2018中考解直角三角形的应用

初三数学解直角三角形的应用知识精讲

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

解直角三角形的应用

［学习目标］

1. 了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。

2. 掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。

3. 会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。

二. 重点、难点：

1. 仰角、俯角

在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。

视线在水平线下方的叫做俯角。

2. 坡度

坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即i

h

L =。

如果把坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），那么i

h

L

==tanα。

3. 直角三角形在实际问题中的应用

在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。

［教学难点］

运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。

【典型例题】

例1. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。

解：分两种情况计算

（1）如图1，过C作CD⊥AB于D，则

图1

CD AD AC

===

2030203

，·°

cos

DB CB CD

=-=

2215，故

S AB CD ABC △·×=

=+=+121

2

20315202003150()()（米2） （2）如图2，过C 作CD ⊥AB 且交AB 的延长线于D ，

图2

由（1）可得CD=20，AD DB ==20315，，所以 S AB CD ABC △·=

=+1

2

2003150()（米2） 点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。

例2. 某片绿地的形状如图3所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长。（精确到1m ，31732≈.

）

图3

解：延长AD ，交BC 的延长线于点E ，可构成两个直角三角形， 在Rt △ABE 中，∠A=60°，AB=200m ∴·BE AB A ==tan 2003(m) AE AB m =

==cos ()60200

12

400°

在Rt △CDE 中，∠CED=30°，CD=100m ∴·∠DE CD CED m ==cot ()1003 CE CD CED

m =

==sin ∠100

12

200

∴AD AE DE m =-=-4001003227≈() BC BE CE m =-=-2003200146≈()

点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。

例3. 如图4所示，某电视塔AB 和楼CD 的水平距离为100米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。

图4

（精确到0.1m ，参考数据：214142317320==..，） 解：在Rt △ADB 中，

∵∠ADB=60°，DB=100m ，

∴AB DB ADB m ====tan tan .()∠×°10060100317320 在△ACE 中，∠ACE=45° ∴AE=CE=100

∴CD EB AB AE m ==-=-=17320

100732..() 答：电视塔高是173.2m ，楼高是73.2m 。

点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时要找合适的直角三角形。

例4. 如图5，在比水面高2m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为 30°，它在水中的倒影B'C 顶部B'的俯角是45°，求树高BC （结果保留根号）

图5

解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ， 在Rt △ABE 中，

BE x BAE BAE AE

BE

=-==230，∠°，∠cot ∴AE BE BAE x x ==-=-·∠·cot ()()2332

∵∠B'AE=45°，AE ⊥BC

∴B E AE x '()==-32

又∵B E B C EC BC AD x ''=+=+=+2 ∴322()x x -=+ ∴x m =+()()423 答：树高BC 为()423+m

点拨：树与树的倒影长度相等，即BC=B'C ，是此题的隐含条件。

例5. 为防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其横截面为一梯形，如图6，堤的上底宽AD 和堤高DF 都是6米，其中∠B=∠CDF 。

图6

（1）求证：△ABE ∽△CDF ；

（2）如果tanB=2，求堤的下底BC 的长。 （1）证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∠B=∠CDF

∴△ABE ∽△CDF

（2）解：在Rt △ABE 中，tan B AE

BE

==2， ∴BE AE

=

=2

3 在Rt △CDF 中，tan tan ∠CDF CF

DF

B =

==2 ∴CF=2DF=12

∴BC BE EF CF m =++=++=361221()

答：堤的下底BC 的长是21m 。

点拨：与堤坝有关的问题，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同时还要将四边形问题转化为解直角三角形。

例6. 如图7，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡CD 坡度i'=1：1，斜坡AB 坡度i =13：，求斜坡AB 的长及坡角α和坝底宽AD （精确到0.1m ）。

图7

解：过B ，C 两点分别作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ， 则B E CF ==23m ， 在Rt △ABE 中，tan α==

