圆的面积计算公式
《圆的面积计算公式》课堂实录
教学目标：
知识与技能：掌握圆的面积计算公式，并能正确计算圆的面积。
过程与方法：在合作交流、动手操作中提高同学们推理归纳能力，
发展空间观念。
情感态度与价值观：在学习新知中体验数学与生活的联系，提高
学习数学的兴趣。
教学重点、难点：圆的面积计算公式的推导。
教学准备：多媒体课件、正方形纸片、正六边形纸片、剪刀。
教学过程：
一、体验“圆出于方”
师：今天老师给大家带来几个平面图形，看大家认不认识？
（课件依次展示正方形、正六边形、正十二边形、正二十四边形……，当课件展示到正二十四边形时同学们都回答是圆，
这时教师把正二十四边形放大，让同学们观察到它确实是一个
多边形，再依次展示其它正多边形。大家不难发现正多边形的
边数越多它就越接近圆形。）
师：如果正多边形有无数条边，它就变成了一个什么图形？
生：圆。
师：（课件出示圆形）其实圆形就是一个有无数条边的正多边形，也就是我们常说的“圆出于方”。大家想一下我们都了解过圆的哪些知识？
生：周长、半径、直径……
师：有哪位同学能说一下圆周长的计算公式：
生：C=2πr、C=πd.
师：很正确，我们了解了圆的这么多知识，大家还想研究一下圆的哪些知识？
生：圆的面积。
师：你知识什么是圆的面积吗？
生：圆所占平面的大小叫圆的面积。
师：你回答的可真不错，下面我们就一起来研究一下圆的面积。（通过本环节，让同学们感受圆出于方的变化过程、复习圆周长的计算公式、认识圆的面积，都为下面圆的面积公式的推导做好准备。）二、动手操作、合作探究圆的面积计算公式。
1．推导正方形的面积计算公式。
师：刚才我们已经知道圆就是一个有无数条边的正多边形，我们研究圆的面积就从最简单的正多边形开始研究。（课件出示正方形）拿出学具袋中的正方形，要求它的面积需要知道什么？
生：边长。
师：下面我们小组合作，抛开以前求正方形面积的方法，利用我们学过的知识和学具袋中的工具看看能不能再探究出一种求正方形面积的方法。
（小组合作时教师可适当引导，最后汇报总结。）
同学们主要用这几种方法来求正方形的面积，学生汇报后教师重点对第四种方法进行讲解，并注意渗透转化的思想。
师：同学们把求正方形的面积转化成了求长方形或是平行四边形的面积，大家的想法可真不错，我们主要来看一看这种方法。（生四的方法）
师：这个正方形和平行四边形有什么关系？
生：面积相等。
师：也就是我们求出平行四边形的面积就知道了正方形的面积，那么平行四边形的面积怎么求？
生：底乘高。
师：大家仔细观察平行四边形的底和正方形有什么关系？
生：是正方形的两条边长。
师：和正方形的周长有什么关系？
生：是正方形周长的一半。
师：谁能完整的说一遍平行四边形的底和正方形的关系？
生：平行四边形的底是正方形边长的一半。（让学生上台指一指。）师：很好，大家再观察这个图，平行四边形的高是什么？
生：是所剪成的三角形的高。（让学生上台指一指。）
师：如果用C表示正方形的周长，用h表示三角形的高，正方形的面积可以怎么表示？
生：S=h
（本环节教师根据学生的回答做适当引导。）
师：同样是求正方形的面积，大家觉的现在这个公式和我们以前学的那个公式哪个更好？
生：当然是以前的了，现在这个太麻烦了。
师：如果只是为了求正方形的面积当然是以前的哪个更简单，但是用原来的哪个公式不能推导出其它几个图形的面积计算公式，用这个公式却可以，不信你看。（课件出示正六边形）
2．推导正六边形的面积计算公式
师：拿出我们学具袋中的正六边形，下面小组合作看能不能推导出它的面积计算公式？
（由刚才推导正方形面积计算公式的方法，同学们很快剪拼成下图，学生汇报展示后教师提问。）
师：同学们拼成的这个平行四边形和正六边形……？
生：面积相等。
师：要求平行四边形的面积，必须知道……？
生：底和高。
师：大家看平行四边形的底是正六边形的什么？
生1：三条边的长度。
生2：正六边形周长的一半。
师：平行四边形的高呢？
生：是所剪成的三角形的高。
师：能不能用字母表示一下正六边形的面积？
生：S=h
师：同学们可真历害，用同样的方法推导出正六边形的面积也是周长的一半与所剪成三角形高的乘积，大家猜一猜正十二边形的面积计算公式是什么？
3．迁移推导正十二边形、正二十四边形……及圆的面积计算公式。生：也是周长的一半与所剪成三角形高的乘积。
（老师课件展示，验证同学们猜想的正确性。）
师：通过验证我们发现正十二边形的面积计算公式也是周长的一半与所剪成三角形高的乘积，即：S=h。那么正二十四边形的面积计算公式呢？
生：S=h
（教师再次课件验证其正确性，并追问：正四十八边形呢？正一百边形呢？正一万边形呢？……正无数边形呢？）
生：都是S=h
师：正无数边形是什么图形？
生：圆！（学生恍然大悟。）
师：也就是圆面积的计算公式也是S=h。
（出示课件，请同学们观察从正方形转化成平行四边形到正六边形、正十二边形、正二十四边形……转化成平行四边形有什么变化规律。）生：多边形的边数越多，所转化成的平行四边形就越接近长方形。师：如果多边形的边数变成无数条，那它所拼成的平行四边形就变成什么了？
生：长方形。
师：有无数条边的正多边形是什么图形？
生：圆。
师：也就是说圆能过剪拼我们可以把它转化成一个长方形。
（出示课件）
师：得到的长方形的面积和圆的面积有什么关系？
生：相等。
师：长方形的面积如何计算？
生：长乘宽。
师：长方形的长是……？
生：圆周长的一半。
师：宽是……？
生：圆的半径。
师：也就是说圆的面积我们可以写成：S=r
师：“C”指的是什么？
生：圆的周长、2πr。
师：我们能不能把这个公式化简一下？
师根据学生的回答板书化简过程：
S=×r=×r=πr2
教师引导学生说出对公式的理解：圆的面积就是它半径平方的π倍，并且要注意r2=r×r，而不是2×r。
三、巩固练习
四、小结
圆的面积计算公式
长方形的面积=长×宽圆的面积=×r
=×r
