数论课程标准

《数论基础》课程标准

英文名称：Elementary Number Theory 课程编号：405021070

适用专业：数学与应用数学学分数：2

一、课程性质

《数论基础》属于数学一级学科下基础数学二级学科的一门课程，在数学与应用数学专业的培养计划中属于专业模块课程，是专业方向系列课程之一。

二、课程理念

1、课程所属学科分析

数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。《数论基础》是数学专业基础数学学科必修的专业基础课程，是为了使学生掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力而开设的课程。数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。数论与数学其它分支相结合产生了代数数论、几何数论、解析数论、完备的数论理论。

2、课程授课对象分析

《数论基础》课程是高等师范数学系本科生必修的专业主干课程。邯郸学院数学系从2007年开始正式给数学与应用数学专业本科四年级学生开设初等数论课程。学生已经有了《高等代数》、《近世代数》等专业理论基础，而《数论基础》对于理解和掌握近代数学思想是必不可少的，对于深入学习现代数学等后续课程起着承上启下的作用。通过本课程的学习，使学生掌握数论的基础知识和基本方法，培养学生的数学素养和加强学生对数学本质的认识；并为将来进一步学习《解析数论》、《代数数论》、《密码学》等课程打下坚实的基础，并进一步提高学生的数学修养，培养他们的抽象思维能力和不断创新的能力。

3、课程内容选择分析

本课程的教学内容基本上是该书的前四章。整除理论以及简单的不定方程求解问题是初等数论中最基础，也是比较重要的一部分，同余和同余方程的基础理论、二次剩余、整数的平方和表示，以及原根和连分数的基础理论，是初等数论中的重要组成部分，是学生深入学习数论的基础，也是将来从事数论理论研究的基础。本课程在课堂教学、师资队伍建设、教材建设等方面下了很大的功夫，同时结合师范性的特点，在保持数论课程传统精髓思想的基础上，不断的加强实践教学环节，注重理论与实践相结合，提高学生综合运用和解决问题的能力，不断创新的能力。

4、课程学习要求的分析

整除理论以及简单的不定方程求解问题是初等数论中最基础，也是比较重要的一部分，但这部分内容，学生较为熟悉，因此除个别地方外，学生可以自学。课堂教学主要是通过大量例题的讲解，使学生加深对定义和定理的理解，学会解题和制设新题的基本技巧，注意对逻辑推理的严密性，数学语言的规范性以及文字叙述准确性的基础训练。同余和同余方程的基础理论、二次剩余、整数的平方和表示，以及原根和连分数的基础理论，是初等数论中的重要组成部分，是学生深入学习数论的基础，也是将来从事数论理论研究的基础。对这一部分的教学，要着重使学生充分理解概念、定义的内涵、掌握基本方法、了解重要结论以及应用这些知识去解决问题，因此，在以上知识的课堂教学中以教师讲解为主，辅以学生自学。对数论的应用，以及超越数和代数数的基本知识，除个别内容外，自学较为困难，因此应以课堂教学为主。

5、课程考核目标和方法分析

本课程通过课堂讲授、课堂讨论、课内外结合的学习方式，使学生掌握数论基础的基本思想，加深对数论知识的理解，深化对中学数学有关内容的认识，达到学生能力培养的目标，同

时为今后学习提供必要的理论基础。

因此，本课程的考核目标是要求学生掌握初等数论的基本理论和方法，用更高的观点去理解和掌握与中学数学有关的内容；为学习后继课程和现代数学打下基础；并进一步提高学生的数学修养，培养他们的抽象思维和逻辑思维能力。主要包括三部分内容，一是要考核学生对基本概念、基本理论的掌握程度；二是考核学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力；三是结合平时考核，通过课堂讨论、学期小论文、校园网络提供授课教案等形式来指导、考核学生，让学生根据不同需要进一步拓展有关知识，以此调动学生主动参与的积极性，发挥学生学习的自主性。

三、课程目标

（一）课程总目标

掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。培养学生思维的灵活性，并从中培养和提高学生的创新意识、创新能力及综合应用能力。

