九年级数学一元二次方程(带答案)
第二章 一元二次方程
第1讲 一元二次方程概念及解法
【知识要点】
一. 知识结构网络
二、一元二次方程的四种解法
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为()02
≥=b b x 或
()b a x =+2
的形式的方程求解。当0≥b 时，可两边开平方求得方程的解；当0
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个
一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。 3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常
数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()x m n +=2
的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02=++c bx ax ，确定a 、b 、c 的值；（2）计算
ac b 42
-的值并判别其符号；（3）若042
≥-ac b ，则利用公式a
ac
b b x 242-±-=求方程的解，若
042<-ac b ，则方程无实数解。
【典型例题】
（1）67302
x x --=（用因式分解法）
解：0)32)(13(=-+x x
2
3，31∴032或013∴21=-
==-=+x x x x
（2）1432
+=x x
（用公式法）
解：01432
=--x x
028)1(×3×4)4(2
>=---=?
3
7
2，372∴37
±23×228±)4(∴21-=+=
=
--=x x x
（3）030222
=--x x （用配方法）
解：152
2
2
=-
x x
8
121
)42()42(15)42(222222=
-+=+-
x x x
22
5
，23∴24
11
±42∴21-===-
x x x
【经典练习】
一、直接开方法
（1）()()x x +=-11222 （2）b a x =+2
)(
二、配方法注：
（1）223002
x x --= （2）3412
x x =+
二、公式法
1. 用求根公式法解下列方程
()12202x x +-=；
解：
()228102y y +-=；
解：
()3231
8
02x x -+
=；
解：
()43212
y y -=； 解：
()525102x x +-=；
解：
()625302x x ++=；
解：
()734502x x -+=；
解：(7)方程无实数根；
()82432202x x +-=；
解：
()...90020030352x x -=；
解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，
()()()101233132+-=+x x
解：。
三、因式分解
1. 用因式分解法解下列各方程：
（1）x 2－5x －24＝0；
解：
；
（2）12x 2＋x －6＝0； 解：
；
（3）x 2－4x －165＝0
解：
；
（4）2x 2－23x ＋56＝0；
解：8，2
7
，0)8)(72(21==
=--x x x x ； （5）924164122x x x ++=+； 解：
（6）33332
()()x x -=-；
解：
（7）x x 2
3260-+
+=()
解：
；
（8）()x x --+=-251062
；
解： (x －2)2－5(x －2)＋6＝0，(x －2－2)(x －2－3)＝0，x 1＝4，x 2＝5； （9）t(t ＋3)＝28；
解：（9）t 2＋3t －28＝0，(t ＋7)(t －4)＝0，t 1＝－7，t 2＝4； （10）(x ＋1)(x ＋3)＝15。
解：x 2＋4x ＋3＝15，(x ＋6)(x －2)＝0，x 1＝－6，x 2＝2
2. 用因式分解法解下列方程：
（1）(y －1)2＋2y(y －1)＝0；
解：
；
（2）(3x ＋2)2＝4(x －3)2；
解： 0)]3(2)23)][(3(2
)23[(=--+-++x x x x 8，5
4
，0)8)(45(21-==
=+-x x x x （3）9(2x ＋3)2－4(2x －5)2＝0；
解：[3(2x ＋3)＋2(2x －5)][3(2x ＋3)－2(2x －5)]＝0， 2
19，101，0)192)(110(21-===+-x x x x （4）(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0。 解：[(2y ＋1)＋1][(2y ＋1)＋2]＝0，
三、综合练习
1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x 2－x －1＝0
B. 9x 2＝4(3x －1)
C. x x 27150++=
D.
