b .
四．利用函数思想解决最值问题
求最值问题是函数思想的重要应用，此类题综合性强，知识面覆盖广，尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:
例5．已知0a >,0π2<≤x ,函数y =2cos sin x a x b -+的最大值是0，最小值是4-，求使y 取得最大值和最小值的x 值以及a 和b 的值.
解: 设sin x t =,t 1≤,则21y t at b =--++=-(t +2a )2+42
a +
b +1.
因为(t +2a )20≥ ，所以-(t +2a )20≤ . 因此y ≤4
2
a +
b +1. 故当t +2a =0时，y 最大值=42
a +
b +1=0.
又0a >, t 1≤ ，所以当1t =时,(t +2a )有最大值， 从而 114y a b b a =--++=-=-最小值.
所以由 42
a +
b +1=0,4b a -=-， 解得 2,2a b ==-.
综上可得y 取最小值时，1t = 即 sin 1x = ，所以x =
2
π; y 取最大值时，1t =-即sin 1x =-，所以x =23π. 例6、渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (0k >).（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）
(1) 2()24
k m km y x m =--+写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2) 求鱼群年增长量的最大值；
(3) 求鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.
解： (1)由题意，得()m x y kx m -=,即(1)x y kx m
=-，0x m <<. （2）2()24
k m km y x m =--+. 因为0x m <<,
所以当2m x =时，y 有最大值4
km . （3）依题意，得0x y m <+<,即02m <+4
km m <. 解得22k -<<, 又0k >,
所以02k <<.
五．总结
函数思想是研究问题的重要思想，用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用，来体会函数思想在中学数学中的应用.当然，函数思想在中学数学中的应用远远不止这些，至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.
参考文献:
[1] 钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999年7月.84-90.
[2] 李永新，滕文凯.中学数学教材教法[M].长春：东北师范大学出版社，2005年6月.100-107.
[3] 李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26.
[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007年第3期.33-34.
The Application of Function Thinking in Mathematics
Name: Jia Liping Student Number: 2003405456
Advisor: Yang Shaohua
Abstract : The function thinking is an important way to solve some mathematics problems.This article through enumerating the application of function thinking in the sequence,the inequality and the most value question to embody the role of function thinking in mathematics.
Key word : function thinking sequence inequality most value
数学思想方法在二次函数中的运用
数学思想方法在二次函数中的使用 数学思想方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，是数学知识的重要组成部分．本章主要的数学思想有函数思想和数形结合思想，主要方法有待定系数法和配方法． 一、函数思想 函数思想即使用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想．用函数思想解题常可达到化难为易、避繁就简的目的． 二、数形结合思想 数形结合思想即把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，是抽象思维和形象思维的结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的． 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分广泛，在二次函数中常用于求抛物线的顶点坐标、对称轴和最值． 例1 求抛物线223y x x =-+的顶点坐标、对称轴． 分析：可利用配方法把二次函数关系式化为2()y a x h k =-+的形式，再确定顶点坐标、对称轴． 解：2223(1)2y x x x =-+=-+． 所以它的顶点坐标是(12)，，对称轴是1x =． 四、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种方法叫待定系数法．在二次函数中常利用待定系数法求二次函数的关系式． 例2 已知二次函数，当4x =时取得最小值，且最小值为3-，它的图象与x 轴相交，有一个交点的横坐标为1，求此二次函数关系式． 分析：因为二次函数当4x =时有最小值3-，所以顶点坐标为(43)-，，图象与x 轴交点的横坐标为1，即抛物线过(10)，点． 解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(43)-，，所以设此抛物线所对应的二次函数关系式为2(4)3y a x =--． 又因为抛物线过点(10)，， 所以2(14)30a --=． 解得13 a =．
函数与方程思想简单应用
数学思想方法的简单应用（1） 一、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 1.证明：若 则为整数． 解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得 ，于是此时(1)式的值等于－4． 若x＋y＋z＋t≠0，则 由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4． 2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=． （1）求a、b的值及函数f（x）的解析式； （2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
高考数学函数与方程的思想方法
高考数学函数与方程的 思想方法 Last revised by LE LE in 2021
第4讲 函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系. 3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数f(x)＝n b ax )( （n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元
数学中的极限思想及其应用
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 ：极限思想，应用关键词Abstract: In this paper, the application of in solving problems is the limit idea explained. What's more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.