（二）课程分目标

1、知识目标

（1）掌握辗转相除法及其应用。

（2）掌握二元一次不定方程的解法。

（3）掌握并会用费尔马小定理。

（4）掌握一元一次同余式解法。

（5）了解数论与其它相关学科的关系。

（6）了解国内外数论的新进展。

（7）了解数论中一些没有解决的世界著名难题

2、能力目标

（1）利用数论知识解决数学竞赛中的问题。

（2）会解多元一次不定方程。

（3）讨论循环小数的性质和证明某些同余问题。

（4）应用孙子定理求解简单同余式组。

3、情感态度与价值观目标

通过数论基础的知识结构、知识内容及其蕴含的丰富多彩的内涵美培养学生科学素养、数学素养和审美观念；在教学中辅以有关专题，调动学生的学习兴趣，努力做到科学素质教育与人文素质教育的融通，促进学生综合素质的均衡发展；在学习数论基础知识的过程中，培养他们在深层次上钻研数学教材的能力，使他们在今后的数学教学工作中能驾驭教材，做好教学工作。

四、课程内容

根据教材特点，本课程内容划分为三个单元，每单元根据章节内容进一步划分为基础性内容、提高性内容、拓展性内容三部分，基础性内容为教师讲授中的基本知识点同时也是学生必须掌握的内容。提高性内容是在基础性内容的基础上对基本问题的探讨和梳理，拓展性内容是对所学知识的延伸性学习，是课程内容的前瞻性分析和理论延展。

五、课程实施

（一）课时安排

本课程教学总共36学时

（二）教学建议

1、教学组织与形式

为达到数论基础课程的总目标，建议课程采取理论教学与实践相结合的教学形式进行组织教学。

理论教学采用课堂教学、课堂讨论与实践等多种形式教学，其中课堂讲授24课时，课堂讨论6学时，习题课6课时。各教学环节的重点都是在于通过学生积极主动参与课堂教学，培养学生的学习兴趣，培养学生思维的灵活性，提高学生综合运用和解决问题的能力。

2、教学方法与手段

在教学内容上加强与实际相联系，介绍简单密码的编制，连分数的有理近似值，日历的推算，排比赛日程表等，既增加学生对本门课程在应用方面的了解又提高他们运用数论知识解决实际问题的能力。

在教学方法上改变传统的单一灌输方式为培养创造力的启发式，开展研究性学习，运用历史法教学等，让学生将所学知识升华到数学思想方法和数学科研方法的高度，从而学会发现问题，进而解决问题。

3、教学环境与策略

（1）教学环境

理论教学环境，采用多媒体、录像等电子化设备教学，并结合课堂讲授的重点内容，提供课外扩展学习的科研文献资料。提供网络教学环境，建设课程网站，提供竞赛试题、视频、PPT、网站、科技进展新闻等补充资料，供课外扩展学习。

（2）教学策略

教学过程一定要根据学生的具体情况、教学的内容、教学的条件综合考虑进行。每节课的教学策略都应不同，充分利用学生已经掌握的前置课程的知识和技能，结合多种方式（讲授、自学、讨论等）组织教学。

4、能力培养方案及相应说明

（1）给学生自学的机会，培养学生自学的能力。

教师以学生为主体，扮演研究者，组织者，指导者，帮助者的角色，改变教师传统教的方式和学生传统学的方式，学生通过自己探索，研究，构建，然后转化为自己的行动，变为自己的知识，同时能唤起学生的学习兴趣，点燃学生智慧的火花，使学生的探究能力和创新能力得到充分发展。

（2）运用历史法教学。

教材采用的格式基本上是定义―定理―证明―举例“四步曲”，让初学者抓不住要领，难以激发学生学习和钻研的热情，使得大多数学生对教学内容没有很好地理解和掌握，没有领悟知识的内涵以及数学内部各分支之间，数学与其他学科之间的紧密联系，而仅仅是学了一些表面的知识。引入历史法教学，这样，就能使学生真正理解课本上形式化推理体系背后所包含的实际内涵。