3222
102x x -+= 2. 若a ，b ，c 互不相等，则方程(a 2＋b ＋c 2)x 2＋2(a ＋b ＋c)x ＋3＝0（ C ）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 根的情况不确定 解析: 因为△＝4(a ＋b ＋c)2－12(a 2＋b 2＋c 2) ＝4(－2a 2－2b 2－2c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc) ＝－4[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]＜0
3. 若方程m x m x 2
2
2310--+=()的两个实根的倒数和是S ，求：S 的取值范围。
分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0≥?，求出m 的取值范围，再用S 的代数式表示m ，借助m 的取值范围就可求出S 的取值范围。 解：设方程的两个实根为2
212
21211
，3
2，则，m
x x m
m x x x x =
-=+
∵方程有两个实根
3
21
3
211∵0≠且4
3
∴0
≠，且04)32(∴2
221121222-=-=+=+=≤≥--=?m m m m x x x x x x S m m m m m
0≠2
3
且432
3
∴
23
∴+≤
++=
S S S m
3≠且2
3
∴--
≤S S 。 4. 已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋(m －2)2＝0。m 取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程没有实数根
解析:△＝(2m ＋1)2－4(m －2)2＝5(4m －3)。 （1）当，即
时，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当
时，原方程没有实数根。
5. 已知关于x 的方程x k x k k 2
2
21210-+++-=() ①
（1）求证：对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）如果a 是关于y 的方程y x x k y x k x k 2
121220-+-+--=()()() ②的根，其中x x 12，为方程①的两个实数根。
求：代数式()11411
2a a a a a a
-++-÷·的值。
分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成
0122=--y y ，再利用根的定义得到122+=a a ，将代数式化简后，把122+=a a 整体代入即可求出代数
式的值。
（1）证明：
∵08484484)12(4)1(4
222
2>=+--++=-+-+=?k k k k k k k
∴对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。 （2）解：∵21，x x 是方程①的两个实数根
12，)1(2
∴22121-+=+=+k k x x k x x 1
)1(212)())((2
2)1(22∴222
21212121-=++--+=++-=--=-+=-+k k k k k k x x k x x k x k x k k k x x
∴方程②012为2
=--y y
∵a 是方程②的根，∴0122
=--a a
a
a a a a
a a a a a 1
·
14÷)11
(∴1
2，0≠1，0≠∴22-++-+=+
2142·)(4)112)](12(1[4)1)(1(1·41·)1(12
22
2222-
=-=-++-+=--+=-++-+=a a a a a a a a a a a a a a a a a a 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。
6. 已知关于x 的一元二次方程ax ax c 2
20++=的两个实数根之差的平方为m （1）试分别判断当a c a c ==-==
1322，与，时，m ≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a ，m ≥4总成立，求实数c 及m 的值。
解：（1）时，3，1当-==c a 原方程化为3，1，则032212
-===-+x x x x
∴416)]3(1[2
>=--=m
即4≥m 成立 当2，2==c a 时，原方程化为02422=+
+x x
由02×2×44
2
>-=?，可设方程的两根分别为21，x x
则2
2
，22121=
-=+x x x x
∴42244)()(21221221<-=-+=-=x x x x x x m
即4≥m 不成立
（2）设原方程两个实数根是21，x x 则a
c x x x x =
-=+2121，2 a
c
x x x x x x m 444)()(212
212
21-
=-+=-=
∵对于任意一个非零的实数a ，都有444≥-
a
c
4
，0∴04时，0当0
∴2==>=?==m c a c c
第2讲 根的判别式
【知识要点】 1.根的判别式：
关于x 的一元二次方程ax bx c a 2
00++=()≠ ?=-b ac 2
4
当?>0时，方程有两个不相等的实根 当?=0时，方程有两个相等的实根 当?<0时，方程无实根
【典型例题】
1. a ，b ，c 是三角形的三条边，
求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根
分析：此题需证出△＜0。已知条件中a ，b ，c 是三角形的三边，所以有a ＞0，b ＞0，c ＞0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。 证明：因为△＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2
＝[(b 2＋c 2－a 2)＋2bc][(b 2＋c 2－a 2)－2bc] ＝[(b ＋c)2－a 2][(b －c)2－a 2]
＝(b ＋c ＋a)(b ＋c －a)(b －c ＋a)(b －c －a)。 (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为b ＋c ＞a ，即b ＋c －a ＞0，
同理b －c ＋a ＞0，又c ＋a ＞b ，即b －c －a ＜0。
又a ＋b ＋c ＞0，所以△＝(b ＋c ＋a)(b ＋c －a)(b －c ＋a)(b －c －a)＜0。 所以，原方程没有实数根。
【经典习题】
c b a c
a bx x c a x 、、那么以有两个相等的实数根，的一元二次方程关于04
)(.12=-+
++为三边长的三角形是
（ ）
A. 以a 为斜边的直角三角形
B. 以c 为斜边的直角三角形
C. 以b 为底边的等腰三角形
D. 以c 为底边的等腰三角形 2. 已知关于x 的一元二次方程x k x k 22
114
10-++
+=() （1）k 取什么值时，方程有两个实数根。（2）如果方程的两个实数根x x 12，满足||x x 12=，求k 的值。 解：（1）032)14
1(
4)]1([2
2
≥-=+-+-=?k k k 解得2
3当∴，23≥≥
k k 时，方程有两个实数根 （2）∵21||x x =，分两种情况
①当211时，得0x x x =≥，∴方程有两个相等的实数根。
2
3
∴，
0∴==?k ②当0∴，
