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《锐角三角函数》全章复习(教师版)附详细答案和知识点巩固

《锐角三角函数》全章复习

【学习目标】

1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、

45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；

2．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；3．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.

【知识网络】

【要点梳理】

一、锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在Rt△ABC中，∠C=900，如果锐角A确定：

(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，

但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.

(4)三角函数有时还可以表示成等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

要点诠释：

1. 函数值的取值范围

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．锐角三角函数之间的关系：

余角三角函数关系：“正余互化公式”若∠A+∠B=90°，

那么：sinA=cosB； cosA=sinB；

同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30

二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；

边边关系：勾股定理，即；

边角关系：锐角三角函数，即

三、解直角三角形的应用

1.解这类问题的一般过程

(1)弄清仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见应用问题

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角与俯角：

注：1

求∠

【典型例题】

类型一、锐角三角函数

1．(1)如图所示，P是角α的边上一点，且点P的坐标为(-3，4)，则sinα＝( )． A．

B．

C．

D．2

例1（1）图例1（2）图(2)在正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则cos∠AOB的值为( )．

D.2

【答案】(1)C； (2)A；【解析】

(1)由图象知OA＝3，PA＝4，在Rt△PAO

中5 OP==．

∴

sin

α==．所以选C．

(2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形Rt△OCD，且OC＝1，CD＝2，则

OD=

因此cos

AOB

∠===．所以选A．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值是( )． A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变

【答案】 D；

【解析】根据

sin A

∠

∠=

的对边

斜边

知sin∠A的值与∠A的大小有关，与

∠的对边

斜边

的比值有关．当各边长度都扩大为原来的2倍时，其

∠的对边

斜边

的比值不变．故选D.

举一反三：

1、已知，如图，D是ABC

?中BC边的中点，90

BAD

∠=?，

tan

B=，求sin DAC

∠．

B C

2、已知，如图，ABC

?中，CE AB

⊥，BD AC

⊥，

=，求cos A及tan A．

3、如图所示，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，请你证明

sin sin sin a b c

A B C

==．

【答案】

1、过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，则∠ADE=∠BAD=90°，

由2tan 3B =

，得

,3AD AB = 设AD=2k,AB =3k,

∵D 是ABC ?中BC 边的中点，∴DE =3

k 在Rt △ADE 中，5,2

AE k =

2sin .55

DE DAC AE k ∠===

2、易证点B 、C 、D 、E 四点共圆，△ADE ∽△ABC ，

cos A=

2,5AD DE AB BC == tan

A=2

BD AD =

3、证明：⊙O 是△ABC 的外接圆，设圆的半径为R ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，

连结CD ，则∠B ＝∠D ．

∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°．即△ADC 为直角三角形．

∴sin sin 2AC b

B D AD R

=，∴

2sin b R B =．同理可证：

2sin a R A =，2sin c

R C

=．

∴

2sin sin sin a b c

R A B C

===．

类型二、特殊角三角函数值的计算

3．先化简，再求代数式231122x x x -?

?-÷

?++??

的值，其中4sin 452cos 60x =-°°．【答案】

原式121

2(1)(1)1

x x x x x x -+=

?=+-++．

而1

4sin 452cos604212

x =-=-?=°°． ∴

．

4．已知a ＝3，

且2(4t a

n45)b -+°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于( )．

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【答案】A ；

【解析】根据题意知4tan 450,

130,2

b b

c -=??

?+-=??° 解得 4,5.b c =??

=? 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222

a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°，所以1

S ab =

=．举一反三：

计算：1、tan 2

30°＋cos 2

30°－sin 2

45°tan45° 2、 tan 60tan 45tan 60tan 45?-?

＋2sin 60°

【答案】1、原式

=2221-?

=131

+342-

=712

2、原式

22+?

=33

类型三、解直角三角形

5．如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，3

sin 5

A =

，则下列结论正确的个（）．

①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2

；④BD

＝．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个【答案】C ；

【解析】由菱形的周长为20 cm 知菱形边长是5 cm ．

在Rt △ADE 中，∵ AD ＝5 cm ，sin A ＝35，∴ DE ＝AD ·sinA ＝3

535

?=(cm)． ∴

4AE =(cm)．

∴ BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)．菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2

)．在Rt △DEB

中，BD =

=．

综上所述①②③正确．故选C ．

举一反三：

如图所示，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若1

tan 5

DBA ∠=

，则AD 的长为( )．

A ．2 B

．1

【答案】 A ；

【解析】作DE ⊥AB 于点E ．

因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠A ＝45°，所以AE ＝DE ．

又设DE ＝x ，则AE ＝x ，由1

tan 5

DE DBA EB ∠=

=．知BE ＝5x ，所以AB ＝6x ，由勾股定理知AC 2

+BC 2

＝AB 2

，

所以62

+62

＝(6x)2

，x =

AD 2=．

类型四、锐角三角函数与相关知识的综合

6．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED ＝45°．

(1)试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由． (2)若⊙O 的半径为3 cm ，，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值．【答案】

(1)CD 与⊙O 相切．

理由：如图所示，连接OD ，

则∠AOD ＝2∠AED ＝2×45°＝90°．

∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ， ∴ ∠CDO ＝∠AOD ＝90°， ∴ OD ⊥CD ，∴CD 与⊙O 相切．

