电磁场与电磁波(第三版)课后答案第1章
第一章习题解答
给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e
4y z =-+B e e
52x z =-C e e
求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ；
（7）()?A B C
和()?A B
C ；（8）
()??A B
C 和()??A B C 。
解 （1）23A x y z
+-=
==+-e e e A a e e
e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y
z -+=e e －11
\
（
4
）
由
cos AB θ
=
14==?A B A B ，得
1cos AB θ-=(135.5=
（5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=
17
=-A B B （6）?=A C 1
235
02x
y z
-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04
1502x y
z
-=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041
x
y
z
-=-e e e 1014x y z ---e e e
所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e
（8）()??=A B C 10145
02
x y z
---=-e e e 2405x y z -+e e e
()??=A B C 1
238
5
20
x y z -=e e e 554411x y z --e e e
三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 "
（1）判断123
PP P ?是否为一直角三角形；
（2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)
P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，
311367x y z =-=---R r r e e e
由此可见
1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e
故123PP P ?为一直角三角形。 （2）三角形的面积
122312231117.1322S =
?=?==R R R R *
求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。
解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ， 则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为
11cos (
)cos 32.31x P P x P
P φ--''===e R R 11cos
(
)cos 120.47y P P
y
P P φ'--'===e R R
11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R
给定两矢量
234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在
B 上的分量。
解 A 与B 之间的夹角为
11cos (
)cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为 3.53277
B A ===-B A
B 》
给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求?A B 在
x y z =-+C e e e 上的分量。
解 ?=A B 2
3
464
1
x
y z
-=--e e e 132210x y z -++e e e 所以?A B 在C 上的分量为 ()?=
C A B ()14.433
?=-=-A B C C
证明：如果A B =A C 和?=A B ?A C ，则=B C ； 解 由?=A B ?A C ，则有()()??=??A A B A A C ，即
()()()()-=-A B A A A B A C A A A C
由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X 而=?P A X ，p 和P 已知，试求X 。
解 由=?P A X ，有
*
()()()()p ?=??=-=-A P A A X A X A A A X A A A X
故得 p -?=
A A P X A A
在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3
π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 4cos(23)2x π==-、4sin(23)y π==3z =
故该点的直角坐标为(2,-。
（2）在球坐标系中 5r ==、1tan (43)53.1θ-==、2120φπ== 故该点的球坐标为(5,53.1,120)
用球坐标表示的场2
25r
r =E e ， （1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；
（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。
，
解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故
22512
r
r ==E e
1cos
220
x x rx E θ====-
e E E
（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以
233452525r r -+-=
==e e e r E
故E 与B 构成的夹角为 11cos (
)cos (153.63θ--===EB E B E B 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和2
R 间夹角的余弦为
121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-
解 由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e
222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e
）
得到 12
12
cos γ=
=R R R R
1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=
121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++= 121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+
一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算： (3sin )d r S
θ?e S 的值。
解
(3sin )d (3sin )d r
r
r
S
S
S θθ==
??e S e e
222
d 3sin 5sin d 75ππ
φθθθπ?=?? 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z r z =+A e e 验证散度定
理。
解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r r z
??
?=
+=+??A 所以 4
250
d d d (32)d 1200z r r r π
τ
τφπ?=+=????A 又
2d (2)(d d d )r z r r z z S
S r z S S S φφ=+++=?
?A S e e e e e
~
42522
00
00
5
5d d 24d d 1200z r r π
π
φφπ
?+?=????
故有
d 1200τ
τπ?=?A d S =?A S 求（1）矢量222
22324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；（2）求?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。
解 （1）222223
2222()()(24)
2272x x y x y z x x y x y z x y z
????=++=++???A
（2）?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为
12121222212112
1
d (2272)d d d 24
x x y x y z x y z τ
τ---?=
++=
????
A （3）A 对此立方体表面的积分
12121212
2212121212
11
d ()d d ()d d 22S
y z y z ----=--+?
????A S
1212
1212
2
22
21212112
112()d d 2()d d 22x x z x x z ------+???? 121212122322312121212
11124()d d 24()d d 2224x y x y x y x y ------=????