时，得02112=+-= ∴，矛盾2 3 知)1(，由1≥-=k k 2 3 ∴舍去 1∴= -=k k 3. 已知方程x k x k 22 2120+++-=()的两根的平方和为11，求k 的值。 解：设方程的两根为21，x x 则有2，) 12(22121-=+-=+k x x k x x 11 2)(∴11 ∵212 212 221=-+=+x x x x x x )1)(3(0320 64211 4214411)2(2)]12([22 2222=-+=-+=-+=+-++=--+-k k k k k k k k k k k 9 4)2(4 )12(∵1，3∴2 221+=--+=?=-=k k k k k ∴，舍去0时，3当?=k 。 ∴1=k 注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。 4．含有绝对值的一元二次方程 （1）. 方程x|x|－8|x|－4＝0的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 显然x ＝0不是方程的根。 当x ＜0时，x ｜x ｜－8｜x ｜－4＜0。 ∴x ＜0的任何实数不可能是方程的根。 当x ＞0时，方程为x 2－8x －4＝0。 此方程两根之积为－4＜0，可见两根为一正一负。又因x ＞0， 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A 。 （2）. 求方程x 2－|2x －1|－4＝0的实数根。 解：令012=-x 得2 1=x 显然2 1 =x 不是方程的解 当2 1>x 时，方程是04)12(2 =---x x 即1或3，解得0322 -===--x x x x x ＝－1舍去，∴x ＝3 当21< x 时，方程是04)21(2 =---x x 即，0522 =-+x x 解得6±1-=x 61+-=x 舍去，∴61--=x 故方程的实数根是61，321- -==x x 。 5．a ，b ，c ，d 为有理数，先规定一种新的运算：bc ad c d a b -=，那么 x x 45 2)1(-=18时，x= 。 6. 已知21,x x 是方程01942 =--x x 的两根，求代数式13523 1++x x 的值。 7.（广东广州，19，10分）已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求 4 )2(222 -+-b a ab 的值。 【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝2 40b a -=，可得出a 、b 之间的关系，然后将 4 )2(222 -+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的值． 【答案】解：∵)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=． ∵22 22222222244444)2(a ab b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+- ∵0a ≠，∴42 22==a b a ab 8.（四川乐山中考）若关于x 的一元二次方程012)2(22 2 =++--k x k x 有实数根βα、． （1） 求实数k 的取值范围； （2） 设k t β α+= ，求t 的最小值． （3） 解：（1）∵一元二次方程012)2(22 2 =++--k x k x 有实数根βα、， （4） ∴0≥?， ………………………………………………………………………2分 （5） 即0)12(4)2(42 2 ≥---k k ， （6） 解得2-≤k ．……………………………………………………………………4分 （7） （3）由根与系数的关系得：k k 24)]2(2[-=---=+βα， ………………… 6分 （8） ∴24 24-=-= += k k k k t β α， …………………………………………7分 （9） ∵2-≤k ，∴024 2<-≤-k ， （10） ∴224 4-<-≤-k ， （11） 即t 的最小值为－4． ………………………………………………………10分 9.（ 四川绵阳中考）已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2． （1）求m 的取值范围； （2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根， ∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤ 2 1 ． （2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根， ∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤ 21． 因而y 随m 的增大而减小，故当m =2 1 时，取得极小值1． 10.（ 湖北孝感中考）关于x 的一元二次方程12 01x p x x 有两实数根=-+-、.2x （1）求p 的取值范围；（4分） （2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.（6分） 【答案】解：（1）由题意得： .0)1(4)1(2≥---=?p …………2分 解得：4 5 ≤ p …………4分 （2）由9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x 得， .9)2)(2(2 22211=-+-+x x x x …………6分 . 1,1,01,01, 01,222211222121221-=--=-∴=-+-=-+-∴=-+-p x x p x x p x x p x x p x x x x 的两实数根是方程Θ .9)1(,9)12)(12(2=+=-+-+∴p p p 即 …………8分 .4,2-==∴p p 或 …………9分 .4,4 5 -=∴≤ p p p 的值为所求Θ …………10分 说明：1．可利用,1,12121x x x x -==+得 121x x -=代入原求值式中求解； 11.（山东淄博中考）已知关于x 的方程014)3(22 2 =--+--k k x k x ． （1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值； （3）若以方程014)3(22 2 =--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 x m y = 的图象上，求满足条件的m 的最小值． 【答案】解: （1）由题意得△＝()[]() 144322 2 --?---k k k ≥0 化简得 102+-k ≥0，解得k ≤5． （2）将1代入方程，整理得2 660k k -+=，解这个方程得 13k = ，23k = （3）设方程014)3(22 2=--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ， 根据题意得12m x x =．又由一元二次方程根与系数的关系得2 1241x x k k =--， 那么()52142 2 --=--=k k k m ，所以，当k ＝2时m 取得最小值－5 12.（广东茂名中考）已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值． 【答案】解：（1）0436)(14)6(42 2 2 2 >+=-??--=-k k ac b Θ，·················2分 因此方程有两个不相等的实数根．·································3分 （2）126 61 b x x a -+=- =-=Q ， ·····································4分 又12214x x +=Q ， 解方程组：1212 6,214,x x x x +=+=?? ? 解得：218.2, x x ==-???·····················5分 方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(2 2 =--?--k ，················6分 解得：4±=k ．·················································7分 方法二：将21x x 和代入12c x x a =，得：1822k -=?-，······················6分 解得：4±=k ．·················································7分 第3讲 根与系数的关系 【知识要点】 1. 根与系数关系 关于x 的一元二次方程ax bx c a 2 00++=()≠ 当?≥+=- =01212时，有，x x b a x x c a 推论1：如果方程的两个实数根是，，那么x px q x x x x p x x q 21212120++=+=-=,. 