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线性代数公式大全

A 线性代数

基本运算

①A +B =B +A

②(A +B)+C =A +(B +C )

③c(A +B)=cA +cB

④c(dA)=(cd )A

(c +d )A =cA +dA

⑤ cA = 0 ?c = 0 或A = 0 。

(A T)T=A

(A±B)T=A T ±B T

(cA)T (AB)T =c(A T)。=B T A T

τ(n(n - 1)Λ21)=C 2 =n (n - 1)

n 2

D =a

21 A

+Λ+a

转置值不变A T =A 逆值变A-1 =

cA =c n A

α, β

1 +β

2 ,γ

=α, β1 ,γ

+α, β2 ,γ

A=(α1,α2,α3)，3 阶矩阵

B=(β1,β2,β3)

A +

B ≠A +B

A+B=(α1+β1,α2+β2,α3+β3)

A +

B =α1 +β1 ,α2 +β2 ,α3 +β3

A *

0 B * 0

=A B B

E(i, j(c))= 1 有关乘法的基本运算

ij =a

1 j

i 2

2 j

+Λ+a

线性性质(A1+A2)B=A1B+A2B，

A(B1 +B2 )=AB1 +AB2

(cA)B =c(AB)=A(cB) 结合律(AB)C =A(BC )

(AB)T AB = A k A l =B T A T A B

=A k +l

(A k)l (AB)k =A kl

=A k B k 不一定成立！

AE =A ，EA =A

A(kE )=kA ，(kE )A =kA

AB =E ?BA =E

与数的乘法的不同之处

(AB)k=A k B k 不一定成立！

无交换律因式分解障碍是交换性

一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如

A2 - 2 A - 3E =(A - 3E )(A +E )

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当AB=0时?/ A = 0 或B = 0

由A ≠ 0 和AB = 0 ?/ B = 0

由A ≠ 0 时AB =AC ?/ B =C （无左消去律）特别的设A 可逆，则A 有消去律。

左消去律：AB =AC ?B =C 。

右消去律：BA =CA ?B =C 。

如果A 列满秩，则A 有左消去律，即

① AB = 0 ?B = 0

② AB =AC ?B =C

A ?

(A A ? ? 可逆矩阵的性质

i ）当 A 可逆时，

A T 也可逆，且(A T )-1

= (A -1 )T

。

A k 也可逆，且(A k )-1

= (A -1 )k

。

数c ≠ 0 ， cA 也可逆， (cA )

-1

= 1

A -1 。 c

i ）

A ，

B 是两个n 阶可逆矩阵? AB 也可逆，且(AB )-1

= B -1 A -1 。

推论：设 A ， B 是两个n 阶矩阵，则 AB = E ? BA = E 命题：初等矩阵都可逆，且

(E (i , j ))-1 = E (i , j )

(E (i (c )))-1 = ? ? 1 ??

E i ? c ? ? ??

(E (i , j (c )))-1 = E (i , j (- c ))

命题：准对角矩阵

A 11 0 A = 0 0 0 A 22 0 0 0 0 0 0 O 0 0 A kk -1

可逆? 每个 A 都可逆，记 A -1 = 0 0 0 0 0 0 -1 22 0 O 0

-1

伴随矩阵的基本性质： AA * = A * A =

当 A 可逆时，

A E

A *

= E 得

，（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得： (A *)-1 =

伴随矩阵的其他性质

A = (A -1 )* A

? -1

)* = A -1 (A -1 )-1 = ? ? A * = A A -1

A -1

= A *

① A * = A

n -1

A A A 0 0 0 0

? ?

③ (cA )* = c

n -1

A * ,

但(AB )k

= B k

A k

不一定成立！

② (A T

)

* = (A *)T

④ (AB )* = B * A *, ⑤ (A k

)

* = (A *)k

，

? a - b ? n = 2 时，

(A *)* = A

关于矩阵右上肩记号： T ， k ， - 1，*

A * = - c d ?

i ) 任何两个的次序可交换，

如(A T

)

* = (A *)T

，

(A *)-1 = (A -1 )* 等

i )

