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北师大版九年级上册数学第一单元试卷

第一章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是()

A．12 B．9 C．6 D．3

(第1题)

(第4题)(第6题)

2．下列命题为真命题的是()

A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形D．四边相等的四边形是正方形

3．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是()

A．矩形B．菱形

C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形

4．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的()

A .15

B .14

C .13

D .310

5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有( )

①当AB ＝BC 时，它是菱形；②当AC ⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形；④当AC ＝BD 时，它是正方形．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．如图，已知正方形ABCD 的对角线长为22，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为( )

A ．8 2

B ．4 2

C ．8

D ．6

7．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°

8．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接OB.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为( )

A ．28°

B ．52°

C ．62°

D ．72°

(第7题)

(第8题)

(第9题)

(第10题)

9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()

A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 5 D．AF＝EF

10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；

②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有()

A．0个B．1个C．2个D．3个

二、填空题(每题3分，共24分)

11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．

12．如图，四边形ABC D是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．

(第11题)(第12

题(第13题)

13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝________.

14．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD ＝________.

15．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于________．

(第15题) (第16题)

(第17题)

(第18题)

16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________.

17．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为________．

18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是________．

三、解答题(19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形．

(第19题)

(第20题)

20．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．

21．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．

(第21题)

22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.

(1)求证：△DCE≌△BFE；

(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．(第22题)

23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF 的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.

(1)求证：BE＝CF.

(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．

(第23题)

24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.

(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．

(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．

(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．

(第24题) 答案

一、1.D 2.A

3．D点拨：首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．

4．B

5．A点拨：①当AB＝BC时，它是菱形，正确；

②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；④当AC＝BD时，它是矩形，因此④是错误的．

6．C7.C8.C

9．D点拨：如图，由折叠得∠1＝∠2.

∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.

∴AE＝AF.故选项A正确．

由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.

∵AB＝CD，∴AB＝AG.

∵AE＝AF，∠B＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．

故选项B正确．

设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.

又AG＝AB＝4，

∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.

解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.

则AE＝AF＝5，

∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.

过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.

在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝25，则选项C正确．

∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF.故选项D错误．

(第

9题)

10．D 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠P AE ＝∠MAE ＝45°.

∵PM ⊥AC ，∴∠PEA ＝∠MEA .

又∵AE ＝AE ，∴根据“ASA”可得△APE ≌△AME .故①正确．由①得PE ＝ME ，∴PM ＝2PE .同理PN ＝2PF .又易知PF ＝BF ，四边形PEOF 是矩形，∴PN ＝2BF ，PM ＝2FO .∴PM ＋PN ＝2FO ＋2BF ＝2BO ＝BD .故②正确．在Rt △PFO 中，∵FO 2＋PF 2＝PO 2，而PE ＝FO ，∴PE 2＋PF 2＝PO 2.故③正确．

二、11.90° 点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．

12．12 点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝1

2×6×8＝24.∵O 是菱形两条对

角线的交点，∴阴影部分的面积＝1

×24＝12.

13．120°

(第

14题)

14．22.5° 点拨：如图，由四边形ABCD 是正方形，可知∠CAD ＝1

∠BAD ＝45°.

由FE ⊥AC ，可知∠AEF ＝90°.

在Rt △AEF 与Rt △ADF 中， AE ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △AEF ≌Rt △ADF(HL )．

∴∠FAD ＝∠FAE ＝12∠CAD ＝1

2×45°＝22.5°.

15.10 16.2－1

17．20 点拨：点N 是BC 的中点，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点，由三角形的中位线定理可证EN ∥MC ，NF ∥ME ，EN ＝12MC ，FN ＝1

2MB.又易知MB

＝MC ，所以四边形ENFM 是菱形．由点M 是AD 的中点，AD ＝12得AM ＝6.在Rt △ABM 中，由勾股定理得BM ＝10.因为点E 是BM 的中点，所以EM ＝5.所以四边形ENFM 的周长为20.

18．(3)n －

三、19.证明：∵EF 垂直平分AC ， ∴∠AOE ＝∠COF ＝90°，OA ＝OC. ∵AD ∥BC ，∴∠OAE ＝∠OCF. ∴△AOE ≌△COF(ASA )． ∴AE ＝CF.又∵AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形． ∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．

20．(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形OCED 为平行四边形． ∵四边形ABCD 为矩形，∴OD ＝OC. ∴四边形OCED 为菱形． (2)解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴BO ＝DO ＝1

BD.

∴S △OCD ＝S △OCB ＝12S △ABC ＝12×1

2×3×4＝3.

∴S 菱形OCED ＝2S △OCD ＝6.

21．(1)证明：在△BCE 与△DCF 中， ????

?BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ， ∴△BCE ≌△DCF. (2)解：∵△BCE ≌△DCF ， ∴∠EBC ＝∠FDC ＝30°. ∵∠BCD ＝90°，∴∠BEC ＝60°. ∵EC ＝FC ，∠ECF ＝90°， ∴∠CEF ＝45°.∴∠BEF ＝105°.

22．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ＝90°，

∴∠ADB ＝∠DBC.

根据折叠的性质得∠ADB ＝∠BDF ，∠F ＝∠A ＝90°，

∴∠DBC ＝∠BDF ，∠C ＝∠F. ∴BE ＝DE.

在△DCE 和△BFE 中， ????

?∠DEC ＝∠BEF ，∠C ＝∠F ，DE ＝BE ， ∴△DCE ≌△BFE. (2)解：在Rt △BCD 中，

∵CD ＝2，∠ADB ＝∠DBC ＝30°， ∴BD ＝4.∴BC ＝2 3.

在Rt △ECD 中，易得∠EDC ＝30°. ∴DE ＝2EC.

∴(2EC)2－EC 2＝CD 2. ∵CD ＝2， ∴CE ＝23

∴BE ＝BC －EC ＝43

(第

23题)

23．(1)证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD 为菱形， ∠BAD ＝120°， ∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°， ∠1＋∠2＝60°.

∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°， ∴∠1＝∠3.

∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AC ＝AB. ∴△ABE ≌△ACF. ∴BE ＝CF.

(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形

AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝

S △ABC .

如图，过A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2， ∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝2 3.

∴S △ABC ＝12BC·AM ＝1

2×4×23＝4 3.

故S 四边形AECF ＝4 3.

24．解：(1)OE ＝OF.理由如下：∵CE 是∠ACB 的平分线，

∴∠ACE ＝∠BCE.又∵MN ∥BC ， ∴∠NEC ＝∠BCE.

∴∠NEC ＝∠ACE.∴OE ＝OC. ∵CF 是∠ACD 的平分线， ∴∠OCF ＝∠FCD.又∵MN ∥BC ， ∴∠OFC ＝∠FCD. ∴∠OFC ＝∠OCF. ∴OF ＝OC.∴OE ＝OF.

(2)当点O 运动到AC 的中点，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，四边形AECF 是正方形．

理由如下：∵当点O 运动到AC 的中点时，AO ＝CO ，

又∵EO ＝FO ，

∴四边形AECF 是平行四边形． ∵FO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝EO ＝FO. ∴AO ＋CO ＝EO ＋FO ，即AC ＝EF.

∴四边形AECF 是矩形．已知MN ∥BC ，当∠ACB ＝90°时，∠AOE ＝90°，∴AC ⊥EF.

∴四边形AECF 是正方形． (3)不可能理由如下：

连接BF ，∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ， ∴∠ECF ＝

12∠ACB ＋12∠ACD ＝1

(∠ACB ＋∠ACD)＝90°.若四边形BCFE 是菱形，则BF ⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE 不可能为菱形．

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b