=πr2
S=πr2
圆的面积计算
圆的面积计算 教学内容：新课标数学六年级上册P67、68例1，圆的面积计算公式推导，圆面积计算的运用。 教学目标： 1、通过动手操作、认真观察，让学生经历圆面积计算公式的推导过程，理解掌握圆面积公式，并能正确计算圆的面积。 2、学生能综合运用所学的知识解决有关的问题，培养学生的应用意识。 3、利用已有知识迁移，类推，使学生感受数学知识间的联系与区别。培养学生的观察、分析、质疑、概括的能力，发展学生的空间观念。 4、通过学生小组合作交流，互相学习，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实际和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。 教学重点：运用圆的面积计算公式解决实际问题。 教学难点：理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。 教学准备：多媒体课件及圆的分解教具，学生准备圆纸片和圆形物品。 教学过程： 出示以下图形： 1、请同学们指出这些平面图形的周长和面积，并说说它们的区别。 2、你会计算它们的面积吗？想一想，我们是怎样推导出它们面积的计算公式的？（电脑课件演示） 二、合作交流，探究新知。 1 出示圆： （1）让学生说出圆周长的概念，并指出来。 （2）想一想：圆的面积指什么？让学生动手摸一摸。 （揭示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。）
（3）对比圆的周长和面积，让学生感受他们的区别。 同时引出课题——圆的面积。 2、推导圆面积的计算公式。 （1）学生观察书本P67主题图，思考：这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？也就是要求什么？怎样计算一个圆的面积呢？ （2）刚才我们已经回顾了利用平移、割、补等方法推导平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的方法，那能不能把圆也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？ （3）请各小组先商量一下，你们想拼成什么图形，打算怎么剪拼，然后动手操作。 ①分小组动手操作，把圆平均分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得又快又好？ ②展示交流并介绍：小组代表给大家介绍一下你们组拼出来的图形近似于什么？是用什么方法剪拼的？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？ ③当圆转化成近似长方形时，你们发现它们之间有什么联系？ 课件演示：
2.8 圆的面积计算公式的应用
2.8 圆的面积计算公式的应用 1.我会填。 (1)半径是9cm的半圆，它的周长是( )cm，面积是( )cm2。 (2)一个圆形花坛的周长是18．84m，它的半径是( )m，这个花坛占地面积是( )m2。 2.判断。(对的画“√”，错的画“X”) (1)2πr和πr2所表示的意思相同。( ) (2)周长相等的两个圆，面积也相等。( ) (3)圆的面积比半径的平方的3倍多一些。( ) (4)圆规两脚尖间的距离是1厘米，画出的圆的面积和周长相等。( )； 3.填表。 半径(cm) 直径(cm) 周长(cm) 面积(cm／) 5 6 6.28 4. 5.在一个周长是80厘米的正方形木板上，锯下一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米? 6.一个底面是圆形的蒙古包，量得它的底面周长是25.12米，它的占地面积是多少平方米? 7.小明量得一棵树干的周长是1.256米，这棵树干的横截面面积是多少平方米? 8.用两根长度都是62．8cm的铜丝，分别围出一个圆和一个正方形，计算出它们的面积。
答案提示： 1.(1)46.26 127.17 (2)3 28.26 2.(1) ×(2)√(3)√(4) × 3.10 31.4 78.5；3 18.84 28.26；l 2 3.14 4.(1)3.14×[(10÷2) 2一(6÷2)2]＝50．24(cm 2) (2)3.14×(8÷2) 2一8×8÷2＝18.24(cm 2) 5.80÷4÷2＝10(厘米) 3.14×10 2＝314(平方厘米) 6.25.12÷3.14÷2＝4(米) 3.14×4 2＝50.24(平方米) 7.1.256÷3.14÷2＝0.2(米) 3.14×0.22＝0.1256(平方米) 8.圆：62.8÷3.14÷2＝10(cm) 3.14×102＝314(cm2) 正方形：62.8÷4＝15.7(cm) 15.7×15.7＝246.49(cm 2)
中考数学椭圆的面积公式考点总结
中考数学椭圆的面积公式考点总结 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，那么 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e1,因为2a2c) 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/ C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A, B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0，y0) 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^21 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^21 直线与椭圆位置关系