推论2：以为根的一元二次方程（二次项系数为）是：x x x x x x x x 122121210,()-++= 【典型例题】 1. 已知方程2++=x xm 2 30的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m 的值。 解：设方程的一个根为x ，另一根2x 由根系关系知：x x x x m +=-<> =<> ? ? ?????232 1222· 解得：x m =- =? ????121 ∴=m 1 2. 已知方程37302 x x -+=的两根x x x x 1212、()>不解方程，求x x 12+和x x 1222-的值。 解：由题设条件x x x x 12 12731 +==? ???? ()?-=+-=x x x x x x 12122 12 413 3 ()x x x x 121 2 2 += + = ++= += x x x x 121227 32393 ()()x x x x x x 12 22 1212 713 9 -=+-= 【经典习题】 一. 选择题。 1. 已知x =-3是关于x 的一元二次方程()k x kx -++=12302的一个根，则k 与另一根分别为（ ） A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2 2. 已知方程()() 34102x m xm ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 3. 若方程x x k 2 0++=有两负根，则k 的取值范围是（ ） A. k >0 B. k <0 C. k < 1 4 D. 014 <≤ k 4. 若方程x p x q 2 0++=的两根中，只有一个是0，那么（ ） A. p q ==0 B. p q ≠=00， C. p q =≠00， D. 不能确定 5. 方程x p x p 2 2 14 0-+-=的大根与小根之差等于（ ） A. ±1 B. 212 p - C. 1 D. 212p - 6. 以 -+--15215 2 ， 为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ） A. x x 2 10++= B. x x 2 10+-= C. x x 2 10-+= D. x x 2 10--= 二. 填空题。 7. 关于x 的一元二次方程() x m x m 22 210+++=的两根互为倒数，则m ＝________。 8. 已知一元二次方程a x b x c 2 0++=两根比2：3，则a ，b ，c 之间的关系是______。 9. 已知方程()x mx m m 2 1 3 40-+ +=的两根x x 12、，且()()x x 12 229--=，则m = ________。 10. 已知αβ、是方程2--=x x 2 520的两根，不解方程可得：αβ22+=________， 1 1 3 3 αβ+ =________， αβ-=________。 11. 已知 ()() αβαβ2 2 13112+=--=，，则以αβ、为根的一元二次方程是______ ________________________。 三. 解答题。 12. 已知方程23702 x x -+=的两根αβ、，求作以α βαβ++22、为两根的方程。 13. 设x x 12、是方程() x m x m 22 210-++=的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m 的值。 【试题答案】 一. 选择题。 1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B 二. 填空题。 7. ()[]214011211222 m m m m m m +-≥=??????≥-=±???? ??= 8. 设x t x t 1223==，，则 5662522t b a t c a b ac =-=?? ??????= 9. ()()()x x m x x m m x x 121212134229 +==+--=??? ? ?? ? ()?+-=1 3 425m m m ?--= m m 2 2150 ?=m 5或m =-3 m =5时，原方程△＜0，故舍去，m =-3 10. αβαβ+==-? ?? ??521 ()αβαβαβ2 2 2 22542334 +=+- =+= () () 111333 33αβαβαβ+=+ () ( )()[] = ++-=- +?? ? ??=- =-1 3522543185823 18 32 αβαβαβαβ ()()αβαβαβαβ-=-=+-=+=2 2 4 254441 2 11. ()()()αβαβαβαβαβ2222 131121312+=--=??????+=-++=?? ?? ? 由此αβαβαβ2213 1+=+=-??? ()()αβα βαβαβαβαβ αβαβαβ+=++=+-=-+?--=222 222 22 21321214120 ?=αβ6或α β=-2 ∴+==?? ?αβαβ56或αβαβ+=-=-???3 2 所求方程x x 2 560-+=或x x 2 320+-= 三. 解答题。 12. 解：由题意αβαβ+==? ? ??? ??3272 即()()() αβαβαβ+++=+=2239 2 ()() ( )()αβαβα β αβ αβαβ ++=++=++= +=22252927 282 2 2 故所求方程是x x 2 9 2 80-+=，即291602 x x -+= 13. 解：()[]?=-+-≥<>+=+<>=<>+=<> ??? ?? ?? ??21401212311342212122 12 m m x x m x x m x x 由<>+≥1410：m ∴≥- m 1 4 由<>+=431212：x x x x ∴+=2132 m m ()()∴--=-+=∴==- 3210 1310113 212m m m m m m ， Θm 21 3 =-不符合题意，m ≥- 1 4 舍去 ∴=m 1 第4讲 一元二次方程的应用 【知识要点】 1. 列一元二次方程解实际问题的步骤： （1） 设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。 （2） 列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。 （3） 解：解所列的一元二次方程。 （4） 验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。 （5） 答：根据题意，写出答案。 【典型例题】 1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg ，出油率为50%（即每100kg 花生可加工成花生油50kg ），现在 种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg ，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的1 2 ，求：新品种花生亩产量的增长率。 解：设新品种花生亩产量的增长率为x ， 则有132)2 1 1(·%50·)1(200=+ +x x 解得2.3，2.021-==x x （不合题意，舍去） 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。 注：对于增长率问题，解这类问题的公式是b x a n =+) 1(，其中，a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的 次数，b 为增长的量。 2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多 解：（1）设每件衬衫应降价x 元，则有 200301200 )220)(40(2 =+-=+-x x x x 解得20，1021==x x 根据题意，取x=20， ∴每件衬衫应降低20元。 （2）商场每天赢利 1250 )15(2260800) 220)(40(22 +--=-+=+-x x x x x 当15=x 时，商场赢利最多，共1250元 ∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。 