一、计算题
1.由正态总体抽取容量为20的样本,试求
【答案】因为所以,用表示服从
的随机变量的分布函数值,则
利用统计软件可计算上式.譬如,可使用MATLAB软件计算上式:在命令行输入则给出输入则给出0.0318,直接输入则
一次性给出这里的就表示自由度为k的分布在x处的分布函数值.于是有
2.设是来自均匀分布的一个样本,寻求α与β的无偏估计.
【答案】容易看出,与可分别用来估计但它们都不是无偏估计,
这是因为均匀分布的分布函数与密度函数分别为
由此可导出次序统计量与的密度函数分别为
从而可分别求出它们的期望
这表明:与不是α与β的无偏估计,但做恰当修正后,可获得α与β的无偏估计.把(*)与(**)两式相加与相减可得
或
再使用加减消去法,即可得的无偏估计分别为
3.设为来自的样本,试求假设的似然比检验.
【答案】记样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法可求出在上分别为的MLE,而在上为u的MLE,于是似然比统计量为
通过简单的求导计算可知,函数在(0,1)区间内单调递增,在()上单调递减,于是
从而似然比检验等价于采用做检验统计量,也就是说,似然比检验与传统的双侧卡方检验是等价的.
4.某种绝缘材料的使用寿命T(单位:小时)服从对数正态分布若已知分位数
小时,小时,
【答案】由知对数正态分布的平p分位数为
其中为标准正态分布N(0,1)的分位数,所以根据题意有
将代人上面两式,可解得
5.学生完成一道作业的时间X是一个随机变量,单位为小时.它的密度函数为
(1)确定常数c;
(2)写出X的分布函数;
(3)试求在20分钟内完成一道作业的概率;
(4)试求10分钟以上完成一道作业的概率.
【答案】(1)因为
由此解得c=21.
(2)当x<0时,
当时,
当x>0.5时,
所以X的分布函数为
(3)所求概率为
(4)所求概率为
6.已知某种材料的抗压强度,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:
(1)求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间;
(2)若已知求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间;
(3)求的置信水平为95%的置信区间.
【答案】(1)经计算得,s=35.2176在未知时,的置信水平为95%的置信区间为
查表得,
因而的置信水平为95%的置信区间为
(2)在已知时,的置信水平为95%的置信区间为
查表得,,因而的置信水平为95%的置信区间为
(3)此处,取,查表得,
因而的置信水平为95%的置信区间为
由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239,64.1378].
第一章 事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 (设以百分制记分)。 (2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 (3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产 品的总件数。 (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上 “正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品 就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的 结果。 (5)在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标。 (6)实测某种型号灯泡的寿命。 解(1)},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 (2)}18,,4,3{ =Ω。 (3)},11,10{ =Ω。 (4)=Ω{00,100,0100,0101,0110,1100, 1010,1011,0111,1101,0111,1111},其中 0表示次品,1表示正品。 (5)=Ω{(x,y)| 0 (2)A 与B 都发生,而C 不发生。 (3)A ,B ,C 中至少有一个发生。 (4)A ,B ,C 都发生。 (5)A ,B ,C 都不发生。 (6)A ,B ,C 中不多于一个发生。 (7)A ,B ,C 至少有一个不发生。 (8)A ,B ,C 中至少有两个发生。 解 (1)C B A ,(2)C AB ,(3)C B A ++,(4)ABC , (5)C B A , (6)C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++, (7)C B A ++, (8)BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3.指出下列命题中哪些成立,哪些不成立,并作 图说明。 (1)B B A B A =(2)AB B A = (3)AB B A B =?则若,(4)若 A B B A ??则, (5)C B A C B A = (6)若Φ=AB 且A C ?, 命题人或命题小组负责人签名: 教研室(系)主任签名: 分院(部)领导签名: …………………………………………………………装订线…………………………………………………… 班级: 姓名:_________________学号:___________________座位号 …………………………………………………………密封线…………………………………………………… 一、填空题 (每小题2分,共10分) 1、一射手对同一个目标独立地进行4次射击,若至少命中一次的概率为 81 80 ,则该射手的命中率为 . 2、 设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布,则=)(2X E ____13_____ . 3、 设X 服从参数为10=θ的指数分布,Y )2,3(~2 N ,且X 与Y 相互独立,Y X Z 23-=, 则=)(Z D ___916_____. 4、已知5.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ,则=+)(Y X D 19_ . 5、设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 为来自X 的简单随机样本,则 ~1 1 ∑== n i i X n X ),(2 n N σμ. 二、单项选择题 (每小题2分,共10分) (1)对于任意两事件A 和B ,=-)(B A P C . (A ))()(B P A P - (B ))()()(AB P B P A P +- (C ) )()(AB P A P - (D ))()()(B A P A P A P -+ 2、.对于任意两个随机变量,若)()()(Y E X E XY E =则____B _____. (A))()()(Y D X D XY D = (B))()()(Y D X D Y X D +=+ (C) X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 相互不独立 3、设Y X ,相互独立,X 和Y 的分布律分别为 ,则必有 D . (A )Y X = (B ){}0==Y X P (C ){}1==Y X P (D ){}58.0==Y X P 4、 在假设检验中,原假设0H ,备择假设1H ,则称_____D _____ 为犯第二类错误 (A)10H H 为真,接受 (B) 00H H 不真,拒绝 (C) 10H H 为真,拒绝 (D) 00H H 不真,接受 5、 已知341.1)15(90.0-=t 。设随机变量X 服从自由度为15的t 分布,若90.0)(= 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中 随机地取一个球,求取到红球的概率。 2014年复旦大学431金融学综合[专业硕士]考研真题(含部分答案) 一、名词解释(5分×5=25分) 1.IPO折价 答:略。 2.消极投资策略 答:略。 3.金融深化 答:金融深化是指为实现经济迅速增长而必须实现一系列的金融自由化的政策。