当前位置：文档库 › 考点16 解斜三角形及应用举例

考点16 解斜三角形及应用举例

温馨提示：

此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。

考点16 解斜三角形及应用举例

一、选择题

1.（2011·四川高考理科·Ｔ6）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）

（A ）(0,]6π （B ）[,)6ππ （C ）(0,]3π （D ）[,)3

ππ 【思路点拨】先用正弦定理，角化边，再用余弦定理求出角A 的余弦值的取值范围.

【精讲精析】选C.由正弦定理得，222222,,a b c bc b c a bc ≤+-+-≥即

由余弦定理得，2221cos .222

b c a bc A bc bc +-=≥= 又0,0.3A A π

π<<∴<≤ 故选C.

2.(2011·重庆高考理科·T6)若△ABC 的内角A B C ,,所对的边a b c ,,满足4)(22=-+c b a ,

且C=60°，则ab 的值为( ) (A)34 (B) 348- (C)1 (D) 3

2 【思路点拨】直接利用余弦定理公式得到关于b a ,的一个方程进而可求出ab 的值.

【精讲精析】选A.由余弦定理可知C ab b a c cos 2222-+=,因为C =60 ，

所以ab b a c -+=222,又4)(22=-+c b a ，

所以有4)(2-+b a ab b a -+=22,解之得.3

4=ab 3.(2011·重庆高考文科·T8)若△ABC 的内角A B C ,,满足C B A sin 3sin 4sin 6==,则=B cos ( )

(Ａ)415 (Ｂ)43 (Ｃ)16

153 (Ｄ)1611

【思路点拨】由正弦定理可把角的关系转化为边的关系,然后利用余弦定理的推论求出B cos .

【精讲精析】选D.由正弦定理及C B A sin 3sin 4sin 6==可知c b a 346==.

令2=a ,则4,3==c b ,.16

1142291642cos 222=??-+=-+=ac b c a B 二、填空题

4.（2011·上海高考理科·T6）在相距2千米的A ,B 两点处测量目标点C ，若

75,60CAB CBA ∠=∠= ，则A ，C 两点之间的距离为千米.

【思路点拨】利用三角形中的重要的定理——正弦定理，是解决本题的关键，通过a b c ==sinA sinB sinC

，可对应求解. 【精讲精析】由已知条件75,60CAB CBA ∠=∠= ，得45ACB ?∠=，

再结合正弦定理，

2,=,sin sin sin 45sin 60AB AC AC ACB CBA ??=∠∠即解得

【答案】三、解答题

5.（2011·湖北高考理科·T16）

设△ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为，，a b c ，已知

（1）求△ABC 的周长.

（2）求()cos A C -的值.

【思路点拨】(1)已知两边及夹角由余弦定理构造方程求c ,再求周长.（2）由平方关系及cosC 求出sinC,再利用正弦定理求出sinA, 然后由平方关系求出cosA,最后根据两角差的余弦公式求cos(A-C).

【精讲精析】（1）∵2221c a b 2ab cos C 1444,4

=+-=+-?

= ∴2=c .

∴ABC ?的周长为5221=++=++c b a .

（2）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=??? ??-=-=C C ， ∴8

152415sin sin ===c C a A .

∵c a <，∴C A <,故A 为锐角， ∴878151sin 1cos 2

2=???

? ??-=-=A A . ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +

=7111.8416=?= 6.（2011·全国高考理科·Ｔ17） △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.己知A-C= 90°，

a+c=b ，求C.

【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A-C=90°,得到sin cos A C =,即可求解.

【精讲精析】由90A C -= ，得A 为钝角且sin cos A C =，

利用正弦定理，a c +=

可变形为sin sin A C B +=，即有sin sin cos sin 245)2A C C C C B +=+=+= ，

又A,B,C 是△ABC 的内角，故

45C B += 或(45)180C B ++= (舍去)

所以(90)(45)180A B C C C C ++=++++= .

所以15C = .

7.（2011·全国高考文科·Ｔ18）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.

己知sin csin sin sin a A C C b B +=.

(1)求B.

（2）若75,2,A b == a c 求，.

【思路点拨】第（1）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决.

（2）在（1）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.

【精讲精析】(1)

由正弦定理得222a c b +=，

由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.

故cos 2

B =，又0

（2）sin sin(3045)A =+

sin 30cos 45cos30sin 45=+

=，

故sin 1

sin A a b B =?== sin sin 60

2sin sin 45

C c b B =?=?=

关闭Word 文档返回原板块。

解斜三角形应用举例(第一课时) 教案

解斜三角形应用举例（一） ●教学目标（一）知识目标 1.实际应用问题中的专用名词； 2.解斜三角形问题的类型. （二）能力目标 1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法； 2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力. （三）德育目标通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用. ●教学重点 1.实际问题向数学问题的转化； 2.解斜三角形的方法. ●教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定. ●教学方法启发式在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理. ●教具准备投影仪、三角板、幻灯片第一张：例1、例2（记作§5.10.1 A）［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40 m，计算BC的长（保留三个有效数字）. ［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 第二张：例3、例4（记作§5.10.1 B）［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. ［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.