(AB )T = B T A T , (AB )-1 = B -1 A -1 ，

(AB )* = B * A *

线性表示

0 → α1 ,α 2 ,Λ,α s

αi → α1 ,α 2 ,Λ,α s

β → α1 ,α 2 ,Λ,α s ? x 1α1 + x 2α 2 +Λ + x s α s = β 有解

? (α1 ,α 2 ,Λ,α s )x = β 有解(x = (x 1 ,Λ, x s

)T )

Ax = β 有解，即 β 可用 A 的列向量组表示 AB = C = (r 1 , r 2 ,Λ, r s )， A = (α1 ,α 2 ,Λ,α n ) ，

则r 1 , r 2 ,Λ, r s → α1 ,α 2 ,Λ,α n 。

β1 , β 2 ,Λ, βt → α1 ,α 2 ,Λ,α s ，

则存在矩阵C ，使得(β1 , β 2 ,Λ, βt ) = (α1 ,α 2 ,Λ,α s )C

线性表示关系有传递性当 β1 , β 2 ,Λ, βt → α1 ,α 2 ,Λ,α s → r 1 , r 2 ,Λ, r p ，

则 β1 , β 2 ,Λ, βt → r 1 , r 2 ,Λ, r p 。

⑥ (A *)* = A

A 。

n -2

②如果α1 ,α 2 ,Λ,α s 无关，则它的每一个部分组都无关

③如果α1 ,α 2 ,Λ,α s 无关，而α1 ,α 2 ,Λ,α s , β 相关，则 β → α1 ,α 2 ,Λ,α s

⑤若 β1 ,Λ, βt → α1 ,Λ,α s ，并且t > s ，则 β1 ,Λ, βt 一定线性相关。

等价关系：如果

α1 ,α 2 ,Λ,α s →← β1 , β 2 ,Λ, βt

α1 ,α 2 ,Λ,α s

与

β1 , β 2 ,Λ, βt

互相可表示

记作α1 ,α 2 ,Λ,α s ? β1 , β 2 ,Λ, βt 。

线性相关

s = 1，单个向量α ， x α = 0

α 相关? α = 0

s = 2 ，α1 ,α 2 相关? 对应分量成比例 α1 ,α 2 相关? a 1 : b 1 = a 2 : b 2 = Λ = a n : b n

A = (α1 ,α 2 ,Λ,α n ) ， Ax = 0 有非零解? A = 0

Ax = 0 的方程个数 n < 未知数个数 s

证明：设c 1 ,Λ, c s , c 不全为 0，使得c 1α1 +Λ + c s α s + c β = 0

则其中c ≠ 0 ，否则c 1 ,Λ, c s 不全为 0，c 1α1 +Λ + c s α s = 0 ，与条件α1 ,Λ,α s 无关矛

盾。于是 β = -

c 1 α c

1 - - c

s α 。

（表示方式不唯一? α1 Λα s 相关）

④当 β → α1 ,Λ,α s 时，表示方式唯一? α1 Λα s 无关如果 s > n ，则α1 ,α 2 ,Λ,α s 一定相关

一个线性无关部分组(I ) ，若# (I )等于秩α1 ,α 2 ,α 4 ,α 6 → (I )， (I ) 就一定是极大无关组 ①α1 ,α 2 ,Λ,α s 无关? γ (α1 ,α 2 ,Λ,α s ) = s

② β → α1 ,α 2 ,Λ,α s ? γ (α1 ,α 2 ,Λ,α s , β ) = γ (α1 ,Λ,α s ) ④ β1 ,Λ, βt → α1 ,Λ,α s ? γ (α1 ,Λ,α s , β1 ,Λ, βt ) = γ (α1 ,Λ,α s )

证明：记 A = (α1 ,Λ,α s )， B = (β1 ,Λ, βt )，

则存在 s ? t 矩阵C ，使得 B = AC 。

Cx = 0 有 s 个方程， t 个未知数， s < t ，有非零解η ， C η = 0 。

则 B η = AC η = 0 ，即η 也是 Bx = 0 的非零解，从而 β1 ,Λ, βt 线性相关。

各性质的逆否形式

①如果α1 ,α 2 ,Λ,α s 无关，则 s ≤ n 。

②如果α1 ,α 2 ,Λ,α s 有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果α1 Λα s 无关，而 β →/ α1 ,Λ,α s ，则α1 ,Λ,α s β 无关。