（3）改变传统的单一灌输方式为培养创造力的启发式，营造环境以灵活运用所学知识。

在课堂教学过程中，有意识地在例题中设置“陷阱”，这样不仅能让学生看清数学思维不是一蹶而就的，而是有一个渐进的过程；还能培养学生独立思考问题的能力，做到“举一反三”，对教材上的知识“不盲从”。此外，在教学中，在解决问题后，总是引导学生进行“回头看”，即认真进行反思；这样的方法是否最优？这个问题的条件或结论能否做一些修改，进而改进结论？这个问题与我们以前所学或与其它课程是否有某种联系？然后经过寥寥数语的点拨，让学生将所学知识升华到数学思想方法和数学科研方法的高度，从而学会发现问题，进而解决问题。（4）改变传统的考试模式。注重考查能力，激励研究型学习，做到规范化，多元化，互动化。为通才定规则，为天才留空间。

（三）学业考核与评定

1、考核内容

（1）知识

（2）能力

掌握初等数论的基本理论和方法，具备进行数论理论研究的能力，以及将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。

2、考核方法

（1）成绩评定方式的主要构成及比例：采用百分制评分，期末成绩由平时成绩20%、考试成绩80%组成。其中，平时成绩由出勤、课堂表现、回答问题情况、作业、学期小论文的成绩组成，考试成绩为试卷成绩。

（2）内容分布、分值分布比例

基础知识一般要占50%左右，稍难的题目要占35%左右，较难的题目占15%左右。

（3）题型分布、分值分布比例

填空题20％；选择题 20％；计算题40％；证明20％.

（4）考试形式与时间：闭卷、笔试，120分钟。

六、教材建设、选用及参考书

1、建议教材

本课程以国家规划教材——闵嗣鹤严士健编的《初等数论》蓝本，以《初等数论》潘承洞潘承彪；《数论导引》华罗庚；《初等数论》乐华茂；《ELEMENTARY NUMBER THEORY and its applications》Kenneth H.Rosen；《Elementary Methods in Number Theory》Melvyn B.Nathanson 为补充资料，分散教材难点，使教学过程更适合地方院校，并配套习题课教材，习题集。

2、教学参考书

(1)《初等数论》潘承洞潘承彪北京大学出版社；

(2)《数论导引》华罗庚科学出版社

(3)《Elementary Methods in Number Theory》 Melvyn B.Nathanson Springer-Verlag；

(4)《ELEMENTARY NUMBER THEORY and its applications》Kenneth

H.Rosen 机械工业出版社。

小学奥数知识点归纳和总结

小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：

两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米

【最新】初等数论教学大纲

课程名称：初等数论（Elementary Number Theory） 《初等数论》教学大纲 一、课程说明 “初等数论”课程是数学与应用数学专业（师范）的一门专业选修课。数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。 通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。 本课程属于数学与数学专业（师范）的专业选修课。 本课程的教学时间安排：每周2节课，计划教学周为16周，总课时数32学时，其中实践时数0学时。 本课程总学分数为2学分。 本课程安排在第5学期开设。 二、学时分配表 三、教学目的与要求 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。

四、教学内容纲要 第一章整数的可除性（ 6学时） 目的要求： 1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。 2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。 3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。 难点：定理的证明处理方法，定理的灵活运用。 讲授内容： 1、整除的概念、带余数除法 （1）整除、因数；（2）带余数除法、不完全商、余数。 2、最大公约数与辗转相除法 （1）公因数、最大公因数、互素；（2）最大公因数的性质；（3）最大公因数的求法。 3、整除的进一步性质及最小公倍数 （1）整除的性质；（2）公倍数、最小公倍数；（3）最小公倍数的性质。 4、质数、算术基本定理 （1）质数与性质；（2）算术基本定理；（3）筛法。 5、函数[x]，{x}及其在数论中的一个应用 （1）[x]，{x}与性质；（2）n!中素因子的指数。 第二章不定方程（ 6学时） 目的要求： 1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。 2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。

数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案

数论问题之余数问题:余数问题练习题含答 案 1.数11 1(2007个1),被13除余多少 分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7. 2.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 . 3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位

数. 分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真. 4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班 分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17. 5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定

能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 6.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4 因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.