y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△0无交点 相交△0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。 椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2 b^2/a 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故〝贮藏〞在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地〝提取〞出来,使文章增色添辉。
圆的面积公式应用
六年级《圆的面积》教学设计 刘集镇中心小学：李志 【设计理念】 《新课程标准》指出数学课堂老师应想法设法激发学生的学习积极性，为学生充分提供从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索与合作交流的过程中，掌握和理解基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动和经验。本节课我力求以学生的知识经验为基础，让学生自己动手操作,在充分探索的过程中感悟出圆的面积公式，从而培养学生的逻辑推理能力、动手操作能力及小组协作能力。 【教学背景】 在教学本课内容以前，学生们会求直线围成的平面图形的面积，而对于圆这个曲边图形却是初次接触，虽然前面已学过平面图形面积运用过转化思想，如将平行四边形转化成长方形，将三角形转化成平行四边形等。而圆的面积对于学生来说运用转化的思想倒很容易想到，但由于是曲边图形的问题使得学生不知该如何转化成他们所熟悉的直线图形成为了本课的难点。 为了真正从学生已有的知识和经验出发，发现学生学习的困难，先进行课前了解，掌握实情，找出对学生学习新课造成困难的障碍，对已学过而遗忘的知识要及时进行巩固温习。 【数学思想】 本课数学的核心思想虽然用的是“转化”的方法，但最重要的是“以直代曲”的思想。 【教学方式】 本课采取的教学方式主要有创设情境、动手操作、小组合作、引导归纳、总结。 【教学手段】 实物演示、电脑课件。 【教学内容】九年制义务教育（人教科标版）六年级数学上册第67-68页《圆的面积》。【教学目标】 知识与技能：理解圆的面积的意义，掌握圆面积的计算公式推导过程，能正确计算圆的面积。过程与方法：培养学生运用已学知识解决新问题的能力，进一步体会“转化”的思想方法，感悟极限、转化、以直代曲等数学思想方法。 情感态度价值观：培养学生善于思考勤于动脑的思想品质，体会学习数学的乐趣，树立学好数学的信心。 【教学重点】圆的面积计算公式的推导，能熟练地应用公式解决实际问题。 【教学难点】理解圆的面积公式的推导过程，理解极限思想（化曲为直）。 【教学过程】 一、创设情境，理解圆的面积。 1、回忆：什么平面图形的面积？ 2、课件出示：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形的图片。说说这些图形的面积计算公式。 3、引出质疑：那圆的面积是什么呢？ 请同学们摸一摸自己准备的圆形纸片的面积，用自己的话说说什么是圆的面积。 出示结语：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 4、揭示课题：这节课我们一起来研究怎样计算圆的面积。 （板书课题：圆的面积） 二、动手操作，探究面积公式。 1.明确研究问题。 （1）明确策略
椭圆的面积公式
椭圆面积公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c)
椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M（x0，y0）椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1 点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相离△＜0无交点 相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
圆的面积公式03
《圆的面积》教学设计 正定回民小学吴彦霞 教材分析： 本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。 学情分析： 学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。 教学目标： 知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。 过程与方法： 让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。 情感态度价值观： 让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。 教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算
公式。 教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。 教学准备：平均分成16份的学具、课件。 教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。 教学过程： 一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？ 我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？ 【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】 二、新课探究
