1.6 微积分基本定理 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

1、能说出微积分基本定理。

2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

3、能掌握微积分基本定理的应用。

4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。

2. 教学重点/难点

教学重点：

通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

教学难点：

微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。

3. 教学用具

多媒体、板书

4. 标签

教学过程

一、复习引入

【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题:

1. 我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？

2. 如何求曲线下方的面积？

3. 用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法

【板书】

用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：

二、新知介绍

【1】微积分基本定理

【师】同学们刚刚接触到积分，那么大家通过阅读课本来找出什么是微积分基本定理呢？

【生】讨论回答

【师】

【板书】

【板演/PPT】

例1：计算下列定积分？

【师】同学们在练习本上先试着算一下，看看能不能计算出这两个定积分的值？

【生】思考讨论

【师】请大家注意，一定要按照定积分基本定理来做呢？（然后，演板）

2、知识探究

（1）微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意

（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。

（3）定积分的值可以是任意实数。

例2：计算定积分

【师】同学们根据向量基本定理然后仔细的想一下，计算出结果

【生】思考讨论

【师】请大家注意，一定要按照向量的定义来做哦。（然后，演板）

3、分段函数与复合函数

【师】

（1）当被积函数是分段函数或绝对值函数时，该如何处理呢？

（2）当被积函数是复合函数应如何积分？

【生】讨论回答

【师】大家仔细阅读课本，找出相关的思路方法。

【板演/PPT】

例3：计算下列定积分

【师】同学们认真仔细的计算上面三个定积分的值

【生】思考讨论演算

【师】请大家注意，一定要按照定积分的基本定理来计算哦。（然后，提问）

4、知识探究

（1）在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间(a,b)上的积分分成败仗积分和的形式。

分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分即可。

（2）当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解与复合函数的求导区分开来。

5、微积分基本定理的应用

解决定积分中含参数的问题，要以积分为媒介结合积分的计算，列出方程组或函数关系式，然后通过解方程组或利用函数性质来解决。

【板书/PPT】

例4：

【师】同学们仔细思考

【生】思考讨论

【师】请大家注意，认真找出答案。（然后，提问）

三、复习总结和作业布置

课堂练习

计算下列各定积分的值：

课堂练习【参考答案】

课堂小结

【师】刚才我们讲了微积分基本定理，以及利用微积分定理来进行简单的定积分计算，大家一定要认真的练习今天所学习的东西。

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

板书

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

2.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法

二、微积分基本定理

三、注意问题

分段函数与复合函数求积分时注意事项。

四、课堂小结

27.3垂径定理教案

27.3(1) 垂径定理 崇明县三乐学校秦健 一、教学内容分析 学情分析：学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系。（即“四等定理”）本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明； 教材分析：垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性. 二、教学目标 1、经历垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理； 2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 3、能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 三、教学重点及难点 重点：掌握垂径定理的内容并初步学会运用. 难点：垂径定理的探索和证明. 四、教学过程 （一）情景引入 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）说明：通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣

52D C B A O 1、观察与思考： 圆是怎样的对称图形？对称轴与对称中心分别是什么？ （二）学习新课 1、思考 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为 M ，则图中有哪些相等的线段和弧？(半圆除外）为什么？ （学生观察，猜想，并得出以下结论） ①CO=DO （同圆的半径相等） ②AM=BM,弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC （如何证明？） （学生讨论，并得出推导过程，教师板书） 联结OA 、OB ，则OA=OB. ∵ AB ⊥CD, ∴ AM=BM （等腰三角形三线合一）, ∠AOD=∠BOD, ∴ 弧AD=弧BD （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. ∵ ∠AOC=∠BOC, ∴ 弧AC=弧BC. 2、定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧. 结合图形写成符号语言： ∵直径CD ⊥弦AB ，垂足为M ∴ AM=BM ∴ 弧AD=弧BD （同圆中，相等的 圆心角所对的弧相等）. 弧AC=弧BC. 3、抢答题：如图：已知⊙O 的半径OC 垂直于弦AB,垂足为点D ， AD 长2厘米，弧AB 长5厘米，则AB= 弧 AC= . 4、例题分析 例1、 已知：如图，以点O 为圆心的两个圆中， 大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 两点，

苏教版高中数学必修五正弦定理教案

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 （1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________． 三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为 ＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c

湘教版九年级数学下册 垂径定理教案

《垂径定理》教案 教学目标 知识与技能 1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证. 2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算. 过程与方法 在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力. 情感态度 通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点 垂径定理及运用. 教学难点 用垂径定理解决实际问题. 教学过程 一、情境导入，初步认识 教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下: ①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ ②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？ (在纸片上对折操作) 【教学说明】 (1)是轴对称图形，对称轴是直线CD. (2)AM=BM，AC BC AD BD ，. == 二、思考探究，获取新知 探究1垂径定理及其推论的证明. 1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程. 已知:直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M. 求证:AM=BM，AC BC AD BD ， == 【教学说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由⊙O关于直线CD对称，可得AC BC AD BD ，. == 2.得出垂径定理:

