矩阵、行列式和算法(20131224)
姓名 成绩
一、填空题
1.行列式
cos
sin 3
6
sin
cos
3
6
π
π
π
π
的值是 .
2.行列式
a b c d
(,,,{1,1,2}a b c d ∈-)的所有可能值中,最大的是 .
3.将方程组203253x y z x y =??
+=??+=?
写成系数矩阵形式为 .
4.若由命题A :“
2
2031x
x
>-”能推出命题B :“x a >”,则a 的取值范围是 .
5.若方程组111
222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ,则方程组
??
?=++=++03520
352222
111c y a x b c y a x b 的解为x = ,y = . 6.方程21
24
1
013
9
x
x ≤-的解集为 . 7.把
22111133
33
22
2
4
x y x y x y x y x y x y +-
表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----, 其面积为 .
9.在函数()211
1
2
x
f x x
x x x
-=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图,输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 .
图2
11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ???????
??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵???
?
??d c b a 的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++,若曲线10x y +-=在矩阵???
?
??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=,则a b +的值为 .
12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为n ,其中面积不超过...4的平行四边形的个数为m ,则
m
n
= 二.选择题
13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是( ). A.
b
d
a c d
b c
a -
= B.
a
b c
d d
b c a =
C.
d c d b c a 33++ d c b
a =
D.
d
c b
a
d b c
a -----=
15.若,,a b c 表示ABC ?的三边长,
且满足02
22
=++++++c
b a c
c
c b a b b
c b a a a , 则ABC ?是( ).
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形 16. 右边(图2)的程序框图输出结果S =( ) A .20 B. 35 C. 40 D .45
三、解答题:
17. 已知P :
矩阵||51||10x x +??
?+ ?的某个列向量的模不小于2,Q : 行列式114
20312
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不小于2.若P 是Q 成立的充分条件....,求实数m 的取值范围.
18.已知等比数列{}n a 的首项11a =,公比为q , (1)求二阶行列式
4
2
31a a a a 的值;
(2)试就q 的不同取值情况,讨论二元一次方程组???-=+=+23
42
31y a x a y a x a 何时无解,何时有无穷多解?
19.
已知函数1sin ()0sin sin 20
x
x
f x x
x m =的定义域为0,2π??
????
,最大值为4.试求函数()sin 2cos g x m x x
=+(x R ∈)的最小正周期和最值.
2221
352121
2325414143456122122321n n n n n n n n n n n n n n -??
?+++- ? ?
+++- ?
? ?-+-+-?
?
20. 将等差数列21n a n =-*
()n N ∈中2
n 个项依次排列成下列n 行n 列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为1x ,
划去1x 所在的行与列,将剩下元素 按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素2x ,划去2x 所在的行与列,将最后剩下元素记为n x ,记12
n n S x x x =++,求lim
n →∞
32
2n
S n n
+的值。
21.按程序框图3,可以打印出一个数列,设这个数列为{}n x
(1)写出这个数列{}n x 的前4项,并建立数列{}n x (2)设1n n n a x x +=-,证明:{}n a 是等比数列; (3)求数列{}n x 的通项公式.
图3
矩阵、行列式和算法(20131224)答案
姓名 成绩 一、行列式概念及运算 1.用记号
2
2
11b a b a 表示算式1221b a b a -,即
2
2
11b a b a =1221b a b a -,
2.二元一次方程组的解
二元一次方程组???=+=+222
1
11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记
2
211b a b a 叫做方程组的系数行列式;记
=
x D 2
2
11b c b c ,2
2
11c a c a D y =
即用常数项分别替换行列式D 中x 的系数或y 的系数后得到的.
(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,D
D y D D x y x
==
, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解; (3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解. 3。三阶行列式及对角线法则
用333
222
1
11
c b a c b a c b a 表示算式;其结果是231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++.
我们把3
3
3
222
1
11
c b a c b a c b a 叫做三阶行列式; 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的
值;i i i c b a ,,(3,2,1=i )都叫做三阶行列式的元素. 4. 三阶行列式按一行(或一列)展开
把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i 行与第j 列的代数余子式的符号为j
i +-)
1(.
三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开.