圆的面积(23)
《圆的面积》教学设计 【教学内容】 义务教育课程标准实验教科书第十一册P69～71例1、例2。 【教学目标】 1、认知目标 使学生理解圆面积的含义；掌握圆的面积公式，并能运用所学知识解决生活中的简单问题。 2、过程与方法目标 经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作，逻辑推理的学习方法。 3、情感目标 引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强 学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。 【教学重点】：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 【教学难点】：理解圆的面积计算公式的推导。 【教学准备】：相应课件;圆的面积演示教具 【教学过程】 一、情境导入 出示场景?——《马儿的困惑》 师：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？ 生：是一个圆形。 师：那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？ 生：圆的面积。 师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积） [设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。] 二、探究合作，推导圆面积公式 1、渗透“转化”的数学思想和方法。 师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？ 我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？ 生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。 生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。 师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别
园的面积公式一
一、复习旧知，导入新课 1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？ 我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式，这是今天我们要学习的内容。板书：圆的面积 【设计意图】在复习引导中让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫，同时回忆平行四边形、三角形和梯形等图形的面积计算公式的推导过程。通过直观的演示，激发学生积极主动地学习。引导学生复习长方形的面积计算公式，渗透了要求圆的面积也需从转化的思想放手。 二、教学实施 （一）、定义： 1、请你摸一摸哪里是圆的面积？ 2、师：圆所占平面的大小就是圆的面积。 （二）、渗透极限思想： 师：圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 师：如何化曲为直呢？ 引导学生操作： 师：（拿出一个圆片）我们怎么剪？圆的大小是由什么决定的？（直径、半径） 生：（圆的大小由直径或半径决定。）沿直径或半径剪。 师剪第一刀，再问:第二刀怎么剪？ 师:我们要把圆通过剪成多份并用拼的方法转化成学过的规则图形，为了计算上的方便，我们把圆平均分成多份。 将一个圆分别平均分成2份、4分、8分、16份，分别罗列排好。请学生观察四组图。 师：随着等分份数的不断增加，你有什么发现吗？ A：随着等分份数的不断增加，曲线越来越直。 B：随着等分份数的不断增加，每一小份越来越接近三角形。 【设计意图】让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的重点；由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。 （三）拼摆推导面积公式。 1、拼摆 师：把圆转化成什么图形？我们来试一试。 学生操作，演示学生的作品。 师：转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？面积不变。 课件出示：把圆等分成不同等份时的图形的趋势。 2、推导面积公式
第5课时--圆的面积公式应用——已知周长求面积圆的面积公式应用——已知周长求面积
圆的面积公式应用——已知周长求面积教学目标： 1.在解决问题的过程中，进一步巩固圆的面积公式。 2.结合具体事例，能灵活运用所学公式解决生活中的问题。 3．感受数学与生活的密切联系，培养学生综合运用知识的能力。。 教学重点： 正确并灵活的运用公式进行计算。 教学难点： 正确并灵活的运用公式解决生活中的问题 教学过程： 一、复习旧知，导入新课 前面我们学习了圆、圆的周长、圆的面积，如果圆的半径用r表示，周长怎样表示？（2πr）面积怎样表示？（πr2），这节课我们继续学习圆的面积，研究如何用圆的公式解决实际问题。 二、引导探究，解决问题 1．探究教材第52页“蒙古包占地”问题。 （1）多媒体出示问题。 一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占地面积是多少平方米?