(2)如图所示，连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ． ∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠AEB ＝90°，AB ＝2×3＝6(cm)．

在Rt △ABE 中，5sin 6

AE ABE AB ∠=

=．∴sin ∠ADE ＝sin ∠ABE 5

6AE AB ==．

7．如图所示，直角△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝sin B P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连接AP ， (1)求AC ，BC 的长；

(2)设PC 的长为x ，△ADP 的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．

【答案】

(1)在Rt △ABC 中，由sin B =

，∴AC ＝2，由勾股定理得BC ＝4．

(2)∵PD ∥AB ，∴△ABC ∽△DPC ，∴

DC AC PC BC ==． ∵PC ＝x ，则22

11112(2)12244

y x x x x x ??=

-?=-+=--+ ???， ∴当x ＝2时，y 有最大值，最大值是1．

举一反三：

1、如图，C 、D 是半圆O 上两点，

CD AB =，求cos CEB ∠和tan CEB ∠．

【答案】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ， ∴CE CD 5==EB AB 11，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠

CEB=BC CE

类型五、三角函数与实际问题

8．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它

沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．

【答案】

过点P 作PC ⊥AB 垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80，在Rt △APC 中，

cos PC APC PA ∠=

．

∴PC ＝PA ·cos ∠APC

＝

在Rt △PCB 中，

cos PC BPC PB ∠=

，

∴

cos PC PB BPC =

==∠∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P 的距离是

海里．

9．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档AC 与CD 的长分别为45cm ，60cm ，且它们相互垂直，座杆CE 的长为20cm ，点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°，如图所示．

(1)求车架档AD 的长；

(2)求车座点E 到车架档AB 的距离．

(结果精确到1cm ，参考数据：sin75°≈0.959，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321) 【答案】

(1)在Rt △ACD 中，75AD == ∴车架档AD 的长为75cm ．

(2)过点E 作EF ⊥AB 于F ，∴sin ∠EAF ＝EF

AE ，

∴ EF ＝AE ·sin ∠EAF ＝(45+20)·sin75°≈63cm ， ∴ 车座点E 到车档架AB 的距离是63cm ．

【点评】考查解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义.

巩固练习（一）

一、选择题

1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（）

A．a

B．

2．如图2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）

B．

C．

D．

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

，则sinB等于（）

A．

B．

C．

D．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（）．

A．

15434

B C D

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=

，BC的长是（）．

A．.4

B C D

6.已知sin a + cos a=m，sin a·cos a=n，则m，n的关系是（）．

A．m=n B．m=2n+1 C．m2=2n+1 D．m2=1-2n

7.在直角三角形ABC中，∠A为锐角，且cosA=

，那么（）．

A．0°<∠A≤30° B．30°≤∠A≤45°

C．45°<∠A≤60° D．60°<∠A<90°

8.如右图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，且AD=3，

sin∠ABD=

，sin∠DBC=

，则AB，BC，CD长分别为（）．

A．4，12，13 B．4，13，12 C．5，12，13 D．5，13，12

https://www.wendangku.net/doc/bb3335055.html,

图（2）

αD

9.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，∠ABD=a，则下列结论正确的是（）．

A．sina=4

B．cosa=

C．tana=

D．tana=

10如果a是锐角，且cos a=4

，那么sin（90°— a）的值等于（）．

A．94316

(255525)

B C D

11.在△ABC中，∠C=90°，且AC>BC，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，?若CD=?4，AB=10，

则EF：AF等于（）．

A．1

12.已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3

，AB=15，则AC的长是（）．

A．3 B．6 C．9 D．12 13.下列各式中不正确的是（）．

A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°

14.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．

A．2 B

．1

15.已知∠A为锐角，且cosA≤1

，那么（）

A．0°<∠A≤60° B．60°≤∠A<90° C．0°<∠A≤30° D．30°≤∠A<90°

16.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=1

，

cosB=

，则△ABC的形状是（）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定17．当锐角a>60°时，cosa的值（）．

A．小于1

B．大于

．大于D．大于1

18.已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC

,?则∠CAB等于

（）

A．30°B．60°C．45°D．以上都不对

二、解答题

19．已知△ABC等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长为30cm，求底角的正切值．

20.已知sinα，cosα是方程4x2-2（

的两根，求sin2α+cos2α的值．

答案：

一、选择题

1.D

2.A

3.A

4.B

5.B

6.C

7.D

8.B

9.D 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D

15.B 16.B 17.A 18.B

二、解答题

19．如图，设△ABC为等腰三角形，AB=AC=20，BC=30，过A作AD⊥BC于D，

则D?为BC中点．

∴BD=15，在Rt△ABD中，

∴

tanB=

153

==．

20.∵sinα+cosα=1

（

，cosα·sinα

，

∴sin2α+cos2α=（sinα+cosα）2-2sinα·cosα

2020 https://www.wendangku.net/doc/bb3335055.html,

D C B

=[1

（] 2- =1．

巩固练习（二）

一、选择题

1．如图所示，在Rt △ABC 中，tan B =

，BC =AC 等于（）．

A ．3

B ．4

C ．．6 2．已知α为锐角，则sin cos m αα=+的值（）． A ．m ≥1 B ．m ＝1 C ．m ＜1

D ．m ＞1

3．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝

，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9

第1题图第3题图第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3

cos 5

A =

， tan ∠DBE 的值是( )．

12 5．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( )．

A ．

34 B ．43 C ．35 D ．45

第5题图第7题图

6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B =

，则cosA 的值为（）．

A ．

12 B ．2 C ．2 D ．3

7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．

A ．5cos α米

B ．

5cos α米 C ．5sin α米 D ．5

sin α

米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（）．

A ．30°

B ．50°

C ．60°或120°

D ．30°或150°

二、填空题

．计算：1

01|245| 1.41)3-??

