八年级数学下册导学案主备人:李朋飞审核人:编号:
课题:第一章一元一次不等式和一元一次不等式组§2.1 不等关系
学习目标: 1.理解不等式的意义. 2.能根据条件列出不等式. 3.通过列不等式,训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力. 4.通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
学习重点:用不等关系解决实际问题. 学习难点:正确理解题意列出不等式.
预习展示:(3分钟)
请同学们预习作业教材P37-38的内容,在学习的过程中请弄清以下几个问题:
1.不等式的概念:
一般地,用符号“<”(或≤),“>”(或≥)连接的式子叫做______________
2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆,绳长L应满足的关系式为_________________ 导学释疑:(20分钟)
活动探究1:(10分钟)
如图1-1,用两根长度均为l cm的绳子,分别围成一个正方形
和圆.(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2,那么绳长l
应满足怎样的关系式?
(2)如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式?
(3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?l=12呢?
(4)你能得到什么猜想?改变l的取值,再试一试
本题小结:重点难点易错点
活动探究2:(5分钟)
用不等式表示(1)a是正数;(2)a是负数;(3)a与6的和小于5;(4)x与2的差小于-1;(5)x的4倍大于7;(6)y的一半小于3.
变式训练:用适当的符号表示下列关系:
(1) a是非负数;(2直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长;(3) X与17的和比它的5倍小。
2.(1)当x=2时,不等式x+3>4成立吗?(2)当x=1.5时,成立吗?(3)当x=-1呢?活动探究3:(5分钟)
a,b两个实数在数轴上的对应点如图1-2所示:
用“<”或“>”号填空:
(1)a__________b;(2)|a|__________|b|; (3)a+b__________0;(4)a-b__________0;
(5)a+b__________a-b;(6)ab__________a
本题小结:重点难点易错点
达标检测(10分钟)
1、用适当的符号表示下列关系:
(1)x 的 3 倍与 8 的和比 x 的 5 倍大;(2)x2是非负数;(3)地球上海洋面积大于陆地面积;(4)老师的年龄比你年龄的 2 倍还大;(5)铅球的质量比篮球的质量大.
2.请设计不同的实际背景来表示下列不等式:
(1)x + y > 5;(2)2 x + 1 < 3.
3.用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素 C 含量及购买这两种原
料的价格如下表:甲种原料乙种原料
维生素 C /(单位 / kg) 600 100
原料价格 /(元 / kg) 8 4
(1)现配制这种饮料 10 kg,要求至少含有 4 200 单位的维生素 C,试写出所需甲种原料的质量 x(kg)应满足的不等式;
(2)如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过 72 元,那么你能写出 x(kg)应满足的另一个不等式吗?
4.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠条
件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)
课堂小结:(3分钟)
反思:(2分钟)
§7.1不等关系与不等式 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a 1,则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) (4)a >b >0,c >d >0?a d >b c .( √ ) (5)若ab >0,则a >b ?1a <1 b .( √ ) 题组二 教材改编 2.若01且2a <1, ∴a <2b ·a =2a (1-a )=-2a 2+2a =-2????a -122+12<12. 即a <2ab <1 2 , 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab >1-12=1 2 ,
即a 2+b 2>1 2 , a 2+ b 2-b =(1-b )2+b 2-b =(2b -1)(b -1), 又2b -1>0,b -1<0,∴a 2+b 2-b <0, ∴a 2+b 2b >0,c
§3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售
2.1 不等关系 1.了解不等式的概念; 2.会用不等式表示简单问题的数量关系.(重点,难点 ) 一、情境导入 有一群猴子,一天结伴去摘桃子.分桃子时,如果每只猴子分3个,那么还剩下59个;如果每只猴子分5个,那么最后一只猴子分得的桃子不够5个.你知道有几只猴子,几个桃子吗? 二、合作探究 探究点一:不等式的概念 下列各式中:①-3<0;②4x + 3y >0;③x =3;④x 2+xy +y 2;⑤x ≠5;⑥x +2>y +3.不等式的个数有( ) A .5个 B .4个 C .3个 D .1个 解析:③是等式;④是代数式,没有不等关系,所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥,共4个.故选B. 方法总结:本题考查不等式的判别,一般用不等号表示不等关系的式子是不等式.解答此类题的关键是要识别常见不等号:>,<,≤,≥,≠.如果式子中没有这些不等号,就不是不等式. 探究点二:列不等式 【类型一】 用不等式表示数量关系 根据下列数量关系,列出不等式: (1)x 与2的和是负数; (2)m 与1的相反数的和是非负数; (3)a 与-2的差不大于它的3倍; (4)a ,b 两数的平方和不小于他们的积的两倍. 解析:(1)负数即小于0;(2)非负数即大于或等于0;(3)不大于就是小于或等于;(4)不小于就是大于或等于. 