奥数讲义数论专题：6 进位制

华杯赛数论专题|：6 进位制 我们平常熟悉的十进制： （2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2 其他进制转化为十进制： （a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e 例题： 例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？ 【答案】24 【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。 又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。 所以A＋B最小值是9＋15＝24。 例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A和B在十进制中各是多少？ 【答案】50、150，或者55，165 【解答】设A在十进制中表示是（）， 由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m， 可见m是5的倍数，因此m＝0或5。 相应的计算出R＝30或32。 所以A和B分别是50、150，或者55，165。 例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？ 【答案】212 【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。 则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。 （1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。 所以，a＝0。但是a在首位，a又不能等于0。所以，这样的数字不存在。 （2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。 所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。 例4.如果某个自然数可以写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和，我们就称这样的数为“双子数”，比如9＝＋，36＝＋，它们都是双子数。现有一个双子数

初等代数研究2016教学大纲

初等代数研究2016教学大纲

黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业 《初等代数研究》课程 教 学 大 纲 执笔人： 审定人： 批准人： 基教系 2016年7月

第二章整数 教学内容：整数环、带余除法、最大公因数与最小公倍数、质数与合数、同余、欧拉函数 教学要求：掌握整数的性质；掌握带余除法的应用并能够灵活应用带余除法解决相关的问题；掌握最大公因数和最小公倍数的性质，能够灵活应用相关性质解决问题；能够灵活应用同余的性质解决一些数论问题；了解欧拉函数的性质和应用。 教学重点：整数的性质、同余 教学难点：欧拉函数的性质和应用 教学建议：本章教学内容可结合初等数论课程相关章节讲授。 第三章有理数 教学内容：有理数域；十进循环小数 教学要求：掌握有理数域的性质；了解分数和循环小数的互化理论基础。 教学重点：分数和循环小数的互化 教学难点：有理数域的性质 第四章实数 教学内容：实数集；实数集的基本性质；实数的四则运算；实数的开方；一些常用的无理数；[X]函数及应用 教学要求：了解无理数的存在性；掌握实数域的基本性质；了解实数的可开方性；掌握取整函数[X]的性质，并灵活解决相关问题。 教学重点：实数集的性质与运算 教学难点：[X]、{X}的性质及应用 第五章复数 教学内容：复数域；复数的代数形式、几何形式；复数的三角表示、复数的开方、复数模的性质 教学要求：掌握复数域的基本性质；了解从实数扩张到复数的合理性；灵活应用根的性质、几何性质、三角性质解决问题。 教学重点：复数的性质 教学难点：复数性质的应用 教学建议：可结合中学数学中的复数内容以及复变函数中的内容讲授本章内容。 第六章多项式 教学内容：多项式的一般概念；多项式的恒等变形；多项式的因式分解 教学要求：掌握多项式的定义、掌握零多项式、多项式相等的定理、掌握用待定系数法求多项式系数的方法；掌握常用的多项式乘法公式并能够灵活应

六年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版

第十讲：数论之余数问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在 要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且 可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

小学奥数数论讲义 1-奇偶数的性质与应用强化篇

奇偶数的性质与应用 一、基本概念和知识 1.奇数与偶数 整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 偶数通常可以用2（为整数）表示，奇数则可以用2+1（为整数）表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2.奇数与偶数的运算性质 对于两个数： ⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数； 注：加减运算符号不改变结果的奇偶性 ⑵奇?偶=偶数，奇?奇=奇数，偶?偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数 对于多个数： ⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数 ⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数（见偶得偶） 【例1】1+3+5+…+2009的和是奇数？还是偶数？ 【巩固】7+9+11+…+2017的和是奇数？还是偶数？ 【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？ 【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？

【例3】已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。 【巩固】已知a、b、c是三个连续自然数，其中a是偶数。 根据图中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是哪一位同学？ 巩固图 【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3?3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？ 【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４?４的方格表中（每个小方格只填一个数），使得每一行中的四个数之和都是偶数？ 【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请