5.三元一次方程组的解
三元一次方程组???
??=++=++=++3333
22221111d
z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a );)3,2,1(,,((不全为零其中=i c b a i i i
记333222
111
c b a c b a c b a D =为方程组的系数行列式;记33
3222
111c b d c b d c b d D x =,3
3
3
222
111c d a c d a c d a D y =
3
3
3
222
1
11
d b a d b a d b a D z =,即用常数项分别替换行列式D 中z y x 或或的系数后得到的.
(1) 当0≠D 时,方程组有惟一解????
?
????==
=D
D z D D y D D x z y x
(2) 当0=D 时,方程组有无穷多组解或无解.
二、顺序结构:
1.依次进行多个处理的结构称为顺序结构。
2、选择结构: 先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构。
3、循环结构:在算法中,像这种需要重复执行同一操作的结构称为循环结构。
矩阵、行列式和算法(20131224)作业答案
姓名 成绩
二、填空题
1.行列式
cos
sin 3
6
sin
cos
3
6
π
π
π
π
的值是 0 .
2.行列式
a b c d
(,,,{1,1,2}a b c d ∈-)的所有可能值中,最大的是 6 .
3.将方程组203253x y z x y =??
+=??+=?写成系数矩阵形式为
????
?
?????=????????????????????320015130002z y x . 4.若由命题A :“
2
2031x
x >-”能推出命题B :“x a >”,则a 的取值范围是 (-∞,-2] .
5.若方程组111
222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ,则方程组
??
?=++=++0
3520
352222111c y a x b c y a x b 的解为x = -3 ,y = -5/3 . 6.方程21
24
1
013
9
x
x ≤-的解集为 [-3,2] . 7.把
22111133
33
22
2
4
x y x y x y x y x y x y +-
表示成一个三阶行列式为 ????
?
?????--4213
3
2211y x y x y x . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----, 其面积为 17 .
9.在函数()211
1
2
x
f x x
x x x
-=--中3x 的系数是 -2 .
10.若执行如图1所示的框图,输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 .
11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵???
?
??d c b a 的作用下
变换成点(,)ax by cx dy ++,若曲线10x y +-=在矩阵???
?
??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=,则a b +的值为 2 .
解析:若P(x,y)是变换后得到的曲线上任一点。与P 对应的点为Q(x 0,y 0)且Q 点在直线x+y-1=0上,则
???=+=+y y bx x ay x 0000???
?--=--=)
1/()()1/()(00ab bx y y ab ay x x 代入直线x+y-1=0?0111=---+--ab bx
y ab ay x ?
011111=---+--y ab
a
x ab b ,
此曲线与变换后得到的曲线x-y-1=0是同一条曲线。故有:
???-=-=-1111a b ???
?==0
2
b a ?a+b=2. 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为n ,其中面积不超过...4的平行四边形的个数为m ,则
m
n
= 1/3 . 解析:在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=,这些向量为: (2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)共六个向量。依次记为α1,α2,α3,α4,α5,α6.
若从原点出发的向量α=(x 1,y 1)与β=(x 2,y 2),由它们构成的平行四边形面积为:
S=|1
11
0|22
21y x y x =|x 1y 2-x 2y 1|。而S ≤4的向量对为(α1,α2), (α1,α4), (α1,α5), (α3,α4), (α3,α6),
即m=5,而n=1526=C ,从而m/n=1/3.
二.选择题
13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是(D ).
图2
A.
b
d
a c d
b c
a -
= B.
a
b c
d d
b c a =
C.
d c d b c a 33++ d c b
a =
D.
d c b
a
d b c
a -----=
15.若,,a b c 表示ABC ?的三边长,
且满足02
22
=++++++c
b a c
c
c b a b b
c b a a a , 则ABC ?是( A ).
解A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析:由行列式计算得:(a+b+c )(a-b)(b-c)(c-a)=0 从而:
a=b 或b=c 或c=a,即?ABC 是等腰三角形。 16. 右边(图2)的程序框图输出结果S =( ) A .20 B. 35 C. 40 D .45
三、解答题:
17. 已知P : 矩阵||5
1||10x x +??