考点13 解斜三角形及应用举例

温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。考点13 解斜三角形及应用举例 1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A ）3- （B ）3 （C （D ）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质. 【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB. 【规范解答】选C.由正弦定理知 sin sin a b A B = 知sin sin b A B a = 10215 = = 32 < ，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键. 2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111 ,,13115 ，则此人能（）（A ）不能作出这样的三角形（B ）作出一个锐角三角形（C ）作出一个直角三角形（D ）作出一个钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用．【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则 S a =?13 121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形. 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若

解三角形应用举例练习高考试题练习

解三角形应用举例练习班级姓名学号得分一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______.

解斜三角形及应用举例练习

一、选择题(每小题6分，共36分) 1．(陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 ( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 【解析】由正弦定理得6sin 120°＝2 sin C ， ∴sin C ＝1 2 . 又∵C 为锐角，则C ＝30°， ∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.故选D. 【答案】 D 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π 3，b ＝1，△ABC 的面积 3 2 ，则a 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C.3 2 D. 3 【解析】由已知得：12bc sin A ＝12×1×c ×sin 60°＝3 2?c ＝2，则由余弦定理可得：a 2 ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3?a ＝ 3. 【答案】 D 3．某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为 ( ) A ．15米 B ．5米 C ．10米 D ．12米【解析】如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h . 在Rt △AOD 中， ∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，

在△OCD 中， ∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．【答案】 C 4．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为 ( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．不确定【解析】由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝ 6×222＝32 . ∵c ＞a ，∴C ＞A ＝45°， ∴C ＝60°或120°， ∴满足条件的三角形有2个，即m ＝2.∴a m ＝4. 【答案】 A 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且a b ＝3，则角C 的值为 ( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 【解析】由b 2＋c 2－bc ＝a 2得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 又a b ＝3，∴sin A sin B ＝3，

解三角形应用举例

东方中学教案 1．知识与技能：会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 2．过程与方法：通过巧妙的设疑，顺利的引导新课，为下节课做好铺垫。结合学生的实际情况，采用“提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈练习”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在联系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。 3．情感、态度与价值观：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。

修改简记教学过程：一、复习引入：二、讲解范例：例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点 B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件， AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A ＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571 ∴BC≈1．89 （ｍ）答：油泵顶杆B C约长1．89 ｍ评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间

解斜三角形应用举例三实习作业

解斜三角形应用举例三实习作业一、实际问题：（一）测量底部不能到达的某物体的高度问题1：试设计一种方案，测量一山顶上的电视塔的顶部与地面的距离。问题2：测量如图所示小河两岸,A B 两点之间的距离。（二）测量都不能到达的两点之间的距离问题3：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N 但不能到达，试设计一种方案，测量M ， N 之间的的距离。（1）提示小题：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N ，但不能到达。在河岸边选取相距 40米的,P Q 两点，并测得75MPN ∠= ，45NPQ ∠= ，30MQP ∠= ，45MQN ∠= ，试求两个目标物,M N 之间的距离。 A B ? ? M N ? ? 地面 M P Q M N

（2）一般地：如图，在河对岸可以看到两个目标物,M N ，但不能到达，在河岸边选取相距40 米的,P Q 两点，并测得,,,MPN NPQ MQP MQN βαγδ∠=∠=∠=∠=，试求两个目标物,M N 之间的距离。（三）测量河宽问题4：如图，在河的一岸边选定A 和B 两点，望对岸的标记物C 测得：45CAB ∠= ， 75CBA ∠= ，120AB =米，求河宽。二、作业： 1．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角5440α'= ，在塔底C 处测得点A 的俯角501β'= ，已知铁塔BC 部分高27.3米，求山高CD （精确到1米）。 2．飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250米，速度为180 千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为1830' ，经过960秒后又看到山顶的俯角为81 ，求山顶的海拔高度。 A B C 45 75

解三角形应用举例最新衡水中学自用精品教学设计

解三角形应用举例主标题：解三角形应用举例副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角难度：3 重要程度：5 考点剖析：能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题．规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．

知识梳理 1．距离的测量背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理求BC； (3)△ABC中，用余弦定理求AB 2.高度的测量背景可测元素图形目标及解法底部可到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．

解三角形应用举例

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时解三角形应用举例 1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里．答案：5 6 解析：由正弦定理，知 BC sin60°＝AB sin （180°－60°－75°），解得BC ＝56(海里)． 2. (必修5P 20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案：10 3 解析：如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO ＝60°，OM ＝AOtan45°＝30，ON ＝AOtan30°＝ 3 3 ×30＝103，由余弦定理，得 MN ＝ 900＋300－2×30×103× 3 2 ＝300＝103(m)． 3. (必修5P 18例1改编)如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是__________ m. 答案：20 6 解析：由已知知△BDC 为等腰直角三角形，故DB ＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠BAD＝∠BCD＝45°；