小学奥数知识点梳理—数论

数论：1、奇偶； 2、整除； 3、余数； 4、质数合数‘ 5、约数倍数； 6、平方； 7、进制； 8、位值。 一、奇偶： 一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。 奇偶数有如下运算性质： （1）奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数偶数±奇数=奇数 （2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。 （3）奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数 （4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。 （5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。

上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。 二、整除： 掌握能被30以下质数整除的数的特征。 被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除. 被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。 被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。 被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。 下面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7×11×13=1001。判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。 此法则可以连续使用。 例：N=987654321.判定N是否被11整除。

因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。 例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。 由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N 能被13整除，不能被7、11整除。 此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被7或11或13整除时，可用

六年级下册数学专题练习：数论(五) 余数问题-全国通用 无答案

【知识点概述】 一、带余除法的定义及性质： 1.带余除法的定义： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b； (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数) 性质1：余数小于除数 性质2：=?+ 被除数除数商余数 除数（被除数-余数）商 =÷ =÷ 商（被除数-余数）除数 性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316) ?除以5的余数等于?=。 313 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319) ?除以5的余数等于?=除以5的余数，即2. 3412 【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。 二、数的同余 1.同余定义

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用 式子表示为：a≡b ( mod m ) 同余式读作：a同余于b，模m 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )， 那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。 例如：（1）15365(mod7) ≡，因为36515350750 -==? （2）5620(mod9) ≡，因为56203694 -==? （3）900(mod10) ≡，因为90090910 -==? 由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod) ≡ a m 例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod2) a≡, 表示b为一个奇数，可以写为1(mod2) b≡ 我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。 2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。） 性质1：a≡a（mod m）（反身性） 性质2：若a≡b ( mod m ),那么b≡a ( mod m ) （对称性） 性质3：若a≡b ( mod m )，b ≡c( mod m )，那么a≡c ( mod m ) （传递性） 性质4：a≡b ( mod m ),c≡d ( mod m ),那么a±c≡b±d ( mod m ) （可加减性） 性质5：若a≡b ( mod m ) ，c≡d ( mod m ),那么ac≡bd ( mod m ) （可乘性） 性质6：若a≡b ( mod m ) ，那么a n≡b n(mod m),（其中n为自然数） 性质7：若ac≡bc ( mod m )，（c，m）＝1,那么a≡b ( mod m ) 三.弃九法 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》， 他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失 而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 ++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8

小学奥数数论讲义 4-整数分拆之最值与应用强化篇

整数分拆之最值与应用 一、拆分的基础知识 整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。 二、拆分基本方法 1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。 2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大 应将数列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则： ⑴当多0时，将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n； ⑵当多1时，将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1)； ⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。 例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？ 2+3+4+5+6+7+8=35 比30大5，故将5去掉 30被拆成2+3+4+6+7+8 【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？ 【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。 【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。 【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。 【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。 【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？ 【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。 这三块中哪一块地最大？面积是多少？

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算

6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0?r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理

初等数论 教学大纲doc文档

附录1：教学大纲的格式 为便于各院系编辑印制课程教学大纲，建议理论课程、实验课程、专业实习课程分别采用以下格式： 1、理论课程教学大纲建议格式：（小括号内为说明文字）： 初等数论 Elementary Number Theory 【课程编号】（必备项1）【课程类别】专业主干课 【学分数】2 【适用专业】数学与应用数学 【学时数】36 【编写日期】2006.9 一、教学目标让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。 二、教学内容和学时分配 第一章整数的可除性（6学时） 1.整除的概念带余数除法 2.最大公因数与辗转相除法 3.整除的进一步性质及最小公倍数 4.质数算数基本定理 5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 第二章不定方程（4学时） 1.二元一次不定方程 2.多元一次不定方程 3.勾股数 4.费马问题的介绍 第三章同余（6学时） 1.同余的概念及其基本性质 2.剩余类及完全剩余系 3.简化剩余系与欧拉函数 4.欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用 5.公开密钥—RSA体制 6.三角和的概念 第四章同余式（6学时） 1.基本概念及一次同余式 2.孙子定理 3.高次同余式的解数及解法 4.质数模的同余式 第五章二次同余式与平方剩余（8学时）

