21.2二次根式的乘除(第1课时)
二次根式的乘除（1）
桂平市南木四中 邓启辉
【教学目标】
一、知识与技能：1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；2．会进行简单的二次根式的乘法运算。
二、过程与方法：经历观察、比较、总结和应用等数学活动，进一步了解数学知识之间是相互联系的，使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题。
三、情感态度与价值观：培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。
【教学重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算。
【教学难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用。
【教学方法】观察发现，归纳概括
【教学准备】多媒体课件
【教学过程】
活动1：探索发现：观察下面的例子：
6
32946
3694=?=?==?于是可得到：9494?=? 又如：;4
554125161,45162525161=?=?==?类似地可以得到：
2516
125161?=? 师生行为：请学生自己计算出结果,并力争独立发现规律。 由上面的特殊例子引导学生得出：
ab b a =?(a ≥0，b ≥0) 设计意图：使学生了解到探索规律一般都是从特殊到一般。
活动2：新知应用
例1 计算:（1）3×7,（2）51×125;
师生行为：与学生一起应用ab b a =
? (a ≥0，b ≥0)计算二次根式乘法，学生自我检验二次根式乘法的掌握情况。
练习1.计算:（1）2×21;（2）3×12.
2.课本Ｐ7练习1
注意：运算的结果，应该尽量化简.
设计意图：使学生初步掌握如何计算二次根式乘法。
活动3：举一反三
问题:把ab b a =?反过来,就得到ab b a =?利用它,就可以将二次根式 化简. (今后题中若不说明
a 中的a ≥0.) 例2 化简:（1）8136? （2）329
b a (a ≥0,b ≥0).
练习：2.课本P8练习2
师生行为：注意公式的逆用,经常会帮助我们解决很多问题，与学生一起写全步骤。 设计意图：使学生进一步记住化简是将能够开方的部分从根号中开出来.
活动4：比一比谁最强
1.化简:（1）
612?；（2）15432? （3）ab a 216?. 2.化简:（1）12149?；（2）289；（3）28y ；（4）4364z xy .
3.一个矩形的长和宽分别是10cm 和cm 22，求这个矩形的面积.
师生行为：学生独自做,然后小组作答案,并使他们记录下自己的错误之处,以便下边交流， 学生自己写出过程和答案,在集体交流。
设计意图：使学生亲身经历二次根式的化简过程,找出自己还不太理解的知识点，再给上题出现错误的学生一次改正的机会,使他们对自己充满信心,坚信自己一定能学好。
活动5：总结收获 1.ab b a =?(a ≥0，b ≥0)的正反两方向在计算和化简中的应用；
2.注意,运算的结果，应该尽量化到最简形式.
师生行为：请学生小组交流本节课的收获和体会,并记录在笔记本上,再由小组代表分别说出本组的收获,比一比哪一组说得好.
设计意图：充分调动学生的学习积极性和爱护集体的心理,促使人人发言,人人有收获.
课堂作业: 课本P12复习巩固1、3、4
1．计算:(1)57?；(2)273
1?；(3)155?；(4)8423?. 2.化简：(1)3227y x ；(2)
ab a 183
2?. 3.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积.
