概率专题 历年高考真题汇总

概率专题 历年高考真题汇总（小题）

1. （2013·新课标Ⅰ，3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样

解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．故选C.

2. （2017·新课标Ⅱ，6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

【答案】D 解析：解法一：将三人分成两组，一组为三个人，有33

6A =种可能，另外一组从三人在选调一人，有13

3C =种可能；两组前后在排序，在对位找工作即可，有222A =种可能；共计有36种可能. 解法二：工作分成三份有24

6C =种可能，在把三组工作分给3个人有336A =可能，共计有36种可能.

3. （2018·新课标Ⅱ，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）

A ．112

B ．114

C ．115

D ．118

【答案】C 解析：30以内的素数有10个，满足和为30的素数对有3对，概率为

2103314515C ==，选C.

4.（2017·新课标Ⅰ，2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则

此点取自黑色部分的概率是（ ）

A ．14

B ．π8

C ．12

D ．π4

【答案】B 解析：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为224?=，圆的面积为2π1π?=，图

中黑色部分的概率为π2，则此点取自黑色部分的概率为ππ248

=，故选B ； 【解题技巧】解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．几何概型计算公式：P (A )＝

构成事件A 的区域长度?面积或体积?试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

。

5.(2018·新课标Ⅰ，理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三

个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）

A ．12p p =

B ．13p p =

C ．23p p =

D ．123p p p =+

【答案】B 解析：设123,,BC r AB r AC r ===．222

123r r r =+，112231422S r r r r =?=，23123122

S r r r π=-， 22222222233232231123231111111=r 2222222222S r r S r r r r r r r r r r πππππππ=+-+-+=-+=， 12S S =Q ，12P P ∴= ，故选A.

6.（2018·新课标Ⅱ，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫

猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）

A ．112

B ．114

C ．115

D ．118

【答案】C 解析：30以内的素数有10个，满足和为30的素数对有3对，概率为

2103314515C ==，选C.

7.（2018·新课标Ⅲ，理8）某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 解析：由~(10,)X B p ，∴10(1) 2.4DX p p =-=，∴21010 2.40p p -+=，解之得

120.4,0.6p p ==，由(4)(6)P X P X =<=，有0.6p =.

8.（2017·新课标Ⅱ，6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

【答案】D 解析：解法一：将三人分成两组，一组为三个人，有33

6A =种可能，另外一组从三人在选调一人，有13

3C =种可能；两组前后在排序，在对位找工作即可，有222A =种可能；共计有36种可能. 解法二：工作分成三份有24

6C =种可能，在把三组工作分给3个人有336A =可能，共计有36种可能.

9.（2016·新课标Ⅰ，4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）4

3 【答案】B 解析：如图所示，画出时间轴：

8:208:107:50

7:408:308:007:30B A C D

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402

P +==．故选B ． 10.（2016·新课标Ⅱ，10）从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对11(,)x y ，

22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）

A ．4n m

B ．2n m

C ．4m n

D ．2m n

【答案】C 解析：由题意得：()()12i i x y i n =???，，，

，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41m n

=，∴4πm n =，故选C ．

11.（2015·新课标Ⅰ，4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A ） （B ） （C ） （D ）

【答案】A 解析：该同学通过测试的概率为223230.60.40.60.6(1.20.6)0.648C ?+=+=，或

312310.40.40.60.648C --?=，选（A ）.

12.（2014·新课标Ⅰ，5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）

A .18

B .38

C .58

D .78

【答案】D 解析：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4

216=种，

周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

867168

+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.

13.（2014·新课标Ⅱ，5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 解析：设 A =“某一天的空气质量为优良”，B =“随后一天的空气质量为优良”，则()0.6(|)0.8()0.75

P AB P B A P A ===.

14.（2013·新课标Ⅰ，3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样

【答案】C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．

15.（2012·新课标Ⅰ，2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

A ．12种

B ．10种

C ．9种

D ．8种

【答案】A 解析：先安排甲组，共有122412C C ?=种，再安排乙组，将剩余的1名教师和2名学生安排到

乙组即可，共有1种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12种，故选择A 。

16.（2011·新课标Ⅰ，4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34

【答案】A 解析：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193

=选A 17.（2012·新课标Ⅱ，2）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

A. 12种

B. 10种

C. 9种

D. 8种

【答案】A 解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有1224C C 种安排方案.

18.（2011·新课标Ⅱ，4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）

A ．13

B ．12

C ．23

D ．34

【答案】A 解析：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情

形只有3种，所求的概率为P =3193

=，故选A. 19.(2018·新课标Ⅰ，理15) 从2名女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有 种（用数字填写答案）.

【答案】16 解析：方法一：一类：1名女生，2名男生，则有2

412C C 种；二类：2名女生，1名男生，则

有1422C C 种；∴共有161

4221412=+C C C C 种.

方法二：共有36C 种选法，没有女生的选法有：34C 种，∴至少有一名女生的选法的种数163436=-C C . 20.（2017·新课标Ⅱ，13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100

次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = ．

【答案】1.96 解析：随机变量()100,0.02∽B X ，()()1 1.96D X np p =-=.

21.（2016·15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙

的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .

【答案】(1,3) 解析：由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足； 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3）.

22.（2013·新课标Ⅱ，14）从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114

，则n=______. 【答案】8 解析：从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)，

共2种，所以22

1C 14

n =，即24111142

n n n n ==(-)(-)，亦即n 2-n -56=0，解得n =8. 23.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命

（单位：小时）服从正态分布N (1000，502)，且各元件能否正常工

作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 【答案】38 解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12

，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228--?=.