(完整版)相关函数及其应用
第一专题: 1、相关函数的计算方法（方法的选取及选取的原因） 2、相关函数的性质和应用（选一个应用讲解并仿真） 相关函数的计算方法 利用计算机计算自相关估值有两种方法。一种是直接方法，先计算出随机信号和它的滞后序列的乘积，再取其平均值即得相关函数的估计值。另一种是间接方法，先用快速变换算法计算随机序列的功率谱密度，再作反变换计算出相关函数。 1、直接计算 （1）公式计算 对于时域信号，可以直接按照下面的公式来计算其相关函数，两个能量信号 (t)s 1和(t)2s 互相关函数的定义为 ?+∞ ∞ +=-2112x )dt (t (t)s s (x )R 功率信号(t)s 1和(t)2s 的互相关函数定义为 ?+∞→+=2 /2 /-2112x)dt (t (t)s s 1lim (x)T T T T R （2）自相关函数的估计 在计算机处理数字信号的过程中，一般是对自相关函数进行估计来计算。 假定X[k]是宽平稳各态遍历信号，x[k]是其中的一个样本，其自相关可由单一样本x[k]的时间平均来实现，即 ∑==∞→++=N N N R k -k N x n]x [k]x [k 121lim [n] 由于在实际中仅能得到随即信号的一次样本序列x[0]，x[1]，……，x[N-1]，用[k]x N 来表示，因此只能得到自相关函数的估计，即 ∑-=+= 1 k N N n] [k [k]x x 1(n)N x N r
上式中，对每一固定延迟n ，可利用的数据只有N-n 个，所以自相关函数的估计可以表示成 ∑-=+= 1-n 0 k N N ] n [k [k]x x 1 (n)N x N r 2、间接算法 间接方法是利用自相关函数与其功率谱密度互为一对傅里叶变换的关系来计算的。在数字信号处理中，利用快速傅里叶变换的方法计算出功率谱密度函数的估值，然后再计算它的傅里叶反变换，即得自相关函数估值。由于采用了快速傅里叶变换算法，计算速度较快。如当N =2P 时，间接算法所需要的运算量约为8NP 次实数乘加运算。因此,两种方法的速度比是 速度比= 8p m p 8m =N N 如P ＝13，m ＝0.1N ＝819，则比值约为8，即间接算法比直接算法约快8倍。 对于能量信号，计算R(x)可用以下公式： ? +∞ ∞ =-fx j22 df e )f ((x )πS R 对于功率信号计算R(x)可用以下公式： ? ∑∞+∞ ∞ ∞ =-fx j20-2 df )e nf -(f δ(f) (x )πC R 相关函数的性质及应用 1、自相关函数的性质及其应用 自相关函数具有如下性质： （1） R(x)为实函数； （2） R(x)为偶函数，即R(x)=R(-x)； （3） R(0)等于信号的均方值； （4） 对于各态历经性的随机信号s(t)有R(x)在R(0)处取得最大值； （5） 当随机信号s(t)的均值为u 时，有2x u (x)lim =∞ →R ，当s(t)为确定性信号时， 当x →∞时，自相关函数值不为均值的平方；
高中数学19种答题方法及6种解题思想
高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；
函数思想在中学数学中的应用-(2)
函数思想在中学数学中的应用-(2)
函数思想在中学数学中的应用 韩伟 摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用. 关键词: 函数思想数列不等式最值 一、知识回顾 1.引言 在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用. 2.函数的概念 (1)对应说:在变化过程中,有两个变量x和y.如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. (2)集合说:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数() f x与之对应, 那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作f:A→B或(), =∈. y f x x A 此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{() f x|x A∈}叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数. (3)映射说:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B称为A到B的函数. 3.函数的本质
函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系. 4.函数的性质 (1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的. (2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1 x ,2 x ∈A ,当1 x <2 x 时都有1 2 ()()f x f x <(或1 2 ()()f x f x >),就称函数 () y f x =在数集A 上是增加的(或减少的). (3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()() f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么 函数()f x 叫做偶函数. (4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期. 二. 利用函数思想解决数列的问题 数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:
贝塞尔函数及其应用
题目：贝塞尔函数及其应用
摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式
目录 一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。 （二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 （三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。 三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。
(完整版)高中数学四大思想方法
高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范
--函数思想在解题中的应用
函数思想在解题中的应用 摘要：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的。 关键词：函数思想；解题；应用； 引言 函数是中学数学的重要内容，函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,与数学的其它知识之间有着广泛而又密切的联系,揭示并认识这种内在联系,对提高分析问题的能力具有重要的意义．函数思想又渗透到数学的各个领域．函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的．对此，本文通过实例，从以下几个方面予以说明． 1、 利用函数的单调性解题 单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为 自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．别是在比较数式大小、证明不等式、求值或最值、解方程（组）等方面应用十分广泛． 例1 解不等式05110) 1(833>--+++x x x x 分析：如果去分母化为整式不等式来求解，则问题就变得相当复杂。观察不等式的结构，对不等式变形得：x x x x 51 25)12(33+>+?++ 于是可构造函数x x x f 5)(3+=再利用单调性求解． 解：构造函数x x x f 5)(3+= ∵3 x 及x 5均为增函数． ∴x x x f 5)(3+=在R 上是增函数． 又原不等式等价于)()1 2( x f x f >+． ∴由)(x f 的单调性可知: x x >+1 2． 解得11<<-x 或2-相关函数
