线面平行与面面平行解答题专题强化训练及答案

专题5线面平行与面面平行解答题

秒杀秘籍：第一讲线面平行构造之平行四边形法

要证明一直线平行于另一平面，可以构造一个平行四边形，利用另一组对边平行且相等来证明这组对边平行．这个另一组对边，往往在重垂线、水平线、侧平线中寻找，因为它们必然平行，只需要证明相等即可．

构造方式：1．重垂线构造法

2．水平线构造法3．侧平线构造法【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABFE 所在平面相交于AB ，AC M ∈，EB N ∈且EN AM =，

求证：//MN 平面BCF ．点评：重垂线构造法，因为M 、N 两点都能作重垂线的平行线．

【例2】如图，在四棱锥ABCD S -中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD //，?=∠90BAD ，⊥SA 底面ABCD ，2===BC AB SA ．3

2tan =

∠SDA ．

（1）求四棱锥ABCD S -的体积；

（2）在棱SD 上找一点E ，使//CE 平面SAB ，并证明．点评：水平线构造法，由于B 、C 位于水平线上，故构造一条平行于BC 的水平线．

【例3】如图所示，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知AB AD DD DC 221===，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，设E 是DC 的中点．求证：E D

1∥平面BD A 1．

点评：侧平线构造法，A 1、D 1位于侧平线两端．

秒杀秘籍：第二讲线面平行构造之三角形中位线法

证明一直线平行于另一平面，可以找到由一个公共顶点引出的两条线段，并分别找到线段中点，构造三角形中位线来证明线面平行．

往往需要找出五点，即两个线段端点，一个中点，公共顶点，再找出另一个中点，最后连线即得．中位线法不需要依托重垂线、水平线、侧平线的载体，但一定要找到公共顶点．

【例4】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点．

求证：//1C A 平面BDE ．

【例5】如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上．问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明．

【例6】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为棱AB 的中点，BC ＝1，AA 1＝3．

（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；

（2）求三棱锥D －A 1B 1C 的体积．

达标训练

1．（2018?江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．求证：//AB 平面11A B C ；

2．（2018?新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 CD

所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．

3．（2018?北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，

PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：//EF 平面PCD ．

4．（2017?山东）由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ，证明：1//A O 平面11B CD ．

5．（2016?江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，

且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥．求证：直线//DE 平面11A C F ．

6．（2016?四川）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=?，12BC CD AD ==

．在平面PAD 内找一点M ，使得直线//CM 平面PAB ，并说明理由．

7．（2015?天津）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =，17AA =，127BB =，点E 和F 分别为BC 和1A C 的中点．求证：//EF 平面11A B BA ．

8．（2015?山东）如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．求证：//BD 平面FGH ．

9．（2014?江苏）如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA AC ⊥，

6PA =，8BC =，5DF =．求证：直线//PA 平面DEF ．

10．（2014?山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==

，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．求证：//AP 平面BEF ．

11．（2014?安徽）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G ，E ，

F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，//BC 平面GEFH ．

（1）证明：//GH EF ；

（2）若2EB =，求四边形GEFH 的面积．

12．（2015?江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =，设1AB 的中点为D ，

11B C BC E ?=．求证：//DE 平面11AA C C ．

13．（2013?新课标Ⅱ）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．

（1）证明：1//BC 平面1A CD ；

（2）12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积．

线面平行与面面平行

线面平行与面面平行专题复习 线线平行傻线面平行 面面平行 定理 图形 平行 题型一线面平行的判定与性质 求证：a ZZl 归纟纳 ____________________________________________________________________________________ 【知识梳理】 ①若平面外一条直 线和 这个面内的一 条直线平行，那么这 条直线和这个平面 a b a// b a 〃 线线平行, 线面平行 简称 ②若一条直线和一 个平面平行，经过这 条直线的平面和这 个平面相交，则这条 直线就和交线平行。 1〃 l ZZm m 线面平行, 线线平行 ③若一个平面内的 两条 相交直线都平 行于另一个平面，那 么这两个平面平行。 a, b a I b a, b 〃 A ZZ 线线平行, 面面平行 ④若两个平行平面 同时 和第三个平面 相交，那么所得的两 条交线平行。 a a ZZ b b 面面平行 线线平行 行，那么其中一个平 面内的直线必平行 于另一个平面。 Z z a aZZ 面面平行 线面平行 1、已知：平面 I 平面 丨，a ,b a 若两个平面平 a

2、在正方体中，O为面ABCD 的中心, 求证：AO//平面B1CD1. 归纳：____________________ 3、已知：点是平行四边形Q是 PA的中点， 求证：PC//平面BQD. 归纳：______________________________________________________________________________________ 4、如图，两个正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB,M,N 分别是对角线AC,BF上的点，AM=FN ,求证：MN// 平面BCE. 小结1 :证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行，而证明两线平行的方法常有:

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα I 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??αα α 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，

直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一直线与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 ?? ? ?? a?α b?α a∥b ?a∥α 思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二平面与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行 ?? ? ?? a?α，b?α a∩b＝A a∥β，b∥β ?α∥β 思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一直线与平面平行的判定定理的应用 例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD.