?+ ?的某个列向量的模不小于2,Q :
行列式114
20312
1
m
x ----中元素1-的代数余子式的值不小于2.若P 是Q 成立的充分条件....
,求实数m 的取值范围. 解析:矩阵||51||10x x +??
?
+ ?的某个列向量的模为:1||5||++x x ,而另一个向量的模为3 其中模不小于2只可能为21
||5
||≥++x x ?|x|≤3?-3≤x ≤3;
-1的代数余子式)32(1
1
3
2)
1(2
1+--=---+m m
x x 52+≥x m
由P 是Q 成立的充分条件....知:..2.m .
≥.(5+x).....max ...=8..
?.m .≥.3...
18.已知等比数列{}n a 的首项11a =,公比为q , (1)求二阶行列式
4
2
31a a a a 的值;
(2)试就q 的不同取值情况,讨论二元一次方程组??
?-=+=+23
42
31y a x a y a x a 何时无解,何时有无穷多解?
解:(1)
42
3
1a a a a =32
1q q q =0 (2)D=
4
2
31a a a a =0
D x =
4323a a =3q 3
-2q 2
=0?q=2/3;
D y =2
32
1a a =3q-2=0?q=2/3;
○
1当q=2/3时,方程有无穷多组解; ○2当q ≠2/3且q ≠0时,方程无解;
19.
已知函数1sin ()0sin sin 20
x
x
f x x
x m =的定义域为0,2π??
????
,最大值为4.试求函数x
x m x g cos 2sin )(+=(x R ∈)的最小正周期和最值.
解析:f(x)=2m(sin 2
x-3sin x ?cos x)=m-2msin(2x+π/6);
0≤x ≤π/2 ? π/6 ≤ (2x+π/6) ≤ 7π/6; ○
1m>0 由f max =2m=4?m=2;
x x m x g cos 2sin )(+==x x cos 2sin 2+=)4
sin(22π
+
x (x R ∈)
T=2π,g min =-22,g max =22;
○
2m<0 由f max =-m=4?m=-4;
x x x g cos 2sin 4)(+-==)sin(52x -?(x R ∈),其中2
1
arctan =?
222135
2121
2325414143456122122321n n n n n n n n n n n n n n -?
?
?+++- ? ?
+++- ?
? ?-+-+-?
?
T=2π,g min =-52,g max =52;
20. 将等差数列21n a n =-*
()n N ∈中2
n 个项依次排列成下列n 行n 列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为1x ,
划去1x 所在的行与列,将剩下元素 按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素2x ,划去2x 所在的行与列,将最后剩下元素记为n x ,记12
n n S x x x =++,求lim
n →∞
32
2n
S n n +的值。
解析:a 11=1, a 12=1+2?1, a 13=1+2?2, a 14=1+2?4,????, a 1n =1+2?(n-1); a 21=1+2n ?1; a 31=1+2n ?2, a 41=1+2n ?3, a 51=1+2n ?4, ????, a n1=1+2n ?(n-1); 从而知: a ij =1+2n ?(i-1)+2(j-1);
记经111j i a x =,222j i a x =,?????,n n j i n a x =j
i
a x =
显然每次划去x i 所在行所在列,故n i i i ,,,21 是1-n 的某一个全排列,同样n j j j ,,,21 也是1-n 的一个全排列。
)]1(2)1(21[)]1(2)1(21[221121-+-++-+-+=+++j i n j i n x x x n +????+)]1(2)1(21[-+-+n n j i n
=n+2n(1+2+3+?????+n-n)+ 2(1+2+3+?????+n-n)=n 3
233
2322lim n
n n n n S n n +=+∞→=1/2 21.按程序框图3,可以打印出一个数列,设这个数列为{}n x
(1)写出这个数列{}n x 的前4项,并建立数列{}n x (2)设1n n n a x x +=-,证明:{}n a 是等比数列; (3)求数列{}n x 的通项公式. 解析:(1)211=
x ,432=x ,853=x ,16
11
4=x ; (2)211-=-n n a a ;411=a ,1
)2
1(+-=n n a
(3)1
1)
2
1
(++-=-n n n x x
112211)()()(x x x x x x x x n n n n n +-++-+-=---