2.4.3 相关函数 １．自相关函数 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为 （2.4.6） 对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算 （2.4.7） 自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。 例如信号的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即 ，则
对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为 由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。 自相关函数具有如下主要性质： （1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。 （2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即 （2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。 （4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即 （2.4.9） 实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程
度，定义式为 （2.4.10） 当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与 x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。 自相关函数的性质可用图2.4.3表示。 图2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括： （1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程自相关函数图形
思想方法 第1讲 函数与方程思想
第1讲 函数与方程思想 思想概述 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决． 方法一 运用函数相关概念的本质解题 在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质． 例1 若函数f (x )＝????? －x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B.????13，1 C.????13，1 D.??? ?0，13 思路分析 先求出f (x )＝a x 是减函数时a 的范围→满足－0＋3a ≥a 0时a 的范围→取交集 答案 B 解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数， ∴????? 0应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f(0)，这是解题的一个易忽视点．究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体． 解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视． 方法二利用函数性质求解方程问题 函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．例2(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则() A．a>2b B．a<2b C．a>b2D．a数学毕业论文--高中数学中的函数思想及应用
西南大学 本科毕业论文(设计) 题目高中数学中的函数思想及应用 学院理工学院 专业数学 年级 2008 级 学号 XXXXXXXXXX 姓名 DDDDDDDDD 指导教师 成绩 年月日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 一、引言 (2) 二、函数的基本概念 (2) （一）函数概念 (2) （二）函数思想 (5) 三、函数思想在高中数学中的具体体现 (6) （一）方程中的函数思想 (6) （二）不等式中的函数思想 (8) （三）数列中的函数思想 (9) （四）三角中的函数思想 (10) （五）向量中的函数思想 (11) （六）立体几何中的函数思想 (12) （七）解析几何中的函数思想 (13) （八）探索性与实际应用问题中的函数思想 (14) 四、总结 (15) 参考文献 (17) 致谢 (18)
高中数学中的函数思想及应用 摘要：函数是高中数学的一个重要的基本概念，它渗透在数学的各部分内容中。一直是高考的热点、重点内容。 本文论述了函数思想是函数基础理论的升华，并结合大量的实例叙述了函数思想在高等数学的各个方面的应用，从而揭示了函数意识的实质以及对知识发展规律的认识。在解题过程中不仅限于只简单地模拟、套路，而更多的是创设一个自己去观察、探索、研究问题的情境。在理清思路，搞清原理的基础上，将具体的模式和解题方法上升到定的思想高度。这样才能使思维得到真正的发展和深化，进而完成函数思想的培养。 关键词：高中数学函数函数思想 Abstract：Function of the high school mathematics is an important basic concept, which penetrates in mathematics of all the parts of the content., So it has been the hot spot of the university entrance exam, key content. This paper discusses the function of the theory of ideological function is the sublimation, and combined with a large number of examples describes the function in higher mathematics thought of all aspects of the application, and reveals the essence of the function of knowledge and awareness know the law of development. We in solving questions are not limited to just simply simulation, routines, and more is to create a himself to observe, exploration, research problem situation. In the ideas, understand principle, and on the basis of the specific pattern and problem solving method to set up the thought highly. This way can make our thinking get real development and deepening, complete function and the cultivation of thinking. Key words: High school maths, Function , Function thought