∵EH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB綊BD，

线线平行线面平行面面平行的练习题

线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题 1．如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证：ＣＤ∥EF. 2.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ， 求证//a b ． 3. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE 4．如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A1B1C1中，D 是BC 的中点，试判断A1B 与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论. 5．、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN//平面PAD. 6.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD. 7．已知在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点，在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面，并证 明你的结论。

8．已知点 是△ 所在平面外一点，点 ， ， 分 别是△ ，△ ，△ 的重心，求证：平面 平 面 ． 9. 已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC . . 10. 如图所示11 1 ABC A B C -中，平面ABC//平面A 1B 1C 1 ， 若D 是棱1 CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使 11//C AB DE 证明你的结论 答案与提示： 1.证明：∵AB β,AB α,又∵AB ∥α,α∩β =CD,∴AB ∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ. 2. 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ， ∵a ∥平面α，a ∥平面β， ∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ?平面β，c ?平面β， ∴c ∥平面β， d c b a δ γ β α

(完整版)线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ????? ，，，，，， 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n r =（0，1，0） 则：02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD ．

线面、面面平行练习题

一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（ ） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交 (D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?，则必有（ ） ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4、下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）个 (1)过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行； (2)过平面外一点，只能作一条直线与这个平面平行； (3)过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行； (4)过两条异面直线中的一条直线，只能作一个平面与另一条直线平行。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5、下列命题中，错误的命题是（ ） (A)如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个 平面相交； (B)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行； (C)经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行； (D)空间四边形相邻两边的中点的连线，平行于经过另外两边的平面。 6.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 7.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 8．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行

线面平行与面面平行

线面平行与面面平行专题复习 【知识梳理】 儍线线平行线面平行 面面平行 1、,,//l a b a l αβαβ=??I 已知：平面平面，求证： 归纳

D B 1B 1 A 1 C B A D E C 2、在正方体中，O 为面ABC D 的中心， 求证：1 11//.AO B CD 平面 归纳： 3、已知：点是平行四边形ABCD 所在平面外一点， Q 是PA 的中点, 求证：PC//平面BQD. 归纳： 4、如图，两个正方形ABCD 和ABEF 所在的平面相交于AB,M,N 分别是对角线AC,BF 上的点，AM=FN ，求证：MN//平面BCE. 小结1：证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行，而证明两线平行的方法常有： ， ， ，

B 1 D B A C 1C B 题型二、面面平行的判定与性质 1、1111111//.ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面 归纳： 11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面 归纳： 3//,,,,,,////AB CD A C B D E F AB CD EF αβααββαβ ∈∈∈∈、已知平面平面，是异面直线，分别为，的中点，求证： 归纳：

练习： 1． 如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2．在直三棱柱111C B A ABC -中， E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. 求证：直线EF ∥平面ABD ； 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱 BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ． 4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ． C 1 A B C D E F A 1 B 1 第2题 1A 1B 1D 1C F E A B C D A P D M N B C

线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)

在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法 一、两条直线平行的判定方法 （1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义） （2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。 如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角 互补，则两直线平行。 ②三角形、梯形中位线定理。 ③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。 ④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。 （3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。 （5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。 （6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 （7）用向量证明。 二、一条直线和一个平面平行的判定 （1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义） （2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。 （3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面. （线面平行的性质）。 （4）向量法。 三、两个平面平行的判定 （1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义） （2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。 （3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 （4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。 （5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

线面平行与面面平行

线面平行与面面平行专题复习 线线平行丨丨 线面平行「面面平行 平行 【知识梳理】 定理 ① 若平面外一条直 线和这个面内的一 条直线平行，那么这 条直线和这个平面 图形 简称 a a 律0 b ： = a //: a// b 线线平行, 线面平行 ② 若一条直线和一 个平面平行，经过这 条直线的平面和这 个平面相交，则这条 直线就和交线平行。 ③ 若一个平面内的 两 条相交直线都平 行于另一个平面，那 么这两个平面平行。 I//G I ： = I // m :■ n ■ = m 线面平行, 线线平行 a, b uot a 门 b = A = 「// ： 线线平行, 面面平行 ④若两个平行平面 同 时和第三个平面 相交，那么所得的两 条交线平行。 面面平行 线线平行 行，那么其中一个平 面内的直线必平行 于另一个平面。 面面平行 线面平行 题型一线面平行的判定与性质 1、已知：平面〉C1平面］=l , a 二①b -, 求证：a//l 归纟纳 ______________________________________________________________________________ 若两个平面平