⑤如果 β1 Λ βt → α1 Λα s ， β1 Λ βt 无关，则t ≤ s 。

推论：若两个无关向量组α1 Λα s 与 β1 Λ βt 等价，则 s = t 。极大无关组

另一种说法：取α1 ,α 2 ,Λ,α s 的一个极大无关组(I

) (I ) 也是α1 ,α 2 ,Λ,α s , β 的极大无关组? (I ), β 相关。

证明： β → α1 ,Λ,α s ? β → (I ) ? (I ), β 相关。

③ β 可用α1 ,Λ,α s 唯一表示? γ (α1 ,Λ,α s , β ) = γ (α1 ,Λ,α s ) = s

1 s ? 1 ?γ (α ,Λ,α ) + 1, β →/ α ,Λ,α s 1

α 1

s , β → α Λ s 1 α ,Λ,α ) ?γ ( α ,Λ,α , β ) = γ (

⑤α1 ,Λ,α s ? β1 ,Λ, βt ? γ (α1 ,Λ,α s ) = γ (α1 Λα s , β1 Λ β t ) = γ (β1 ,Λ, β t )

? γ (β1 ,Λ, βt ) ≤ γ (α1 ,Λ,α s )

矩阵的秩的简单性质

0 ≤ r (A ) ≤ min {m , n } r (A ) = 0 ? A = 0 A 行满秩： r (A ) = m A 列满秩： r (A ) = n n 阶矩阵 A 满秩： r (A ) = n

A 满秩? A 的行（列）向量组线性无关

? A ≠ 0 ? A 可逆

? Ax = 0 只有零解， Ax = β 唯一解。

矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩

① r (A

) = r (A )

② c ≠ 0 时， r (cA ) = r (A ) ③ r (A ± B ) ≤ r (A ) + r (B ) ④ r (AB ) ≤ min {r (A ), r (B )} ⑤ A 可逆时， r (AB ) = r (B )

弱化条件：如果 A 列满秩，则γ (AB ) = γ (B ) 证：下面证 ABx = 0 与 Bx = 0 同解。

η 是 ABx = 0 的解? AB η = 0

? B η = 0 ? η 是 Bx = 0 的解

B 可逆时， r (AB ) = r (A )

⑥若 AB = 0 ，则 r (A ) + r (B ) ≤ n （ A 的列数， B 的行数）

?i , A ηi = 0 ? A (c 1η1 + c 2η2 +Λ + c e ηe ) = 0

c 1ξ1 + c 2ξ 2 +Λ + c e ξe 也是 Ax = β 的解? c 1 + c 2 +Λ + c e = 1

c 1ξ1 + c 2ξ 2 +Λ + c e ξe 是 Ax = 0 的解? c 1 + c 2 +Λ + c e = 0

⑦ A 列满秩时 r (AB ) = r (B )

B 行满秩时 r (AB ) = r (A )

⑧ r (AB ) + n ≥ r (A ) + r (B )

解的性质

1． Ax = 0 的解的性质。

如果η1 ,η2 ,Λ,ηe 是一组解，则它们的任意线性组合 c 1η1 + c 2η2

+Λ+ c e ηe 一定也

是解。

2． Ax = β (β ≠ 0)

①如果ξ1 ,ξ 2 ,Λ,ξe 是 Ax = β 的一组解，则

A ξ i = β ? ?i

A (c 1ξ1 + c 2ξ 2 +Λ + c e ξe ) = c 1 A ξ1 + c 2 A ξ 2 +Λ + c e A ξe

= (c 1 + c 2 +Λ + c e )β

特别的：

②如果ξ0 是 Ax = β 的解，则 n 维向量ξ 也是 Ax = β 的解? ξ - ξ0 是 Ax = 0 的解。

解的情况判别

方程： Ax = β ，即 x 1α1 + x 2α 2 +Λ + x n α n = β

? β → α1 ,α 2 ,Λ,α n ? γ (A | β ) = γ (A ) ? γ (α1 ,α 2 ,Λ,α n , β ) = γ (α1 ,α 2 ,Λ,α n ) ? γ (A | β ) > γ (A ) ? γ (A | β ) = γ (A ) = n ? γ (A | β ) = γ (A ) < n 方程个数 m ：

