第三章 三角函数、解三角形
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
[知识能否忆起]
1.任意角 (1)角的分类:
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角:
终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k ∈Z ). (3)弧度制:
①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=l
r ,l 是
以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径.
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值l
r 与所取的r 的大小无关,仅与角
的大小有关.
④弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ⑤弧长公式:l =|α|r ,扇形面积公式:S 扇形=12lr =1
2|α|r 2.
2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义:
设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=y ,cos α=x ,tan α=y
x ,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标
比值为函数值的函数.
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线
设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P ,过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知,点P 的坐标为(cos_α,sin_α),即P (cos_α,sin_α),
其中cos α=OM ,sin α=MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ,则tan α=AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
[小题能否全取]
1.-870°的终边在第几象限( ) A .一 B .二 C .三
D .四
解析:选C 因-870°=-2×360°-150°.-150°是第三象限角. 2.已知角α的终边经过点(3,-1),则角α的最小正值是( ) A.2π
3 B.11π6 C.5π
6
D.3π4
解析:选B ∵sin α=-12=-1
2,且α的终边在第四象限,
∴α=11
6
π.
3.(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0,则α是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角
D .第四象限角
解析:选C 由sin α<0,知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上,由tan α>0,知α在第一或第三象限,因此α在第三象限.
4.若点P 在2π
3角的终边上,且P 的坐标为(-1,y ),则y 等于________.
解析:因tan 2π
3=-3=-y ,∴y = 3.
答案: 3
5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________,面积为________. 解析:弧长l =3π,圆心角α=34
π,
由弧长公式l =α·r 得r =l α=3π34π=4,面积S =1
2
lr =6π.
答案:4 6π
1.对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的 角”不等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0° <α<90°},第一象限角的集合为{α|k ·360°<α (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同, 终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当P (x ,y )是单位圆上的点时有sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x ,但若不是单位圆时,如圆的半径 为r ,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x . 典题导入 [例1] 已知角α=45°, (1)在-720°~0°范围内找出所有与角α终边相同的角β; (2)设集合M =???? ??x ?? x =k 2×180°+45°,k ∈Z , N =???? ??x ?? x =k 4×180°+45°,k ∈Z ,判断两集合的关系. [自主解答] (1)所有与角α有相同终边的角可表示为: β=45°+k ×360°(k ∈Z ), 则令-720°≤45°+k ×360°<0°, 得-765°≤k ×360°<-45°,解得-765360≤k <-45360, 从而k =-2或k =-1,代入得β=-675°或β=-315°. (2)因为M ={x |x =(2k +1)×45°,k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集 合; 而集合N ={x |x =(k +1)×45°,k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而:M N . 由题悟法 1.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角. 2.已知角α的终边位置,确定形如kα,π±α等形式的角终边的方法:先表示角α的范围,再写出kα、π±α等形式的角范围,然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置. 以题试法 1.(1)给出下列四个命题: ①-3π4是第二象限角;②4π 3是第三象限角;③-400°是第四角限角;④-315°是第一象 限角.其中正确的命题有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 (2)如果角α是第二象限角,则π-α角的终边在第________象限. 