高中数学必修二直线与方程经典

高中数学必修2知识点——直线与方程

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与ｘ轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８０°

（2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常

用k 表示。即0tan (90)k αα=≠。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。

当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180

,90∈时,0

212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点:(１)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;

(2）k 与P 1、P 2的顺序无关;(3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.如右图,直线l １的倾斜角α=30°，直线l 1⊥ｌ2,求直线ｌ1和l

解:k 1=ｔan30°=

33 ∵l 1⊥l 2 ∴ ｋ1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3

例:直线053=-+y x 的倾斜角是( ) Ａ.１２0° B.150° C.60°

(3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ,且过点()11,y x

注意:当直线的斜率为0°时,k=０,直线的方程是y ＝y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因ｌ上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是ｘ=x １。

②斜截式：b kx y +=,直线斜率为ｋ，直线在y 轴上的截距为ｂ

③两点式：112121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠)即不包含于平行于x 轴或ｙ直线两点轴的直线,直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时,方程可以表示任何一条直线。

④截矩式：1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。

⑤一般式:0=++C By Ax （Ａ，B 不全为0)

注意:错误!各式的适用范围 错误!特殊的方程如:

平行于x 轴的直线：b y =(b 为常数）; 平行于y 轴的直线:a x =(a 为常数）; 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是12

-，经过点A(8，—2); .

（２）经过点B （4,2)，平行于x 轴； .

(3)在x 轴和y

轴上的截距分别是3,32

-; ． ４)经过两点Ｐ１(3,—2)、P ２（５,—4)； .

例1：直线l 的方程为A ｘ＋B ｙ＋Ｃ=０,若直线经过原点且位于第二、四象限，则( ）

A ．C =0,B>0?

B ．Ｃ=0，Ｂ>0,A>0

C.C =0,A Ｂ<0 D ．Ｃ=0，ＡB>0

例2:直线l 的方程为A ｘ—Ｂy —C =０,若A 、B 、C 满足AB ．＞0且BC ＜０,则l 直线不

经的象限是( )

A ．第一

B ．第二 Ｃ．第三 D.第四

(4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一)平行直线系

平行于已知直线

0000=++C y B x A （00,B A 是不全为０的常数）的直线系：000=++C y B x A (C 为常数） (二）过定点的直线系

（ⅰ)斜率为k 的直线系：

()00y y k x x -=-,直线过定点()00,y x ； (ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系

方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中。 (三)垂直直线系 垂直于已知直线0Ax By C

++=（,A B 是不全为０的常数)的直线系: 0Bx Ay C '-+=

例1：直线ｌ:(２m+1）x +（m+1)ｙ—7ｍ—4＝0所经过的定点为 。(m ∈R)

(5）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=,222:b x k y l +=时,

(1）212121,//b b k k l l ≠=?;(2)12121-=

?⊥k k l l 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

(3）1212,k k b b ==?1l 与2l 重合；(4)12k k ≠?1l 与2l 相交。

另外一种形式:一般的,当1111110:0(,)l A x B y C A B ++=不全为， 与2222220:0(,)l A x B y C A B ++=不全为时,

(1)122112210//120A B A B l l B C B C -=-≠????,或者1221122100

A B A B AC A C -=??-≠?。 (2)1212120l l A A B B ⊥?+=。

（３)1l 与2l 重合?1221A B A B -=1221B C B C -=1221AC A C -=0。

(4）1l 与2l 相交?12210A B A B -≠。

例.设直线 l 1经过点Ａ(m ,1）、B(—3,4)，直线 l ２经过点Ｃ(1，m )、Ｄ(—１,m +1), 当(１) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值

例１.已知两直线l 1: ｘ+（1+ｍ） y =2—m 和l 2：2mx +４ｙ+16=0,ｍ为何值时l 1与ｌ2①相交②平行

例2. 已知两直线l 1:(3a +2) x +(１—４a ) y +8=0和l 2：(５a —2）x +（a +4)y —７=0垂直，求ａ值

(6）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组???=++=++00222

111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ; 方程组有无数解?1l 与2l 重合

例3.求两条垂直直线l 1：2ｘ+ y +2=０和ｌ2： ｍｘ+4ｙ—2＝０的交点坐标

例4． 已知直线l 的方程为12

1+-=x y , （1)求过点(2，3）且垂直于ｌ的直线方程；(2)求过点（２，3）且平行于l 的直线方程。 例2：求满足下列条件的直线方程

(1) 经过点Ｐ(２，3)及两条直线l 1： x +3y —4=０和l ２:5x +２y+1=０的交点Q;

（2） 经过两条直线l 1： ２ｘ+y —8＝0和ｌ2：x —2y ＋1＝0的交点且与直线４ｘ—3ｙ—7

＝０平行;

(3) 经过两条直线l １： ２x —3ｙ+１0=0和ｌ２:3x +４ｙ—２＝0的交点且与直线３x —2y +４

=0垂直；

(7）两点间距离公式:设

1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点,

则||AB =（8)点到直线距离公式:一点)

00,y x P 到直线1:0l Ax By C ++=的距离2200B A C

By Ax d +++=

(9）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

对于0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 来说：

d =。

例1:求平行线l 1：3ｘ+ 4y —１2＝0与l 2： ax +8y +１1=0之间的距离。

例２:已知平行线l 1:3x +２ｙ —6=0与l ２： 6ｘ+4y —3=０，求与它们距离相等的平行线方

程。

(1０） 对称问题

1) 中心对称 A 、若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称，则由中点坐标公式得

11

2,2.x a x y b y =-??=-? B 、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点，再利用12//l l ,由点斜式得出所求直线的方程。

2) 轴对称 Ａ、点关于直线的对称： 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线

:0l Ax By C ++=对称，则线段12P P 的中点在对称轴l 上,而且连结12P P 的直线垂直于对称轴l ,由方程组

121212120,22,x x y y A B C y y B x x A

++??+?+=???-?=-??可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标22(,)x y （其中120,)A x x ≠≠。 B 、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决,若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ;若已知直线1l 与对称轴l 平行,则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。

例１:已知直线ｌ：２x —3ｙ+1=0和点P （—1,—2).

(1） 分别求：点P(—1,—２）关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标

（2) 分别求:直线l ：2x —3ｙ+1=0关于x 轴、y 轴、直线y ＝x 、原点O 的对称的直线方程.

(3) 求直线l 关于点P(—1,—２)对称的直线方程。

（4) 求P(—１，—2)关于直线l 轴对称的直线方程。

例2:点P （—1，—２)关于直线l ： x +y —2=０的对称点的坐标为 。 1１. 中点坐标公式:已知两点Ｐ１ (x 1，y 1)、P 1（x １,y １),则线段的中点Ｍ坐标为(221x x +,2

21y y +)

例. 已知点A(7，—4)、B（—5,6),求线段ＡB的垂直平分线的方程