无穷多解唯一解

无解

有解

当ξ1 ,ξ 2 是 Ax = β 的两个解时， ξ1 - ξ 2 是 Ax = 0 的解

1 ① λ 1λ 2Λλ n = A

② λ 1+ λ 2 +Λ + λ n = tr (A )

γ (A | β ) ≤ m ,γ (A ) ≤ m

①当γ (A ) = m 时， γ (A | β ) = m ，有解 ②当 m < n 时， γ (A ) < n ，不会是唯一解对于齐次线性方程组 Ax = 0 ，

只有零解? γ (A ) = n （即 A 列满秩）（有非零解? γ (A ) < n ）

特征值特征向量

λ 是 A 的特征值? λ 是 A 的特征多项式两种特殊情形：

（1） A 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

? λ *

* ? ? A = 0 ? 0 λ 2 * ?

? 3 ?

xE - A = x - λ 1 0 0

- * x - λ 2

0 - *

- * x - λ 3

= (x - λ 1 )(x - λ 2 )(x - λ 3 ) （2） r (A ) = 1时： A 的特征值为0,0,Λ,0, tr (A ) 特征值的性质

命题： n 阶矩阵 A 的特征值λ 的重数≥ n - r (λ E - A ) 命题：设 A 的特征值为λ 1, λ 2,Λ, λ n ，则

命题：设η 是 A 的特征向量，特征值为λ ，即 A η = λη ，则

①对于 A 的每个多项式 f (A )， f (A )η = f (x )η ②当 A 可逆时， A

-1

η = 1 η ， A *η = | A |

λ λ

命题：设 A 的特征值为λ 1, λ 2 ,Λ, λ n ，则

① f (A )的特征值为 f (λ 1 ), f (λ 2 ),Λ, f (λ n )

0 λ

1 2 n Λ

② A 可逆时，A-1 的特征值为1

, ,

A * 的特征值为| A |

| A |

,Λ,

| A |

③A T 的特征值也是λ, λ,Λ, λ

特征值的应用

①求行列式| A |=λ1, λ2 ,Λ, λn

②判别可逆性

A -λE 可逆?λ不是A 的特征值。

当f (A)= 0 时，如果f (c)≠ 0 ，则A -cE 可逆

若λ是A 的特征值，则f (λ)是f (A)的特征值?

f (c)≠ 0 ?c 不是A 的特征值?AcE 可逆。

n 阶矩阵的相似关系

f (λ)= 0 。

当AU =UA 时，B =A ，而AU ≠UA 时，B ≠A 。

相似关系有i）对称性：A ~ B ?B ~ A

U -1 AU =B ，则A =UBU -1

ii）有传递性：A ~ B ，B ~ C ，则A ~ C

U -1 AU =B ，V -1 BV =C ，则

(UV)-1 A(UV)=V -1U-1 A UV=V -1 BV =C

命题当A ~ B 时，A 和B 有许多相同的性质

① A =B

②γ(A)=γ(B)

③ A ，B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A 与

B 的特征向量的关系：η是A 的属于λ的特征向量?U -1η是B 的属于λ的特征向量。

Aη=λη?B(U-1η)=λ(U-1η)

χχ

U-1 Aη=λU-1η?U-1 A UU-1η=λ(U-1η)

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

f (x1 , x2 ,Λ, x n )变为g(y1,y2,Λ,y n)，则它们同时正定或同时不正定

A ~-

B ，则A ，B 同时正定，同时不正定。

例如B =C T AC 。如果A 正定，则对每个x ≠ 0

x T Bx =x T C T ACx =(Cx)T ACx > 0

（C 可逆，x ≠ 0 ，∴Cx ≠ 0 ！）

我们给出关于正定的以下性质

A 正定?A ~-E

?存在实可逆矩阵C ，A =C T C 。

?A 的正惯性指数=n 。

?A 的特征值全大于0 。

?A 的每个顺序主子式全大于0 。

判断A 正定的三种方法：

①顺序主子式法。

②特征值法。

③定义法。

基本概念

对称矩阵A T =A 。

反对称矩阵A T =-A 。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为 1 ，台角正上方的元素都为0。

如果A 是一个n 阶矩阵，A 是阶梯形矩阵?A 是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：（解的情况）