（2）探究。 学生根据以前的经验可知：要先利用圆的周长公式求出蒙古包的半径或直径，才能计算占地面积。 师：我们在算蒙古包半径时用算术法和方程法都可以，哪种更简单? 生：列方程解，思路统一，便于理解。 师：请同学们在练习本上把过程写完整! 指名学生板演。 2．探究教材第52页“选台布”问题。 圆桌面的直径是120厘米。 （1）多媒体出示三块不同规格的台布： 110cm×110cm；120cm×120cm；140cm×140cm （2）合作探究。(教师需引导学生知道"110cm×110cm"等表示的意义) 120)2＝11304(平方厘米) 生1：因为桌面面积：3.14×( 2 边长是110厘米的台布面积：110×110＝12100(平方厘米) 12100＞11304 所以边长是110厘米的台布能用，因为它的面积比圆桌面的面积大。 生2：边长是110厘米的台布不能用，边长是110厘米的台布最大只能遮盖直径是110厘米的圆桌面。 (教师引导学生知道，只比较面积的大小不行，还要看台布能不能盖全圆桌) 通过学生比较第2种和第3种台布，使学生知道边长是140厘米的台布不但比圆桌面的面积大，而且铺在上面周围都能垂下一部分，这样比较美观，台布不容易被掀起，所以选择边长是140厘米的台布更合适些。
椭圆周长和面积计算公式
椭圆定理（又名：椭圆猜想） 椭圆定理 易亚苏 （关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。） 圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。 一、椭圆第一定义 椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭圆第一定义的数学表达式： MF1+MF2=2a>F1F2 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。） M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且 a>b>0；2c表示焦距。 二、椭圆定理 （一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理） 椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。 附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略） （二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理） 定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。 定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。 定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。 椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。 （三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理） 椭圆具有三特性，也称椭圆三态。 1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内； 2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上； 3、当椭圆b 九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。 将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程， 一、椭圆周长、面积计算公式 根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 （一）发现椭圆常数 常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。 椭圆的周长取值范围：4a 封头面积公式： S=πr[r+h1×C+2h] 其中r=Di/2 h1=H-h 标准椭圆封头C=0.760346 公称直径DN=Di/mm 曲面深度 Hi/mm 直边高度h (mm) 25 40 50 内表面积S/m2,容积V/m3 S V S V S V 300 75 0.12 0.005 350 88 0.16 0.008 400 100 0.20 0.012 450 113 0.25 0.016 500 125 0.31 0.021 0.33 0.024 550 138 0.37 0.028 0.40 0.031 600 150 0.44 0.035 0.47 0.040 650 163 0.51 0.044 0.54 0.049 700 175 0.59 0.055 0.62 0.060 750 188 0.67 0.066 0.70 0.073. 800 200 0.76 0.080 0.79 0.087 900 225 0.95 0.111 0.99 0.121 1000 250 1.16 0.151 1.21 0.162 1100 275 1.40 0.198 1.45 0.212 1200 300 1.66 0.254 1.71 0.271 1300 325 1.93 0.321 2.00 0.341 1400 350 2.23 0.398 2.30 0.421 1500 375 2.56 0.486 2.63 0.512 1600 400 2.90 0.586 2.98 0.617 1700 425 3.27 0.700 3.35 0.734 3.40 0.757 1800 450 3.65 0.827 3.71 0.865 3.79 0.891 1900 475 4.06 0.969 4.15 1.011 4.21 1.040 2000 500 