(完整版)二次根式乘除法练习题
12．6二次根式的乘除法 知识回顾:： 1、（1） 94?= = ； 9 4?= = ； （2）169?= = ； 16 9?= = ； （3）b a ? ab （a ≥0，b ≥0）． 2、（1） = 949=_________；（2） = 81 4=_________;（3） = b a （a ≥0， b ＞0）． 目标解读:： 1.理解并掌握二次根式乘法和除法法则，并会进行简单的二次根式的乘除法运算. 2.理解最简二次根式的意义及条件，把所给的二次根式化为最简二次根式. 3.理解分母有理化的意义，并会进行分母有理化. 基础训练: 一、选择题 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） 2. == ==，以下判断正确的是（ ） Ａ．甲的解法正确，乙的解法不正确 Ｂ．甲的解法不正确，乙的解法正确 Ｃ．甲、乙的解法都正确 Ｄ．甲、乙的解法都不正确 3. 已知 a b ==的值为（ ） Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．3 Ｄ．4 4. = ） Ａ．1x <且0x ≠ Ｂ．0x >且1x ≠ Ｃ．01x <≤ Ｄ．01x << 5. =x y ，满足的条件为（ ）
Ａ． x y ? ? < ? ≥ Ｂ． x y ? ? > ? ≤ Ｃ． x y ? ? < ? ≤ Ｄ． x y ? ? > ? ≥ 6. ；结果为（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7. 给出下列四道算式： （1 ）4 =-（2 ） 1 1 4 =（3 ）=（4 ） ) a b => 其中正确的算式是（） Ａ．（1）（3）Ｂ．（2）（4）Ｃ．（1）（4）Ｄ．（2）（3） 8. ） Ａ．- Ｂ． Ｃ．±Ｄ．30 9. 下列各组二次根式中，同类二次根式是（） ， Ｂ． Ｄ ． ，10. 下列各式中不成立的是（） 2x = 32 == 54 1 99 =-=- Ｄ．4 = 11. 下列各式中化简正确的是（） ab = = 1 3 2 = b = 12. 给出四个算式： （1 ）=2 ）=3 ）6 =（4）
二次根式计算乘除法化简
二次根式乘除法 1·一般地，对于二次根式的乘法有：=?b a 2·化简：（1 ；（2= 3·计算：=?y xy 82 ，=?2712 = 2b a 2 ·a b 8= 4·对于b a b a ?= ?成立的条件是 5·下列计算正确的是（ ）A 、563224=? B 、653525=? 6C 、363332=? D 、15153553=? 7用含a,b ,则下列表示正确的是( ) (A)0.3ab. (B)3ab. (C)0.1ab 2. (D)0.1a 2b. 8·对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+ B. a b =+ C. 22 a b =+ D. a b =+ 9·计算：（1 ()2
()(() 30,0a b -≥≥ （4） 10·如果 )3(3-?=-?x x x x ，那么x 的取值围是（ ） A 、x 0≥ B 、3≥x C 、03≤≤x D 、x 为一切实数 11·下列计算正确的是（ ） A 、2122423=? B 、632)3(323 2=?-=- C 、 259)25()9(-?-=-?-)3(-=15)5(=-? D 、 5)1213)(1213(12132 2=-+=- 12·若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3 cm 。 13·下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 14·化简：7 7 7-= ； =>>÷)0,0(43b a a b a 15·下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a
二次根式乘除
二次根式乘除目标学案 年级： 九年级 学科： 数学 执笔：朱乘方 内容： 二次根式乘除 课型： 新授 时间： 学习目标： 1、经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则 2、能运用二次根式的乘法法则：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）进行乘法运算 3、理解积的算术平方根的意义，会用公式ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）化简二次根式 学习重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质 学习难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用 一、学前准备：1、什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质? 计算：（1 ； （3二、探究活动： 1、独立思考·解决问题 （1）、请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？ （2）、概括：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。 （式子表示） 反过来是否成立呢？写出积的算术平方根性质 （式子表示） 2、合作探究·释疑解难 例1、计算 3·5 31 ·27 练习：教材P8 1 例2、化简 ⑴8116? ⑵324b a 练习：教材P8 2 思考：积的算术平方根性质的作用 例3、（1）714? （2）10253 ? （3 ）xy x 3 13 ? 运用了哪些知识点？ 练习教材P8 3 三、学习体会：1、二次根式的乘法法则是什么？用语言叙述。 2、如何进行二次根式的化简？ 四、目标测试： 1化简：（1 （ 2（3 （4 （5 （6 （7 （8 ） （9（10 （0a ≥ 0b ≥） （11）2·32 （12）2257 （13）21·8 （14）a 2·a 8（a ≥0） （15）714?； （16）10253? （17）)521(154-?-； （18）12322?? （19）b a 10253?； （20）xy x 11010-?； 五、考点一角： 1、计算：⑴ xy ·y x 3·2xy ⑵18 ·24 ·27（3 2 =x 的取值范围。 3、已知等腰三角形的腰为，底边为，求这个等腰三角形的面积 教学反思（学生学习心得）
