专题05 解析几何-高考数学备考关键问题指导高端精品(2018版)(原卷版)

专题五 解析几何

【高考考场实情】

解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，其中蕴含丰富的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．因此，要注意数学思想方法在问题解决过程中的核心地位．

【考查重点难点】

近几年解析几何内容考查的题型归纳与分析如下：

题，常与函数、不等式交汇命题①考查以直线、圆、圆锥曲或难题②考查某解析式成立的参数是否存在．

【存在问题分析】

（一）缺乏利用圆锥曲线的定义研究相关问题的意识与模式习惯

【指点迷津】定义是数学问题研究的起点．圆锥曲线的定义蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．

【例1】（2016全国I 卷理20）设圆22

2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，

l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程．

（二）缺乏对几何条件代数化（坐标化）方法策略的深入研究

【指点迷津】解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．

【例2】（唐山2017）已知O 为坐标原点，F 是双曲线()22

22:10,0x y a b a b

Γ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的

左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为（ ） A ．3 B ．2 C ．3

2

D ．43

（三）缺乏对算法、算理、算式的分析，简化运算的意识待加强

有效运算、简便运算是求解解析几何问题必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程、如何整体代换、如何化简等．

【例3】（2017全国Ⅰ卷理10）已知F 为抛物线C ：2=4y x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【例4】（2015全国Ⅱ卷理20）已知椭圆222

:9(0)C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与

C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（略）

（Ⅱ）若l 过点(,)3

m

N m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的

斜率，若不能，说明理由．

（四）缺乏参数的选择与解题过程中的优化意识

【指点迷津】我们往往需要设元引参，但选择什么作为参数对问题的解决影响较大，

【例5】（2017厦门高二理11）抛物线2

:2C y px =(0)p >与椭圆22

22:1x y E a b

+= (0)a b >>有相同焦点F ，两

条曲线在第一象限内的交点为A ．若直线OA 的斜率为2，则椭圆的离心率为

A B C 1 D 【解决问题对策】

（一）立足概念，返璞归真-----适度挖掘图形的特征，善于运用圆锥曲线的定义．

【指点迷津】数形结合思想为指导，把定量的计算与定性的分析（图形的几何性质）有机结合，可简化计算量上．圆锥曲线的定义是根本，利用定义解题是高考的一个重要命题点．圆锥曲线的定义反映了它们的

图形特点，是画图的依据和基础，也是问题研究的基础，正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．已知圆锥曲线上的点以及焦点，应考虑使用圆锥曲线的定义．

【例6】（2015重庆理21）如图所示，椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线

交椭圆于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥．

（1

）若12PF =

22PF = （2）若1PF PQ =，求椭圆的离心率e ．

（二）巧用平几，事半功倍------关注平面几何知识方法与性质在问题转化中的应用，关注几何图形（特别是三角形）相关方法在运算中的应用．

【指点迷津】解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．

提高等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．

【例8】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．

【例9】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 两点，射线OA 和OB 分别和圆22

(2)4

x y -+=交于D 、E 两点，若

OAB

ODE

S S λ??=，则λ的最小值等于 A ．12 B ．13 C ．1

4

D ．15

（三）设而不求，参数归一------过整体代换的思想，简化运算过程，实现设而不求，简洁明了、准确解题．

【指点迷津】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能受到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，尤其是“设而不求”，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．

譬如圆锥曲线中的定点、定值问题，解决的基本思想从变量中寻求不变，即先用变量表示所求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关．其基本策略：定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．另外，对于某些定点问题的证明，可以先通过特殊情形探求定点坐标，然后对一般情况进行证明，这种方法在填空题中更为实用．

【例10】过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂

足分别为1A ，1B 两点，以线段1A 1B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(2)2x y ++-= B ．22(1)(1)5x y ++-= C ．22(1)(1)17x y +++= D ．22(1)(2)26x y +++=

【例11】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

142

x y +=，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，

其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线

P A 的斜率为k ．求证：对任意k ＞0，都有P A ⊥PB ．

（四）函数思想，方程互化-----整体意识下利用方程思想处理求值，利用函数思想求范围和最值．

【例12】（2015天津理19）已知椭圆()2222+=10x y a b a b >>的左焦点为(),0F c -

M 在椭圆

上且位于第一象限，直线FM 被圆2

2

2

+4

b x y =截得的线段的长为c

，FM ．（1）求直线FM 的斜率；

（2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP

OP （O 为原点）的斜率的取值范围．

【例13】（2015四川理20）如图所示，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>

()0,1P 的动直

线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E

截得的线段长为．（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB

PB

=

恒成立？若存在，求

出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【新题好题训练】

1．已知椭圆

的右焦点关于直线

的对称点为，点为

的对称中心，直线

的斜率为，且的长轴不小于，则的离心率（ ）

A. 存在最大值，且最大值为

B. 存在最大值，且最大值为

C. 存在最小值，且最小值为

D. 存在最小值，且最小值为

2

．已知双曲线

的一条渐近线与直线

垂直，且焦点在圆上，

则该双曲线的标准方程为（ ）

A.

B.

C.

D.

3．已知抛物线上的两个动点和，其中且.线段的垂直

平分线与轴交于点，则点 C 与圆的位置关系为( )

A. 圆上

B. 圆外

C. 圆内

D. 不能确定

4．设为椭圆上在第一象限内的一点，，分别为左、右焦点，若，则以为圆心，

为半径的圆的标准方程为__________．

5．过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于、两点，过、两点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，若，，则抛物线的方程为__________．

6．已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为.

（1）求抛物线在点处的切线方程；

（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为.证明：为定值，并求该定值.

7．已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点.

（1）若直线的斜率为1，，求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线与轴交于点，，求的值.

8．在直角坐标系中，设点A（-3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是

（1）试讨论点M的轨迹形状；

（2）当0

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为直线上的任意一点，，交椭圆于，两点，求四边形面积的最大值.

10．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.