在△BDA 中，运用正弦定理可得AB ＝20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m. 答案：10 解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h. 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h. 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10. 由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2 －2OC·CD cos ∠OCD ，即(3h)2 ＝h 2 ＋102 －2h×10×cos120°， ∴ h 2 －5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．答案：mcos αcos β>nsin(α－β) 解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β），解得BM ＝ mcos αsin （α－β）.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos β sin （α－β） >n ，所以α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险． 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．

510解斜三角形应用举例(一)

课题：解斜三角形应用举例（一）教学目标： 1. 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法； 2. 搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3. 理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4. 通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 . 实际问题向数学问题转化思路的确定新授课 1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发式在教学中引导学生分析题意，发学生在解三角形时正确选用正、教学过程：、复习引入: 2 2 C C C a +b -C -2abcosC ，二 cosC = ------------------- 2ab 教学重点: 实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 1.正弦定理: a sin A b sin B =2R si nC 2 .余弦定理：a 2 .2 =b 2 b 2 + c 2 - a 2 + c - 2bc cos A,二 cos A = --------------- 2bc b 2 =c 2 +a 2 2^2 .2 -2cacosB^ cosB=」^ 2ca 3.解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用, 教学难点：授课类型：课分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启余弦定理 . 2 *2 =a +b

B 如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用算油泵顶杆BC 的长度.已知车箱的最大仰角为 60 °,油泵 / 顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1 . 95m, AB 与水平 J \ 线之间的夹角为 6° 20’，AC 长为1 . 40m,计算BC 的畀&広.匸”真丁 ??? BO 1. 89 （m ）答：油泵顶杆 B C 约长1 . 89 评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来 . 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为 45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105。的方向，以9海里/h 的速度向某小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以21海里/h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进？并求出靠近渔船所用的时间. 分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为 X h,则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的/ 1 , / 2可以求出，而 AC 已知，BC AB 均可用 X 表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题 . 解：设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 X h,贝U AB= 21 X 海里，BC= 9X 海里，AC= 10 海里，/ ACB=/ 1 +/ 2 = 45。+ （180 ° — 105 ° ） = 120 ° , 根据余弦定理，可得 AB = A C + B C — 2AC- BC- cos120 °得 (21 X )2 = 102 +( 9 X ) 2 — 2 X 10X 9 X COS120 二、讲解范例：例1自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计长（保留三个有效数字）. 分析：求油泵顶杆 BC 的长度也就是在^ ABC 内，求边长BC 的问题, 据已知条件，AC = 1.40m,AB= 1 . 95 一°“，相当于已知△ ABC 的两边和它们的夹角，由余弦定理，得 B C = A B + A C 一 2AB ? ACCos A 2 2 =1. 95 + 1 . 40 — 2 X 1 . 95 X 1 . m, / BAC= 60°+ 6° 20’= 66 所以求解BC 可根据余弦定理. 而根 20’ . 40X COS66 ° 20‘= 3. 571

年高考第一轮复习数学.解斜三角形

解斜三角形 ●知识梳理 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 A a sin = B b sin =C c sin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2= b 2+ c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ③ 在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cos A =bc a c b 22 22-+； cos B =ca b a c 22 22-+； cos C =ab c b a 22 22-+. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把

三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”. ●点击双基 1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形解析：由2cos B sin A =sin C 得ac b c a 2 22-+×a =c ，∴a =b . 答案：C 2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 +cos A =5 1 B.AB ·BC ＞0 +tan B +tan C ＞0 =3，c =33，B =30° 解析：由sin A +cos A =5 1 得2sin A cos A =－ 25 24 ＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由 B b sin = C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3 π 2. 答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为2 3，那么b 等于 A. 2 3 1+ +3

解三角形应用举例

第7节解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知识梳理 1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为? ?????0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )

解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212 ＝502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.

解斜三角形应用

例1．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50米．求此山对于地平面的斜度的倾斜角．分析：设山对于地平面的斜度的倾斜角，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角．解：在△ABC中，，根据正弦定理有又在△BCD中，根据正弦定理有解得 ∴ 山对于地平面的斜度的倾斜角为．小结：解应用题，首先要增强应用数学的意识．解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题．例2．在一个很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为 2.5km/h．同时岸上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为 4km/h，在水中游的速度为 2km/h．问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？分析：由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上，所以本题应讨论的问题不是同一直线上的追及问题．只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船．我们可以假设船速为v（未知），人在岸上跑的速度和水中游的速度仍为题目所给定的常数．因人在岸上跑所用的时间与人在水中游所用的时间之和等于船在水中行驶所用的时间，所以当时，人是不可能追上小船的．当时，人不必在岸上跑，而立即从同一地点直接下水就可追上小船．因此只有先设法求出它们三者能构成三角形的最大速度，再与现有船速进行比较，即可判断人能否追上小船．