=i 13

3

3 ∴°，∴α===30246AB BE m () ∵i BE AE AE =

==13231

3

，即， ∴AE m =233() 在Rt △CFD 中，i CF FD '==1

1

∴FD=CF=23（m ）

∴AD AE EF FD =++=++=+23362329233

≈×≈29231732

688+..()m 答：斜坡AB 长4m ，坡角α为30°，坝底宽AD 约为68.8m 。

点拨：求出近似值要符合题目要求。

例7. 如图8，某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔C 在北偏西30°，船以每小时20海里的速度航行2小时到达B 点后，测得灯塔C 在北偏西75°，问当此船到达灯塔C 的正东方时，船距灯塔C 有多远？（结果保留两位有效数字）？

图8

解：在△ABC 中，AB=20×2=40（海里），∠A=30° ∠°°°，BCA =-=753045过B 作BE ⊥AC 于E

则AE AB ===cos30403

2

203°×（海里） BE AB ===sin 30401

2

20°×

（海里） ∴AC AE CE BE =+=+=+=+203203202031()（海里） 过C 作CD ⊥AB 于D ，

则CD CA ==+sin ().3010312732°≈（海里）

答：船到达灯塔正东时，它距灯塔27.32海里。

点拨：搞清方向角的概念，同时会找合适的直角三角形。

例8. 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？

图9

解：如图9，过点C 作CD ⊥AB ，设垂足为D ， 在Rt △ADC 中，

AD CD CAD CD CD ===·∠·°cot cot 303

在Rt △BDC 中，

BD CD CBD CD CD ===·∠·°cot cot 45 ∴AB AD BD CD CD CD m =-=-=-=331100()()

∴CD m =

-=+100

31

50311365().()≈ ∵136.5米＞120米，故没有危险。

答：若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。

点拨：熟记特殊三角函数值，注意所求结果符合实际情况，情景应用题。

例9. 如图10，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。

图10

（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货？（214317≈，≈..）。 解：（1）过点B 作BC ⊥AC 于D ， 依题意，∠BAC=30° 在Rt △ABD 中， BD AB =

==<121

2

2016160200×× ∴B 处会受到台风的影响。

（2）以点B 为圆心，200海里为半径作圆交AC 于E ，F 由勾股定理，求得DE AD ==1201603， ∴AE AD DE =-=-()1603120（海里）

∴t =

-=1603120

40

38.（小时）

∴该船应在3.8小时内卸完货物。 点拨：不是纯数学化的“已知”，“求解”的模式，而是结合一种情景，一种实际需求，以解决一种实际问题为标志，旨在考查学生的数学应用能力。

【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一. 选择题：

1. 如果坡度的余弦值为

310

10

，那么坡度比为（ ） A. 110：

B. 310：

C. 1：3

D. 3：1

2. 如果由点A 测得点B 在北偏东15°的方向，那么由点B 测点A 的方向为（ ） A. 北偏东15° B. 北偏西75° C. 南偏西15° D. 南偏东75°

3. 如图1，两建筑物的水平距离为a 米，从A 测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高为（ ）

图1

A. a 米

B. a cot α米

C. a cot β米

D. a (tan tan )βα-米

4. 如图2斜坡AB 和水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是（ ）

图2

A. 斜坡AB 的坡角为α

B. 斜坡AB 的坡度为BC

AB

C. 斜坡AB 的坡度为tan α

D. 斜坡AB 的坡度为BC

AC

二. 填空题

5. 在△ABC 中，∠C=90°，若a =85，b =815，则c=__________，∠A=__________，∠B=__________。

6. 一物体沿坡度为1：8的山坡向上移动65米，则物体升高了__________米。

7. Rt △ABC 中，一锐角的正切值为0.75，周长是36，则它的两条直角边的和是__________。

8. 在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角45°，沿水平方面，再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔为__________。

9. 如图3，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需__________米。（精确到0.1米）。

图3

三. 解答题 10. 如图4，要测池塘A 、B 两端的距离，可以在平地上与AB 垂直的直线BF 上取一点C ，使∠FCA=120°，

并量得BC=20m ，求A ，B 两端的距离（不取近似值）。

图4

11. 从一船上看到在它的南偏东30°的海面上有一座灯塔，船以30海里/时的速度向东南方航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，求这时船与灯塔的距离。

[参考答案]

一. 选择题：

1. C

2. C

3. D

4. B

二. 填空题

5. 165，30°，60°

6. 1米

7. 21

8.