解析:(1)- 3π4是第三象限角,故①错误.4π3=π+π3,从而4π 3 是第三象限角正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确. (2)由已知π 2+2k π<α<π+2k π(k ∈Z ), 则-π-2k π<-α<-π 2-2k π(k ∈Z ), 即-π+2k π<-α<-π 2+2k π(k ∈Z ), 故2k π<π-α<π 2+2k π(k ∈Z ), 所以π-α是第一象限角. 答案:(1)C (2)一 典题导入 [例2] (1)已知角α的终边上有一点P (t ,t 2+1)(t >0),则tan α的最小值为( ) A .1 B .2 C.12 D. 2 (2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为????sin 2π3,cos 2π 3,则角α的最小正值为( ) A.5π 6 B.2π3 C.5π 3 D.11π6 [自主解答] (1)根据已知条件得tan α=t 2+1t =t +1 t ≥2,当且仅当t =1时,tan α取得最 小值2. (2)由题意知点P 在第四象限,根据三角函数的定义得cos α=sin 2π3=32,故α=2k π-π 6 (k ∈Z ),所以α的最小正值为11π 6 . [答案] (1)B (2)D 由题悟法 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r ,然后利用三角函数的定义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值. 以题试法 2.(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P ? ?? ? x , 32,则tan α=( ) A. 3 B .±3 C.3 3 D .±33 (2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ,-3),且cos α=-4 5,则m 等于( ) A .-114 B.114 C .-4 D .4 解析:(1)选B 由|OP |2=x 2+3 4=1, 得x =±1 2,tan α=±3. (2)选C 由题意可知,cos α= m m 2+9 =-4 5, 又m <0,解得m =-4. 典题导入 [例3] (1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? [自主解答] (1)设圆心角是θ,半径是r , 则????? 2r +rθ=1012θ·r 2=4?????? r =1,θ=8(舍),????? r =4,θ=12 , 故扇形圆心角为1 2 . (2)设圆心角是θ,半径是r , 则2r +rθ=40. S =12θ·r 2=12r (40-2r )=r (20-r ) =-(r -10)2+100 ≤100, 当且仅当r =10时,S max =100. 所以当r =10,θ=2时,扇形面积最大. 若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________. 解析:设圆半径为R ,则圆内接正方形的对角线长为2R , ∴正方形边长为2R ,∴圆心角的弧度数是2R R = 2. 答案: 2 由题悟法 1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 2.记住下列公式:①l =αR ;②S =12lR ;③S =12αR 2.其中R 是扇形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π) 为圆心角,S 是扇形面积. 以题试法 3.若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少弧度时,该扇形的周长取到最小值? 解:设扇形的圆心角为α,半径为R ,弧长为l ,根据已知条件1 2lR =S 扇,则扇形的周长 为:l +2R =2S 扇R +2R ≥4S 扇,当且仅当2S 扇 R =2R ,即R =S 扇时等号成立,此时l =2S 扇,α =l R =2, 因此当扇形的圆心角为2弧度时,扇形的周长取到最小值. [典例] (2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐 标原点,始边为x 轴的正半轴.若P (4,y )是角θ终 边上一点,且sin θ=25 -y = . [尝试解题] r =x 2+y 2=16+y 2,且sin θ=-255,所以sin θ=y r =y 16+y 2 =-255, 所以θ为第四象限角,解得y =-8. [答案] -8 ——————[易错提醒]——————————————————————————— 1.误认为点P 在单位圆上,而直接利用三角函数定义,从而得出错误结果. 2.利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求得x ,y ,r 的值;然后对于含参数问题要注意分类讨论. —————————————————————————————————————— 针对训练 已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-4 5,则m 的值为( ) A .-1 2 B .-32 C.12 D.32 解析:选C 由点P (-8m ,-6sin 30°)在角α的终边上且cos α=-4 5,知角α的终边在 第三象限,则m >0 ,又cos α= -8m (-8m )2+9=-45,所以m =12. 1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π 3 B.π6 C .-π3 D .-π6 解析:选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 故A 、B 不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的1 6. 即为-16×2π=-π3 . 2.已知扇形的周长是6 cm ,面积是2 cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是( ) A .1或4 B .1 C .4 D .8 解析:选A 设扇形的半径和弧长分别为r ,l ,则易得????? l +2r =6,12 lr =2, 解得????? l =4r =1或????? l =2, r =2. 