￥
故有
1d 24
τ
τ?=
?A d S
=
?A S
计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求?r 对球体积的积分。
解
22
30
d d d sin d 4r
S
S
S aa
a π
π
φθθπ==
=????r S r e
又在球坐标系中，2
2
1()3r r r r
??=
=?r ，所以
223
000
d 3sin d d d 4a
r r a ππτ
τθθφπ?==????r 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积
分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求??A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。
解
2
2
2
2
2
d d d 2
d 0d 8C
x x x x y y =-+-=?????A l
又 2222x y z x z yz x x y z x
x y z
?
??
??=
=+???e e e A e e 所以
22
00
d (22)d d 8x
z
z
S
yz x x y ??=+=???A S e e e
故有
d 8C
=?A l d S
=???A S
!
求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分，再计算??A 对此圆面积的积分。
解
2
d d d C
C
x x xy y =
+=
?
?A l 24
2
422
(cos sin cos sin )d 4
a a
a π
πφφφφφ-+=
?
d ()d y
x z z S S
A A S x y ????=-=????A S e e 24222
00d sin d d 4a S a y S r r r π
πφφ==??? 证明：（1）3?=R ；（2）??=R 0；（3）()?=A R A 。其中x y z x y z =++R e e e ，
A 为一常矢量。
解 （1）3x y z x y z
????=
++=???R （2） x
y z
x y z x y y
???
??=
=???e e e R 0
（3）设x x y y z z A A A =++A e e e ，则x y z A x A y A z =++A R ，故
()()()x
x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y ???=++++++??A R e e ()z x y z A x A y A z z
?
++=?e x x y y z z A A A ++=e e e A 一径向矢量场()r f r =F e 表示，如果0?=F ，那么函数()f r 会有什么特点呢
&
解 在圆柱坐标系中，由 1d
[()]0d rf r r r
?=
=F
可得到
()C
f r r
=
C 为任意常数。
在球坐标系中，由 2
2
1d [()]0d r f r r r
?==F 可得到 2
()C f r r =
给定矢量函数x y y x =+E e e ，试求从点1(2,1,1)
P -到点2(8,2,1)P -的线积分d ?E l ：
（1）沿抛物线2
x y =；（2）沿连接该两点的直线。这个E 是保守场吗 解 （1）
d d d x
y
C
C E x E y =+=??E l d d C
y x x y +=?
2
22
1d(2)2d y y y y +=?
2
21
6d 14y y =? （2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为
28
12
x x y y --=-- 即 640x y -+= 、
故
21
d d d d(64)(64)d x
y C
C
E
x E y y y y y =+=-+-=???E l 2
1
(124)d 14y y -=?
由此可见积分与路径无关，故是保守场。
求标量函数2x
yz ψ=的梯度及ψ
在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量
x
y z
+e e e (2,3,1)点的方向导数值。 解 222()()()x y z x yz x yz x yz x y z
ψ???
?=++=???e e e
222x y z
xyz x z x y
++e e e
故沿方向l x y z
=+e e e
e 的方向导数为
22
50l l ψψ?
=?=++?
e 点(2,3,1)
处沿l e 的方向导数值为
l ψ?==
? 试
采
标
中
y x z A A A
x y z
????=++???A 相似的方法推导圆柱坐标下的
公式
1()z r A A rA r r r z
φφ???
?=
++???A 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量场A 沿r e 方向穿出该六面体的表面
的通量为
()d d d d z z
z z
r r
r r
r r z
z
A r r r A r r φφφφφ
φ
ψφφ+?+?+?+?+?=
+?-
≈????
[()(,,)(,,)]r r r r A r r z rA r z z φφφ+?+?-??≈
()()
1r r rA rA r z r r r
φτ?????=???
题图
$
同理
d d d d r r z z r r z z
r
z
r
z
A r z A r z φφ
φφ
φφψ+?+?+?+?+?=
-
≈??
??
[(,,)(,,)]A r z A r z r z φφφφφ+?-??≈
A A r z r φφφτφ
φ
?????=
???
d d d d r r r r z z
z z
z z r
r
A r r A r r φφ
φφ
φ
φ
ψφφ+?+?+?+?+?=
-
≈????
[(,,)(,,)]z z A r z z A r z r r z φφφ+?-???≈
z z A A
r r z z z
φτ?????=??? 因此，矢量场A 穿出该六面体的表面的通量为
()1[]r z
r z A rA A ΨΨΨΨr r r z
φφτφ???=++≈++????