1

2

33()+a 米 9. 5.5米

三. 解答题：

10. 解：根据题意，有∠ABC=90°

在Rt △ABC 中，∠ACB=180°－∠FCA=180°－120°=60° ∵tan ∠ACB AB

BC

=

∴AB BC ACB m ===·∠·°tan tan ()2060203 答：A 、B 两端之间的距离为203m 。 11.

解：如图5所示，AC ==301

2

15×

图5

在Rt △COB 中，

AO OC AC ACO ====cos ∠×1522152

2 在Rt △COB 中， OB OC BCO ===tan ∠×1522335

2

6 ∴AB OA OB =-=

-152252

6448≈. 答：此时船与灯塔的距离约为4.48海里。

解直角三角形 中考经典专题

第一章复习题（一） 1. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，，则点B 的 坐标为（ ）A ．(21)， B ．(12)， C ．(211)+， D ．(121)+， 2. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5 4 A cos =，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2 ABCD 15S cm =菱形． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25 B ．253 C ． 1003 3 D ．25253+ 4. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA= 5 4 ，BC ＝10 ，则 AB 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 5. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为（ ） （A ） km 3310 （B ）km 3 3 5 （C ）km 25 （D ）km 35 6. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =5 1 ，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 7. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5 8. 如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且 21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ． 4 33 C ．23 D ．43 x y O C B A B C A D l A B C D E

2019中考数学解直角三角形汇编

解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）

的

4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课 题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天 炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮 阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)

九年级数学 第24章《解直角三角形》测试卷及答案 沪科版

九年级数学 第24章《解直角三角形》测试卷及答案 沪 科版 （满分：90分 时间：60分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1．如果∠A 是锐角，且A cos A sin =，那么∠A ＝ （ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 2．如果α是锐角，且5 4 sin = α，则)90cos(α-?＝ （ ） A. 54 B.43 C.53 D.5 1 3．在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有 B A cos sin =，则这个三角形是 （ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 4.当0 9045<> B.A A A sin tan cos >> C.A A A cos tan sin >> D.A A A cos sin tan >> 5．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，cosA ＝ 5 4 ，那么tanB 的值为 （ ） A.53 B.45 C.43 D.3 4 6．若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为 （ ） A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 7．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是 （ ） A ．sin A 的值越大，梯子越陡 B ．cos A 的值越大，梯子越陡 C ．tan A 的值越小，梯子越陡 D ．陡缓程度与A ∠的函数 8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60o，CD ＝2cm ，则梯形 ABCD 的面积为 （ ） A ．33cm 2 B ．6 cm 2 C ．63 cm 2 D ．12 cm 2 9．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则 tan∠EFC 的值为 （ ） A ． 34 B ． 43 C ． 35 D ． 45 （第7题图） （第8题图） （第9题图） 10．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则 B A C D

中考解直角三角形知识点整理复习

中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A

第24章解直角三角形

《第24章 解直角三角形》测试卷 （满分：90分 时间：60分钟） 得分 4.当45° ::: A :：: 900时，下列不等式中正确的是（ ）。 4 5.在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, cosA = ，那么 tanB 的值为( )。 A 3 5 5 c 3 4 A.— B. C. D. 5 4 4 3 6.若等腰三角形腰长为 4，面积是 4,则这个等腰三角形顶角的度数为（ )° 姓名 1. 2. 3. 、选择题（每题 4分，共40分） 如果/ A 是锐角，且si nA =cosA ，那么/ A =（ A.30 ° B.45 ° C.60 ° 4 如果a 是锐角，且sin ，则 5 B. 3 4 B 为锐角，且有 cos(90 -匚)=( ）。 ）。 D.90 A.- 5 在厶ABC 中, A.等腰三角形 A , C . 3 5 sin A 二cosB ，则这个三角形是 D. B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 1 5 （ ） 锐角三角形 A. ta nA cosA si nA B. cosA tan A sin A C. sin A tan A cosA D. tan A si nA cosA 7.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为 是（ ）。 A . si nA 的值越大，梯子越陡 C. tan A 的值越小，梯子越陡 & 如图，在等腰梯形ABCD 中 AB// CD cm i . 9.如图，沿AE 折叠矩形纸片 ABCD 使点D 落在 A 3 D 4 A. B .- 4 10.某水库大坝的横断面是梯形, BC 边的点 3 ? 5 F 处。已知 坝内斜坡的坡度 A. 900 B. 600 C. AB= 8, BC = 10,贝U tan / EFC 的值 为 4 ? 5 i =1: 3 ,坝外斜坡的坡度i =1:1,则两个坡角的和为 750 D. 1050 （第7题图） （第 8题图）