1.一般二次同余式 2.单质数的平方剩余与平方非剩余 3.勒让德符号 4.前节定理的证明 5.雅可比符号 6.和数模的情形 7.把单质数表成二数平方和 8.把正整数表成平方和 第六章原根与指标（6学时） 1.指数及其基本性质 2.原根存在的条件 3.指标及n次剩余 4.模2a及合数模的指标组 5.特征函数 （一）总论让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。 学时（课堂讲授学时+课程实验学时）36 主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余、原根与指标 教学要求：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 重点、难点（可选项2） 其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）： （二）第一章整数的可除性学时（课堂讲授学时+课程实验学时）6 主要内容： 1.整除的概念带余数除法 2.最大公因数与辗转相除法 3.整除的进一步性质及最小公倍数 4.质数算数基本定理 5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 教学要求：1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。 2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。 3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。 4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。 重点、难点：（可选项）整除的概念带余数除法、最大公因数与辗转相除法、整除的进一步性质及最小公倍数、质数算数基本定理、函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：1学时习题课

小学五年级奥数—数论之同余问题

小学五年级奥数—数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： 1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理：

1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b mod m ，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b mod m ，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m| a－b

小学奥数数论知识点总结

小学奥数数论知识点总结 1.奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3.数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数 8和125末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b 对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

《初等数论》教学大纲

《初等数论》教学大纲 课程编码：110823 课程名称：初等数论 学时/学分：54/3 先修课程：《数学分析》、《高等代数》 适用专业：信息与计算科学 开设教研室：代数与几何教研室 一、课程性质与任务 1．课程性质：初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程。该课程是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科，也是一个古老的数学分支。初等数论是现代密码学的一门基础课程，也是高等学校信息安全专业的一门重要的基础课。初等数论在计算技术、通信技术等技术学科中也得到了广泛的应用。 2．课程任务：初等数论是信息与计算科学专业的一门重要的专业必修课，开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系，为进一步学习信息安全领域的其它学科打下坚实的基础。 二、课程教学基本要求 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。 1. 有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 2. 本课程开设在第5学期，总学时54，其中课堂讲授54学时，课堂实践0学时。教学环节以课堂讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CAI课件，在教学方法和手段上采用现代教育技术。 3. 成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。成绩评定采用百分制，60分为及格。

奥数讲义数论专题：3 质数与合数

华杯赛数论专题：3 质数与合数 基础知识： 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）. 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数. 除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9. 2.判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很 大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的 质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数. 3.唯一分解定理 每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式. 例题 例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？ 【答案】23，37，53，73. 【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7， 所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73. 例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数. 【答案】23，37，53，73，373 【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373. 例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？ 【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个 【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质

小奥数论整除和余数知识点总结及例题

小奥数论整除和余数知识 点总结及例题 Prepared on 21 November 2021

1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除； ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯 定是a的倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能 整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能 整除c，且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）

从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001; 7×143=1001; 根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa → ×1001;求能被7整除的空格数 系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除） 除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。 除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。 例如： 2.3余数的判别法 ① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0； 此时，a=b ×c;b=a ÷c

数论教学大纲

《数论》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：初等数论 英文名称：Elementary Number Theory 课程编号：2411218 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第5学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 初等数论是我院数学与应用数学专业的一门重要的基础课，是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科。初等数论与中学数学教育有着密切的联系，并给现代数学提供理论基础。 3．本课程的教学目的和任务 本课程开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 本课程的先修课程是《高等代数》，初等数论的理论和方法在计算机科学、代数编码、密码学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为数学、计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础。同时由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。本课程主要使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从

事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1、闵嗣鹤，严士健，初等数论（第三版）.北京.高等教育出版社，2003 2、郑克明，数论基础（第一版），重庆.西南师范大学出版社，1991 3、潘承洞，潘承彪，初等数论（第二版）.北京.北京大学出版社， 2004 三教学方法和教学手段说明 教学方法：讲授法 四成绩考核办法 本课程以教务处相关文件规定考核。 第一部分整数的可除性（14学时） 一、教学目的 1、掌握整除的概念及有关性质，熟悉带余数除法定理。