--++= ???

°________．

10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4

cos 5

B =

，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．

第10题图第11题图第12题图

12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3

cos 4

BAC ∠=

，则梯子长AB ＝_______米． 13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．

第13题图第15题图 14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 16

是方程2(3tan )0x x θ-=的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cos θ的值为________．

三、解答题

17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB 高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．

18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．

(1)求tan∠ACB的值；

(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．

19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．

(1)求证：AB＝DE；

(2)若AC交DE于M，且AB ME CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G

处，求旋转角∠ECG的度数．

20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，

线段CD＝10，连接BD．

(1)求证：∠CDE＝2∠B；

(2)若BD:AB，求⊙O的半径及DF的长．

【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ；

【解析】由tan AC B BC =知tan 32

AC BC B ===． 2.【答案】D ；

【解析】在Rt △ABC 中，设α所对的边为a ，斜边为c ，邻边为b ．则sin a c α=

，cos b

α=， ∴ sin cos a b a b

m c c c

αα+=+=

+=，而a b c +>，∴ m ＞1. 3.【答案】B ；

【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB ，

所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝4

1085

=，则6AB ==． 4.【答案】B ；

【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝

． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又AD ＝AB ， ∴BE ＝2k ， ∴tan ∠DBE ＝

422DE k

BE k

==． 5.【答案】B ；

【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，

∴ CD 2+BD 2＝BC 2

．∴ △BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴ 4

tan 3

BD C CD =

=．

6.【答案】C ；

【解析】∵sin B =

，∴ ∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，

∴cos 2

A =

． 7．【答案】B ；

【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB

α=．∴5

cos AB α=．

8．【答案】D ；

【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝

2，∠A ＝30°；当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝1

，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．

二、填空题

9．【答案】2

【解析】原式＝3|21422--+=- 10．【答案】5；

【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．

∴

cos cos AD

CAD B AC

=∠=，∴

45AD AC =，又∵ AD ＝4，∴AC ＝5．．

11．【答案】

；【解析】过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B D x '=，BC=2x,BD=3x.

12．【答案】4 ；【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知33

AB =，AB ＝4米．

13．

【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan BD BAD AB ''∠===

14．【答案】y =

【解析】tan 45°＝1, tan60-cos60°＝1

，-6tan30°＝-．

设y ＝kx+b 经过点、1

,2?-- ?，则用待定系数法可求出k =，b =．

15．【答案】

；【解析】∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，

∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8==，

∴84

sin 105

BC A AB =

==．

16．【答案】

；

【解析】由方程解的意义，知21)3tan (21)0θ

-+=，故tan 1θ=，从而45θ=°，

则cos cos 452

θ==

三、解答题

17.【答案与解析】

∵在R △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3，∴ DA ＝3．

在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°，∴tan 60CA

°，

∴CA ＝BC ＝CA －BA ＝(3)m ．

答：路况显示牌BC 的高度是(3)m ．

18.【答案与解析】

(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，

则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1

842

=．

AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝82

?= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．

∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝

AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，

∵ AD ∥EF ，∴ 四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵ AB ＝DC ，∴ ∠B ＝∠DCF ．

又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4．

第十一章三角形知识点归纳

第十一章三角形知识点归纳考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和第三边 2、三角形两边的差第三边 3、判断三边能组成三角形的方法：最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ，则第三边的取值范围是两边之差＜第三边＜两边之和例：下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例：已知三角形的两边分别是7和12，则第三边长得取值范围为（）考点二：5、三角形具有性，四边形具有性例：下列图形具有稳定性的是（） A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形考点三： 1. 三角形的高从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ，那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。注：三角形面积=底×底边上的高例：AD 是△ABC 的高，∠ADB=∠ADC= 例：AD 是△ABC 的高，AD=3，BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D ，所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。几何语言： AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形

D 例：AD 是△ABC 的中线，BD=3，则CD= ，BC= ，若△ABC 的面积是18，则△ABD 的面积等于。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ，那么线段AD 叫做三角形的角平分线。几何语言： AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例：AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=70度，则∠BAD= ,∠CAD= 考点四：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于几何语言：∠A+∠B+∠C= 例：在△ABC 中，∠B=45度，∠C=55度，则∠A= 考点五：三角形的外角 1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。几何语言： ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例：如图，已知∠ACD=120度，∠B=50度，则∠A= 考点六：n 边形的内角和公式等于例：计算五边形的内角和是例：一个多边形的内角和是720度，则这个多边形的边数是考点七：多边形的外角和等于例：十二边形的外角和等于例：正多边形的每个外角的度数都是40度，则这个正多边形的边数是