①写出增广矩阵(A β)，用初等行变换化(A β)为阶梯形矩阵(B γ)。

②用(B γ)判别解的情况。

i）如果(B γ)最下面的非零行为(0,Λ,0 d )，则无解，否则有解。

(B γ)的非零行数，则

ii）如果有解，记γ是

γ=n 时唯一解。

0 0 0 n Λ 2n iii ）唯一解求解的方法（初等变换法）

去掉(B γ )的零行，得(B γ )

，它是 n ? (n + c )矩阵， B 是

n 阶梯形矩阵，从而是上三角

矩阵。

则b n n ≠ 0 ? b n -1 n -1 ≠ 0 ? Λb ii 都不为0 。

(A β )??行

→(B r )??行

→(E η)

η 就是解。

a 11 a 21 一个n 阶行列式

Λ a n 1 ①是n !项的代数和

a 12 a 22 Λ a n 2 Λ a 1n

a 的值： Λ Λ

Λ a nn

②每一项是 n 个元素的乘积，它们共有 n !项排列。

a 1 j 1 a 2 j 2 Λa nj n 其中 j 1 j 2 Λ j n 是1,2,Λ, n 的一个全 ③ a 1 j 1 Λa

nj n

前面乘的应为(- 1)

τ ( j 1 j 2 Λ j n )

τ ( j 1 j 2 Λ j n )的逆序数

= ∑(- 1)τ ( j 1 j 2 Λ j n ) a a 2 j 2 Λa nj n

j 1 j 2 Λ j n

τ (n (n - 1)Λ21) = C 2 =

n (n - 1)

代数余子式

M ij 为 a ij 的余子式。 A ij = (- 1)i + j M 定理：一个行列式的值 D 等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

D = a 21 A 21 + a 22 A 22 +Λ + a 2n A 2n

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0 。

范德蒙行列式

1 1 a 1 a 1 Λ 1 Λ a n

= ∏(a j i < j

- a i )

C 2 个

乘法相关

AB 的(i , j ) 位元素是 A 的第i 行和 B 的第 j 列对应元素乘积之和。

1 j 1 ij

1 1 1

2 C ij = a i 1b 1 j + a i 2 b 2 j +Λ + a in b nj

乘积矩阵的列向量与行向量

（1）设m ? n 矩阵 A = (α ,α ,Λ,α

) ， n 维列向量 β = (b , b ,Λ, b

，则

A β = b 1α1 + b 2α 2 +Λ + b n α n

矩阵乘法应用于方程组

方程组的矩阵形式

Ax = β ， (

β = (b , b ,Λ, b

)T )

方程组的向量形式

x 1α1 + x 2α 2 +Λ + x n α n = β

（2）

设 AB = C ，

AB = (A β1 , A β 2 ,Λ, A β s ) r i = A βi = b 1i α1 + b 2i α 2 +Λ + b ni α n

AB 的第i 个列向量是 A 的列向量组的线性组合，组合系数是 B 的第i 个列向量的各分

量。

AB 的第i 个行向量是 B 的行向量组的线性组合，组合系数是 A 的第i 个行向量的各分

量。

矩阵分解

当矩阵C 的每个列向量都是 A 的列向量的线性组合时，可把C 分解为 A 与一个矩阵 B

的乘积

特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

(α ,α

,Λ,α ? λ 0 0 ) 0 λ2 0

0 ? ? 0 ?

= (λ α , λ α

,Λ, λ α ) 1 2 n 0

0 O 0 ? 1 1 2 2 n n

? 0 0 ? 0 λn ?

对角矩阵从右侧乘一矩阵 A ，即用对角线上的元素依次乘 A 的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵 A ，即用对角线上的元素依次乘 A 的各行向量于是 AE = A ， EA = A

A (kE ) = kA ， (kE )A = kA

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘

对角矩阵的k 次方幂只须把每个对角线上元素作k 次方幂

对一个 n 阶矩阵 A ，规定tr (A )为 A 的对角线上元素之和称为 A 的迹数。于是 (

αβ

T )k

= (β T

α )

k -1

αβ T = [tr (αβ T )]k -1αβ T

α T α = tr (αα T )

其他形式方阵的高次幂也有规律

kk ?? kk ? ? kk ? Λ

? Λ

? 1 例如： A = 0 ? 0 1? ?