二次根式的乘除(第1课时)教案
二次根式的乘除教案 第一课时 教学内容 a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），反之ab =a b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 教学目标 a b ab a ≥0，b ≥0）ab a b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简 a b ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；?ab a b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 a b ab a ≥0，b ≥0）ab a b a ≥0，b ≥0）及它们的运用． a b ab a ≥0，b ≥0）． 关键：要讲清ab （a<0,b<0）=a b g ，如(2)(3)-?-=(2)(3)--?--或(2)(3)-?-23?23 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （14949?=______； （21625=_______1625?． （31003610036?． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×3610036? 2．利用计算器计算填空 （1236，（22510 （35630（44520，
（5）7×10______70． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1．计算 （1）5×7 （2）1 3×9 （3）9×27 （4）12×6 分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可． 解：（1）5×7=35 （2）1 3×9=1 93?=3 （3）9×27=292793?=?=93 （4）12×6=1 62?=3 例2 化简 （1）916? （2）1681? （3）81100? （4）229x y （5）54 分析：利用ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）直接化简即可． 解：（1）916?=9×16=3×4=12 （2）1681?=16×81=4×9=36 （3）81100?=81×100=9×10=90 （4229x y 2322x y 232x 2y
二次根式乘除法练习题63617
二次根式乘除法练习 题63617
二次根式的乘除法练习题 一、选择题 1．下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．8 B ．12+x C ．3y D ．2 1 2==== ） A ．①②③④ B ．①② C ．3y ③④ D ．①②③ 3．下列各式中不成立的是（ ） 2x = 32= 54199=-=- Ｄ．4= 4. 当x ≤2时，下列等式成立的是（ ） A ．2)2(2-=-x x ． B ．3)3(2-=-x x ． C ．x x x x -?-=--32)3)(2(． D ．x x x x --=--2323． 5 ．有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，算一算，能放入的细木条的最大长度是( ) A 、cm 41 B 、cm 34 C 、cm 25 D 、cm 35 二、填空题 6. 2.449== （精确到0.01）． 7．若｜a －21｜+(b +1)2=0，则a 3×b -2÷ab -的值是 ． 8= ，计算：= ． 9=x y ，满足的条件为 ．
10．把根号外的因式移到根号内:当b ＞0时，x x b ＝ ；a a --11)1(＝ ． 三、解答题 11．计算：（1）12506?÷ （2）641449169? 12．计算：（1） 11904032÷ （2）42623x x x ?? 13 ．若x ,y 为实数，且134124312+-++-+= x x x x y ，求2x xy x y ++的值． 四、中考链接 14 ．(2008 湖北省鄂州市) 已知 211a a a --=，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．0a < C ．01a <≤ D ．0a > 15 . (2008 广东省广州市) 实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示． 化简222()a b a b -+-． 1 1
(完整word版)二次根式乘除计算练习
二次根式乘除计算练习 一．选择题（共7小题） 1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A． B． C．D． 2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②?=1，③÷=﹣b，其中正确的是（） A．①②B．②③C．①③D．①②③ 3．下列等式不一定成立的是（） A．=（b≠0）B．a3?a﹣5=（a≠0） C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a6 4．使式子成立的条件是（） A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5 5．若，且x+y=5，则x的取值范围是（） A．x＞B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7 6．下列计算正确的是（） A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5?2a3=6a6 7．化简的结果是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题） 8．若和都是最简二次根式，则m=，n=． 三．解答题（共32小题） 9．．