函数和方程的思想方法
函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；
方程函数思想的应用
方程和函数思想的应用 1、某服装原价为200元，连续两次涨价a ％后，售价为242元，则a 的值为（ ） A 、5 B 、10 C 、15 D 、20 2、如图1，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ） 。 A ．400 cm 2 B ．500 cm 2 C ．600 cm 2 D ．4000 cm 2 3．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是（ ） Ａ．2x =- Ｂ．1x =- Ｃ．2x = Ｄ．1x = 5、为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x 千米/小时，提速后火车的平均速度为y 千米/时，则x 、y 应满足的关系式是（ ） A ．x – y = 13267.42 B ． y – x = 1326 7.42 C ．13261326x y - = 7.42 D ． 13261326 y x - = 7.42 7、某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能 是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是（ ） A ．45% B ．50% C ．90% D ．95%． 9．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线2 1 3.55 x - +的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是( ) A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10、如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC 的长为常数， 点P 从起点C 出发，沿CB 向终点B 运动，设点P 所走过路程 CP 的长为x ，△APB 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与 x 之间的函数关系的是（ ） 时间（分钟） 10 12 4 1 2 1 路程 1 O 图1 B y O x C y O x D y O x y O x A A B P C x （第10题图）
互相关函数的应用
苏州大学《机械工程测试技术基础》课程作业 题目：互相关函数的应用——测量钢带速度、确定输油管裂损位置 姓名：王臻 学号：1442404033 年级：_14 级 专业：车辆工程 2017年04月03日
互相关函数的应用——测量钢带速度、确定输油管裂损位置 一、实验目的 1、理解相关性原理，掌握信号的互相关函数的求法以及互相关函数的特性。 2、利用互相关函数知识，探索测量钢带速度、确定输油管裂损位置的方法。 二、实验原理 1、相关的概念 相关是指客观事物变化量之间的相依关系，当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某个变量数值的确定，另一变量却可能去许多值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。在统计学中是用相关系数来描述两个变量x ，y 之间的相关性，相关系数的公式为: y x y x y x E σσμμρ)] )([(xy --= 注： E 为数学期望； x μ为随机变量x 的均值，x μ=E[x]； y μ为随机变量y 的均值，y μ=E[y]； x σ，y σ为随机变量x ，y 的标准差； 2x σ =E[(x- x μ)2] 2y σ=E[(y-y μ)2 ] 利用柯西—许瓦兹不等式: E[(x-x μ)(y-y μ)]2≦E[(x-x μ)2]E[(y-y μ)2] 式中 xy ρ是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性， 表征了x 、y 之间的关联程度；x σ、y σ 分别为随机变量x 、y 的均方差，是随机变量波动量平方的数学期望。 故知| xy ρ|≤1，当 xy ρ的绝对值越接近1，x 和y 的线性相关程度越好，当 xy ρ
“一次函数”中的数学思想方法(一)
“一次函数”中的数学思想方法（一） 一、函数思想 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题. 例1．利用图象解二元一次方程组? ??-=+=- ② ①.5,22y x y x 分析：方程组中的两个方程均为关于x,y 的二元一次方程，可以转化为y 关于x 的函数.由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，实质上是两个y 关于x 的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解. 解：由①得y=2x-2， 由②得y=-x-5. 在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2， y=-x-5的图象如图1所示. 观察图象可知，直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是(-1，-4). ∴原方程组的解是? ? ?-=-=.4,1y x 点评：解方程组通常用消元法.但如果把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解. 例2．我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了ymL 水. （1）试写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当滴了1620mL 水时，小明离开水龙头几小时？ 分析：已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时=3600秒，∴1小时滴水3600×2滴，又∵每滴水约0.05mL ，∴每小时约滴水3600×2×0.05＝360mL. 解：（1）y 与x 之间的函数关系式为x=360x(x ≥0). （2）当y=1620时，有360x=1620， ∴x=4.5. ∴当滴了1620mL 水时，小明离开水龙头4.5小时. 二、数形结合思想 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用. 例3．如图2所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为A （2，0），且OA=OB ，试求一次函数的解析式. 图 1 图2