解直角三角形中考题型

《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D

沪科版九年级数学上册第23章 解直角三角形 整合【新版】

解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算． 巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值． 巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值． 巧用折叠法求67.5°角的三角函数值 3．小明在学习“锐角的三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后还原，求67.5°角的正切值．

(第3题) 巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值 4．求sin 18°，cos 72°的值． 巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．

解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题 名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角学的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛． 利用三角函数解与函数的综合问题 1．如图，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，tan ∠OCB ＝1 2. (1)求点B 的坐标和k 的值； (2)若点A(x ，y)是第一象限内的直线y ＝kx －1上的一个动点，在点A 的运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数表达式． (第1题) 2．如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝3 2. (1)求k 的值； (2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数表达式； (3)若直线AE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的大小关系，写出你的结论，并说明理由．

中考数学专题练习解直角三角形

《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )

A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ

华东师大版初中数学九年级上册 第24章解直角三角形 24.4 解直角三角形教案1

解直角三角形1 教学目标 巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。 学会运用三角函数解直角三角形。 掌握解直角三角形的几种情况。 教学重难点 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：运用三角函数解直角三角形。 教学过程 我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具. 例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？ 解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 26241022=+ 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米. 在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 例2 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米） 解 在Rt △ABC 中，因为

∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜， AB BC ＝tan ∠CAB , 所以 BC ＝AB ?tan ∠CAB =2000×tan50゜≈2384(米). 又因为 ?=50cos AC AB ， 所以 AC ＝)(311150cos 200050cos 米≈?=?AB 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角 课堂练习 1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？ 2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）

九年级数学上册第23章解直角三角形专题训练新版沪科版

解直角三角形专题训练 1．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF ．（参考数据：64.040sin ≈?，77.040cos ≈?，84.040tan ≈?，结果精确到0.1m．）在Rt△CDF 中，CD ＝5.4，∠DCF ＝40o ， ∴DF ＝CD ·sin40o ≈5.4×0.64≈3.46．在Rt△ADE 中，AD ＝2.2，∠ADE ＝∠DCF ＝40o ， ∴DE ＝AD ·cos40o ≈2.2×0.77≈1.69．∴EF ＝DF ＋DE ≈5.15≈5.2（m）．即车位所占街道的宽度为5.2m． 2．小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据： 第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB 的长度为9cm ； 第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC 为80°(O 为AB 的中点)．请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC 的长．(参考数据：sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，结果精确到0.1cm ．)3．如图，点A 、B 为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所成的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E .DE =15cm,AD =14cm.求半径OA 的长.(精确到0.1cm)【参考数据：sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36】 解：在Rt △ODE 中，DE =15，∠ODE =67°. ∵cos∠ODE = . ∴OD ≈≈38.46(cm) (4分)A B C O 670 D E O C B A

九年级解直角三角形中考题

解直角三角形 练习1、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米． 2、（2013?钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732） 3、兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一条小船垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角为∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4:3，坡长AB=8米，求此时小船C到岸边的距离AC的长

4、在1998年的特大洪水期间，为了加固一段大堤，需运来沙石和土将大堤堤面加宽1米，使背水坡的坡度由原来的1：2变为1：3,已知原来背水坡的坡长为BC=15米，堤长100米，那么需要的沙石和土多少方？ 5、如图，某县为了加固长90米，宽5米，坝顶宽4米的迎水坡和背水坡的坡度都是1:1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡的坡度改为1:1.5，已知坝顶宽不变，要求大坝横截面的面积增加了多少平方米？共要填充多少立方米的土？ 6、（2013?眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：． （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

