数列通项公式和求和公式总结
一 公式法例 1 数列
{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有
1234127
,0,,,,6954
n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
二 利用n a 与n S 的关系例2 若数列{}n a 的前n 项和为3
3,2
n n S a =-求{}n a 的通项公式.
三 累加法 例3 数列
{}n a 中已知111,2n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
四 累乘法例4数列
{}n a 中已知112
1,
n n a n a a n
++==, 求{}n a 的通项公式. 五 构造法 例5 ①数列
{}n a 中已知113,33n n a a a +==+, 求{}n a 的通项公式;
②数列
{}n a 中已知
()2
*121,2,21
n
n n S a a n n N S ==≥∈-, 求{}n a 的通项公式.
③数列
{}n a 中已知0,n n a S >是
数列的前n 项和,且1
2n
n n
a S a +
=,求{}n a 的通项公式 一 利用公式例6 等比数列
{}n a 的前n 项和21n n S =-求2222123n n T a a a a =+++???+的值.
二 分组求和例7 求数列
39251,,,,,2482n n ?
?
???+??? ??
?
的前n 项和. 三 错位相减例8 求和()23230n
n S x x x nx x =+++???+≠
四 裂项相消例9 求和()()
1111
14477103231n
S n n =
+++???+???-+ 五 倒序相加例10 设
()442x x f x =+,求和122001200220022002S f f f ??????
=+
+???+ ? ? ???
????
1. 求数列
1357,,,,24816???,21
2
n n -的前n 项和.2 已知3
log 1log 23-=
x ，求???++???+++n
x x x x 32的前n 项和. 3. 求数列a,2a 2
,3a 3
,4a 4
,…,na n
, …(a 为常数)的前n 项和。
4. 求证：n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
5. 求数列
311?，421?，5
31
?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S
6. 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n
8.
已知数列{}n a 是等差数列，且1171713951=+-+-a a a a a ，求153a a +的值.
9. 已知数列{}n a 的通项公式为n
n a n ++=
11 求它的前n 项的和.
10. 在数列{}n a 中，).2(122,12
1≥-==n S S a a n n 证明数列?
?????n s 1是等差数列，并求出S n
的表达式. 11. 数列{}n
a 为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n 项和为6560，且前n 项中数值
最大的项为54. 求其首项a 1及公比q . 12. 已知数列!
)1(!32!21++++=n n
a n 求2008a . 13. 设{}n
a 为等差数列，S n
为数列{}n a 的前n 项和，已知S
7
= 7, S 15 = 75. 记T n 为数列
?
??
???n S n 的前n 项和，求T n . 14. 求数列)21
12(815,413,211n
n +
- 的前项和 15. 已知：n S n n ?-++-+-+-=+1
)1(654321 .求n S .
16. 求和2
22222100994321-++-+- . 17. ()()
111
1
123234345
12n S n n n =
+++
+
??????++，求n S 。
18. 设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式。
19. 已知数列}{n a ：)3)(1(8
++=n n a n ，求∑∞
=+-+1
1))(1(n n n a a n 的值。
20. 求和:???? ?
?+++????
??++???? ??+
n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 21. 求数列的前n 项和： ,231
,,71,41,
1112-++++-n a
a a n 22. 求数列)}2)(1({++n n n 的前n 项和。
24. 求?+?+???+?+?+?89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2
的值。
25. 已知数列}{n a 的通项公式)
12)(12()2(2
+-=n n n a n ，求它的前n 项和.
26. 已知数列}{n a 的通项公式,)]
1([1
22
++=
n n n a n 求它的前n 项和. 27. 求和：;1)2(3)1(21?++-?+-?+?=n n n n S n 28. 已知数列.}{,)10
9(
)1(n n n
n S n a n a 项和的前求?+= 30. 解答下列问题：（I ）设),3(9)(2-≤-=
x x x f （1）求)(x f 的反函数);(1
x f
-
（2）若;),2(),(,111
1n n n u n u f u u 求≥-==--
（3）若;}{,,3,2,1,1
1
n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=
+
31. 设函数
),2)(1
(,1:}{,332)(1
1≥==+=
-n b f b b b x x x f n n n 作数列求
和
：
.)1(11433221+-?-+-+-=n n n n b b b b b b b b W
32. 已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2
)2
1(
+=n n n a S S 满足，（I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式；（II ）求证
.21
1121<+++n
S S S 33.已知数列{n a }的各项分别为}{,,,,,16
5434322n a a a a a a a a a a 求 ++++++的前n
项和n S .
34．已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(31
21n n n b n a n a a 数列+?-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222
?-+=.
35．设数列{n a }中，}{),(321n n a N n n a 将*
∈++++= 中5的倍数的项依次记为
,,,321b b b ， （I ）求4321,,,b b b b 的值.（II ）用k 表示k k b b 212与-，并说明理由.
（III ）求和：.212321n n b b b b b +++++-
36．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,)1(2,11n n a n S a +== （I ）求n a 与1-n a 的关系式，
并求{n a }的通项公式；（II ）求和.1
1
11112
12322-++-+-=
+n n a a a W 37．将等差数列{n a }的所有项依次排列，并如下分组：（1a ），（32,a a ），（7654,,,a a a a ），…，
其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n 组有12-n 项，记T n 为第n 组中各项的和，已知T 3=-48，T 4=0，
（I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）求数列
{T n }的通项公式；（III ）设数列{ T n }的前n 项和为S n ，求S 8的值. 39. （1）设12,,
,n a a a 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数
列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i ）当4n =时，求
1
a d
的数值；（ii ）求n 的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
12b b ，，，
n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 40. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010
===）
2
)
1(+n n )1(2
)
1(=+a n n 答案： 1. 设135724816n S =
++++???212n n -+则113524816n S =+++???1232122
n n n n +--++
两
式
相
减
得
11222(224816n S =++++???1221)22n n n +-+-1111(2248=++++???11121
)22
n n n -+-+- 1
11112212112212
n n n -+????
-?? ???-????=+
--1
1
3121222n n n -+-??=-- ???∴2332n n n S +=-. 2. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=?-=?-=
x x x 由等比数列求和公式得
n n x x x x S +???+++=32 ＝x x x n
--1)1(＝
2
11)
21
1(21--n ＝1－n 21 3. 解：若a=0, 则S n =0若a=1,
则S n =1+2+3+…+n=
若a ≠0且a ≠1则
S n =a+2a 2+3a 3+4a 4+…+ na n
∴aS n = a 2
+2 a 3
+3 a 4
+…+na n+1
∴(1-a) S n =a+ a 2+ a 3+…+a n - na n+1
=
∴S n =
当a=0时，此式也成立。 ∴S n =
1
1
1++---n n na a
a a )1(1)1(1
21≠----++a a
na a a a n n )1(1)1(1
2
1≠----++a a
na a a a n n
5. 解：∵
)2(1+n n =2
1
1(21+-n n ）
S n =
??
????+-+???+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =4
21
22143+-
+-n n
6. 解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a
……
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性
质项）
∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合并
求和）
＝
)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+
＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5
7. 解： 因为55…5=
)110(95
-n n