小结1 :证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行，而证明两线平行的方法常有: 题型二、面面平行的判定与性质 1、在正方体ABCD -ABGD^!中，求证：平面 AB 1D 1 //平面C 1BC. 2、在正方体中， 0为面ABCD 的中心, 求证：A0〃平面B ,CD ,. 归纳： ________________ 3、已知：点是平行四边形 Q 是PA 的中点， 求证：PC//平面BQD. 归纳： _________________________________________________________________________ 4、如图，两个正方形 ABCD 和ABEF 所在的平面相交于 点，AM=FN ，求证：MN// 平面 BCE. AB,M,N 分别是对角线AC,BF 上的 C B i 归纳:

关于线线、线面、面面平行练习题(含答案)

直线、平面平行的判定及其性质 测试题 A 一、选择题 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ， G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ） A ．//,a b αα? B ．//,//a b αα C ．//,//a c b c D ．//,a b ααβ=I 4．若直线m 不平行于平面α，且m ?α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ） ① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12 MN AC BD ≥+ B ．()12 MN AC BD ≤+ C ．()12 MN AC BD =+ D ．()12 MN AC BD <+ 二、填空题 7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________. 8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是 ①②③④ 9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ．

线面 线线面面平行垂直方法总结

线线平行 1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.） 2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行 3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性） 4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行. 5.平行线分线段成比例定理的逆定理 线面平行 1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。） 2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外 3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行 4.证明线面无交点 5.反证法（线与面相交，再推翻） 6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0） 7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行 8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面. 面面平行 1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行. 3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行. 4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行. 5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性） 6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 线线垂直 1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。 . 2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

线线、线面、面面平行练习题(含答案)

D C A B B 1A 1 C 1 直线、平面平行的判定及其性质 测试题 A 一、选择题 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ） A ．//,a b αα? B ．//,//a b αα C ．//,//a c b c D ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ?α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ） ① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12 MN AC BD ≥+ B ．()12 MN AC BD ≤+ C ．()12 MN AC BD =+ D ．()12 MN AC BD <+ 二、填空题 7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________. 8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是 ①②③④ 9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题 10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1. 11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .

线面平行与面面平行

D 线面平行与面面平行专题复习 【知识梳理】 线线平行 线面平行面面平行 题型一线面平行的判定与性质 1、,//l a b a l α βα=??已知：平面平面，求证： 归纳 2、在正方体中，O 为面ABCD 的中心， ,//b b A b αβ?? ?=???? //a b βγγ? ? =??=? //a β? ?

C B A D E C 求证：1 11//.AO B CD 平面 归纳： 3、已知:点是平行四边形ABCD 所在平面外一点, Q 是PA 的中点, 求证：PC//平面BQD 。 归纳: 4、如图，两个正方形ABCD 和ABEF 所在的平面相交于AB,M ，N 分别是对角线AC,BF 上的点，AM=FN,求证：MN//平面BCE 。 小结1:证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行，而证明两线平行的方法常有: , ， ， 题型二、面面平行的判定与性质

B 1 D B A C 1C B 1、1111111//.ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面 归纳: 11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面 归纳： 3//,,,,,,////AB CD A C B D E F AB CD EF αβααββαβ ∈∈∈∈、已知平面平面，是异面直线，分别为，的中点，求证： 归纳: 练习:

1． 如图,E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2．在直三棱柱111C B A ABC -中， E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. 求证：直线EF ∥平面ABD ; 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱 BC ,11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ． 4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ,N 分别是AB ,PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ． C 1 A B C D E F A 1 B 1 1A 1B 1D 1C F E A B C D A P D M N B C

立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)

D B A 1 高中立体几何证明平行的专题(基本方法) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四 边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）

4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 8、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形， 090,BAD FAB BC ∠=∠=//= 1 2 AD ，BE //= 1 2 AF ，,G H 分别为,FA FD 的中点 （Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （Ⅱ）,,,C D F E 四点是否共面？为什么？ A B C D E F G M

高中数学必修二2.2.1线面与面面平行的判定

2.2.1 线面与面面平行的判定 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行. 3. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 4. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 【重点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 【难点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 一、自主学习 1.预习教材P54～ P57,完成下列问题 复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________. 讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？ 2.导学提纲 探究1：直线与平面平行的背景分析 实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动 的一边l与墙所在的平面位置关系如何？ 实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？ 结论： 探究2：直线与平面平行的判定定理 问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一 结论表示出来吗？ 直线与平面平行的判定定理 定理： 反思：思考下列问题 ⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？