4.49 1.126 4.59 1.173 4.65 1.204 2100 525 4.95 1.299 5.04 1.351 5.11 1.385 2200 550 5.42 1.489 5.52 1.546 5.59 1.581 2300 575 5.91 1.697 6.02 1.759 6.10 1.800 2400 600 6.43 1.923 6.55 1.991 6.62 2.036 2500 625 6.97 2.168 7.09 2.242 7.17 2.291 2600 650 7.53 2.433 7.65 2.513 7.74 2.566 2800 700 8.72 3.027 8.85 3.120 8.94 3.181 3000 750 9.99 3.711 10.13 3.817 10.23 3.888 3200 800 11.35 4.490 11.50 4.611 10.60 4.691 3400 850 12.80 5.372 12.96 5.508 13.06 5.599 3500 875 13.55 5.853 13.72 5.997 13.83 6.093 “圆的面积计算公式”教学设计 【教学内容】 “圆的面积计算公式”的推导 【教学目标】 1．学生通过观察、操作、分析和讨论，推导出圆的面积公式。 2．能够利用公式进行简单的面积计算。 3．渗透转化思想，初步了解极限思想，培养学生的观察能力和动手操作能力。 【教、学具准备】 1．ppt课件； 2．把圆8等分、16等分和32等分的硬纸板若干个； 3．剪刀若干把。 【教学过程】 一、尝试转化，推导公式 1．确定“转化”的策略。 师：同学们，你们想一想，当我们还不会计算平行四边形的面积的时候，是利用什么方法推导出了平行四边形的面积计算公式呢？ 预设： 引导学生明确：我们是用“割补法”将平行四边形转化成长方形的方法推导出了平行四边形的面积计算公式。 师：同学们再想想，我们又是怎样推导出三角形的面积计算公式的呢？ 师：对了，我们将平行四边形、三角形“转化”成其它图形的方法来推导出它们的面积计算公式。 2．尝试“转化”。 师：那么，怎样才能把圆形转化为我们已学过的其它图形呢？（板书课题：圆的面积） 请大家看屏幕（利用课件演示），老师先给大家一点提示。 师：（教师配合课件演示作适当说明）如果我们把一个圆形平均分成16份（如图三），其中的每一份（如图四，课件闪烁其中1份）都是这个样子的。同学们，你们觉得它像一个什么图形呢？ 师：是的，其中的每一份都是一个近似三角形。请同学们再想一想，这个近似三角形这一条边（教师指示） 跟圆形有什么关系呢？ 预设： 引导学生观察，明确这个近似三角形的两条边其实都是圆的半径。 师：如果我们用这些近似三角形重新拼组，就可以将这个圆形“转化”成其它图形了。同学们，老师为你们每个小组都准备了一个已经等分好了的圆形，请你们动手拼一拼，把这个圆形“转化”成我们已学过的其它图形，开始吧！ 预设： 学生利用这种近似三角形拼组图形会有一定的难度，教师要加强巡视和有针对性的指导，既鼓励学生拼出自己想象中的图形，又要引导他们拼出最简单、最容易计算面积的图形。一般情况下，学生会拼出如下几种图形（如图五、图六、图七）。 3．探究联系。 师：同学们，“转化”完了吗？好，请大家来展示一下你们“转化”后的图形。 预设： 分组逐个展示，并将其中“转化”成长方形的一组的作品贴在黑板上。如果有小组转化成了不规则的图形，教师应及时引导他们转化为我们已学过的平面图形。 《圆的面积计算公式》课堂实录 教学目标： 知识与技能：掌握圆的面积计算公式，并能正确计算圆的面积。 过程与方法：在合作交流、动手操作中提高同学们推理归纳能力， 发展空间观念。 情感态度与价值观：在学习新知中体验数学与生活的联系，提高 学习数学的兴趣。 教学重点、难点：圆的面积计算公式的推导。 教学准备：多媒体课件、正方形纸片、正六边形纸片、剪刀。 教学过程： 一、体验“圆出于方” 师：今天老师给大家带来几个平面图形，看大家认不认识（课件依次展示正方形、正六边形、正十二边形、正二十四边形……，当课件展示到正二十四边形时同学们都回答是圆， 这时教师把正二十四边形放大，让同学们观察到它确实是一个 多边形，再依次展示其它正多边形。大家不难发现正多边形的 边数越多它就越接近圆形。） 师：如果正多边形有无数条边，它就变成了一个什么图形 生：圆。 师：（课件出示圆形）其实圆形就是一个有无数条边的正多边形，也就是我们常说的“圆出于方”。大家想一下我们都了解过圆的哪些知识 生：周长、半径、直径…… 师：有哪位同学能说一下圆周长的计算公式： 生：C=2πr、C=πd. 师：很正确，我们了解了圆的这么多知识，大家还想研究一下圆的哪些知识 生：圆的面积。 师：你知识什么是圆的面积吗 生：圆所占平面的大小叫圆的面积。 师：你回答的可真不错，下面我们就一起来研究一下圆的面积。（通过本环节，让同学们感受圆出于方的变化过程、复习圆周长的计算公式、认识圆的面积，都为下面圆的面积公式的推导做好准备。）二、动手操作、合作探究圆的面积计算公式。 1．推导正方形的面积计算公式。 师：刚才我们已经知道圆就是一个有无数条边的正多边形，我们研究圆的面积就从最简单的正多边形开始研究。（课件出示正方形）拿出学具袋中的正方形，要求它的面积需要知道什么 生：边长。 师：下面我们小组合作，抛开以前求正方形面积的方法，利用我们学过的知识和学具袋中的工具看看能不能再探究出一种求正方形面积的方法。 （小组合作时教师可适当引导，最后汇报总结。） 椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例 2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(212 21=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.3 256 21= r r .3 36423325621sin 212121=??== ?θr r S PF F 解法二：在椭圆 1641002 2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3 3 6430tan 642 tan 221= ?