【经典习题】 1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。 2．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的有多少人 3．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 【模拟试题】 （一）填空题 1. 一元二次方程()()3221222 x x x -+=+化为一般式后，a =___________，b =___________，c =___________。 2. 若方程x x m 2-=有两个实数根，则m 的值是___________。 3. 关于x 的一元二次方程kx x 2 610-+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________。 4. 关于x 的一元二次方程202 x x m ++=的一个根是1，另一个根是___________，m=___________。 5. 若x x 12、是方程24302 x x +-=的两个根，则()()x x 1211++=___________。 6. 已知两不等实数a 、b 满足条件271027102 2 a a b b -+=-+=，，则 11 a b +=___________ 7. 已知a 、b 是方程x x 2 270+-=的两个实数根，则a b b 2 2 34++=___________。 （二）解下列方程 1. ()211602 x --= 2. x x 2 890--= 3. ()()x x -=-1212 4. x x 2 520--= 5. x x ()+=760 （三）解答题 1. 已知关于x 的方程x m x m 222 30+-+ -=() ①求证无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根 ②若这个方程的两个实数根x x x x m 121222、满足+=+，求m 的值 2. 已知关于x 的方程x mx m 2 230-+=的两个实数根是x 1、x 2，且()x x 122 16-=，如果关于x 的另一个方程 x mx m 22690-+-=的两个实数根都在x 1和x 2之间，求m 的值。 第一次课后作业 【经典练习】 1. 已知x=-1是关于x 的方程0322=-+a ax x 的一个根，则a= 。 2. 若方程032)1(1 2=-+-+mx x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值。 3. 若035)1(1 2=-+++x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m= 。 4. 已知a ≠0，a ≠b ，x=1是方程0102 =-+bx ax 的一个解，则b a b a 222 2--的值是 。 5. 关于x 的一元二次方程043)2(2 22=-+++m x m x m 有一根为0，求3422+-m m 的值。 6．已知m 是方程0120082=+-x x 的一个不为零的根，求1 2008 200722++-m m m 的值。 7. 已知关于x 的方程0122=+-kx x 的一个根与方程411 2=-+x x 的根相等。 (1)求k 的值.(2)求方程0122=+-kx x 的另一个根. 8．已知x=1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则2 22n mn m ++的值为 。 9．已知方程02 =++a bx x 有一个根是-a （a ≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A ．ab B. b a +b 第二次课后作业 1.用配方法解方程：04722 =-+x x . 2.将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ） A. 4)1(22 --x B. 4)1(22 +-x C. 2)2(22 --x D. 2)2(22 +-x 3. 求证：不论m 取何值，9422+-m m 的值都不小于7. 4. 用配方法解一元二次方程0782=++x x ，则方程可变形为（ ） A ．9)4(2 =-x B. 9)4(2 =+x C. 16)8(2 =-x D. 57)8(2 =+x 5. 已知m 是方程0422=--x x 的一个根，则代数式2007632+-m m 的值是 。 6. 已知关于x 的方程0112)21(2 =-+--x k x k 有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围。 7. 已知βα,是关于x 的方程0)32(2 2 =+-+m x m x 的两个根，且 11 1 =+ β α ，求m 的值。 8. 在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8，则△ABC 的面积为 。 9. 已知21,x x 是方程0132=+-x x 的两根，求下列代数式的值。 )1)(1)(3(,) 2(,)1(212 1 122 221x x x x x x x x ++++； 10. 已知21,x x 是方程01942 =--x x 的两根，求代数式13523 1++x x 的值。 一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项 系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。 当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。 当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。 5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21，a c x x =21。 练习 一、选择题。（每小题5分，共30分） 1、方程2x －9＝0的解是 （ ） A 、x =3 B 、 x = -2 C 、x =4.5 D 、 3x =± 2、方程24x x =的解是（ ） Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x = D 、0x = 3、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A 、238x x =- B 、2510x x +=- C 、271470x x -+= D 、2753x x x -=-+ 4、用换元法解方程2221x x x x ????+-+= ? ?? ???，若设2y x x =+，则原方程可化为（ ） A 、210y y -+= B 、210y y ++= C 、210y y +-= D 、210y y --= 5、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、2009 6、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元， 九年级数学上册习题库（六） 杨成超 二次根式 1.已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2+3x+（m 2－4）=0有一个解是0，求m 的值。 2.已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程） 3.下列方程中的一元二次方程是( ) A.3(x+1)2=2(x －1) B. 2 1x +x 1 －2=0 C.ax 2+bx+c=0 D.x 2+2x=(x+1)(x －1) 4.已知关于x 的方程(m －3)7 2-m x －x=5是一元二次方程，求m 的值. 5将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( ) A. 3,2,－1 B. 3,－2,－1 C. 3,－2,1 D. －3,－2,1 6.