第23章：解直角三角形知识点强化记忆

第23章 解直角三角形知识点强化记忆 知识点1：正弦、余弦、正切、余切的概念 （1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数： 取值范围 全称 简写 锐角∠A 的正弦斜边的对边 A 0＜sinA ＜1 sine sin 锐角∠A 的余弦cosA= 斜边的邻边 A ∠=sin B 0＜cosA ＜1 cosine cos 锐角∠A 的正切tanA= 的邻边 的对边 A A ∠∠=cot B tanA ＞0 tangent tan (或tg) 锐角∠A 的余切cotA= 的对边 的邻边 A A ∠∠=tan B cotA ＞0 cotangent cot (或 ctg 、ctn) 注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。 （１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义； （２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。 “ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的； （３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。 知识点2：同角三角函数的关系： （1） 平方关系： sin 2A+cos 2A =1 （2） 商数关系： tanA= A A cos sin ，cotA=A A sin cos （3） 倒数关系： tanA =A cot 1 ，tanA · cotA=1 tanA · tanB=1 cotA ·cotB=1（∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°） 注：同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１， 同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。 同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数；互余两角正切值的积为1；互余两角余切值的积为1 （１）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形， 如：sin A ，cos A = 因为∠A 为锐角，所以0＜sinA ＜1,0＜cosA ＜1 所以其中的负值舍去 （２）ｓｉｎ2 α是（ｓｉｎα）2 的简写，读作“ｓｉｎα”的平方；不能将ｓｉｎ2 α写成 ｓｉｎα2 ，前者是α的正弦值的平方，后者表示α2 的正弦值。 图19.3.1

中考数学复习专题七：解直角三角形

中考数学复习专题7 解直角三角函数 一、知识点回顾 1、锐角∠A 的三角函数（按右图Rt △ABC 填空） ∠A 的正弦：sin A = , ∠A 的余弦：cos A = , ∠A 的正切：tan A = , ∠A 的余切：cot A = 2、锐角三角函数值，都是 实数（正、负或者0）； 3、正弦、余弦值的大小范围： ＜sin A ＜ ； ＜cos A ＜ 4、tan A ?cot A = ； tan B ?cot B = ； 5、sin A = cos （90°- ）； cos A = sin （ - ） tan A =cot （ ）； cot A = 6、填表 7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b , 1）、三边关系（勾股定理）： 2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90° 3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ； cos A = ； cos B = ； tan A = ； tan B = ； cot A = ；cot B = 8、图中角 可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（h ）和 长度（l ）的比。 记作i ,即i = ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝ l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 （1）

二、巩固练习 （1）、三角函数的定义及性质 1、在△ABC 中,,900=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为 2、在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____, cos ==A B ； 3、Rt △ABC 中,若,900=∠C 2,4==BC AC ,则tan ______=B 4、在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos 5、已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,13 5 == BC A ,则._______=AC 6、Rt △ABC 中,,900=∠C 3 5 tan ,3= =B BC ，那么.________ =AC 7、已知32sin -=m α，且a 为锐角，则m 的取值范围是 ； 8、已知：∠α是锐角，?=36cos sin α，则α的度数是 9、当角度在?0到?90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ） A ．正弦和正切 B ．余弦和余切 C ．正弦和余切 D ．余弦和正切 10、当锐角A 的2 2 cos >A 时，∠A 的值为（ ） A 小于?45 B 小于?30 C 大于?45 D 大于?60 11、在Rt ⊿ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A 的正弦址与余弦值的情况（ ） A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定 12、已知α∠为锐角，若0 30cos sin =α，αtan ＝ ；若1t an 70tan 0 =?α，则_______=∠α； 13、在△ABC 中,,900 =∠C sin 2 3 = A , 则cos B 等于( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 （2）、特殊角的三角函数值 1、在Rt △ABC 中，已知∠C ＝900，∠A=450 则A sin = 2、已知：α是锐角，22 1 cos = α，tan α=______；

