高考数学规范答题示范课——数列解答题

规范答题示范课——数列解答题

[破题之道] 求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳，对于非等差或等比数列，可从特殊情景出发，归纳出一般性的方法、规律；将已知数列化归为等差(比)数列，然后借助数列的性质或基本量运算求解.

【典例示范】 (12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .

(1)求b 1，b 2，b 3；

(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{a n }的通项公式.

规范解答 (1)由na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，且b n ＝a n n ，

得a n ＋1n ＋1

＝2·a n n ，则b n ＋1＝2b n . 2分

又a 1＝1，知b 1＝1，

因此b 2＝2b 1＝2，b 3＝2b 2＝4.

从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.4分

(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.5分

理由如下：

由(1)知，b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1≠0， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.

8分

(3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12分

[高考状元满分心得]

?写全得分步骤，踩点得分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中，写出b n ＋1＝2b n ，由条件a 1＝1，分别求出b 1，b 2，b 3.

?写明得分关键：数列解答题要严谨，如第(2)问“首先明确指出数列{b n }的首项和公比(基本量)，再写出b n ＝2n －1.

?计算正确是得分的保证：如第(1)问正确求得b 1，b 2，b 3；第(3)问准确求出a n ＝n ·2n －1，否则不能得分.

[满分体验]

1.(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和.若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m .

解 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.

由已知得???a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8.解得???a 1＝1，q ＝3.

所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.

(2)由(1)知log 3a n ＝n －1.故S n ＝n （n －1）2

. 由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3得m (m －1)＋(m ＋1)m

＝(m ＋3)(m ＋2)，

即m 2－5m －6＝0.

解得m ＝－1(舍去)或m ＝6.

2.(2020·石家庄质检)已知函数f (x )＝3cos πx －sin πx (x ∈R )的所有正的零点构成递增数列{a n }(n ∈N *).

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝? ????12n

? ??

??a n ＋23，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f (x )＝3cos πx －sin πx ＝2cos ? ??

??πx ＋π6， 由题意令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，

解得x ＝k ＋13(k ∈Z ).

又函数f (x )的所有正的零点构成递增数列{a n }，

所以{a n }是首项a 1＝13，公差d ＝1的等差数列，

因此a n ＝(n －1)×1＋13＝n －23(n ∈N *).

(2)由(1)知b n ＝? ????12n ? ????a n ＋23＝n ·? ??

??12n ， 则T n ＝1·? ????121＋2·? ????122＋3·? ????123＋…＋(n －1)·? ??

??12n －1＋n ·? ????12n ，① 12T n ＝1·? ????122＋2·? ????123＋3·? ????124＋…＋(n －1)·? ????12n ＋n ·? ????12n ＋1，② 由①－②得

12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1

＝12? ????1－12n 1－12

－n 2n ＋1＝1－(n ＋2)·? ????12n ＋1， 所以T n ＝2－n ＋22n .