10．（1）÷3×5； （2）﹙﹣﹚÷（）． 11．． 12．2×÷5． 13．计算：． 14．（1） （2） （3）． 15．（1）化简：?（﹣4）÷ （2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值． 16．计算：2×． 17．计算：（2+4）× 18．． 19．计算：2÷?． 20．计算：4÷（﹣）×． 21．（1）计算：?（÷）； （2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值． 22．． 23．计算：（）2﹣（2016）0+（）﹣1． 24．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．25．计算：． 26．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”，
16.2二次根式的乘除(1)
第十六章二次根式 16.2二次根式的乘除（1） 一.教学目标： 1知识与技能： 理解,a ? . b =、、ab （a> 0, b> 0）， -, ?、一b，并利用它们进行计算和化简. 由具体数据，发现规律，导出二?、、b = Ob （a>0, b>0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出,ab=^a ? ,b并运用它进行解题和化简. 2.过程与方法 复习引入，通过探究特殊练习，总结归纳一般规律，二次根式乘法法则二?、. b —药（a>0， b>0），再进行逆向思维得庙=品?屈最后通过讲练结合,掌握二次根式乘法计算与化简。 J 3.情感态度价值观： 发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，创设研究式与合作交流的的学习气氛 4.教学重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 5..教学难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 6.考点分析：重点考查二次根式计算与化简，以及混合运算根式的化简计算。 二、教学目标依据 1、课程标准要求：了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算 2、教材分析本节内容“二次根式的乘除”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本节主要学习二次根 式乘法运算，并且使学生熟练掌握二次根式的乘法运算和化简二次根式的常用方法，在教学中由特殊到一般的归纳出二次根式的乘法法则。在探究中，学生通过计算发现规律，然后对新发现的规律进行验证，若把二次根
式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质，利用这条性质可对二次根式进行化简，他们是互逆的。本节是二次根式相关内容的发展，又是后面运算的基础，本节起到承上启下的作用。 3、学情分析 在本节之前学生已经学过二次根式的性质，本节的内容其实就是二次根式性质的逆用，如果单纯的采用讲授、练习的方式会让学生感到枯燥、乏味，失去兴趣。因此，教师要设法让学生喜欢上这节课，才能很好的完成本节的教学内容。所以，在设计本节课的教学内容时，我采用让学生先复习二次根式的有关知识，让学生通过自学找到规律，然后利用规律解决问题，在解决问题的过程中发现二次根式的乘法运算法则，教师作为引路人，让学生通过自主、合作、交流，练习等操作，掌握理解计算的方法。个别学生需进行个性化指导。 5■专家建议： 通过复习平方根算术平方根的意义，过度认识二次根式，在通过做一做讲讲学习运用二次根式的非负性解决实际问题。 6、教学方法 复习引入一一新知讲授一一巩固总结一一练习提高 7、教学教具 白板，课件。 三、学习过程： 一)、复习引入 1.计算： (1) 扬八'9=__6 _________ ，汉9 二______
二次根式的乘除运算讲解及练习
21．2 二次根式的乘除 第一课时 1．填空 （1）4×9=_______，49?=______； （2）16×25=_______，1625?=________． （3）100×36=________，10036?=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×36________10036? 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1、计算 （1）5×7 （2）1273? （3）12155? 例2、化简 （1）916? （2）1681? （3） 229x y （4）54 （5）2312a b （6）8 例3 、计算： （3）133 x xy （4）2013201432)(32)+ （5）2332848x y x y （62418例4、2111x x x -+-x 的取值范围是________________。
课堂练习： 练习1、计算 ①2×8 ②36×210 ③5a ·15 ay (2) 化简: 20; 18; 24; 54; 180 ;2212a b 练习2、计算 练习3．计算： 练习4、长方形的长和宽分别是a,b,根据下列条件求面积S （1） 8,12a b ==(2) 250,324a b ==练习5223 123m m m m +-=--+m 的取值范围是_____________。