第十一章三角形(知识点+题型分类练习)

三角形必背知识点一、三角形基本概念 1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 解题方法： ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b

⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3. 三角形的角平分线 ∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。要求会的题型： ①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。三、三角形的稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。四、与三角形有关的角

共点力平衡(练习)【教育机构专用】高三物理寒假讲义(学生版)

专题04 共点力平衡（学生版）基础部分： 1．（2020·四川安州东辰国际学校高一月考）下列关于力的说法中，正确的是（） A．合力的大小至少大于一个分力 B．物体放在桌面上，桌面受到的压力就是物体的重力 C．静止的物体不可能受滑动摩擦力 D．如果物体形状发生了改变，则一定受到了力的作用 2．（2020·四川高一月考）两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F。以下说法正确的是（）A．若F1和F2大小不变，夹角θ由零增大到180°过程中，合力先减小后增大 B．合力F总比分力F1和F2中任何一个力都大 C．F1和F2大小相等时，它们的合力大小F可能等于分力大小 D．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力 3．（2020·江苏高三期中）世界上最大最雄伟的100座桥梁有80座在中国。其中单面索斜拉桥具有经济，美观，视线不受遮挡的优点。单面索斜拉桥所有钢索均处在同一竖直面内，索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是（） A．仅增加索塔高度可减小钢索的拉力大小 B．仅减小索塔高度可减小钢索的拉力大小 C．仅增加钢索的数量可减小索塔受到向下的压力

D．仅减少钢索的数量可减小索塔受到向下的压力 4．（2020·四川射洪中学高一期中）如图所示，上网课时小明把手机放在斜面上，下面说法正确的是（） A．手机受斜面的作用力，方向竖直向上 B．手机所受重力可分解为平行于斜面的下滑力和对斜面的正压力 C．当倾角增大时，只要手机不滑动，它受的摩擦力随斜面倾角的增大而减小 D．当倾角增大时，并手机开始沿斜面下滑，它所受的摩擦力将随斜面倾角的增大而减小5．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）如图，重为G的圆球与两轻杆连接，轻杆与竖直墙壁间分别用A、B铰链连接，O为球心，将球的重力按作用效果分解，分力的方向应为（） A．OA与OB方向B．OB与OD方向 C．OC与OB方向D．OC与OD方向 6．（2020·浙江高一期中）生活中拉链在很多衣服上应用，图中是衣服上拉链的一部分，当我们拉拉链的时候，拉头与拉链接触处呈三角形，使很难直接分开的拉链拉开，关于其中的物理原理，以下说法正确的是（）

人教版初中数学第十一章三角形知识点

第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形. 3．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形任意两边之差小于第三边. 例1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条． A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm 【答案】D 【解析】试题分析：根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可知：对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；对D，∵4+9＞12，12-9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确；故选D．考点：三角形的三边关系例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6 【答案】D．【解析】试题分析：A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误； B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误； C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误； D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确．故选D．考点：三角形三边关系．例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm 和4cm、8cm、10cm三种情况．考点：三角形三边关系例4．在下列长度的四根木棒中，能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是（）

第十一章三角形知识点总结

第十一章三角形一．三角形知识要点梳理 1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 4、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 5、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 6、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。二．多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形分类2：叫做正多边形。非正多边形： 1、边形的内角和等于180°（n-2）。多边形的定理2、任意多形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）三．典型例题讲解类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合

共点力平衡的几种解法(例题带解析)

共点力平衡的几种解法 1. 力的合成、分解法：对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三个力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到的这两个分力势必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。 2. 矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力。矢量三角形作图分析法，优点是直观、简便，但它仅适于处理三力平衡问题。 3. 相似三角形法：相似三角形法，通常寻找的是一个矢量三角形与三个结构（几何）三角形相似，这一方法也仅能处理三力平衡问题。 4. 正弦定理法：三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。 5. 三力汇交原理：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。 6. 正交分解法：将各力分别分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用干三个以上共点力作用下的物体的平衡，值得注意的是，对“x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。不宜分解待求力。 7. 动态作图：如果一个物体受到三个不平行外力的作用而处于平衡，其中一个力为恒力，第二个力的方向一定，讨论第二个力的大小和第三个力的大小和方向。三. 重难点分析： 1. 怎样根据物体平衡条件，确定共点力问题中未知力的方向？在大量的三力体（杆）物体的平衡问题中，最常见的是已知两个力，求第三个未知力。解决这类问题时，首先作两个已知力的示意图，让这两个力的作用线或它的反向延长线相交，则该物体所受的第三个力（即未知力）的作用线必定通过上述两个已知力的作用线的交点，然后根据几何关系确定该力的方向（夹角），最后可采用力的合成、力的分解、拉密定理、正交分解等数学方法求解。 2. 一个物体受到n个共点力作用处于平衡，其中任意一个力与其余（n-1）个力的合力有什么关系？根据二力平衡条件，一个物体受n个力平衡可看作是任意一个力和其余（n-1）个力的合力应满足平衡条件，即任意一个力和其余（n-1）个力的合力满足大小相等、方向相反、作用在同一直线上。 3. 怎样分析物体的平衡问题物体的平衡问题是力的基本概念及平行四边形定则的直接应用，也是进一步学习力和运动关系的基础。（1）明确分析思路和解题步骤解决物理问题必须有明确的分析思路．而分析思路应从物理问题所遵循的物理规律本身去探求。物体的平衡遵循的物理规律是共点力作用下物体的平衡条件：，要用该规律去分析平衡问题，首先应明确物体所受该力在何处“共点”，即明确研究对象．在分析出各个力的大小和方向后，还要正确选定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四边形定则建立各力之间的联系，借助平衡条件和数学方法，确定结果．由上述分析思路知，解决平衡问题的基本解题步骤为： ①明确研究对象。在平衡问题中，研究对象常有三种情况： <1> 单个物体，若物体能看成质点，则物体受到的各个力的作用点全都画到物体的几何中心上；若物体不能看成质点，则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上。 <2> 物体的组合，遇到这种问题时，应采用隔离法，将物体逐个隔离出去单独分析，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带。 <3> 几个物体的的结点，几根绳、绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象。 ②分析研究对象的受力情况分析研究对象的受力情况需要做好两件事：