故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1lim
r z
A rA A r r r z
φτψτφ?→?????==++????A 方程222
222
x y z u a b c
=++给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。
解 由于 222
222x
y z x y z u a b c ?=++e e e
￥
u ?=
222(x y z u x y z a b c u
?=
=++?n e e e 现有三个矢量A 、B 、C 为
sin cos cos cos sin r θφθφθφφ=+-A e e e
22sin cos 2sin r z z z rz φφφφ=++B e e e 22(32)2x y z y x x z =-++C e e e
（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示
（2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中
【
22
111()(sin )sin sin r A r A A r r r r φ
θθθθθφ????=
++=???A
22
111(sin cos )(sin cos cos )(sin )sin sin r r r r r θφθθφφθθθφ
???
++-=???
2cos 2sin cos cos sin cos 0sin sin r r r r φθφφθφθθ
+--=
2
sin 1sin sin r
r r r r r
A rA r A θφ
θφ
θθθφθ?
??
??==???e e e A 2sin 10sin sin cos cos cos sin sin r
r r r r r r θφ
θθ
θφθφ
θφ
θφ
???
=???-e e e
故矢量A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；
在圆柱坐标系中
11()z r B B rB r r r z φφ????++=???B =
2211(sin )(cos )(2sin )rz z rz r r r z φφφφ???
++=???
22sin sin 2sin 2sin z z r r r r φφ
φφ-+= 22110sin cos 2sin r z r z
r z r r r r z r r z B rB B z rz rz θθ
θφφφ
φ
φ
?????
?
??=
=
=??????e e e e e e B ）
故矢量B 可以由一个标量函数的梯度表示；
直角在坐标系中
y x z C C C x y z ????++=???C =
22(32)()(2)0y x x z x y z
???
-++=???
22
(26)322x
y z
z x y x y z y x
x z
??
?
??=
=-???-e e e C e 故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为
0?=A ，0??=A ；
2sin r φ?B =，0??=B ；
0?=C ，(26)z x y ??=-C e
利用直角坐标，证明
[
()f f f
?=?+?A A A
解 在直角坐标中
(
)()y x z x y z A A A f f f
f f f A A A x y z x y z
???????+?=+++++=??????A A
()()()y x z x y z A A A f f f
f
A f A f A x x y y z z ??????+++++=?????? ()()()()x y z fA fA fA f x y z
???
++=????A 证明
()??=??-??A H H A A H
解 根据?算子的微分运算性质，有
()()()A H ??=??+??A H A H A H
式中A ?表示只对矢量A 作微分运算，H ?表示只对矢量H 作微分运算。
*
由()()?=?a b c c a b ，可得
()()()A A ??=??=??A H H A H A
同理 ()()()H H ??=-??=-??A H A H A H 故有 ()??=??-??A H H A A H
利用直角坐标，证明
()f f f ??=??+??G G G
解 在直角坐标中
[(
)()()]y
y x x z z x y z G G G G G G f f y z z x x y ????????=-+-+-??????G e e e f ??=G [()()()]x z
y y x z z y x f f f f f f G G G G G G y z z x x y ??????-+-+-??????e e e 所以
/
f f ??+??=G G [()()]y z x z y G G f f
G f G f y y z z
????+-++????e
[()()]x z y x z G G f f
G f G f z z x x
????+-++????e
[()()]y x z y x G G f f
G f G f x x y y ????+-+=????e
()()[]y z x fG fG y z ??-+??e ()()[]x z y fG fG z x ??-+
??e ()()[]y x z fG fG x y
??-=??e ()f ??G
利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u ???=及()0???=A ，试证明之。
解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，
由斯托克斯定理有
()d d d
S C C C
u
u u l l ????=?==?????S l 由于曲面S 是任意的，故有
()0u ???=
（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散
度定理有
1
题图
1
2
()d ()d ()d ()d S
S S τ
τ???=??=??+??????A A S A S A S 其中1S 和2S 如题图所示。由斯托克斯定理，有
1
1
()d d S C ??=??A S A l ， 2
2
()d d S C ??=??A S A l
由题图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路，则有 1
2
d d C C =-??A l A l
所以得到
1
2
2
2
()d d d d d 0C C C C τ
τ???=+=-+=?????A A l A l A l A l 由于体积τ是任意的，故有 ()0???=A