21．2 二次根式的乘除 1．填空 （1 ；（2=________； =________；（4． （3 二次根式的除法规定： （2（3（4 例1．计算：（1 例2．化简： （1（2（3（4 例3、计算（1（2，（3 例4 例5、（a>0） 例题6=，则x的取值范围是__________________。 注：上述结果中的二次根式有两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开尽方的因式或因数。 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 二次根式运算一定要化简成最简二次根式。 课堂作业： 练习1、(1234
苏科版12.2《二次根式的乘除(1)》
怀文中学2016---2017学年度第二学期教学设计 初 二 数 学（12.2二次根式的乘除（1）） 沭阳县怀文中学 顾汉根 时间：2017年4月28日 教学目标：1 ．理解 （a ≥0，b ≥0） （a ≥0，b ≥0），并利 用它们进行计算和化简； 2．经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则； 3．在具体的计算过程中交流，总结公式，体会“数学知识来源于实践”的理念． 教学重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质． 教学难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的理解与运用． 布置作业： 教材第160页习题12.2第1、2题． 教学内容： 一、自主探究 数学实验室 （1）在图中，小正方形的边长为1，AB ＝2，BC ＝8，画出矩形ABCD 的面积是多少？ 得出?与 4 与 =的关系 数学实验室 （2）在图中，小正方形的边长为1．画出矩形EFGH ，使EF ＝2，FG ＝18．矩形EFGH 的面积是多少？根据面积不同的计算方法，你得出什么结论？ 二、自主合作 活动一： 计算：（1 ） ＝ ， ＝ ； （2 ） ＝ ，＝ ； （3）2)32(×2)5 3(＝ ， 22)53()32(?＝ ． 你有什么发现？请与同学交流． 活动二： 归纳猜想： （a ≥0，b ≥0）的正确性． 例：计算： C B A
（1）8×2； （2）2 1×8； （3）a 2·a 8（a ≥0）． 练习巩固：教材第154页练习第1题． 自主拓展： ？ 计算： y 三、自主展示 活动三：辨一辨 问题1： 94)9()4(-?-=-?- 吗？ 问题2： 169169+= += 注意： 了解了二次根式的乘法公式，请同学们逆向思考，你又有什么新发现呢？ （a ≥0，b ≥0）． 例2 化简： (1) （2）3a （a ≥0）； （3）324b a （a ≥0，b ≥0）． 知识积累，练习巩固： 教材第154页练习第2题． 学以致用：1.等腰直角三角形，直角边长2cm,则斜边长 cm. 2.使 是整数的最小正整数n= . ..B C D --化简 ） 五：自主小结：二次根式的乘法法则： (a ≥0，b ≥0). （a ≥0，b ≥0）． 五、自主评价: 教学反思：
(完整版)二次根式的乘除法练习题
5.4 二次根式的乘除法 第二课时 教学内容 a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化 简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计 算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1； =________； （2 ； （3 （4 =________． 3．利用计算器计算填空:
（1=_________，（2=_________，（3=______，（4=________． 。 （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． （2（3÷（4 例1．计算：（1 分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（1=2 （2== （3==2 （4 例2．化简： （1（2（3（4 （a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
解：（1= （2 8 3 b a = （3 8y = （4 13y = 三、巩固练习 教材P135 练习2． 四、应用拓展 例3．=，且x为偶数，求（1+x的值． 分析： a≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x≥0且x-6>0，即6
二次根式的乘除法
二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2）
2017二次根式的乘除法练习题
2017二次根式的乘除法练习题 1、（1） 94?= = ；9 4?= = ； （2）169?= = ； 16 9?= = ； （3）b a ? ab （a ≥0，b ≥0）． 2、（1） = 949=_________；（2） = 81 4=_________;（3 ） = b a （a ≥0， b ＞0）． ． 4．下列运算不正确的是（ ） A ×0.6=1.2 B ×6=12 C == （a ≥0） 5．计算： （1 （ （2 （3） （4）-1 2（ 6．计算：（1）- 1 2 =_____; （2 =_____． 7．计算：（1 （2）1 3 ． 8．若)2)(1(21--=-?-x x x x ．则x 的取值范围是（ ） A ．x>1 B ．x ≥2 C ．x>2 D ．x ≥1 9 - 1 2 ; 二次根式的乘除法同步练习题 一. 填空题： 1. 成立的条件是 . 2. 计算：（1）25·16 ；（2 = .（3 = ； （4 ） = .