故扇形的圆心角的弧度数是4或1. 3.已知角α和角β的终边关于直线y =x 对称,且β=-π 3,则sin α=( ) A .- 3 2 B.32 C .-12 D.12 解析:选D 因为角α和角β的终边关于直线y =x 对称,所以α+β=2k π+π 2(k ∈Z ),又 β=-π3,所以α=2k π+5π6(k ∈Z ),即得sin α=12 . 4.设θ是第三象限角,且????cos θ2=-cos θ2,则θ 2是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 解析:选B ∵θ是第三象限角,∴θ2为第二或第四象限角.又∵????cos θ2=-cos θ2,∴cos θ2<0,知θ 2 为第二象限角. 5.(2012·宜春模拟)给出下列各函数值:①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③tan(-10);④sin 7π 10cos πtan 17π9 ,其中符号为负的是( ) A .① B .② C .③ D .④ 解析:选C sin(-1 000°)=sin 80°>0;cos(-2 200°) =cos(-40°)=cos 40°>0;tan(-10)=tan(3π-10)<0; sin 7π10cos πtan 17π9=-sin 7π 10tan 17π9 ,sin 7π10>0,tan 17π 9<0,∴原式>0. 6.已知sin θ-cos θ>1,则角θ的终边在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:选B 由已知得(sin θ-cos θ)2>1,1-2sin θcos θ>1,sin θcos θ<0,且sin θ>cos θ,因此sin θ>0>cos θ,所以角θ的终边在第二象限. 7.在直角坐标系中,O 是原点,A (3,1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点,则B 点坐标为__________. 解析:依题意知OA =OB =2,∠AOx =30°,∠BOx =120°, 设点B 坐标为(x ,y ),所以x =2cos 120°=-1,y =2sin 120°=3,即B (-1,3). 答案:(-1,3) 8.若β的终边所在直线经过点P ????cos 3π4,sin 3π 4,则sin β=________,tan β=________. 解析:因为β的终边所在直线经过点P ????cos 3π4,sin 3π 4,所以β的终边所在直线为y =-x ,则β在第二或第四象限. 所以sin β=22或-2 2 ,tan β=-1. 答案:22或-2 2 -1 9.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二 象限的点A ? ???cos α,3 5,则cos α-sin α=________. 解析:由题图知sin α=35,又点A 在第二象限,故cos α=-4 5. ∴cos α-sin α=-7 5 . 答案:-7 5 10.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm ,求圆心角的弧度数和弦长AB . 解:设圆的半径为r cm , 弧长为l cm , 则????? 12lr =1,l +2r =4, 解得????? r =1,l =2. ∴圆心角α=l r =2. 如图,过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH =1弧度. ∴AH =1·sin 1=sin 1(cm), ∴AB =2sin 1(cm). 11.如图所示,A ,B 是单位圆O 上的点,且B 在第二象限,C 是 圆与x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为????35,45,△AOB 为正三角形. (1)求sin ∠COA ; (2)求cos ∠COB . 解:(1)根据三角函数定义可知sin ∠COA =4 5. (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB =60°, 又sin ∠COA =45,cos ∠COA =35, ∴cos ∠COB =cos(∠COA +60°) =cos ∠COA cos 60°-sin ∠COA sin 60° =35·12-45·32=3-43 10 . 12.(1)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=2 4 x ,求sin α与tan α的值; (2)已知角θ的终边上有一点P (x ,-1)(x ≠0),且tan θ=-x ,求sin θ,cos θ. 解:(1)∵r =x 2+5,∴cos α= x x 2+5 , 从而 24x =x x 2+5 , 解得x =0或x =±3. ∵90°<α<180°, ∴x <0,因此x =- 3. 故r =22,sin α=522=104, tan α=5-3=-15 3. (2)∵θ的终边过点(x ,-1), ∴tan θ=-1 x , 又tan θ=-x ,∴x 2=1,∴x =±1. 当x =1时,sin θ=- 22,cos θ=2 2; 当x =-1时,sin θ=- 22,cos θ=-2 2 . 1.(2012·聊城模拟)三角形ABC 是锐角三角形,若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A -cos B ,cos A -sin C ),则sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ |tan θ| 的值是( ) A .1 B .-1 C .3 D .4 解析:选B 因为三角形ABC 是锐角三角形,所以A +B >90°,即A >90°-B ,则sin A >sin (90°-B )=cos B ,sin A -cos B >0,同理cos A -sin C <0,所以点P 在第四象限,sin θ|sin θ|+ cos θ|cos θ|+ tan θ |tan θ| =-1+1-1=-1. 2.(2012·山东高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP ―→的坐标为________. 