==∴?θ b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！ 圆的面积计算练习题 一、填空 1．一个圆形桌面的直径是 2米，它的面积是（）平方米。 2．已知圆的周长，求d=（），求r=（）。 3．圆的半径扩大2倍，直径就扩大（）倍，周长就扩大（）倍，面积就扩大（）倍。 4．环形面积S＝（）。 5．用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（）厘米，画出的这个圆的面积是（）平方厘米。 6．大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，小圆面积是大圆面积的（）。 7．圆的半径增加，圆的周长增加（），圆的面积增加（）。 8．一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的面积是（）平方分米。 9．将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个长方形的面积是（）平方厘米。 10．在一个面积是16平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米；再在这个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是（）平方厘米。 11．大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小圆面积为（）平方厘米。 12．大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（）平方厘米。 13．鼓楼中心岛是半径 10米的圆，它的占地面积是（）平方米。 14．小华量得一根树干的周长是75.36厘米，这根树干的横截面大约是（）平方厘米 15．一只羊栓在一块草地中央的树桩上，树桩到羊颈的绳长是 3米。这只羊可以吃到（）平方米地面的草。 16．一根 2米长的铁丝，围成一个半径是30厘米的圆，（接头处不计），还多（）米，围成的面积是（） 17．用一根 10.28米的绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是（），面积是（） 18．从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（）19．大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（） 20．一个圆的周长扩大3倍，面积就扩大（）倍。 椭圆面积公式的推导 韩贞焱（贵州省遵义四中 563000） 椭圆面积公式S= ab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中 学数 学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高 等数学的定积分学习时才给出定积分推导?现用初等数学方法作两种推导，供读者 定理 1.若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任 一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比 等于截得线段长的比. 注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略 2 2 方法一：设椭圆C 的方程为务 笃1（ a>b>0）,辅助圆C '的方程为x 2+y 2=b 2 , a b m b ）与两曲线相交，交点分别为M （ X 1 , m ）、N （X 2 , m ） 2°、当 b 2 m 2，即 b^|m| 时，有 f X2| a . 卜3刈b 及 P (X 3 , m )、Q(X 4 , m) ，如图1. y 由X 2 a m v 2 解得X 1 b 2 1、2 此时, 由y 2 X b 2 解得 X 3,4=±lb 2 m 2 此时, X 3 X 4 =2 - b 2 m 2 10、当 b 2 （图1） m 2,即 b=|m| 时，交点为（0, 3或（0，-b ）； 且一直线L ： y = m （ b a .. b 2 m 2 b 显然1°是一种特殊情况，即直线L与两曲线C、C'交于一点，此时与求椭圆C 的面 积无影响，故可忽略；在情况2°下，即椭圆C的弦长|MN|与圆C'的弦长|PQ| 比恒为定 值a时，贝U当设椭圆C与圆C'的面积分别为S、S'时，由定理1得=-， b S b a ! a 又圆C'的面积S' = n b2，故有S = —S' = — Ttb2 = ^ab . b b 所以椭圆C的面积公式为S =n ab （其中a b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）. 注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积? 定理2.若一平面图形M'是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图形M与射影平面图形M'所成角为，则射影平面图形M'的面积与凸平面图形M的面积比为cos . 证明：设平面图形M'是平面图形M的射影.1°当平面图形M是凸曲边行时，如图2,将平面图形M的边缘进行n+1等分，设分点分别为A1、A2、A3、…、A i、A i 1、 …、A n、A n1，它们分别在平 面图形M'上的射影为A1、A 2 I I I I A A A i、i 1、、A\ n、n1 , 则分别连结点A1、A 2、A3圆的面积计算公式的推导(吴琼)
椭圆周长和面积计算公式
标准椭圆计算公式
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
圆的面积计算 练习题 (1)
椭圆面积公式的推导