3. 化简：（1 ＝ ； （2 = . 4. 计算：（1 ）＝ ； （2 = . 二. 选择题： 5. ） C. 3 D. 6. 下列计算中，正确的是（ ） A. = == 1317 4520=+= ==7. =-，则实数a 的取值范围是（ ） A. 0a ≥ B. 02a ≤≤ C. 20a -≤≤ D. 2a ≤- 8. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） 三. 解答题： 9. 计算：（1 （2 （3）4021·9031 （4）155 ·3 （5 ÷ （6） 1.133·7.2- 10. 化简： （1 ）（2 ） （3 （4 11. 已知： 1.69,x = 求 2x - 八年级数学二次根式加减练习题 计算：125455 1 5 20+-- 1827122+- 3 2+3－2 2 －33 505 11221832++ - ）+ 9654+ )27 1 31( 12-- 27–45–20+75
二次根式乘除练习题
二次根式的乘除法习题课 教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算. 3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：二次根式乘除法法则及运算. 教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 教学过程： 一、 复习 1、 填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 . （2）二次根式的除法法则用式子表示为 . （3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 22a 分母有理化后等于 . （4）44162+?-=-x x x 成立的条件是 . （5）x x -=-2)2(2成立的条件是 . （6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 . （7）化简： =24 . =?1259 . =-222129 . =c b a 324 . =499 . =9 44 . =224c b a . （8）计算： =?1510 . =? x xy 1312 .
=÷6 5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确. （ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=? （ ）（3）636)9()4(94==-?-=-- （ ）（4）5 125432516925169=?=?= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+= + （ ）（7）22 8= （ ）（8）32 123= 3、你能用几种方法将式子 m m （ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课： 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算. 例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(- 解: (1)原式=273323?+? =273332?+? =2 2932+ =6+9 =15 (2)原式=2462454?-?
(完整版)二次根式加减乘除运算训练题
二次根式加减乘除运算 上次课程检测： 1.下列二次根式中与8不是同类二次根式的是（ ） A . 21 B. 50 C. 81 D . 54 2．（24-315+2223 ）×2的值是（ ）． A ．20 33-330 B ．330-233 C ．230-2 33 D ．20 33-30 3.计算： （1）1312248233??-+÷ ? ?? （2）101200925206-??-+-- ??? 4.当715+=x ,715-=y ,求22y xy x +-的值. 5.如图1，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有多少米. 新授 一、选择题： 1.估计4 18?的运算结果应在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间 2．等式2111x x x +-=-g 成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 3.设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ） A . b a ab ?= B . b a b a +=+ C . a a =2)( D . b a b a = 图1
4. ①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243 =22，其中错误的有 （ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 5.下列判断⑴12 3 和13 48 不是同类二次根式；⑵145 和125 不是同类二次根式； ⑶8x 与8x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 6.如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、 1a 2 C 、3－a D 、－a 2 7．如图1，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A.S 1＝S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1＞S 2 D.无法确定 8．如图2，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A ．521 B ．25 C ．1055+ D ．35 图2 图3 图4 二、填空 1．如图3，从点()02A ， 发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ． 2．如图4，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 3、二次根式外（内）的因式移到根号内（外） （1）化简a a 1-的结果是________． （2）已知a 二次根式的乘除法习题课 教学目标：1、通过练习巩固二次根式的乘、除法法则. 2、能根据式子的特点，灵活运用乘积、商的算术平方根的性质和分 母有理化等手段进行二次根式的乘、除法运算. 3、进一步培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 教学重点：二次根式乘除法法则及运算. 