2019中考试题分类——解直角三角形

2019中考试题分类——解直角三角形 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ， 现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕. ⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即 ∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？ 30°30°H M G D E F C B A 【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，. 在矩形DPGM 中，，. 在Rt △DMH 中，. ∴. 答：建筑物GH 高为45.6米. 2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方 向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的 速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行， 1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。问我渔政船 的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角 互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，

华东师大版 九上数学 24章《解直角三角形》单元测试题(含答案)

解直角三角形测验解直角三角形测试题 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（） A. B. C. D. 2. 在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，tanC的值是（） A. B. C. 1 D. 3. 在△ABC中，若，，则这个三角形一定是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（） A. B. C. D. 5. sin65°与cos26°之间的关系为（） A. sin65°cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，∠C=90°，，则sinB的值是（） A. B. C. D. 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2 A. 150 B. C. 9 D. 7 9. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）

A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（） A. B. C. D. 1 二. 填空题：（每小题2分，共10分） 11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，，当α=__________时，Cota=. 12. 若，则锐角α=__________。 13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，，，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为__________cm，底角的余弦值为__________。 15. 酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。 三. 解答题：（16、17每小题5分，其余每小题6分共70分） 16. 计算 17. 如图22，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求tanD。 18. 已知直角三角形中两条直角边的差是7cm，斜边的长是13cm，求较小锐角α的各三角函数值。 19. 如图23，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若。 （1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值。 20. 已知在△ABC中，，AC=2，BC边上的高。（1）求BC的长； （2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC和BC上，求正方形的面积。 21. 已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。 22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶

九年级数学上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质

24.2 直角三角形的性质 知识点 1 直角三角形的两个锐角互余 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．120° B．90° C．60° D．30° 2．如图24－2－1，将一个矩形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 图24－2－1 知识点 2 勾股定理 3．［2016·荆门］如图24－2－2，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 4．［2017·绍兴］如图24－2－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( ) A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 图24－2－3 知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质 5．如图24－2－4，在Rt△ABC中，E＝10，则CE＝________． 6．如图24－2－5，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__________． 图24－2－5 7．如图24－2－6，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C.

知识点 4 直角三角形中30 °角的性质 8．［2016·百色］如图24－2－7，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( ) A．6 B．6 2 C．6 3 D．12 9．如图24－2－8，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若线段DE＝1 cm，则BD的长为________ cm. 10．如图24－2－9，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有( ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 11．［教材习题24.2第2题变式］如图24－2－10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE＝( ) A．3 B．4 C．6 D．8 12．如图24－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长． 13．如图24－2－12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1. (1)求CD的长； (2)求△ABC的面积．

九年级解直角三角形专题复习教案

解直角三角形 一、 复习目标 1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。 2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。 3.能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。 4.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。 二、自测导学： 1.在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( ) A ．3sin 40° B ．3sin 50° C ．3tan 40° D ．3tan 50° 2.在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为________． 3. 若ααcos ,2 3 )90sin(则= -ο=______. 4.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB =500，则此时就将坝底向外拓宽多少米（结果保留到米，参考数据：sin620 ≈ ,cos620 ≈ ,tan500 ≈ ）

三、复习过程 （一）知识回顾 1.三角函数 （1）锐角三角函数的定义： B C a ① 斜边 的对边 A ∠ 叫∠A的正弦.记作sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ② 斜边 的邻边 A ∠ 叫∠A的余弦.记作cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ③ 的邻边 的对边 A A ∠ ∠叫∠A的正切.记作 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 （1）解直角三角形的定义：

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)． （2）直角三角形的边角关系 ①三边之间的关系：a2＋b2＝c2； ②两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； （3）解直角三角形的类型 3. 解直角三角形的应用 （1）仰角、俯角 如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上

2018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案

D A B C E F 解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12 13 ． （1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． 3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A = 5 4 ，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值． O E C D

4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值. 5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12 sin 13 C = ，BC =12，求AD 的长． 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ） A 3 B 2 C ． 12 D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(21)， B ．2)， C ．211)， D ．(121)， 3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．43 3 米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）