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有___________. ①x 2＋2x ＋y ＝1 ②－5x 2＝0 ③2x 2－1=3x ④（m 2＋1）x ＋m 2＝6 ⑤3x 3－x ＝0 ⑥x 2+ 1 x －1=0 7.已知方程(m+2)x 2+(m+1)x －m=0，当m 满足__________时，它是一元一次方程；当m 满足___________时，它是二元一次方程. 8.把方程x(x+1)=4(x －1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项. 9.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程. 10．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A ）x 2－ 1 x =1 （B ）x 2+y=2 （C 22=2 （D ）x+5=（－7）2 12.方程3x 2=－4x 的一次项系数是（ ）． （A ）3 （B ）－4 （C ）0 （D ）4 13．把一元二次方程（x+2）（x －3）=4化成一般形式，得（ ）． （A ）x 2+x －10=0 （B ）x 2－x －6=4 （C ）x 2－x －10=0 （D ）x 2－x －6=0 14．一元二次方程3x 23－2=0的一次项系数是________，常数项是_________． 15．x=a 是方程x 2－6x+5=0的一个根，那么a 2－6a=_________． 一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）222 121212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则12 0x x ?>?? ??? -- 配方法解一元二次方程的教案 教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。 一、教学目标 （一）知识目标 1、理解求解一元二次方程的实质。 2、掌握解一元二次方程的配方法。 （二）能力目标 1、体会数学的转化思想。 2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。 （三）情感态度及价值观 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。 二、教学重点 配方法解一元二次方程的一般步骤 三、教学难点 具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。 四、知识考点 运用配方法解一元二次方程。 五、教学过程 （一）复习引入 1、复习： 解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 2、引入： 二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。 （二）新课探究 通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。 问题1： 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来， 具体解题步骤： 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2 列出方程：60x2=1500 x2=25 x=±5 因为x为棱长不能为负值，所以x=5 即：正方体的棱长为5dm。 1、用直接开平方法解一元二次方程 知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0. 一元二次方程知识点复习 知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是_____方程（2）只有___个未知数（一元）（3）未知数的最高次数是____（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习A ：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3= 1x ；④x 2-y=0； ④（x+1）2=x 2-1．一元二次方程的个数是. 2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k 是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______． 知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念 一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项，______为二次项系数，_______是一次项，_______为一次项系数，______为常数项。 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数 a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式 练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x -- 2、已知1a a +=求1a a -的值. 3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m=， 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是。 若942++kx x 是完全平方式，则k =。 知识点4．整体运算 练习D:1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解 练习E ：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_______________． 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程。 - 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值 一元二次方程测试题 一、 填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为和。 2、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。 3、用配方法解方程0642=--x x ，则___6___42 +=+-x x ，所以_______,21==x x 。 4、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。 5、当≥0时，一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式为。 6、如果21x x 、是方程06322=--x x 的两个根，那么21x x +=，21x x ?=。 7、若方程032=+-m x x 有两个相等的实数根，则m =，两个根分别为。 8、若方程0892=+-x kx 的一个根为1，则k =，另一个根为。 9、以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是。 10、关于x 的一元二次方程0322=+++m m x mx 有一个根为零，那m 的值等于。 