高考数学必考排列组合全部解题方法

排列组合全部解题方法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有1

3C 然后排首位共有14C

最后排其它位置共有34A

由分步计数原理得113

434288C C A =

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少

不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进

行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522

522480A A A =种不同的排法

乙甲丁

丙

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少

种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间

包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54

56A A 种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总

排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73

73/A A

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4

7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1

种坐法，则共有4

7A 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

C 1

4

A 3

4

C 1

3

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6

7种不同的排法

练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87

六.环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人4

4

A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

H

F

D

C

A

A B C D E A

B

E

G

H

G

F

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有2

4

A种,再排后4个位

置上的特殊元素丙有1

4

A种,其余的5人在5个位置上任意排列有5

5

A种,则共有215

445

A A A种

前 排后 排

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2

5

C种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4

个不同的盒内有4

4

A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有24

54

C A

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素

的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为n

m种

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆

形排列共有

1

m

n

A

n

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有22

22A A 种排法，由

分步计数原理共有222

222A A A 种排法.

1524

3

练习题：

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2

5

4

254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有2

5

5255A A A 种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位

置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有6

9C 种

分法。

一

班二班三班四班五班六班七班

练习题：

1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 4

9C 2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇

数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得2

2

2

642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取

AB,第二步取

CD,第三步取

EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222

642C C C 中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是

(AB,CD,EF)一种分法,故共有2223

6423/C C C A 种分法。

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1

1m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（5442

13842/C C C A ）

2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______（2

2

2

2

4262/90C C A A =）

十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节

目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有22

33C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员

112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有22

55C C 种，由分类计数原理共有

2211222

3353455C C C C C C C ++种。

练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3

盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有3

5C 种

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） 十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩

下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒

时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2

52C 种

534

3号盒 4号盒 5号盒

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

5

4

3

21

十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，

所有的偶因数为：12345

55555C C C C C ++++

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共4

81258C -=,每个四面体有

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174?=对异面直线

十七.化归策略

例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人 不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的 一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从

3×3方队中选3人的方法有111

321C C C 种。再从5×5方阵选出3×3 方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有3355C C 选法所以从

5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有33111

55321C C C C C 选法。

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，

从A 走到B 的最短路径有多少种？(3

735C =)

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

解:297221

122334455=++++=A A A A A N

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是

3140 十九.树图策略

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。

B

A

例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传

球方式有______ 10=N

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（54321,,,,i =）的不同坐法有多少

种？44=N

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且

三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:

二十一：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.

小结

本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

排列组合题型

一．直接法

1． 特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：

25A 2

4A =240 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，树图会收到意想不到的结果 红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 取法 1415C C 2415C C 3415C C 1325C C 2325C C 1

235C C

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有3

5A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有2

4A ，共有14A 14A 2

4A =192所以总共有192+60=252

二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2

435462A A A +-=252

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因

而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数3

33352A C ??个，其中0在百位的有2242?C ?22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-2242?C ?22A =432

（个）

三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插

入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有1

1019A A ?=100中

插入方法。

四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有4

4A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×4

4A =576

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3

32

4A C ）

2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校

人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（19

28129A C ?）（注

意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有1

29C 其余的就是19所学校选28天进行排列）

五．阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。

3,5

2,4

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有7

11C 种

练习1.(a+b+c+d)15

有多少项？

当项中只有一个字母时，有1

4C 种（即a.b.c.d 而指数只有15故0

141

4C C ?。

当项中有2个字母时，有24C 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，

1

14C 即24C 1

14C

当项中有3个字母时34C 指数15分给3个字母分三组即可2

1434C C 当项种4个字母都在时3

1444C C ? 四者都相加即可．

练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（2

16C ）

3．不定方程X 1+X 2+X 3+…+X 50=100中不同的整数解有（49

99C ）

六．平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

分析：分出三堆书（a 1,a 2）,(a 3,a 4)，（a 5,a 6）由顺序不同可以有3

3A =6种，而这6种分法只算一种分

堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有3

3

2

2

2426A C C C =15种 练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。 七． 合并单元格解决染色问题

例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数

A

4

4

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A 4

4

种着色法．

（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

①

2,4

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有A C 3

334?种方法．

由加法原理知：不同着色方法共有2

A C A 3

33

44

4+=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）

2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）

图3 图4

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）

图5 图6

5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420） 八．递推法

例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

1 2 3 4 5 54

6

13

2E

D C

B A

4

3

21

D

B

C

E

A

分析：设上n 级楼梯的走法为a n 种，易知a 1=1,a 2=2,当n ≥2时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a n-2种走法，由加法原理知：a n =a n-1+ a n-2,据此，a 3=a 1+a 2=3,a 4=a #+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34,a 9=55,a 10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。 九.几何问题