2 0?

0 ?

初等矩阵及其在乘法中的作用

（1） E (i , j )：交换 E 的第i , j 两行或交换 E 的第i , j 两列（2） E (i (c )) ：用数c (≠ 0)乘 E 的第i 行或第i 列

（3） E (i , j (c ))：把 E 的第 j 行的c 倍加到第i 行上，或把 E 的第i 列的c 倍加到第 j 列上。

初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵 A 等同于对 A 作一次相当的初等行（列）变换乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵 A 和 B 的乘积时，可以先把 A 和 B 用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求 A 的纵向分割与 B 的横向分割一致。

两种常用的情况（1） A , B 都分成 4 块

? A 11 A 12 ? ? B 11 B 12 ?

A = A ? ，

B = ?

A B B ? 21 22 ? ? 21 22 ?

其中 A i 1 的列数和 B 1 j 的行数相等， A i 2 的列数和 B 2 j 的行数相关。

? A 11 B 11 + A 12 B 21

A 11

B 12 + A 12 B 22

AB = A A + A B

A B + A B ? ? 21 11 22 21

21 12 22 22 ?

（2）准对角矩阵

? A 11 0

0 ? ? 0 A 22

0 0 Λ 0 ? O ? Λ A

? A 11 0

0 ?? B ??

0 0 ? ? ? A 11 B 11 0

0 ?

? 0 A 22 Λ 0 ?? 0 B 22

Λ 0 ? = 0 A 22 B 22 Λ

0 ?

M O

?? Λ Λ Λ

Λ ? O ? ?? 0 0

Λ A

0 ?

? 0 Λ B 0

A B

矩阵方程与可逆矩阵

1 11 ? kk ? ? kk ?

? 1n 2n 阵，称 H 是 A 的逆矩阵，证作 A -1

。

两类基本的矩阵方程（都需求 A 是方阵，且 A ≠ 0 ）

(I )Ax = B

（I ）的解法：

(A B )??行

→(E x )

(II )xA = B

（II ）的解法，先化为 A

T x T

B T )→ (E x T )

。

= B T 。

通过逆求解： Ax = B ， x = A -1

可逆矩阵及其逆矩阵

定义：设 A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵 H ，使得 AH = E ，且 HA = E ，则称 A 是可逆矩

求 A -1

的方程（初等变换法）

(A E )??行

→(E A -1

)

伴随矩阵

? A 11

A 21 Λ

A n 1 ?

A * = A 12

A 22 Λ A n 2 ?

= (A )T

Λ Λ

Λ ? ij ?

A Λ

线性表示

β 可以用α1 ,α 2 ,Λ,α s 线性表示，即 β 可以表示为α1 ,α 2 ,Λ,α s 的线性组合，

也就是存在c 1 , c 2 ,Λ, c s 使得记号： β → α1 ,α 2 ,Λ,α s

c 1α1 + c 2α 2 +Λ + c s α s = β

线性相关性

线性相关：存在向量αi 可用其它向量α1 ,Λ,αi -1 ,αi +1 ,Λ,α s 线性表示。线性无关：每个向量αi 都不能用其它向量线性表示

? nn ?

α1 ,α 2 ,Λ,α s 线性相关，否则称α1 ,α 2 ,Λ,α s 线性无关。

定义：

即：α1 ,α 2 ,Λ,α s 线性相（无）关? x 1α1 +Λ + x s α s = 0 有（无）非零解

? (α1 ,α 2 ,Λ,α s )x = 0 有（无）非零解

极大无关组和秩

定义：α1 ,α 2 ,Λ,α s 的一个部分组(I ) 称为它的一个极大无关组，如果满足：

i ） (I ) 线性无关。 ii ） (I ) 再扩大就相关。

(I ) →←α1 ,α 2 ,Λ,α s

(II ) ? α1 Λα s ? (I )

定义：规定α1 ,α 2 ,Λ,α s 的秩γ (α1 ,α 2 ,Λ,α s ) =# (I )。

如果α1 ,α 2 ,Λ,α s 每个元素都是零向量，则规定其秩为0 。

0 ≤ γ (α1 ,Λ,α s ) ≤ min {n , s }

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向量：α1 ,α 2 ,Λ,α s , β1 , β 2 ,Λ, β s ，并且向量方程

x 1 ,α1 + x 2α2 +Λ+ x s αs = 0 与 x 1 β1 + x 2 β 2 +Λ + x s β s = 0 同解，则称它们有相同的线性关