《共点力的平衡及其应用》教学反思

教学反思本次教学内容为沪科版物理必修一第四章第三节《共点力的平衡及其应用》，本节内容是在之前所学的内容力的合成、力的分解、二力平衡的基础上对力的进一步学习和应用。回顾整个课堂过程，我对本节课进行如下反思。 1. 设计思路：本节课的主要内容有两个，分别是（1）平衡状态，（2）共点力的平衡条件和应用。针对每一部分内容，采用我校大力推行的三一六高效课堂教学模式进行教学活动。（1）平衡状态。①导：通过杂技表演者在高空中走钢丝的视频，引出学习内容——平衡。②思：给学生5分钟时间自学平衡状态的内容，完成导学案基础知识梳理。③议：通过小组合作讨论教师给出两个有价值的问题，进一步理解平衡状态的概念。④展：学生展示基础知识的梳理和问题讨论的结果。⑤评：其他学生进行补充和纠正，教师进行总结点评。⑥检：通过PPT多媒体展示练习题，进行当堂训练，检测自学效果。（2）共点力的平衡条件。①导：通过对二力平衡的快速回顾引出三个共点力平衡应该满足何种条件。②思：学生自学教材相关内容，学习实验操作方法，为接下来的实验做好准备。③议：该环节包括两个合作讨论过程，一个是实验探究，另一个是理论分析。实验探究：学生进行小组实验，合作完成三个共点力平衡条件的探究。理论分析：小组讨论，从理论上分析三个共点力平衡满足的条件。 ④展：学生展示实验结果和实验结论，并从理论上分享共点力平衡的条件。⑤评：一方面，教师对学生的实验操作进行评价，对实验误差进行分析。另一方面，对学生的理论分析进行点评，帮助学生进一步理解平衡条件。⑥检：本节课主要学习的方法是合成法，因此给出对应的习题，学生进行求解。最后，师生对应用合成法解决平衡问题的一般方法和步骤进行总结。 2. 成功之处：由于应用了我校三一六高效课堂教学模式，重点突出了学生的自主学习和讨论，本节课整体效果较好。从本节课的实际效果来看，有以下亮点。（1）引课所用的高空走钢丝视频充分调动了学生的注意力，并且使学生联

人教版初中数学第十一章三角形知识点复习过程

人教版初中数学第十一章三角形知识点

考点：三角形的三边关系例2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2，3，5 B．3，3，6 C．2，5，8 D．4，5，6 【答案】D．【解析】试题分析： A．2+3=5，故不能构成三角形，故选项错误； B．3+3=6，故不能构成三角形，故选项错误； C．2+5＜8，故不能构成三角形，故选项错误； D．4+5＞6，故，能构成三角形，故选项正确．故选D．考点：三角形三边关系．例3．现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C 【解析】试题分析：根据三角形三边关系可知能组成三角形的木棒长度分别为：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm和4cm、8cm、10cm三种情况．考点：三角形三边关系例4．在下列长度的四根木棒中，能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是（） A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm

训练5：力的合成共点力平衡(学生用)