1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有 种（33

5C +3=33）

2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？ (310C -436C +4-334C +3-6C 3

4+6+2×6=29)

(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C 104

-4C 64

-6C 44

-3C 44

=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114 十． 先选后排法

例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ） A.1260种

B.2025种

C.2520种

D.5054种

分析：先从10人中选出2人 十一．用转换法解排列组合问题

例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．2

5A =20种 例11． 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．5

9C =126种

例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。10

991C

例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最

短的走法有多少种．

解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．3

7C =35（种）

例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走

法．

解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．6

12C =924（种）． 例15 求（a+b+c ）10

的展开式的项数．

解 展开使的项为a α

b β

c γ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．2

12C =66（种）

例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比

赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

解 设亚洲队队员为a 1,a 2，…,a 5,欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为6

10C =252（种） 十二．转化命题法

例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？ 分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有4

15C =1365（个） 十三．概率法

例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，

那么该天的课程表有多少种排法？

分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为2

1

，故本例所求的排法种数就是所有排法的

21，即2

1

A=360种 十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中， （1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？

（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？

解（1）33

7

7A A （2）44337

7A A A

十五．错位排列

例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）

公式 1）))(1(21--+-=n n n a a n a n=4时a 4=3(a 3+a 2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排． 2）n a =n!(1-

!11+!21-!31+…+()n 1-!

1n

练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）

排列与组合的区别

排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．

【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．

（1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

【思考与分析】（1）①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

解：（1）①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）

（2）①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；

（3）①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；

（4）①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．（【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。）

10.1.4学习过程:

(1)知识梳理

1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类

中有2m 种不同的方法……在第n 类型有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有

n m m m N +??????++=21种不同的方法。

2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法……，做第n 步有m n 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ??????=21种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.

4．排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个

排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m

n A 表示.

5．排列数公式：),,()!

(!

)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=

特别提醒：

（1）规定0! = 1 （2）含有可重元素．．．．．．

的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!

!...!!

21k n n n n n =

.

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!31!2!n ==又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .

6．组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个

组合.

7．组合数公式： )!

(!!!

)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m

m

m

n m n -=

+--==

8．两个公式：①_;m n n m n C C -= ②m

n m n m n C C C 11+-=+

特别提醒：排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

(2)典型例题 考点一:排列问题

例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻；

（4）甲、乙之间间隔两人；

（5）甲、乙站在两端；

（6）甲不站左端，乙不站右端.

考点二:组合问题

例2, 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；

（4）既要有队长，又要有女运动员.

考点三:综合问题

例3, 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

10.1.5当堂测试

1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）

A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种

2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）

A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种

3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）

A,48 B, 12 C，180 D，162

.

4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

A，150种 B，180种 C，300种 D，345种

5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）

A，6 B，12 C 30 D36

6，用0 到9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A．324 B，328 C，360 D，648

7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）

A，85 B，56 C，49 D，28

8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）

A，18 B，24 C，30 D，30

9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）

A，360 B，288 C，216 D，96

10.1.6 参考答案

例1,解（1）方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后

其余5人在另外5个位置上作全排列有A5

5种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A14·A5

5

=480（种）.

方法二由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，然后中间4人有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A25·A44=480（种）.

方法三若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站

法：A66-2A55=480（种）.

（2）方法一先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法.

方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A22种方法，共有A44·A15·A22=240（种）.

（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A25种站法，故共有站法为A44·A25=480（种）.

也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有A55·A22=240种站法，所以不相邻的站法有A66-A55·A22=720-240=480（种）.

（4）方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A22种，故共有A44·（3A22）=144（种）站法.

方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A22种方法，

故共有A2

4·A3

3

·A2

2

=144（种）站法.

（5）方法一首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44=48（种）站法.

方法二首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步乘法计数原理共有A22·A44=48（种）站法.

（6）方法一甲在左端的站法有A5

5种，乙在右端的站法有A5

5

种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，

共有A6

6-2A5

5

+A44=504（种）站法.

方法二以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种，故共有A55+A14·A14·A44=504（种）站法.

例2, 解（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.

第二步：选2名女运动员，有C24种选法.

共有C36·C24=120种选法. 3分

（2）方法一至少1名女运动员包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

由分类加法计数原理可得总选法数为

C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246种. 6分

方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.

从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.