探究3：两个平面平行的判定定理 问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 吗？由此你可以得到什么结论？ 问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外 一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 面,AA∥面BB C C，则面AA B B∥面BB C C吗？ ⑴如下图，AA AA B B 面，则A ADD 面吗？ 面∥DCC D ⑵如下图6-2，AA∥EF，AA∥DCC D 面，EF∥DCC D ⑶如下图，直线A C和B D相交，且A C、B D都和平面ABCD平行(为什么)，则平面A B C D∥平面ABCD吗？ 反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？ 两个平面平行的判定定理： 如图所示，∥. 反思： ⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来. 二、典型例题 例1. 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？

(完整版)线线、线面、面面平行练习题(含答案)

D C A B B 1A 1 C 1 直线、平面平行的判定及其性质 测试题 A 一、选择题 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ） A ．//,a b αα? B ．//,//a b αα C ．//,//a c b c D ．//,a b ααβ=I 4．若直线m 不平行于平面α，且m ?α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ） ① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12 MN AC BD ≥+ B ．()12 MN AC BD ≤+ C ．()12 MN AC BD =+ D ．()12 MN AC BD <+ 二、填空题 7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________. 8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是 ①②③④ 9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题 10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1. 11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .

线面平行与面面平行

线面平行与面面平行 The manuscript was revised on the evening of 2021

线面平行与面面平行专题复习 【知识梳理】 线线平行线面平行面面平行 题型一线面平行的判定与性质 ,//b β?? //b βγ? ? ?=? //a β? ??

D B 1 B 1 A 1 C B A D E C 1、,,//l a b a l α βαβ=??已知：平面平面，求证： 归纳 2、在正方体中，O 为面ABCD 求证：1 11//.AO B CD 平面 归纳： 3、已知：点是平行四边形ABCD Q 是PA 的中点, 求证：PC 归纳： 4、如图，两个正方形ABCD 和ABEF 所在的平面相交于AB,M,N 分别是对角线 AC,BF 上的点，AM=FN ，求证：MN

B1 D C1 C B 小结1：证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行，而证明两线平行的方法常有： ，，， 题型二、面面平行的判定与性质 1、 1111111 //. ABCD A B C D AB D C BC - 在正方体中，求证：平面平面 归纳： 11111 111111 ,,: (1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D - 2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证 平面为的中点，求证：平面平面 归纳： 3//,,,,, ,//// AB CD A C B D E F AB CD EF αβααββ αβ ∈∈∈∈ 、已知平面平面，是异面直线， 分别为，的中点，求证： 归纳： 练习：

线面平行和面面平行的证明题.

线面平行和面面平行的证明题 1. 如图,正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E 为 DD 1的中点,求证 : BD 1//平面AEC 2. 如图 :棱锥 P-ABCD 底面 ABCD 为平行四边形, M,N 分别是 AB,PC 的中 点 . 求证 MN//面 PAD 3、如图是正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1,求证:BC 1∥平面 AB 1D 1

4. 已知:如图 1— 21, ABCD 是平行四边形, S 是平面 ABCD 外一点, M 为 SC 的中点 . 求证:SA ∥平面 MDB. 1 5.(2010·江苏苏北三市模拟如图,在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, M 、 N 、 G 分别是 A 1A , D 1C , AD 的中点.求证: (1MN ∥平面 ABCD ;

6如图,已知在四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD , PA =AD =1, AB =2, E 、 F 分别是 AB 、 PD 的中点. (1求证:AF ∥平面 PEC ; 7.(2009·天津模拟如图,在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中, AC =3, AB =5, cos ∠BAC =3 5 (1求证:BC ⊥ AC 1;

(2若 D 是 AB 的中点,求证:AC 1∥平面 CDB 1. 8、如图所示,四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD , M 、N 分别是 AB 、 PC 的中点, PA =AD =a . (1求证:MN ∥平面 PAD ; (2求证:平面 PMC ⊥平面 PCD .

线面-面面平行证明题

线面，面面平行证明 一．线面平行的判定 1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 3.符号表示为：,,////a b a b a ααα??? 二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 符号语言:_____________________________________________________________________ 选择题 1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）. A. 1l ∥α B. 2l ?α C. 2l ∥α或2l ?α D. 2l 与α相交 2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）. A. b ∥α B. b 与α相交 C. b ?α D. b ∥α或b 与α相交 4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB ?α 5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个 6 .已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( ) A ｂ∥α B ｂ与α相交 C ｂ?α D ｂ∥α或ｂ与α相交 7．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα? ?? ?? ② //////m n n m ββ???? ③ ,m m n n αβ?? ????异面 其中假命题有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( ) A ｌ?α B ｌ?α C ｌ≠α D ｌ∩α＝? 9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 异面 D 平行或相交或异面 10．下列命题中正确的是( ) ① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行 A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④