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.学生讨论写出已知、求证，并说明. 学生回答: 【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O)，CD为⊙O的直径，AB交CD 于点M，MA=MB. 示证:CD⊥AB，AC BC AD BD ，. == 证明:在△OAB中，∵OA=OB，MA=MB，∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径，∴ == ，. AC BC AD BD 4.同学讨论回答，如果条件中，AB为任意一条弦，上面的结论还成立吗？ 学生回答: 【教学说明】当AB为⊙O的直径时，直径CD与直径AB一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直. 探究2垂径定理在计算方面的应用. 例1如课本图，弦AB=8cm，CD是圆O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求圆O的直径CD的长. 例2已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB与CD间的距离. 解:(1)当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连OA、 OC.∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中，AM=5cm，OM12cm.在 Rt△OCN中，CN=12cm，ON5cm.∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，由(1)可知OM= 12cm，ON=5cm，MN=OM+ ON，∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm. 【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去. 2.AB、CD与点O的位置关系没有说明，应分两种情况:AB、CD在O点的同侧和AB、CD 在O点的两侧. 探究3与垂径定理有关的证明. 例3证明：圆的两条平行线所夹的弧相等.已知：如课本图，在圆O中，弦AB与弦CD平行.证明：弧AC等于弧BD.

《正弦定理》教学设计方案

探寻提出特例猜想：回顾直角三角形中边角关系.如图： 引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流，在教师引导 下得出：利用c边相同， 寻求形式的和谐统一，即： 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问： 思考：在斜三角中，上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示：正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D，有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法

作CD AB于D，有 综上： （１）正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美； （２）解三角形：一般地，我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. （３）思考：直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形？ 学生在教师引导下充 分理解正弦定理，掌握正 弦定理的结构特征，启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题． 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值， 挖掘 正弦 定理 的应 用（１）正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题． 例１： 例１由学生给出条件 结合两道例题，引导学生 总结：(1)已知两角一边， 进一

（２）正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题.. 例2：解三角形，解的情况唯一；步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练： 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.

正弦定理教案

课题：§2.1.1正弦定理 教学目标： 1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本：北师大必修5 教学课时：1 教学过程： 一、新课引入： 如左图，在ABC Rt ?中，有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===， 所以在ABC Rt ?中有：c C c B b A a ===sin sin sin 思考：在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢，这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图，无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中，c B b B b ==sin sin '， c

C 是ABC Rt ?，C AB ' ?外接圆的直径。所以对任意ABC ?，均有R C c B b A a 2s i n s i n s i n ===(R 为ABC ?外接圆的半径) 这就是我们这节课所探讨的内容：正弦定理 二、新课讲解 (一)正弦定理及变形： R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变形：⑴C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ⑵R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === ⑶C B c b C A c a B A b a sin :sin :,sin :sin :,sin :sin :=== (二)定理应用 例1、在△ABC 中，BC ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求AC ，AB,c 解：【分析】 由三角形内角和定理得 B A C --=0180 由正弦定理A BC B AC C AB sin sin sin = = 得A B BC AC sin sin = ,A C BC AB sin sin = 【点评】：已知两角一边，通过正弦定理求剩下的三个量：两边一角。 例2、已知：△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 及c. 解：【分析】 根据正弦定理，得 sin A ＝asin B b ＝3sin 45°2 ＝32， ∵b

《高等数学教程》第十一章重积分习题参考答案

《高等数学教程》第十一章 重积分 习题参考答案 习题11－1 1.(,)D Q x y d μσ=??. 3.(1)0; (2)0; (3)124I =I 4.(1)12I ≥I ; (2) 12I ≤I ; (3)12I ≥I ; (4) 12I ≤I . 5.(1)02≤I ≤; (2)20π≤I ≤; (3)28≤I ≤; (4)36100ππ≤I ≤. 习题11－2(A) 1. (1)4 0(,)x dx f x y dy ?? 或240 4 (,)y y dy f x y dx ??； (2)122 20 1 2 2 (,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy +????或2122 1 2 2 (,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx +????； (3)2 2 4 (,)x x f x y dy -?或240 2 (,)(,)dy f x y dx dy f x y dx +??. 2. (1)4 2 (,)x dx f x y dy ??; (2) 10 1(,)y dy f x y dx ?? ; (3)1 10 2(,)y dy f x y dx -?? ; (4) 1 (,)y e e dy f x y dx ? ?. 3. (1) 203; (2)32π-; (3)655; (4)64 15; (5)1e e -- 4. (1)92； (2)211 22e e -+. 5. 335. 6. (1)20 (cos ,sin )b a d f r r rdr π θθθ??； (2)2cos 20 2 (cos ,sin )d f r r rdr π θ πθθθ- -?? ; (3)1 (cos sin )20 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθθθ-+?? ; (4)3sec tan cot 44 4 (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr π πθθ θ πθθθθθθ+++?? ??