解:(1)x +2<0; (2)m -1≥0; (3)a +2≤3a ; (4)a 2+b 2≥2ab . 方法总结:在列不等式时要善于将文字与相应的数学符号相对应,如负数――→对应 <0等,列出相应的不等式. 【类型二】 实际问题中的不等式 亮亮准备用自己节省的零花钱买 一台学生平板电脑.他现在已存有55元,计划从现在起以后每个月节省20元.若此学生平板电脑至少需要350元,则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( ) A .20x -55≥350 B .20x +55≥350 C .20x -55≤350 D .20x +55≤350 解析:此题中的不等关系:现在已存有55元,计划从现在起以后每个月节省20元.若此学生平板电脑至少需要350元.列出不等式20x +55≥350.故选B. 方法总结:用不等式表示数量关系时,要找准题中表示不等关系的两个量,并用代数式表示;正确理解题中的关键词,如负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义. 三、板书设计 1.不等式的概念 2.列不等式 (1)找准题目中不等关系的两个量,并且用代数式表示; (2)正确理解题目中的关键词语的确切含义; (3)用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来; (4)要正确理解常见不等式基本语言的
1.1 不等关系 一、选择题 1.如果a<-1,则a与-a的关系为() A.a>-a B.a<-a C.a=-a D.不能确定 2.实数m,n在数轴上的位置如图所示,则下列不等关系正确的是() A.n
高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点 1.不等关系 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:a>b;a-?>b a b a ;0<-?, a b b a >?< (2)传递性:,a b b c >>?,a c > (3)可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论:同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ (4)可乘性:bc ac c b a >?>>0,,,0a b c >>>>?ac bd > 推论2:可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n *∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 之间的关系:
3.一元二次不等式恒成立情况小结: 2 0ax bx c ++>(0a ≠)恒成立?00a >???. 20ax bx c ++<(0a ≠)恒成立?00 a ??. 4. 一般地,直线y kx b =+把平面分成两个区域(如图): y kx b >+表示直线上方的平面区域;y kx b <+表示直线下方的平面区域. 说明:(1)y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域; y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域. (2)对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 5.基本不等式: (1).如果R b a ∈,,那么ab b a 22 2≥+. (2). ≤2 a b +(0,0)a b >>. (当且仅当b a =时取“=”)
第1讲 不等关系与不等式 【2013年高考会这样考】 结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用. 【复习指导】 不等式的性质是解(证)不等式的基础,关键是正确理解和运用,要弄清条件和结论,近几年高考中多以小题出现,题目难度不大,复习时,应抓好基本概念,少做偏难题. 基础梳理 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a -b >0?a >b ;a -b =0?a =b ;a -b <0?a <b .另外,若b >0,则有a b >1?a >b ;a b =1?a =b ;a b <1?a <b . 3.不等式的性质 (1)对称性:a >b ?b <a ; (2)传递性:a >b ,b >c ?a >c ; (3)可加性:a >b ?a +c >b +c ,a >b ,c >d ?a +c >b +d ; (4)可乘性:a >b ,c >0?ac >bc ;a >b >0,c >d >0?ac >bd ; (5)可乘方:a >b >0?a n >b n (n ∈N ,n ≥2); (6)可开方:a >b >0? n a >n b (n ∈N ,n ≥2). 一个技巧 作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方. 一种方法 待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数,最后利用不等式的性质求出目标式的范围. 两条常用性质 (1)倒数性质:
不等关系与不等式 【学习目标】 1.了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握比较两个实数大小的方法. 3.掌握不等式的八条性质. 【学法指导】 1.不等关系广泛存在于现实生活中,应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”,是用不等式知识解决实际问题的第一步.只需根据题意建立相应模型,把模型中的量具体化即可. 2.作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一,可简单概括为“三步一结论”,其中关键步骤“变形”要彻底,当不能“定号”时注意分类讨论. 3.不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据,应用时每步都要做到等价变形. 一、知识温故 a-b>0?; a-b=0?; a-b<0?. 3.常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性); (2)a>b,b>c?a c(传递性); (3)a>b?a+c b+c(可加性); (4)a>b,c>0?ac bc;a>b,c<0?ac bc; (5)a>b,c>d?a+c b+d; (6)a>b>0,c>d>0?ac bd; (7)a>b>0,n∈N,n≥2?a n b n; (8)a>b>0,n∈N,n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左 边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a,b之间具有以下性质:
