．(12分)已知点A (2,0)、B (0,2)、C (cos α，sin α)，O 为坐标原点，且0＜α＜π.

(1)若|O A →＋O C →|＝7，求O B →

与O C →

的夹角； (2)若A C →⊥B C →

，求tan α的值． 解析 (1)由已知可得O A →

＝(2,0)，

O C →＝(cos α，sin α)，且|O A →＋O C →

|＝7，

∴2＋cos α2

＋sin 2α＝7，化简得cos α＝1

2

，

∵0＜α＜π，∴sin α＝

32，∴OC →＝? ??

??12，32. 又∵O B →＝(0,2)，∴cos 〈O B →，O C →

〉＝O B →2O C →

|O B →||O C →|

＝32.

又∵〈O B →，O C →〉∈[0，π]，∴〈O B →，O C →

〉＝π6

(2)A C →＝(cos α－2，sin α)，B C →

＝(cos α，sin α－2)， 由A C →⊥B C →

，得(cos α－2，sin α)2(cos α，sin α－2)＝0， 即(cos α－2)cos α＋sin α(sin α－2)＝0，

化简得，sin α＋cos α＝1

2

，

∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1

4，①

∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝14

，

即3tan 2

α＋8tan α＋3＝0，解得tan α＝－4±73

由①得，sin αcos α＝－38＜0且0＜α＜π，∴π

2＜α＜π，又|sin α|＞|cos α|，

∴tan α＝－4＋7

3

.

21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2

＋y 2

－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点

P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .

(1)求k 的取值范围；

(2)是否存在常数k ，使得向量O A →＋O B →与P Q →

共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．

解析 (1)圆的方程可写成(x －6)2

＋y 2

＝4，

所以圆心为Q (6,0)，过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得

x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，

整理，得(1＋k 2

)x 2

＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于

Δ＝[4(k －3)]2－4336(1＋k 2)＝16(－8k 2－6k )＞0， 解得－3

4

＜k ＜0，

即k 的取值范围为???

?－3

4，0.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则O A →＋O B →

＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得，x 1＋x 2＝－

4k －31＋k 2

.②

又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4，③

而P (0,2)，Q (6,0)，P Q →

＝(6，－2)，

∴O A →＋O B →与P Q →

共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)． 将②③代入上式，解得k ＝－3

4

，

又k ∈???

?－3

4，0，∴不存在符合题意的常数k .

22．(12分)已知向量a ＝????cos 32x ，sin 32x ，b ＝????cos x 2，－sin x 2，且x ∈????－π3，π

4.

(1)求a2b 及|a ＋b|；

(2)若f (x )＝a2b －|a ＋b|，求f (x )的最大值和最小值．

解析 (1)a2b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x

2

＝cos 2x ，|a ＋b |＝2＋2cos 2x ＝2|cos

x |，

∵x ∈???

?－

π3，π4，∴cos x >0.∴|a ＋b |＝2cos x .

(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2????cos x －122－3

2.

∵x ∈????－

π3，π4，∴1

2

≤cos x ≤1. ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；

当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.