垂径定理学案、教学设计

24.1.2垂直于弦的直径导学案 广水市实验中学张运才 【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题． 【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明． 【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 【学习过程】 【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题： （一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？ （二）自主探究：先自主探究，后小组交流。 探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ 我发现： （1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆． （2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴． 探究二：请同学们按下面的步骤做一做： 第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD； 第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足； 第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ （2）你能用一句话概括上述结论吗？ （3）请作出图形并用符号语言表述这个结论． 练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？ 【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论： （1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ （2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ 思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 推论： 如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？ 发现：

高中数学 第二章 正弦定理教学设计 北师大版必修5

《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。 二、学情分析 对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 三、设计思想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造

微积分基本定理导学案

微积分基本定理导学案 【学习要求】 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分． 【学法指导】 微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 【知识要点】 1．微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上可积，并且_________，那么?b a f(x)d x ＝． 2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则 （1）当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?b a f(x)d x＝． （2）当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?b a f(x)d x＝_______． （3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?b a f(x)d x＝，若S上＝S下，则?b a f(x)d x＝. 【问题探究】 探究点一微积分基本定理 问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？ 问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)? 例1计算下列定积分：

（1）?211x d x ； （2）?31(2x －1x 2)d x ； （3）?0－π(cos x －e x )d x . 跟踪训练1 计算下列定积分： （1）?1025x 4d x ； （2）?31(x ＋1x )26x d x . 探究点二 分段函数的定积分 例2 已知函数f (x )＝????? sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4. 先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分． 跟踪训练2 （1）设f (x )＝????? x 2， x ≤0，cos x －1， x >0， 求?1－1f (x )d x ； （2）求?a －a x 2d x (a >0)． 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：?π0sin x d x ，?2ππsin x d x ，?2π0 sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论． 跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54 π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)． 【当堂检测】 1． (1＋cos x )d x 等于 ( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋2 2．若?a 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，则a 的值是 ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．?20(x 2－23x )d x ＝_______ 4．已知f (x )＝??? 4x －2π，0≤x ≤π2， cos x ，π2

《正弦定理》教学设计

《正弦定理》教学设计 一、教材分析 正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。 二、学情分析 本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。 三、教学目标： 1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。 2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜想，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之

间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。 四、教学重点与难点： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点： ①正弦定理的证明； ②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。 五、学法与教法 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C = = ， 接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖，培养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。 教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式 （1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。 （2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。 （3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。 （4）巩固练习——深化对正弦定理的理解。 六、教学过程 创设问题情境：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出两点间A 、C 的距离55m ，∠ACB=600，∠BAC=450求A 、B 两点间的距离。 引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法． 启发学生发现问题实质是：已知△ABC 中∠A 、∠C 和AC 长度，求AB 距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边． B C A

微积分基本定理教案

1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故

九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案

3.3垂径定理;; 一、教学目标;; 1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 四、教学难点 运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 五、教学过程 （一）导入新课 引导学生说出点与圆的位置关系： （二）讲授新课 活动内容1： 探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径 1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. ２.连接圆上任意两点的线段叫做弦. ３.经过圆心的弦叫做直径 探究2： AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

小明发现图中有: 理由： 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 和重合和重合 AC BC,AD BD. ∴== AC BC,AD BD. 活动2：探究归纳 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

（三）重难点精讲 例1.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求 AB. 证明：连接OA ， ∵ CD = 20，∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中，直径CD ⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形. 在Rt △OMA 中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得：2 22AO OM AM =+， AM 8===， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16. 例2.如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？

《正弦定理》教案

《正弦定理》教学设计 一、教学目标分析 1、知识与技能：通过对锐角三角形中边与角的关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。 2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理，使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。 3、情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，发现并证明正弦定理。从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。 二、教学重点、难点分析 重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。 难点：①正弦定理的发现与证明过程；②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。 三、教法与学法分析 本节课是教材第一章《解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。 四、学情分析 对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法——向量法，本节课没有涉及到。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 五、教学工具 多媒体课件 六、教学过程 创设情境，导入新课

微积分基本教程48502

微积分教程 微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分的基本介绍 微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分的本质 【参考文献】刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》，长沙：湖南科学技术出版社，2009 1．用文字表述： 增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。 2．用式子表示：

高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

垂径定理教学设计

垂径定理（第一课时）教学设计 兰甲明 【教学内容】§7．3垂径定理（初三《几何》课本P 76~P 78） 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以 升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被 誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁 界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4 米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 半径（即AB 所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1） ⌒

二、尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图2(a)，弦AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图2(b)，将弦AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分各叫什么？ ③在图2(b)中，若将⊙O 沿直径AB 对折，两部分是否重合？ (a) (b) (a) (b) (c) （图2） （图3） 2．实验验证： 让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3．运动变换： ①如图3(a)，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB ⊥CD 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？ ③如图3(c)，当AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？ 4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想—— （板书） ?????===????⊥BD AD BC AC BD AE CD E AB,CD O 垂足为弦的直径是圆 5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究，证明定理 1．引导证明： 猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。 B B B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