（二）力的合成与分解共点力平衡一、基础知识 1．合力与分力一个力，如果它产生的效果与几个力的共同作用效果相同，则这个力叫做那几个力的合力，那几个力叫这一个力的分力．合力与分力之间是等效替代关系． 2．力的合成与分解（1）求几个力的合力的过程叫做力的合成，反之，求一个力的分力的过程叫做力的分解．（2）平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向（如图所示）．（3）力的合成与分解都遵从平行四边形定则．（4）力的合成唯一，而力的分解一般不是唯一． 3．矢量和标量既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量叫做矢量．只有大小没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量． 4．共点力几个力如果都作用在物体的同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们作用线的延长线相交于一点（该点不一定在物体上），这样的一组力叫共点力． 5．平衡状态物体处于静止或匀速直线运动状态叫做平衡状态．物体的加速度和速度都为零的状态叫做静止状态．物体的加速度为零，而速度不为零，且保持不变的状态是匀速直线运动状态．说明：（1）静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止．因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于静止状态．（2）共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态． 6．共点力作用下物体的平衡（1）共点力的平衡条件：物体所受合外力零，即F合= 0．在正交分解形式下的表达式为F x = 0，F y = 0．（2）平衡条件的推论 ①二力平衡：物体受两个力作用而处于平衡状态时，则这两个力大小一定相等，方向相反，且作用在同一直线上，其合力为零，这两个力叫做一对平衡力． ②三力平衡：物体受到三个力作用而处于平衡状态时，则任意两个力的合力必与第三个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线．若这三个力是非平行力，则三个力一定是共点力，简称为不平行必共点．如果将三个力的矢量平移，则一定可以得到一个首尾相接的封闭三角形． ③多力平衡：物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，则其中的一个力与其余力的合力大小相等，方向相反，将这些力的矢量平移，则一定可以得到一个首尾相接的封闭多边形．（3）三力汇交原理：物体在三个不平行力的作用下平衡时，这三个力作用线必在同一平面内且相交于一点．重点难点例析一．力的合成 1．合成法则：平行四边形定则或三角形定则． 2．同一直线上的力合成，选定一个正方向，与正方向相同的力为正，与正方向相反的力为负．即可将矢量运算转化为代数运算求合力．

十一章《全等三角形》知识要点归纳

第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络 ???? ?? ????→???? ??? ?? ?? ???? ? ?对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 ! （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 [ （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。； 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) $ （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) （三）疑点、易错点 1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。切记不要弄错。 2、对全等三角形判定方法理解错误； 3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。 & 三、证明全等三角形的常见思路一、已知一边与其一邻角对应相等 1.证已知角的另一边对应相等，再用SAS 证全等。例1 已知：如图1，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C .求证：AF=DE. 证明 ∵BE=CF （已知），∴BE+ EF=CF+EF ，即 BF=CE. 在△ABF 和△DCE 中， | ∴ △ABF ≌△DCE （SAS ）。 ∴ AF=DE （全等三角形对应边相等）。 2.证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA 证全等。例2 已知：如图2，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB.求证：AE=CE

《共点力的平衡及其应用》教学设计

共点力的平衡及其应用高新完全中学高一年级郭忠孝【课标分析】知道什么是物体处于平衡状态。知道在共点力作用下物体的平衡条件，即合力为零。会分析生活中的共点力平衡的实例。【教材分析】初中阶段学生对平衡问题有了初步的了解，但只限于二力平衡。高中阶段要在此基础上延伸，在平行四边形定则的基础上探讨多个共点力平衡的问题，其中三个共点力的平衡是重点，动态平衡是难点。【教法分析】师生共同归纳总结本节基础知识点、解题方法和解题步骤，学生合作探究并分组展示，小组互评，教师点评。【学法分析】学生要思考物体受共点力的作用处于平衡状态时，这些共点力满足什么条件。注意物体受三力平衡时的分析和研究，动态平衡题目的分析与研究，加深物体平衡与生活实例的结合。【教学目标】一、知识与技能 1.能用共点力的平衡条件，解决有关力的平衡问题； 2.进一步学习受力分析，正交分解等方法。

二、过程与方法 1.通过案例分析，培养学生分析和解决问题能力以及应用数学方法解决物理问题的能力； 2.通过案例分析，培养学生处理平衡问题时一题多解的能力。三、情感态度与价值观渗透“学以致用”的思想，有将物理知识应用于生产和生活实践的意识。【教学重点】共点力平衡条件的综合应用。【教学难点】受力分析、正交分解、动态平衡。【教学方法】归纳法、分组探究展示法、小组互评加教师点评法【教学用具】 PPT、小黑板、三角板【教学过程】一、导入新课 1.温故知新：PPT展示本节基础知识点、共点力平衡解题的常用方法、基本步骤。 2.学生回答问题后，教师进行评价和纠正。 3.引入：本节课我们来运用共点力的平衡条件解决一些实际问题，将理论应用于实践。二、新课展示

八年级数学上册第11章三角形知识点总结教学文案

_ C _B _ A 八年级数学上册第 11章三角形知识点总结一．认识三角形 1. 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边 ;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角 ; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母 c 表示， AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的 △没有意义． 2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。 3. 三角形三边的关系（（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短））（1）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）。用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是 a ， b ， c ，则a ＋b ＞c 或c －b ＜a 。（2）已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度的范围： |a －b|＜c ＜a ＋b ①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余 ②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边（最小两边之和＞第三边），不用比较三遍，只需比较一遍即可 ③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。 ④已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度 c 的范围方法：第三边长度c 的范围：|a －b|＜c ＜a ＋b ；即已知的两边之差＜三角形的第三边＜已知的两边之和。 ⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。二、三角形的高、中线与角平分线 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段,这条垂线段叫做三角形的高。三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。三角线的高的表示法：如图根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM 是ABC 的高； ②AM 是ABC 中BC 边上的高；③如果AM 是ABC 中BC 边上高，那么AM BC ，垂足是E ；④如果AM 是ABC 中BC 边上的高，那么 AMB =AMC =90. 注意：三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上 .

