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三角函数一览表

二、知识结构

1.角的概念的推广：

(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+2

,k ∈Z 第二象限角：2k π+

＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+2

3π

,k ∈Z

第四象限角：2k π+2

3π

＜α＜2k π+2π,k ∈Z

(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k 2360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：

终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝

k ，k ∈Z ｝终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π

，k ∈Z ｝终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π

，k ∈Z ｝

终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4

，k ∈Z ｝

2.弧度制：

(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化： 1°＝

180

弧度，1弧度＝(

180

)°

(3)两个公式：(R 为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。弧长公式：l=｜α｜R 扇形面积公式：S=

21lR=2

1｜α｜R 2

角当中的对称问题：

与角α终边关于x 轴对称的角的集合；与角α终边关于y 轴对称的角的集合与角α终边关于原点轴对称的角的集合与角α终边关于y=x 轴对称的角的集合与角α终边关于y=-x 轴对称的角的集合 3.周期函数：

(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小正

数叫做这个函数的最小正周期。 (2)几个常见结论：

①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k ∈Z ，且k ≠0)也是y=f(x)的周期。 ②如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么

也是y=f(wx)(w ≠0)的周期。

③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c 。 4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x ，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO ｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin α=

y ,cos α=r x

,tg

α=

y r ,ctg α=y

,Sec α=r x ,csc α=r y (如图(1))。

(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))

(3)同角三角函数的基本关系式：

倒数关系：sin α2csc α=1,cos α2sec α=1,tg α2ctg α=1 商数关系：tg α=

ααcos sin ,ctg α=α

sin cos 平方关系：sin 2

α+cos 2

α=1,1+tg 2

α=sec 2

α,1+ctg 2

α=csc 2

(4)诱导公式：

上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。 5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：

如图(3)，sin α=MP,cos α=OM,tg α=AT,ctg α=BS

(2)三角函数的图像和性质：

函数y=Asin(wx+?)的图像可以通过下列两种方式得到： ?＞0，图像左移?

(1)y=sinx y=sin(x+?) ?＜0，图像右移｜?｜ w ＞1，横坐标缩短为原来的

1倍 y=sin(wx+?)

0＜w ＜1，横坐标伸长为原来的

1倍 A ＞1，纵坐标伸长为原来的A 倍

y=Asin(wx+?) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来的A 倍 w ＞1,横坐标缩短为原来的

w 1倍 (2)y=sinx 0＜w ＜1,横坐标伸长为原来的w

1倍

?＞0，图像左移

? y=sin(wx)

?＜0,图像右移

? A ＞1，纵坐标伸长为原来A 倍

y=sin(wx+?) y=Asin(wx+?) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来A 倍 8.两角和与差的三角函数： (1)常用公式：

两角和与差的公式：

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β， tg(α±β)=

αβ

αtg tg tg tg 1±

倍角公式：

sin2α=2sin αcos α，

cos2α=cos 2

α-sin 2

α=2cos 2

α-1=1-2sin 2

α=αα4

4sin cos -，

tg2α=

212tg tg -.

半角公式： sin

2α=±2cos 1α-, cos

2α=±2

cos 1α+, tg

2α=±ααcos 1cos 1+-=α

αcos 1sin +=ααsin cos 1-=ααααcos sin 1cos sin 1++-+.

积化和差公式：

sin αcos β=

〔sin(α+β)+sin(α-β)〕, cos αsin β=21

〔sin(α+β)-sin(α-β)〕

cos αcos β=21

〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,

sin αsin β=-2

〔cos(α+β)-cos(α-β)〕

和差化积公式： sin α+sin β=2sin

2β

α+cos

2β

α-,

sin α-sin β=2cos 2βα+sin 2β

α-

cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2β

α- ,

cos α-cos β=-2sin 2βα+sin 2

α-

万能公式：

sin α=

22α

+，cos α=

12122

tg +-,tg α=2

22α

tg -

(2)各公式间的内在联系：

(3)应注意的几个问题：

①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。 ②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。

③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。 ④常具的变形公式有：cos α=ααsin 22sin ,sin 2α=22cos 1α-,cos 2

α=2

2cos 1α+,tg α+tg

β＝tg(α+β)(1-tg αtg β).

⑤asin α+bcos α=22b a +sin(α+?).

(其中?所在位置由a ，b 的符号确定，?的值由tg ?=a

确定)。

9.解斜三角形：

［-1，1］［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) ［-

2π，2π］［0，π］ (-

2π，2

π) (0，π) 在(-∞，+∞)上是增

(1) 最简单三角方程的解集：

(2)三、知识点、能力点提示

三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。

下面对常见考点作简单分析：

1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。

2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应

用。

3.三角函数性质的考查 (1)定义域和值域：

(2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的问题，如：设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=( )

(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。

4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。

5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。

6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。

进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路： 1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。 2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同名。

3.常数的变换：常用方式有1=sin 2

α+cos 2

α=sec 2

α-tg 2

α=tg

4π,23=sin 3

π等。 4.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。

5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等

6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。

7.综合运用上述各种方式。