二、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1、下列方程中，一元二次方程是（） （A ）221x x +（B ）bx ax +2（C ）()()121=+-x x （D ）052322=--y xy x 2、方程()()1132=-+x x 的解的情况是（） （A ）有两个不相等的实数根（B ）没有实数根 （C ）有两个相等的实数根（D ）有一个实数根 3、如果一元二次方程()012 =+++m x m x 的两个根是互为相反数，那么有（） （A ）m =0（B ）m =－1（C ）m =1（D ）以上结论都不对 4、已知21x x 、是方程122+=x x 的两个根，则2 111x x +的值为（） （A ）2 1-（B ）2（C ）21（D ）-2 5、不解方程，01322=-+x x 的两个根的符号为（） 解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 （因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 ， x 2=4. （配方法）解：x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. （公式法）解：x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±（ 即x 1=4 , x 2=-2. （“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法） 解：x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1 例2 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）. 解：(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2 九年级上册一元二次方程单元测试卷1 一、填空题（★写批注）姓名：日期： 1．（3分）一元二次方程2x2﹣13=7x的二次项系数为：，一次项系数为：．2．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于． 3．（3分）已知方程（x+a）（x﹣3）=0和方程x2﹣2x﹣3=0的解相同，则a=． 4．（3分）一元二次方程x2﹣x+4=0的解是． 5．（3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为．6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．7．（3分）关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=． 8．（3分）已知实数x满足=0，那么的值为． 9．（3分）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，则由题意可列方程为． 10．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为．11．（3分）已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为． 12．（3分）方程：y（y﹣5）=y﹣5的解为：． 13．（3分）在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）﹡1=0的解为． 二、选择题（★写批注） 14．（3分）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．7 15．（3分）若的值为0，则x的值是（） A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．2 D．﹣3 16．（3分）一元二次方程x2﹣1=0的根为（） A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1 17．（3分）将方程2x2﹣4x﹣3=0配方后所得的方程正确的是（） A．（2x﹣1）2=0 B．（2x﹣1）2=4 C．2（x﹣1）2=1 D．2（x﹣1）2=5 18．（3分）关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0第22题图 19．（3分）若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（） A．﹣1或B．1或C．1或D．1或 20．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1 21．（3分）如果方程x2+2x+m=0有两个同号的实数根，m的取值范围是（） A．m＜1 B．0＜m≤1C．0≤m＜1 D．m＞0 22．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m ﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 23．（3分）若方程（m﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m=0 B．m≠1C．m≥0且m≠1D．m为任意实数 24．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE 的长度为（） 解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2 中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： 编号：954555300022221782598333158 学校：战神市白虎镇禳灾村小学* 教师：战虎禳* 班级：战神参班* 专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0； (3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0. 3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)． 4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0； (3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； (2)5(x －3)2＝x 2－9； (3)t 2－ 22t ＋18 ＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12 . 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝±5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13 .∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516 .直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12 ，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3 ＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.x ＝－3±412×4 ＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418. (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224. 一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23 ==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可. 试题解析：因式分解，得 2212x x 3-=-（）（） 开平方，得 12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124x x 23 ==-， 2．已知关于x 的一元二次方程()2204 m mx m x -++ =. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解. 【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134 x +=， 234 x = . 【解析】 【分析】 （1）方程有两个不相等的实数根，>0?