新人教版八年级数学第十一章三角形总复习教学设计

新人教版八年级数学第十一章三角形总复习教学设计教学目标知识与技能使学生进一步掌握三角形各部分名称与意义、三角形内角和三角形分类的有关知识。过程与方法引导学生开展自主整理复习，初步掌握复习方法，形成基本复习技能。情感态度与价值观提高复习课学习兴趣，培养积极的学习态度，使学生获得成功的情感体验。教学重点总复习三角形相关基础知识，初步掌握复习的基本方法。教学难点通过复习活动，提高学生上复习课的学习兴趣，培养学生积极的学习态度，并使学生获得成功的情感体验。教学资源教育网教学过程：一、谈话导入，检查反馈师：《论语》里面有这样一句话：学而时习之不亦说乎。就是说学习时经常复习是一件快乐的事。今天，这节课老师就和同学们一起再次走进“三角形”，去体验复习的快乐。１、学生交流，汇报。师：昨天老师让同学们回家复习学过的有关三角形的知识，下面谁将自己的复习情况向大家汇报一下？（学生汇报）二、梳理知识，整理复习 1、知识呈现 ①三角形有三条边、三个角、三个顶点。师：你的三个角多少度？这是三角形的起点知识，也是最重要的知识。贴出知识卡片 ②三角形两条边的长度的和大于第三边。师：你三角形三条边的长度分别是多少？能再说出一组可以备注

围成三角形的三条线段吗？3cm、5cm和9cm的三条线段可以围成三角形吗？） ③三角形中顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。师：一个三角形有多少条高？高一般用什么线来画？你的高和底分别是多少？［三条］贴出知识卡片 ④三角形具有稳定性。师：你会联想到哪个图形正好和他有相反的特性吗？ ⑤三角形按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。师：什么样的三角形是锐角三角形呢？……你的三角形属于哪一类？为什么？判断的简单方法：以最大角判断） ⑥三角形的内角和是180度。师：已经知道两个角的度数，如何求第三个角的度数呢？ ⑦三角形按边分：等腰三角形、等边三角形。师：老师的三角形属于哪一类？你的呢？为什么很多人的三角形既不是等腰三角形也不是等边三角形呢？揭示第10号知识卡片（非等腰三角形：三边不等），明确像这样的三角形居多。 2、介绍课前准备的三角形。联系刚刚回顾的所有知识，介绍手中的三角形。（学生于课前完成作高、量边长度、量角的度数）同桌互相介绍后，全班汇报。两生汇报，看谁汇报的有条理而且准确。 3、对比联系，系统整理。复习还需要我们对知识进行系统的整理，使所有的知识形成一个整体，使我们头脑中能清晰的建立起知识的联系。为了便于大家整理，老师将所有的知识点印制成了这样的知识卡片，并分发到了各个学习小组，下面我们以游戏的形式来对知识进行整理。游戏：请14位同学上黑板简单介绍自己手中的知识卡片的含义，并将知识卡片贴到合适的位置，最后介绍一下所贴位置的理由。学生代表上黑板操作，教师与其他学生进行评价。预设效果如下：《三角形总复习》三角形的组成：三个顶点三个角三条边（围成）三条高（虚线）三角形的性质：具有稳定性内角和180度两条边的长

第十一章三角形知识点 - 填空

e d s t 第十一章三角形知识点一：三角形 1. 三角形的概念 1、由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做＿＿＿＿＿＿，相邻两边的公共端点叫做_____________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________.如图以A 、B 、C 为顶点的三角形ABC ，可以记作＿＿＿＿＿＿＿，读作_____________.△ABC 的三边，有时也用_____________表示，顶点A 所对的边BC 用____表示，顶点B 所对的边CA 用____表示，顶点C 所对的边AB 用____表示.2.三角形按边分类三角形直角三角形斜三角形锐角三角形＿＿＿＿＿. 三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不等的等腰三角形＿＿＿＿＿＿＿.3.在等腰三角形中，相等的两边都叫做，另一边叫做，两腰的夹角叫做＿＿＿，腰和底的夹角叫做＿＿＿＿.如右图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，那么腰是＿＿＿，底是＿＿＿＿，顶角是＿＿＿＿，底角是＿＿＿＿＿.4. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和。三角形的任意两边之差。（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a ，b ，c ，则。已知三角形两边的长度分别为a ，b ，求第三边长度的范围： 5. 三角形的高从△ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴，AD 是△ABC 的高，则AD⊥_____. 三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“ ”。6. 三角形的中线连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑵，AD 是△ABC 的中线，则BD ＝______= 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“ ”。三角形的中线可以将三角形分为相等的两个小三角形。7. 三角形的角平分线 ∠BAC 的平分线AD ，交∠BAC 的对边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的___________.如图⑶，AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ＝∠_______. 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条；角的平分线是条。三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“ ”。 ? ????? ??????

