高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值 问题练习 理

专题一 函数与导数、不等式 第3讲 导数与函数的单调性、极值、

最值 问题练习 理

一、选择题

1.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象所示，

则下列叙述正确的是( )

A.f (b )＞f (c )＞f (d )

B.f (b )＞f (a )＞f (c )

C.f (c )＞f (b )＞f (a )

D.f (c )＞f (b )＞f (d )

解析 由f ′(x )的图象知，x ∈[a ，c ]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，∵c ＞b ＞a ，∴f (c )＞f (b )＞f (a ).

答案 C

2.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )

A.(－∞，－2]

B.(－∞，－1]

C.[2，＋∞)

D.[1，＋∞)

解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增?f ′(x )＝k －1x

≥0在(1，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0＜1x

＜1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞).

答案 D

3.(2016·保定模拟)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( )

A.[0，1)

B.(－1，1)

C.? ????0，12

D.(0，1)

解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a ).当a ≤0时，f ′(x )＞0，

∴f (x )在(0，1)内单调递增，无最小值.

当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a ).

当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增；

当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，

所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)内有最小值.

答案 D

4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b 的值为( )

A.－23

B.－2

C.－2或－23

D.2或－23 解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即?

????3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得????

?a ＝－2，b ＝1或

?????a ＝－6，b ＝9，经检验?

????a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23. 答案 A

5.已知函数f (x )＝13

x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(3，＋∞)

B.(－∞，－3)

C.(－3，3)

D.(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.

由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4a 2－12＞0，

解得a ＞3或a ＜－ 3.

答案 D

二、填空题

6.已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________.

解析 由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

∵f ′(x )＝4x

＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1. 答案 1

7.已知函数f (x )＝12

mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是____________.

解析 f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x ＞0恒成立， ∴m ≥－? ????1x 2＋2x

. 令g (x )＝－? ????1x 2

＋2x

，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1. 答案 [1，＋∞)

8.(2016·北京卷)设函数f (x )＝?????x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a . (1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；

(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________.

解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝?????x 3

－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0. 若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1).

由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.

∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增；

在(－1，0]上单调递减，∴f (x )最大值为f (－1)＝2.

若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0.

所以f (x )最大值为2.

(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的图象如图.

由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.

当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值.且－2a ＞2.

所以a ＜－1.

答案 (1)2 (2)(－∞，－1)

三、解答题

9.(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e

a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y

＝(e －1)x ＋4.

(1)求a ，b 的值；

(2)求f (x )的单调区间.

解 (1)f (x )的定义域为R .

∵f ′(x )＝e a －x －x e a －x ＋b ＝(1－x )e a －x ＋b .

依题设，?????f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即?????2e a －2

＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. 解得a ＝2，b ＝e.

(2)由(1)知f (x )＝x e

2－x ＋e x ， 由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，

f ′(x )与1－x ＋e x －1同号.

令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.

所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；

当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增.

故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，

从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，

综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞).

故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞).

10.已知f (x )＝ax －ln x ，a ∈R .

(1)若f (x )在x ＝1处有极值，求f (x )的单调递增区间；

(2)是否存在实数a ，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

解 (1)由题意知f ′(1)＝0，∴a －1＝0，∴a ＝1.

经检验a ＝1，f (x )在x ＝1处有极值，

所以f (x )＝x －ln x ，

令f ′(x )＝1－1x

＞0，解得x ＞1或x ＜0， 又f (x )的定义域为(0，＋∞)，

所以f (x )的单调递增区间为(1，＋∞).

(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，(x ∈(0，e])有最小值3.

①当a ≤0时，因为x ∈(0，e]，所以f ′(x )＜0，

所以f (x )在(0，e]上单调递减，

f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e

(舍去)；

②当0＜1a ＜e 时，f (x )在? ????0，1a 上单调递减，在? ??

??1a ，e 上单调递增， ∴f (x )min ＝f ? ??

??1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件； ③当1a

≥e 时，因为x ∈(0，e]，所以f ′(x )＜0， ∴f (x )在(0，e]上单调递减，

∴f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3.解得a ＝4e

，舍去. 综上，存在实数a ＝e 2

，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.

11.设函数f (x )＝e x x 2－k ? ??

??2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数). (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.

解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞).

f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ? ??

??－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3

. 由k ≤0可得e x

－kx ＞0，

所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减， x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增.

所以f (x )的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为[2，＋∞).

(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，

故f (x )在(0，2)内不存在极值点；

当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞).

因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0＜k ≤1时，

当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x

－k ＞0，y ＝g (x )单调递增.

故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点；

当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减. x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增.

所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k ).

函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点当且仅当?????g （0）＞0，g （ln k ）＜0，g （2）＞0，0＜ln k ＜2，

解得e ＜k ＜e 22，综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为? ????e ，e 22.