核心是促进实际货币需求的增长,其内容包括:取消不恰当的利率限制;控制名义货币的增长率;放松汇率限制;财政改革;放松对金融业过多的限制,允许金融机构之间开展竞争;大力发展各类金融市场,增加金融工具等。理论贡献有:①强调了金融体制和政策在经济发展中的核心地位,第一次把金融和经济发展密切结合起来;②批判了传统的经济理论,主张发展中国家的货币和实物资本具有互补性;③剖析了外源性融资的危害,主张发展中国家应依靠内源性融资;④主张发展中国家应注意促进中小企业的改造和提高,而不能只重视大企业。 4.杠杠收购 5.熊猫债券 答:略。 二、选择题(5分×5=25分) 1.久期最长的是()。 A.8年期零息债券 B.8年期,息票率为8% C.10年期零息债券 D.10年期,息票率为8% 【答案】C 【解析】久期定理:①只有贴现债券的久期等于它们的到期时间;②直接债券的久期小于或等于它们的到期时间。 2.有关普通股、优先股的股东权益不正确的是()。 A.普通股有公司的经营权 B.优先股一般不享有经营权 C.普通股不可退股 【答案】D 【解析】优先股股东不能要求退股,却可以依照优先股股票上所附的赎回条款,由股份有限公司予以赎回。 3.偿债率()。 A.外债余额/国内总值 B.外债余额/国民总值 C.外债余额/出口外汇收入 D.外债还本付息额/出口外汇收入 【答案】D 【解析】偿债率是指当年还本付息额占当年出口收入的比重。 4.不是我国货币M2统计口径()。 A.企业活期 B.企业定期 C.居民储备存款 D.商业票据 【答案】D 【解析】我国对货币层次的划分是: 习 题二 1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大 号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出 的次品个数,求: (1) X 的分布律; (2) X 的分布函数并作图; (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 (2) 当x <0时,F (x )=P (X ≤x )=0 当0≤x <1时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时,F (x )=P (X ≤x )=1 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3. 故X 的分布律为 分布函数 4.(1) 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ, 其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . (2) 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N , k =1,2,…,N , 试确定常数a . 【解】(1) 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率; (2) 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,则X~b (3,0.6),Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33 (0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则X ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道,则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)? 【解】设X 表示出事故的次数,则X ~b (1000,0.0001) 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X ~6(5,0.3) (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b (7,0.3) 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时 间间隔起点无关(时间以小时计). (1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 第五章 大数定理和中心极限定理 1.[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现在随机的抽取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。 解:设第i 只寿命为X i ,(1≤i ≤16),故E (X i )=100,D (X i )=1002 (l=1,2,…,16).依本章定理1知 ?????? ? ? ?≤-=??????? ? ? ?-≤?-=≤∑ ∑ ∑ ===8.0400 1600 1001616001920100161600 )1920( 16 16 16 1 i i i i i i X P X P X P .7881.0)8.0(=Φ= 从而.2119.07881.01)1920( 1)1920( 16 1 16 1 =-=≤-=>∑∑==i i i i X P X P 3.[三] 计算机在进行加法时,对每个加数取整(取为最接近它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-,)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 (2)几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于 解: (1)设取整误差为X i ( ,2,1=i ,1500),它们都在(-, )上服从均匀分布。 于是: 02 5 .05.0)(=+-= =p X E i 12 1 12)]5.0(5.0[)(2= --=i X D 18.1112512 1 1500)(, 0)(==? ==i i X nD X nE ? ? ????≤≤--=??????????≤-=??????? ???>∑ ∑ ∑===15151151151500 11500115000i i i i i i X P X P X P ??? ???? ???????≤≤--=∑=18.111518.1118.111511500 1 i i X P 1802 .0]9099.01[2)]34.1(1[2)] 34.1()34.1([1=-?=Φ-=-Φ-Φ-= 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 (1)排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1.1:方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? (2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜 色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 A.120种B.140种 C.160种D.180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? ①3个舞蹈节目排在一起; ②3个舞蹈节目彼此隔开; ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? ①重复排列和非重复排列(有序) 例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? ②对立事件 例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? 例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? 例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?概率论与数理统计(练习参考答案)
概率论与数理统计习题集及答案
2014年复旦大学431金融学综合[专业硕士]考研真题(含部分答案)【圣才出品】
概率论与数理统计答案精选
概率论与数理统计各章节
《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
概率论与数理统计(练习参考答案)