如果a-b是正数,那么; 如果a-b是负数,那么; 如果a-b等于零,那么. 以上结论反过来也成立,即a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖,糖水变得更甜了.你能把这一现象用一个不等式表示出来吗?并证明你的结论. 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上,可以给出不等式八条基本性质的严格证明.证明时,可以利用前面的性质推证后续的性质. 请同学们借助前面的性质证明性质6: 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
不等式与不等关系 考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 1.从高考内容上来看,不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点. 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用,有时与充要性的判断交汇命题,体现了化归转化思想,难度中、 低档. 3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程 基础梳理 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系 a - b >0? ;a -b =0? ; a -b <0? . 二、不等式的基本性质 1.对称性a >b ? 2.传递性a >b ,b >c ? 3.可加性a >b ? 4.可乘性 a >b c >0? , ? ?? a > b c <0? 5.同向可加性 ? ?? a > b c > d ? 6.同向同正可乘性 ? ?? a > b >0 c > d >0? 7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ,n ≥2) 8.可开方性a >b >0? (n ∈N ,n ≥2) 两条常用性质
① a >b ,ab >0?1a <1 b ② 若a >b >0,m >0,则b a <b +m a +m ; 双基自测 1.若x +y >0,a <0,ay >0,x -y 的值为 ( ) A .大于0 B .等于0 C .小于0 D .不确定 2.(教材习题改编)已知a ,b ,c 满足c ac B .c (b -a )<0 C .cb 2
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 1.1 不等关系 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解不等式的意义. 2.能根据条件列出不等式. (二)能力训练要求 通过列不等式,训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力. (三)情感与价值观要求 通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣. ●教学重点 用不等关系解决实际问题. ●教学难点 正确理解题意列出不等式. ●教学方法 讨论探索法. ●教具准备 投影片两张 第一张(记作§1.1 A) 第二张(记作§1.1 B) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们学过等式,知道利用等式可以解决许多问题.同时,我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系,利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系,以及不等关系的应用. Ⅱ.新课讲授 [师]既然不等关系在现实生活中并不少见,大家肯定接触过不少,能举出例子吗? [生]可以.比如我的身高比她的身高高5公分.
用天平称重量时,两个托盘不平衡等. [师]很好.那么,如何用式子表示不等关系呢?请看例题. 投影片(§1.1 A ) 图1-1 [师]本题中大家首先要弄明白两个问题,一个是正方形和圆的面积计算公式,另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意. [生]正方形的面积等于边长的平方. 圆的面积是πR 2,其中R 是圆的半径. 两数比较有大于、等于、小于三种情况,“不大于”就是等于或小于. [师]下面请大家互相讨论,按照题中的要求进行解答. [生](1)因为绳长l 为正方形的周长,所以正方形的边长为 4l ,得面积为(4l )2,要使正方形的面积不大于25 cm 2,就是 ( 4l )2≤25. 即162l ≤25. (2)因为圆的周长为l ,所以圆的半径为 R= 2l . 要使圆的面积不小于100 cm 2,就是
第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系,掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义,掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系,并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a+b 2 (a,b>0) 掌握基本不等式ab≤ a+b 2 (a,b>0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式. 了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?ab,ab>0?1 a < 1 b .