，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0； （2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】 （1）由题意得：24b ac ?=- =()2 2404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根. （2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x = ，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键. 3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴 影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ? 【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】 根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】 解:设绿化区宽为y ，则由题意得 502302x y -=-. 即10y x =- 列方程: 50304(10)1344x x ?--= 解得13x =- (舍)，213x =. ∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】 本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心． 4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】 （1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解, （3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】 解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱, 设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得： 22．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2． 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2． 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm ，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： 问题2．一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多2m ， 苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2 中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x 2-36=0的解，问题2中，x=10是x 2+2x-120=0的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 108 一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】 把方程ax2+c＝0(a≠0)， 这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 例：用直接开平方法解方程： 1．9x2-25＝0； 2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3)． 解：1．9x2-25＝0 9x2＝25 2．(3x+2)2-4＝0 (3x+2)2＝4 3x+2＝±2 3x＝-2±2 ∴x1＝x2＝3． 4．(2x+3)2＝3(4x+3) 4x2+12x+9＝12x+9 4x2＝0 ∴x1＝x＝0． 【配方法解一元二次方程】 将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如 x2+ 例：用配方法解下列方程： 1．x2-4x-3＝0；2．6x2+x＝35； 3．4x2+4x+1＝7；4．2x2-3x-3＝0． 解：1．x2-4x-3＝0 x2-4x＝3 x2-4x+4＝3+4 (x-2)2＝7 2．6x2+x＝35 3．4x2+4x+1＝7 4．2x2-3x-3＝0 【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a 广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。 例：用公式法解一元二次方程： 2．2x2+7x-4＝0； 4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)． 2．2x2+7x-4＝0 ∵a＝2，b＝7，c＝-4． b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝81 练习一 一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2 +x=1 B.2x 2 -x-12=12； C.2(x 2 -1)=3(x-1) D.2(x 2 +1)=x+2 2.下列方程:①x 2 =0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32 x -32x x -8x+ 1=0 中, 一元二次方程的个数是( ) A.1个 B2个 C.3个 D.4个 3.把方程（+(2x-1)2 =0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2 -4x-4=0 B.x 2 -5=0C.5x 2 -2x+1=0 D.5x 2 -4x+6=0 4.方程x 2 =6x 的根是( ) A.x 1=0,x 2=-6 B.x 1=0,x 2=6 C.x=6 D.x=0 5.方2x 2 -3x+1=0经为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A.23162x ? ?-= ?? ?; B.2312416x ??-= ???; C.2 31416x ??-= ???; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x 2 =2x-1 B.4x 2 +4x+ 54 2 0x -= D.(x+2)(x-3)==-5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2 =1000 B.200+20032x=1000 C.200+20033x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2 ]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分) 9.方程 2(1)5 322 x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 10.关于x 的一元二次方程x 2 +bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 12.如果2x 2 +1与4x 2 -2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2 +6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 14.如果关于x 的方程4mx 2 -mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______. 中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m人教版九年级上册数学一元二次方程知识点归纳及练习(供参考)
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