共点力动态平衡分类及解题方法总结

共点力动态平衡问题分类及解题方法一、总论 1、动态平衡问题的产生——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型关键词——缓慢转动、缓慢移动…… 2、动态平衡问题的解法——解析法、图解法解析法——画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后由角度变化分析判断力的变化规律；图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。 3、动态平衡问题的分类——动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、其他特殊类型二、例析 1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为F N1，球对木板的压力大小为F N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中 A ．F N1始终减小，F N2始终增大 B ．F N1始终减小，F N2始终减小 C ．F N1先增大后减小，F N2始终减小 D ．F N1先增大后减小，F N2先减小后增大解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F N1、F N2随夹角变化的函数，然后由函数讨论；【解析】小球受力如图，由平衡条件，有联立，解得：θsin 2N mg F =，θtan 1N mg F = 木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知F N1、F N2都一直在减小。选B 。解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和F N1的方向，然后按F N2方向变化规律转动F N2，即可看出结果。【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F N1的方向始终水平向右，而F N2的方向逐渐变得竖直。则由右图可知F N1、F N2都一直在减小。【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。设F 的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则 A ．F 先减小后增大 B ．F 一直增大 C ．F 一直减小 D ．F 先增大后减小解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F 随夹角θ变化的函数，然后由函数讨论；【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有 F N F mg F f θ F N2 mg F F N1 F mg θ

共点力的平衡-教案

共点力的平衡【教学目标】知识与技能： 1．知道共点力作用下物体的平衡概念。 2．掌握在共点力作用下物体的平衡条件。 3．知道如何用实验验证共点力作用下的物体的平衡条件。 4．应用共点力的平衡条件解决具体问题。过程与方法： 1．正确判断物体的运动状态，培养学生的观察和鉴别能力。 2．进一步培养学生分析物体受力的能力。 3．应用平衡条件解决实际问题的能力。情感态度与价值观： 1．了解运动和静止的相对性，培养学生的辩证唯物主义观点。 2．通过对周围处于静止状态的物体的观察和实验，总结出力的平衡条件，再用这个理论来解决和处理实际问题，使学生树立正确的认识观． 3．通过对物体受力分析图的绘画，使学生了解到物理学中的对称美。【教学重难点】教学重点： 1．共点力的平衡条件。 2．熟练运用共点力的平衡条件，解决平衡状态下有关力的计算。 3．进一步熟练受力分析的方法。教学难点： 1．物体的受力分析。 2．物体在什么条件下，可以认为是受到共点力作用？ 3．物体受到三个不在一条直线上的力作用而处于平衡状态时，这三个力一定共点。【教学过程】一、导入新课提问：什么是共点力？

几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。甲乙丙丁甲、丁中所受的力就是共点力，今天我们就来研究物体受共点力平衡的情况。二、讲授新课（一）共点力平衡的条件 1．定义：物体保持静止或匀速直线运动的状态称为平衡状态。出示图片：桌上的书、苹果能保持静止，处于平衡状态；随传送带匀速运送的物体处于平衡状态；注意：缓慢的直线移动可认为是匀速直线运动思考讨论：v=0时物体一定能保持静止吗？举例说明。教师总结：v=0时物体不一定能保持静止。例如：单摆摆动时，当摆球摆动到最高点时v=0，但物体不能保持静止状态还会继续摆动。 2．共点力平衡的条件思考讨论1：在两个共点力作用下的物体，保持平衡的条件是什么？出示图片：水平方向两个受平衡力图片教师总结：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，并且在同一条直线上，这两个力平衡。二力平衡时物体所受的合力为0。思考讨论2：在三个共点力作用下的物体，保持平衡的条件是什么？（1）力的合成法教师总结：任意两个力的合力与第三个力的大小和方向关系:大小相等方向相反，在同一条直线上即合力为0。（2）力的分解法

初二数学第十一章知识点归纳

初二数学第十一章知识点归纳 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

初二数学第十一章三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段 1.三角形的定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角，三角形有三个顶点，三个角，三条边。 2.等边三角形：三边都相等的三角形。 3.等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，两个底角相等。 4.不等边三角形：三边都不相等的三角形。 5.三角形分类：（1）按边分：不等边三角形等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形等边三角形（2）按角分：锐角三角形直角三角形钝角三角形 6.三角形三边的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形 2）在实际运用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差＜第三边＜两边之和 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形 7.三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高 8.三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△ 周长大，也有可能是第一个△周长小 9.三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线 10.三角形的稳定性，四边形没有稳定性

《锐角三角函数》全章复习(教师版)附详细答案和知识点巩固

第十一章三角形知识点归纳

第十一章三角形(知识点+题型分类练习)

共点力平衡(练习)【教育机构专用】高三物理寒假讲义(学生版)

人教版初中数学第十一章三角形知识点

第十一章 三角形知识点总结

共点力平衡的几种解法(例题带解析)

《共点力的平衡及其应用》教学反思

人教版初中数学第十一章三角形知识点复习过程

训练5：力的合成 共点力平衡(学生用)

十一章《全等三角形》知识要点归纳

《共点力的平衡及其应用》教学设计

八年级数学上册第11章三角形知识点总结教学文案

新人教版八年级数学第十一章三角形总复习教学设计

第十一章 三角形知识点 - 填空

共点力动态平衡分类及解题方法总结

共点力的平衡-教案

初二数学第十一章知识点归纳

第十一章三角形知识点总结

训练5：力的合成共点力平衡(学生用)

第十一章三角形知识点 - 填空