②a <0b >0,0
《不等关系与不等式》教案 【教学目标】 1.掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法,理解不等关系的传递性,能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小 2.通过对具体问题的分析,培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力,提高学生解决实际问题的能力 3.通过问题情境,激发学生的学习动机和好奇心理,使其主动参与交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度 【重点难点】 重点:比较实数大小的方法. 难点:1.比较实数大小方法中的代数变形; 2.比较实数大小方法的实际应用 【教学方法】体验法、合作讨论法 【教学过程】 (一)创设情境 泰山旺季门票原价为180元,现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案) 优惠方案A:买全票一张,则其余票可享受八折优惠; 优惠方案B:按团体购票,一概优惠30元. 为了使门票花费最少,请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案? 教师:5-7人,由学生先对多种情况进行讨论。 合作交流:同桌讨论合作完成下列表格(作业纸)
(学生思考演算并请学生回答结果) 由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题,这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小(板书课题同时幻灯片出示课题)继续就上述情境提问:对于人数确定的情况,两个具体的实数我们很容易比较大小,如果人数不确定呢,又该如何比较大小? 若设人数为n,记采用方案A的费用为) f,采用方案B的费用 (n 为) n g150 (= n ) f,n g,则36 =n 144 (n ) (+ 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小,我们该怎么办呢?(学生思考) 对于这两个式子来说,它们有以下的三种大小关系: g n n >n ? n - f g n f ) ( ) > 6 ( ? ) ) (< ( n g n =n ? g - f n n f ( ( ) = ) 6 ) (= ? ( ) g n
1.1 不等关系 课型:新授主编:审核:学生姓名:_______- [目标导航] 1、学习目标 通过具体情景,感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,经历实际问题中数量关系的分析和抽象过程,了解不等式的意义。 2、学习重点:不等式的概念及对文字表述的数量关系能列出不等式。 3、学习难点:根据实际情景列不等式 [课前导学] 1、用不等号填空 7+3 4+3 7×2 4×2 2、以上式子是等式吗?它表示的是 关系的式子。 3、不等关系在现实生活中无处不在!你能举出一些与不等关系有关的现实生活例子吗?[课堂研讨] 1、新知探究 (1)解答以下各题,并与同伴交流 如图用根长度均为l㎝的绳子,分别围成一个正方形和圆。用S表示下图的面积? a、如果要使正方形的面积不大于25㎝2,那么绳长l应满足怎样的关系式? b、如果要使圆的面积大于100㎝2,那么绳长l应满足怎样的关系式?
c、当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?l=12呢?(用计算器计算) d、改变l的取值再试一试,在这个过程中你能得到什么启发? 2、做一做 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可能计算出它的树龄,通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝,以后树围每年增加约3㎝,这棵树至少要生长多少年其树围才能超过 2.4m?(只列关系式) 3、议一议 观察由上述问题得到的关系式,它们有什么共同特点? 4、知识归纳总结 一般地,用符号“<”(或“≤”)“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。不等符号:>,<,≥,≤.“≥”读作“大于等于”,表示大于或等于也就是不小于;“≤”读作“小于等于”, 表示小于或等于也就是不大于;例如:x≥y 表示 x大于或等于y,也就是x不小于y。 4、巩固练习 a. 用适当符号表示下列不等关系用适当的符号表述下列关系 ①是非负数;②直角三角形斜边比它的直角边都长 ③与的17和比它的5倍小;④的2倍与的3倍的差是非负数 ⑤某商品原价为元,降价后,价格仍不低于15元。 ⑥为非整数 b. 下列各式中的不等式有 个。 (1)8<9; (2)a+b=0; (3)a2+1>0; (4)3x- 1≤x;