浅谈整除的基本性质以及带余数的除法

浅谈整除的基本性质以及带余数的除法

学生：彭启曌学号：102023010049 摘要：整除在以后多项式的计算中或实际生活中会有很大的帮组，当然，他与带余数的除法是分不开的，两者相辅相成，是我们学习数学必不可少的工具之一。

关键词：整除;余数;辗转相除

1.整除概念及基本性质

1.1整除的概念

在整数的世界里，我们知道，任意两个数的和、差、积任然是整数，但四则运算中的除这一性质，却不能适用于所有的整数；因为用一不等于零的整数去除另外一个整数所得的商却不一定是整数，所有我们引进了整除。

整除的定义：设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数a使得等式

a=bq

成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作b|a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b的倍数。

1.2整除的性质

1）若b|a，c是任意整数，则b|ac。

2）若c|a，c|b，则c|a±b。

3）若b|a，c|b，则c|a。

4）若a|b，b|a，则|a|=|b|。

5）若对任意a，±1|a，±a|a。

1.3一些能被特殊数整除的数

1）任何数都能本1整除。

2）每一位上数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。

3）个位上是0或5的数都能被5整除。

4）把各位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

5）每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

6）个位上是2、4、6、8、0的数都被2整除。

7）最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

8）一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

9）最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

10）若每一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

2.带余数的除法

2.1带余数除法的定义

若a，b是两个整数，其中b>0，则存在若两个整数q及r，使得

a=bq+r，0?r＜b

成立，而且b 及r 是唯一的。q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫作a 被b 除所得的余数。 证明：设Q,R 是满足上式的两个整数，则

a=bQ+R,0?R ＜b, 因而bQ+R=bq+r, 于是b(q-Q)=r-R,

故b|q-Q|=|r-R|.

由于r 及R 都是小于b 的正数，所以上式右边是小于b 的。如果q ≠Q ，则上式左边?b 。这是不可能的。因此

q=Q ，r=R 。

2.2带余数除法的简单应用

1）带余数除法在辗转相除法中的应用。

设a ，b 是任意两个正整数，由带余数除法，我们有下面的系列等式： a=b*1q +1r ，0<1r

b=1r 2q +2r ，0<2r <1r (2)

n r -=(1)n r -n q +n r ，0

(1)n r -=n r (1)n q ++(1)n r +，(1)n r +=0

因为每进行一次带余数除法，余数就至少减一，而b 是有限的，所以我们最多进行b 次带余数除法，总可以得到一个余数是零的等式，即)1( n r =0.以上所指出的计算方法叫做辗转相除法。

辗转相除法就是运用了带余数除法，进行多次的留余数的除法，在最后余数为零时，就得出了许多重要的结果。辗转相除法有很多的应用，例如：可用以求出两个正整数的最大公因数。

2）利用同余的性质求有关余数的问题：运用同余的性质来求带余数除法中的那个余数，是求余数的一种常见的方法。 例：求2009

1992

被29除的余数。 解：2009

1992

≡2009

20

(mod29）

因为(20，29)=1，所以291

20-≡1(mod29），即28

20≡1(mod29）

而2009=28*71+21，所以2009

20

≡71

28

)

20

(21

20

(mod29）

≡21

20

(mod29）

20≡20(mod29），2

20≡23(mod29），4

20≡7(mod29） 8

20≡20(mod29），16

20

≡23≡-6(mod29)

而5

20≡1(mod29）

20≡24≡-5(mod29），21

答：2009

1992被29除的余数是1。

参考文献：

［1］闵嗣鹤、严士健，初等数论.第三版，高等教育出版社，2003.12