解析:设A (2,0),B (2,1),由题意知劣弧 PA 长为2,∠ABP =2 1=2. 设P (x ,y ),则x =2-1×cos ????2-π2=2-sin 2,y =1+1×sin ????2-π2=1-cos 2, ∴OP 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 答案:(2-sin 2,1-cos 2) 3.(1)确定tan (-3) cos 8·tan 5 的符号; (2)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=m (0 (2)若0<α<π 2,则如图所示,在单位圆中,OM =cos α,MP =sin α, ∴sin α+cos α=MP +OM >OP =1. 若α=π 2,则sin α+cos α=1. 由已知0 π2,π. 于是有sin α-cos α>0. 1.已知点P (sin α-cos α,tan α)在第一象限,则在[0,2π]内,α的取值范围是( ) A.????π2,3π4∪????π,5π4 B.????π4,π2∪???? π,5π4 C.????π2,3π4∪????5π4,3π2 D.????π4,π2∪????3π4,π 解析:选B 由已知sin α-cos α>0,tan α>0故????π4,π2∪???? π,5π4. 2.已知角α的终边在直线3x +4y =0上,求sin α,cos α,tan α的值. 解:∵角α的终边在直线3x +4y =0上, ∴在角α的终边上任取一点P (4t ,-3t )(t ≠0), 则x =4t ,y =-3t , r =x 2+y 2=(4t )2+(-3t )2=5|t |, 当t >0时,r =5t , sin α=y r =-3t 5t =-35 , cos α=x r =4t 5t =4 5, tan α=y x =-3t 4t =-34 ; 当t <0时,t =-5t ,sin α=y r =-3t -5t =35, cos α=x r =4t -5t =-4 5, tan α=y x =-3t 4t =-3 4 . 综上可知,sin α=-35,cos α=45,tan α=-34; 或sin α=35,cos α=-45,tan α=-3 4. 3.已知0<α<π 2,求证: (1)sin α+cos α>1; (2)sin α<α 证明:如图,设α的终边与单位圆交于P 点,作PM ⊥x 轴,垂足 为M ,过点A (1,0)作AT ⊥x 轴,交α的终边于T ,则sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT . (1)在△OMP 中,∵OM +MP >OP , ∴cos α+sin α>1. (2)连接P A ,则S △OP A 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式 [知识能否忆起] 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1(α∈R ). (2)商数关系:tan α=sin αcos α?? ??α≠k π+π2,k ∈Z . 2.六组诱导公式 对于角“k π 2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不 变”是指“当k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号”. [小题能否全取] 1.sin 585°的值为( ) A .-2 2 B.22 C .- 3 2 D.32 解析:选A sin 585°=sin(360°+225°) =sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45° =- 2 2 . 2.(教材习题改编)已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π 2,则θ等于( ) A .-π6 B .-π3 C.π6 D.π3 解析:选D ∵sin(π+θ)=-3cos(2π-θ), ∴-sin θ=-3cos θ,∴tan θ= 3. ∵|θ|<π2,∴θ=π3 . 3.已知tan θ=2,则sin ???? π2+θ-cos (π-θ) sin ????π2-θ-sin (π-θ)=( ) A .2 B .-2 C .0 D.2 3 解析:选B 原式=cos θ+cos θcos θ-sin θ=21-tan θ=2 1-2 =-2. 4.(教材习题改编)如果sin(π+A )=1 2,那么cos ????3π2-A 的值是________. 解析:∵sin(π+A )=12,∴-sin A =1 2. ∴cos ????32π-A =-sin A =1 2. 答案:1 2 5.已知α是第二象限角,tan α=-1 2,则cos α=________. 解析:由题意知cos α<0,又sin 2α+cos 2α=1, tan α=sin αcos α=-12.∴cos α=-25 5. 答案:-255 应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意 角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负号—脱周期 —化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特 别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化. 典题导入 [例1] (1)(2012·江西高考)若tan θ+1 tan θ =4,则sin 2θ=( ) A.1 5 B.14 C.13 D.12 (2)已知sin(3π+α)=2sin ????3π2+α,则sin α-4cos α5sin α+2cos α =________. [自主解答] (1)∵tan θ+1 tan θ=4, ∴ sin θcos θ+cos θ sin θ =4, ∴sin 2θ+cos 2θcos θsin θ=4,即2sin 2θ=4, ∴sin 2θ=12 . (2)法一:由sin(3π+α)=2sin ???? 3π2+α得tan α=2. 原式= tan α-45tan α+2=2-45×2+2 =-1 6. 法二:由已知得sin α=2cos α. 原式= 2cos α-4cos α5×2cos α+2cos α =-16. [答案] (1)D (2)-1 6 在(2)的条件下,sin 2α+sin 2α=________. 