系。

①对应的部分组有一致的相关性。

α1 ,α 2 ,α 4 的对应部分组 β1 , β 2 , β 4 ，

若α1 ,α 2 ,α 4 相关，有不全为0 的c 1 , c 2 , c 4 使得

c 1α1 + c 2α 2 + c 4α 4 = 0 ，

即(c 1 , c 2 ,0, c 4 ,0,Λ,0)是 x 1α1 + x 2α 2 +Λ + x s α s = 0 的解，从而也是 x 1 β1 + x 2 β 2 +Λ + x s β s = 0 的解，则有

如果存在不全为 0 的 c 1 , c 2 ,Λ, c s ，使得 c 1α1 + c 2α 2 +Λ + c s α s = 0 则称

?a c 1 β1 + c 2 β 2 + c 4 β 4 = 0 ，

β1 , β 2 , β3 也相关。

②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。

设： A = (α1 ,α 2 ,Λ,α s )， B = (β1 , β 2 ,Λ, β s ) ，则

x 1α1 + x 2α 2 +Λ + x s α s = 0 即 x 1 β1 + x 2 β 2 +Λ + x s β s = 0 即 Ax = 0 ，

Bx = 0 。

α1 ,α 2

,Λ,α s 与 β1 , β 2 ,Λ, β s 有相同的线性关系即 Ax = 0 与 Bx = 0 同解。

反之，当 Ax = 0 与 Bx = 0 同解时， A 和 B 的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩

定理：矩阵 A 的行向量组的秩=列向量组的秩

规定 r (A ) = 行（列）向量组的秩。

r (A )的计算：用初等变换化 A 为阶梯形矩阵 B ，则 B 的非零行数即 r (A )。

命题： r (A ) = A 的非零子式阶数的最大值。

方程组的表达形式

?a 11 x 1 + a 12 x 2 + Λ+ a 1n x n = b 1

? x ? 21 1 ? + a 22 x 2 +Λ+ a 2n x n Λ = b 2 ??a m 1 x 1 + a m 2 x 2 +Λ+ a mn x n = b m

2． Ax = β

η 是解? A η = β

3． x 1α1 + x 2α 2 +Λ + x n α n = β

有解? β → α1 ,α 2 ,Λ,α n

基础解系和通解

1． Ax = 0 有非零解时的基础解系

2 ? η1 ,η2 ,Λ,ηe 是 Ax = 0 的基础解系的条件：

①每个ηi 都是 Ax = 0 的解 ②η1 ,η2 ,Λ,ηe 线性无关

③ Ax = 0 的每个解η → η1 ,η2 ,Λ,ηe ③/

l = n - γ (A )

通解

①如果η1 ,η2 ,Λ,ηe 是 Ax = 0 的一个基础解系，则 Ax = 0 的通解为

c 1η1 + c 2η2 +Λ + c e ηe ， c i 任意

②如果ξ0 是 Ax = β (β ≠ 0) 的一个解，η1 ,η2 ,Λ,ηe 是 Ax = 0 的基础解系，则 Ax = β 的通解为

ξ0 + c 1η1 + c 2η2 +Λ + c e ηe ， c i 任意

特征向量与特征值

定义：如果η ≠ 0 ，并且 A η 与η 线性相关，则称η 是 A 的一个特征向量。此时，有数λ ，使得 A η = λη ，称λ 为η 的特征值。

设 A 是数量矩阵λE ，则对每个 n 维列向量η ， A η = λη ，于是，任何非零列向量都是λE 的特征向量，特征值都是λ 。

①特征值有限特征向量无穷多

若 A η = λη ， A (c η) = cA η = c λη = λ(c η)

A η1 = λη1 ? ? A (c η + c η

) = c A η + c A η

= λ(c η + c η )

A η2 = λη ?