教学难点：能正确运用性质、法则灵活进行有关二次根式乘除法的计算. 教学过程： 一、 复习 1、 填空： （1）二次根式的乘法法则用式子表示为 . （2）二次根式的除法法则用式子表示为 . （3）把分母中的 化去，叫做分母有理化. 将式子 22a 分母有理化后等于 . （4）44162+?-=-x x x 成立的条件是 . （5）x x -=-2)2(2成立的条件是 . （6）2121+-=+-x x x x 成立的条件是 . （7）化简： =24 . =?1259 . =-222129 . =c b a 324 . =499 . =9 44 . =224c b a . （8）计算： =?1510 . =? x xy 1312 . =÷6 5321 . 2、 判断题：下列运算是否正确. （ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=? （ ）（3）636)9()4(94==-?-=-- （ ）（4）5 125432516925169=?=?= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+= + （ ）（7）22 8= （ ）（8）32 123= 3、你能用几种方法将式子 m m （ m ＞0 ）化简? 二、讲解新课： 1、运用乘法分配律进行简单的根式运算. 例1 计算 （1）)2732(3+ （2）24)654(- 解: (1)原式=273323?+? =273332?+? =2 2932+ =6+9 =15 (2)原式=2462454?-? 中科教育学科教师辅导讲义 年 级：九 辅导科目：数学 知识点一二次根式的乘法 ★二次根式的乘法法则：i a b = ?.. ab （a _0,b _0） ★二次根式的乘法法则的拓展：、a 「b c h.J abc （a _ 0,b _0,c _0） 例 1 计算：（1）.3 7 （2） . 1 （_? 8） （3） -4 3 2 V 2 （5） ｛扛 2Xe （ 6）4 血占 知识点二 积的算术平方根（即二次根式乘法法则的逆用） ★把.a ?. b =『ab （a _0,b _0）反过来，就得到.ab ；a b （a _ 0,b _ 0），也就是说，积的算术平方根等 于各因式算术平方根的积 注意：（1）化简时要把所有能开得尽方的因数（或因式）移到根号外面； （2）在利用「王一0,b 一0）时，要特别注意满足条件 a —0,b_ 0 例2计算与化简，使被开方数不含完全 平方的因式（或因数） （1） 300 （ 2） 8a 4 （3） -2 3 （- 6） （4） （-36） （-4） （5） a 3b 4 （ 6） 一172-82 知识点三二次根式的除法 ★二次根式的除法法则： 孚=十：（a 王0,b 王0） 学员编号: 学员姓名: 课时数：2 学科教师：郭姗姗 (4)卫聖 <3b 知识点四 商的算术平方根（即二次根式除法法则的逆用） ★商的算术平方根用式子可表示为：V-.:」0』0），也就是说，商的算术平方根，等于两个算术 平方根的商 、、亠 注意： （1） 商的算术平方根的性质的限制条件是 a_0,b ?0,它与积的算术平方根的限制条件类似，但 也有 区别，因为分母不能为0,即除式b 不能为0,所以除式b 必须是正数 （2） a = V （a_0,b 0）中的字母可以是数，也可以是代数式，无论是数还是代数式，只有满 V b vb 足a_0,b 0 ，才能用此性质进行计算 知识点五最简二次根式 ★被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幕的指数都小于 2,像这样的二次根式 称为最简二次根式 注意：最简二次根式要从以下两点来解释 （1） 根号下是整数或整式； （2） 被开方数中不含能开的尽的因数或因式，也就是每个因数或因式的指数都是 1 例5下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A 、存 B 、丫 8a C 、 D 、Jx 3+1 \'3 知识点六化二次根式为最简二次根式 ★化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式 注意：（1） 由于二次根式的被开方数必须是非负数，又因为分母不能是 0,所以公式中分子的被开方数 要大于或者等于0,分母的被开方数要大于0,即公式要满足条件a_0,b 0 (2) 当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则， 把系数和被开方数分别相除 作为积的因式，即 mja 壬(nVb) = m J^(a 兰 0,b a 0) n b 例3计算: (1) .18「2 (3) 2 ”(；8 ) (3) :-9 7 -4 6 (5) 2」(一 例4化简: 16. 2.1 二次根式的乘除（1）教学设计 、教学内容 7a = T ab （a >0， b >0），反之 T Ob =需?晶（a >0， b >0）及 其运用. 二、教学目标 知识与技能目标：理解 苗? T b = T ab （a >0，b >0），/ab （a > 0，b > 0）,并利用它们进行计算和化简 过程与方法目标：由具体数据，发现规律，导出 T a ?品=7ab （a >0，b >0）并运用它进行计算；？利用逆向思维，得出T ab ^/a ? T b （a >0，b >0） 并运用它进行解题和化简. 情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严 谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 三、教学重难点关键 重点： 苗?拆=T ab （a >0，b >0），70^ =百?恵 （a >0，b >0）及它 们的运用. 难点：发现规律，导出 苗?晶=T ab （a >0，b >0）. 关键：要讲清 J ab ( a<0,b<0) = ,如 J (-2) x (-3) = J-(-2)x — (- 3)或 J （-2）咒（-3） = = 72 X 巧. 四、 教法分析 1、 引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知, 建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性 认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用； 2、 讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与算术平方根的乘法进行类比， 获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范 的解题格式。 