解析:原式=sin 2 α+2sin αcos α=sin 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tan αtan 2α+1 =8 5. 答案:8 5 由题悟法 1.利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin α cos α=tan α可以实现 角α的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用:1=sin 2α+cos 2α,sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α. 以题试法 1.(1)(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限,则cos α1-sin 2α+2sin α 1-cos 2α 的值为( ) A .3 B .-3 C .1 D .-1 (2)已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,则cos α=________. 解析:(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0,cos α<0, 故原式=cos α|cos α|+2sin α|sin α|=cos α-cos α+2sin α -sin α=-1-2=-3. (2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin 2α=4sin 2β, ① tan 2α=9tan 2β, ② 由①÷②得:9cos 2α=4cos 2β, ③ ①+③得:sin 2α+9cos 2α=4, ∵cos 2α+sin 2α=1, ∴cos 2α=38,即cos α=±64. 答案:(1)B (2)±6 4 典题导入 [例2] (1)tan (π+α)cos (2π+α)sin ? ???α-3π2cos (-α-3π)sin (-3π-α) =________. (2)已知A =sin (k π+α)sin α+cos (k π+α) cos α(k ∈Z ),则A 的值构成的集合是( ) A .{1,-1,2,-2} B .{-1,1} C .{2,-2} D .{1,-1,0,2,-2} [自主解答] (1)原式 =tan αcos αsin ??? ?-2π+????α+π2cos (3π+α)[-sin (3π+α)] = tan αcos αsin ????π2+α(-cos α)sin α =tan αcos αcos α (-cos α)sin α =-tan αcos αsin α=-sin αcos α·cos αsin α=-1. (2)当k 为偶数时,A =sin αsin α+cos α cos α=2; k 为奇数时,A =-sin αsin α-cos α cos α=-2. [答案] (1)-1 (2)C 由题悟法 利用诱导公式化简求值时的原则 (1)“负化正”,运用-α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. (2)“大化小”,利用k ·360°+α(k ∈Z )的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数. (3)“小化锐”,将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数. (4)“锐求值”,得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得. 以题试法 2.(1)(2012·滨州模拟)sin 600°+tan 240°的值等于( ) A .- 3 2 B.2 C.3-1 2 D.3+1 2 (2)已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx -β),其中α,β,a ,b 均为非零实数,若f (2 012)=-1,则f (2 013)等于________. 解析:(1)sin 600°+tan 240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin 120°+tan 60°=-32+3=32 . (2)由诱导公式知f (2 012)=a sin α+b cos β=-1, ∴f (2 013)=a sin(π+α)+b cos(π-β)=-(a sin α+b cos β)=1. 答案:(1)B (2)1 典题导入 [例3] 在△ABC 中,若sin(2π-A )=-2sin(π-B ),3cos A =-2cos (π-B ),求△ABC 的三个内角. [自主解答] 由已知得sin A =2sin B ,3cos A =2cos B 两式平方相加得2cos 2A =1, 即cos A = 22或cos A =-2 2 . (1)当cos A = 22时,cos B =3 2 ,又角A 、B 是三角形的内角, ∴A =π4,B =π6,∴C =π-(A +B )=7π 12. (2)当cos A =- 22时,cos B =-3 2 , 又角A 、B 是三角形的内角,∴A =3π4,B =5π 6 ,不合题意. 综上知,A =π4,B =π6,C =7π 12 . 由题悟法 1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A +B =π-C,2A +2B =2π-2C ,A 2+B 2+C 2=π2等,于是可得sin(A +B )=sin C ,cos A +B 2=sin C 2 等; 2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小. 以题试法 3.在三角形ABC 中, (1)求证:cos 2A +B 2+cos 2C 2 =1; (2)若cos ????π2+A sin ????3 2π+B tan (C -π)<0,求证:三角形ABC 为钝角三角形. 证明:(1)在△ABC 中,A +B =π-C ,则A +B 2=π2-C 2, 所以cos A +B 2=cos ????π2-C 2=sin C 2, 故cos 2A +B 2+cos 2C 2 =1. (2)若cos ????π2+A sin ????3 2π+B tan (C -π)<0, 则(-sin A )(-cos B )tan C <0, 即sin A cos B tan C <0,