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。

③计算时先求特征值，后求特征向量。

特征向量与特征值计算

A η = λη,η ≠ 0

? (λE - A )η = 0,η ≠ 0 ? η 是(λE - A )x = 0 的非零解

1 命题：① λ 是 A 的特征值? λ E - A = 0

②η 是属于λ 的特征向量? η 是(λ E - A )x = 0 的非零解称多项式 xE - A 为 A 的特征多项式。

λ 是 A 的特征值? λ 是 A 的特征多项式 xE - A 的根。

λ 的重数： λ 作为 xE - A 的根的重数。

n 阶矩阵 A 的特征值有 n 个： λ 1, λ 2,Λ, λ n ，可能其中有的不是实数，有的是多重的。

计算步骤：

①求出特征多项式 xE - A 。

②求 xE - A 的根，得特征值。

③对每个特征值λ i ，求(λ i E - A )x = 0 的非零解，得属于λ i 的特征向量。

n 阶矩阵的相似关系

设 A ， B 是两个 n 阶矩阵。如果存在 n 阶可逆矩阵U ，使得U -1

AU = B ，则称 A 与 B 相似，记作 A ~ B 。 n 阶矩阵的对角化

基本定理 A 可对角化? A 有n 个线性无关的特征向量。设可逆矩阵U = (η1 ,η2 ,Λ,ηn )，则

? λ

U -1 AU = 0 0 0 0 0 ?

? λ2 0 0 ? 0 O 0 ?

? 0 0 ? 0 λn ?

? λ 0 0 0 ? ? ? A (η ,η ,Λ,η ) = U

0 λ2 0 0 ? = (λ η , λ η ,Λ, λ η ) 1 2 n 0 0 O 0 ? 1 1 2 2 n n

判别法则

? 0 0 ? A ηi = λi ηi ， i = 1,2,Λ, n

? 0 λn ? A 可对角化? 对于 A 的每个特征值λ ， λ 的重数= n - γ (λE - A )。

计算：对每个特征值λi ，求出(λi E - A )x = 0 的一个基础解系，把它们合在一起，得到 n 个线

? i x Λ 1 2 n

1 2 p

p +1

p +q = c ? x = CY 1

性无关的特征向量，η1 ,Λ,ηn 。令U = (η1 ,η2 ,Λ,ηn )，则

U -1 ? λ AU = 0 0 0 0 λ2 0 0 O 0 ? ? 0 0 ? ，其中λi 为ηi 的特征值。

? 0 0 ? 0 λn ?

二次型（实二次型）二次型及其矩阵

一个 n 元二次型的一般形式为

f (x 1 , x 2 ,Λ, x n

) = ∑ a ii i =1

x 2 +2∑ a i < j

x i x j

只有平方项的二次型称为标准二次型。形如： x 2

+ x 2

+Λ + x 2

- x 2

-Λ - x 2

的 n 元二次型称为规范二次型。对每个 n 阶实矩阵 A ，记 x = (x 1 , x 2 ,Λ, x n )T ，则 x T Ax 是一个二次型。

f (x 1 , x 2 ,Λ, x n ) = x T Ax

称 A 的秩γ (A ) 为这个二次型的秩。标准二次型的矩阵是对角矩阵。规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。可逆线性变量替换

设有一个 n 元二次型 f (x 1 , x 2 ,Λ, x n )，引进新的一组变量 y 1 , y 2 ,Λ, y n ，并把 x 1 , x 2 ,Λ, x n 用它们表示。

?x 1 = c 11 y 1 + c 12 y 2 +Λ+ c 1n y n ? c 11 c 12

Λ c 1n ? ? 2

21 y 1 + c 22 y 2 +Λ+ c 2n y n c

21 c 22

? Λ c 2n ?

（并要求矩阵C =

Λ ? 是可逆矩阵）

Λ Λ ?

??x n = c n 1 y 1 + c n 2 y 2 +Λ + c nn y n

? c n 1 c n 2

Λ c nn ?

代入 f (x 1 , x 2 ,Λ, x n )，得到 y 1 ,Λ, y n 的一个二次型 g (y 1 ,Λ, y n )这样的操作称为对 f (x 1 Λ x n ) 作了一次可逆线性变量替换。

设Y = (y , y ,Λ, y )T

，则上面的变换式可写成则 f (x 1 Λ x n ) = x Ax = Y C ACY = g (y ,Λ, y )

T T T 于是 g (y 1 ,Λ y n )的矩阵为C T

n 1 Λ