所以“至少有1名女运动员”的选法为C510-C56=246种. 6分

（3）方法一可分类求解：

“只有男队长”的选法为C48；

“只有女队长”的选法为C48；

“男、女队长都入选”的选法为C38；

所以共有2C48+C38=196种选法. 9分

方法二间接法：

从10人中任选5人有C510种选法.

其中不选队长的方法有C 58种.所以“至少1名队长”的选法为C 510-C 5

8=196种. 9分

（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C 49种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C 48种选法.其中

不含女运动员的选法有C 45种，所以不选女队长时的选法共有C 48-C 45种选法.

所以既有队长又有女运动员的选法共有

C 49+C 48-C 45=191种.

例3,解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子

中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 2

2=144

种. （2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.

（3）确定2个空盒有C 24种方法.

4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类

有序均匀分组有22

2

2

24A C C ·A 22种方法.

故共有

C 24

( C 34

C 11A 2

2

+

22

2

2

24A C C ·A 22）=84种.

当堂检测答案

1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）

A ，70 种

B ，80种

C ，100 种

D ，140 种

解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有2112

5454C C C C ?+?=70种，

解题策略：合理分类与准确分步的策略。

2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）

A, 48 种 B ，12种 C ，18种 D36种

解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有1

1

3

223C C A ??种选法。（2）小张和小赵都入选，首先安

排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有22

32A A ?种方法。

共有24+12=36种选法。 解题策略：：1，特殊元素优先安排的策略。 2，合理分类与准确分步的策略。

3，排列、组合混合问题先选后排的策略。

3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）

A,48 B, 12 C ，180 D ，162

解析：分为两大类：（1）含有0，分步1，从另外两个偶数中选一个，1

2C 种方法，2，从3个奇数中选两个，有2

3C 种方法；3，给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有13C 种方法；4，其他的3个数字

进行全排列，有33A 种排法，根据乘法原理共12132333C C C A ???种方法。（2）不含0，分步，偶数必然是2，4 ；

奇数有2

3C 种不同的选法，然后把4个元素全排列，共4

4A 种排法，不含0 的排法有2

4

34C A 种。根据加法原

理把两部分加一块得12132333C C C A ???+24

34C A =180.

解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。 2，合理分类与准确分步的策略。

3，排列、组合混合问题先选后排的策略。

4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）

A ，150种

B ，180种

C ，300种

D ，345种

解析：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的

选法共有112211

536562C C C C C C + 种选法。

解题策略：合理分类与准确分步的策略。

5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）

A ，6

B ，12

C 30 D36

解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有22

44C C ?种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个

人全不相同，可以让甲选两门有2

4C 种选法，然后乙从剩余的两门选，有2

2C 种不同的选法，全不相同的

选法是24C 22C 种方法，所以至少有一门不相同的选法为22

44C C ?—

24C 22C =30种不同的选法。

解题策略：正难则反，等价转化的策略。

6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324 B ，328 C ，360 D ，648

解析： 第一类个位是零，共2

9A 种不同的排法。

C C C

第二类个位不是零，共111

488C C C ??种不同的解法。

解题策略：合理分类与准确分步的策略.

7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 （ ）

A ，85

B ，56

C ，49

D ，28

9 8

1

8 8 4

解析：合理分类，甲乙全被选中，有2127C C ? 种 选 法，甲乙有一个被选中，有12

27C C ?种不同的选法，共2127C C ?+1227C C ?=49种不同的选法。

解题策略：

（1）特殊元素优先安排的策略， （2）合理分类与准确分步的策略.

8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 （ ）

A ，18

B ，24

C ，30

D ，30

将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有2

4C 种不同的分法，然后三组进行全排列共

33A 种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共33A 种不同的排法。所以总的排法为24C 3

3

A —3

3A =30种不同的排法。

注意:

这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。

这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。 解题策略：

1正难则反、等价转化的策略 2相邻问题捆绑处理的策略

3排列、组合混合问题先选后排的策略；

9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （ ）

A ，360

B ，288

C ，216

D ，96

解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有2

3C 种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有2

2A 种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有2

3A 中不同的排法，

然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有2

4A 种不同的排法，共有

22A 23C 33A 24A 种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。

甲可能站左端，也可能是右端，有1

2C 种不同的方法，然后其他两个男生排列有2

2A 种排法，最后把女生在

剩余的三个位置中排列，有23A 种不同的排法。共22A 23C 12C 22A 2

3A 种不同的排法， 故总的排法为22A 23C 33A 24A ----22A 23C 1

2C 22A 23A =288种不同的方法。

本题难度大，体现的排列组合的解题策略多： （1）特殊元素优先安排的策略：