五、 学法分析 1、 类比的方法 的学习策略。 2、 阅读的方法 3、 分组讨论法 的交流与合作。 4、 练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内 进行他检，提高学生的素质。 六、教学过程 （一）、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题. 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的乘法法则，形成有效 让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中 二次根式练习题（1） ____班 姓名__________ 分数__________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ） A ．m≤3 B ．m ＜3 C ．m≥3 D ．m ＞3 2．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴3 1；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3．当22 -+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B ．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－2 4．下列计算正确的是 （ ） ①69494=-?-=--))((；②69494=?=--))((； ③145454522=-?+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．化简二次根式352?-)(得 （ ） A ．35- B ．35 C ．35± D ．30 6．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值是3 7．把ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ．b 2 1 D ． b b 2 8．y b x a +的有理化因式是 （ ） A ．y x + B ．y x - C ．y b x a - D ．y b x a + 9．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ） A ．23a B ．3 1 C ．153 D ．143 10．计算：ab ab b a 1?÷等于 （ ） A ．ab ab 21 B ．ab ab 1 C ．ab b 1 D ．ab b 二、填空题（每小题3分，共分） 11．当x___________时，x 31-是二次根式． 12．当x___________时，x 43-在实数范围内有意义． 13．比较大小：23-______32-． 14．=?b a a b 182____________；=-222425__________． 15．计算：=?b a 10253___________． 16．计算：2 216a c b =_________________． 17．当a=3时，则=+215a ___________． 18．若x x x x --=--3232成立，则x 满足_____________________． 三、解答题（46分） 19．(8分)把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： ⑴52-x ； ⑵742-a ； ⑶15162-y ； ⑷2223y x -． 二次根式的乘除 课堂学习检测 一、填空题 1．把下列各式化成最简二次根式： (1)=12______； (2)=x 18______； (3)=3548y x ______； (4)=x y ______； (5)=32______； (6)=214______； (7)=+243x x ______； (8)=+3 121______． 2．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：23 与.2 (1) 32与______； (2)a 3与______； (3)23a 与______； (4)33a 与______． 二、选择题 3． x x x x -=-11成立的条件是( )． ~ A ．x ＜1且x ≠0 B ．x ＞0且x ≠1 C ．0＜x ≤1 D ．0＜x ＜1 4．下列计算不正确的是( )． A ．471613= B ．xy x x y 63132= C ．201)51()41(22=- D ．x x x 3294= 5．把32 1化成最简二次根式为( )． A ．3232 B ．32321 C ．281 D ．241 三、计算题 6．(1) ;2516 (2);972 (3);324 (4);1252755÷- 】 (5) ;1525 (6);3366÷ (7);211311÷ (8).125.02 121÷ 综合、运用、诊断 # 一、填空题 7.化简二次根式：(1)=?62________ (2)=81_________ (3)=-3 14_________ 8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式： (1)=51 _______ (2)=x 2_________ (3)=322__________ (4)=y x 5__________ 9．已知,732.13≈ 则 ≈31______； ≈27_________．(结果精确到0．001) 二、选择题 10．已知13+=a ，1 32-=b ，则a 与b 的关系为( )． A ．a =b B ．ab =1 C ．a =－b D ．ab =－1 11．下列各式中，最简二次根式是( )． A ． y x -1 B ．b a C ．42+x D ．b a 25 ^ 三、解答题 12．计算：(1);3 b a ab a b ?÷ (2);3212y xy ÷ (3)?++b a b a 13．当24,24+=-=y x 时，求222y xy x +-和xy 2＋x 2y 的值． " 拓广、探究、思考 14．观察规律： ,32321,23231,12121-=+-=+-=+……并求值． (1)=+2271 ____________； (2)=+10111 _____________； (3)=++11 n n _____________． 15．试探究22)(a 、a 与a 之间的关系．二次根式乘除练习题解析
二次根式的乘除法
二次根式的乘除1
二次根式乘除练习题
16.2 二次根式的乘除法练习